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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR MÉTODOS ALGEBRAICOS 1.

Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula la edad de Pedro. (Solución: 21 años)

2.

Para vallar una fi nca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las dimensiones de la finca. (Solución: Las dimensiones de la finca son30 m y 25 m)

3.

Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m². (Solución: Los lados miden 6, 8, 10 metros)

4.

Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m². (Solución: 3m)

5.

Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 m, sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36 m y 48 m respectivamente. (Solución: 60 y 45 metros)

6.

Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso es 26/5. (Solución: 5)

7.

D o s n ú m e r o s n a t u r a l e s s e d i fe r e n c i a n e n d o s u n i d a d e s y l a s u m a d e s u s cuadrados es 580. ¿Cuáles son esos números? (Solución: 16 y 18)

8.

Dos caños A y B llenan juntos una piscina en dos horas, A lo hace por sí solo entres horas menos que B. ¿Cuántas horas tarda a cada uno separadamente? (Solución: A en 3 horas y B en 6 horas)

9.

Los lados de un triángulo rectángulo ti enen por medidas en centí metros tres números pares consecutivos. Halla los valores de dichos lados. (Los lados miden 6, 8 y 10 cm)

10. Una pieza rectangular es 4 cm más larga que ancha. Con ella se construye una caja de 840 cm 3 cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando los bordes. Halla las dimensiones de la caja. (Solución: 26 y 22 cm) 11. Un caño tarda dos horas más que otro en llenar un depósito y abriendo los dos juntos se llena en 1 hora y 20 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo cada uno por separado? (Solución: 1º en 2horas y 2º en 4 horas)

12. Si al triple de un número se le suma su cuadrado obtenemos 88. Calcúlalo (Solución: 8 y -11). 13. Halla la edad de una persona sabiendo que si al cuadrado se le resta el triple de la edad resulta nueve veces ésta. (Solución: 12 años) 1.- Resuelve las ecuaciones: x1 x1 10  x 2   2 3x  6 2x  4 6x  24

a)

2( x  1)( x  2)  3( x  1)( x  2) 10  x 2   2 x 2  6 x  4  3x 2  3x  6  10  x 2  x  0 6( x  2)( x  2) 6( x  2)( x  2)

La solución obtenida es válida ya que no anula los denominadores 40

b)

x  20



x  20  x

40  x  20





x  20



2

 x  x  20 x  20



 40  x  20  x x  20   x 2  20 x  x  20  40   x 2  20 x  x 2  120 x  3600  100 x  3600  x  36 Comprobamos la solución:

x 2  20 x



2

  x  60

2

40  36  20  36 36  20

40  4  6 , que en este caso no es válida 4

2.- Resolver: a) 28  2x  21  x  1



28  2 x



2







21  x  1

2



 21  x   2    2 21  x 

28  2 x 

2

 28  2 x  21  x  1  2 21  x   x  6 2 2  x  12 x  36  84  4 x  x  8 x  48  0 2

21  x  1



2

 8  64  192  8  256  8  16 4 x     2 2 2  12 Comprobamos las soluciones:......... 2 b) x 



12 x 1 2



x 2 x 2  1  12 

2 2x  1

c)

 4x  1 4x  2 2x  1 2

x 4  x 2  12  0

x



2  3  x 3 x   3  1  1  48  1  7  2 x   2 2  4  x2  4  x    4  

2 2 x  1 x 2  8 x 2 x  1  16 x  8 x  1 2 2 x  1

 4 4 x 2  1  x16 x  1 

16 x 2  4  16 x 2  x 



4 2 x  1 2 x  1 x 16 x  8 x  16 x 2  8 x  1 2

x=4

d)

6  x 3 x  4  x  2   3 6 x 3



 6  x   6  x   9  x  4   6  x   x  2  3 6  x 3 6  x

 36  x 2  9 x  36  6 x  12  x 2  2 x  2 x 2  13x  84  0  x b  b  4ac 13  169  672 13  841 13  29  x     2a 4 4 4 x   2

42 21  4 2 16 4 4

2  2 x  1  3  2 x  1  5  2 x  1  2 x  1 2 2 x  1 3 2 x  1 0  5 0 :  e) 2x 1 2x  1  2 x  1  2 x  1  2 x  1  2 x  1 2

2

2  4 x 2  4 x  1  3  4 x 2  4 x  1  5  4 x 2  1  0

8 x 2  8 x  2  12 x 2  12 x  3  20 x 2  5  0 ; 16 x 2  20 x  6  0 ; 8 x 2  10 x  3  0 4 1  10  100  96 10  196 10  14 16 4 x    2.8 16 16  24   3  16 2 f)

2x  1 x  7 3x  1   4 x 1 x 1 x2

 2 x  1  x  1  x  2    x  7   x  1  x  2   4  x  2   x  1  x  1   3x  1  x  1  x  1  x  1  x  1  x  2   x  1  x  1  x  2   2 x  1  x 2  x  2    x  7   x 2  3x  2    4 x  8   x 2  1   3x  1  x 2  1 2 x 3  2 x 2  4 x  x 2  x  2  x3  3x 2  2 x  7 x 2  21x  14  4 x3  4 x  8 x 2  8  3 x3  3x  x 2  1  40 2 5 2 15   15  4  4   25     15  225  400 15  25  8 4 x  15 x  25  0 x    24 8 8 4 x 2  15 x  25  0  10   5  8 4 3 .- Resolver: x3 x 3 x 2   a)  x3 x 3 x 3

 x  3   x  3  x  3   x  3 2

x 2  6 x  9  x 2  6 x  9  x2  5x  6 ;

2



 x  2   x  3  x  3   x  3



x2  7 x  6  0

b  b 2  4ac 7  7 2  4 1 6 7  25 7  5  x  6 x     2a 2 1 2 2  x  1 ........................................................................................................................ 4 x  7 x  5 4 x 9  x  3  4 x  7   171 x  5   76 x  x  3   b) : 19  9   x  3 19  9   x  3 19 x3 9 ................................................................................................ 3  x  3   x  4   9  7  x   x  3  4 x  7   9  x  3  x  4 7  x 4x  7    1  c) 9  x  3 9  x  3 3 x3 9 3 x 2  3 x  36  63  9 x  4 x 2  5 x  21  9 x  27 ; x 2  26 x  105  0 26  676  420 26  256 26  16  x  422  21 x    2 2 2  x  102  5

.............................................................................................................................................. 1 2 1  2 1   x 11  2  9 1   9 d) 2  x  1  9 1   x  1   0  2 0  2 0 x 1  x  1  x 1  x 1  2  9 x  x  1 0 ; 2  9 x2  9 x  0 ; 9 x2  9 x  2  0  x  1  x  1 12 2 b  b 2  4ac 9  81  72 9  3  x  18  3 x    6 1 2a 18 18  x  18  3

x2  2 x  5 9  1  x   x 1 2x  5 2 x  2 x  5  2 x  5  9  1  x   1  x 

e)

2 2 2 ; x  4 x  25   9  1  x 

4 x 4  25 x 2  9  9 x 2  0 ;

4 x 4  16 x 2  9  0 ; x 2  z  4 z 2  16 z  9  0 3 2 36 9 9 b  b 2  4ac 16  256  144 16  20  z  8  2  x   2   2 z    2a 8 8  z  84   12  x    12 � ..................................... 3x   2  x   4 x 3x 1 4  0 ; 3x – 2 – x + 4x = 0 : 6x = 2 ; x = 1/3   0 ; f) 2 x  2  x 2x  x x 2 x 4x  1  2x 4  3x 4  5 x   2 x x  1  2  x   x  1 ........................................................................... g)

 x  1  x  2 

3 x2 h) 1  x 3 1 x  x  1  x  2   3  x  1  x  2   3  x  1  x  2  x2  2 x  x  2 3 x2 3 x2 ; 1 ; ; 3  x2  2x 1 x  x  2 x   x  3 x 3 1 1 3 3 x x 3  x 2  3x  2  2 2  3 ; 3  x  3 x  2   3  x  2 x  3 2 x  2x  3 –x =1; x= –1 ..................................................................................................................................... x x2 14  x 5 x  5  4.- Resuelve:  4 5 2 12 15 x  12  x  2 



60  5  30  14  x   5  5 x

60 60 15 x – 12 x + 24 = 300 + 420 – 30 x– 25x ; 15 x – 12 x + 25x + 30 x = 300 + 420 – 24 696  12 58 ............................................................................................ 3 3 4  3x  2  x  5. Resuelve: x  4   2 x   2 x  7   2 2 5 2  58 x =796 ; x 

3x  x  4x  3 12 x  8 3x 3 12 x  8  2 2   2x  7    2  3 x   2 x  7   ;  2 2 5 2 2 5  2  15 x  60 x  20 x  70 15  24 x  16  10 10 15 x +60 x + 20x – 24 x = 15 – 16 – 70 ; 71 x = –71 ; x= –1 ......................................................................................................................  x  1  x  1  x  5  2 x  1 6. Resuelve:   2 6 3 3  x 2  1   x  5 

4  x  1 6 6 3x2 –3 –x + 5 = 4x + 4 3x2 –5x -2 = 0 

b  b 2  4ac 5   5   4  3   2  5  25  24 5  49 5  7 2 x      1 2a 2.3 6 6 6  3 ......................................................................................................................................................... 2

3

x 1

7. Resuelve 4  x  4   4  

2 x  3  x  1 x  3  1     x  3 2  x   0 3 2  2

2 3  x  4  3  x  1  4  2 x  3  6  x  3 x  x  3 2 x  x 2  6  3 x   0 4 12 2

9  x  4    3 x  3  8 x  12  6 x 2  18 x  6 x  18   6  5 x  x 2  6  12



0 12

9 x  36  3x  3  8 x  12  6 x 2  18 x  6 x  18  30 x  6 x 2  36  0 ; 40x = 3 ; x  8. Resuelve

1 1  5x   2 x  1  3    1    x  3  2  6    3  6 3

 5 x  3  1 1 2 x  1  3       x  3  2  6  6 3  3  1 1  2 x  1  5 x  3  2 x  6  6  ; 6 3 0 9 x  0; x   0 9

9. Resuelve 1

2

3 x  2  12 x 2  6 6

3 40

3

4

5