Problemas De Máximos Y Mínimos.docx

RECTA TANGENTE Y NORMAL 1) Determinar la ecuación de la recta tangente y de la recta normal de cada una de las siguientes curvas en los puntos que se indican y hacer los gráficos correspondientes: 1.

f x   x 2  2

2.

f x  

3.

f  x   x 2  4x  3

4.

f  x   x 3  2x 2  4

5.

f  x   3x 2  6x  1 en el punto de abscisa

4

x

en el punto P (1;3)

en el punto de abscisa

x0 1

en el punto de abscisa en el punto de abscisa

x0  3 x0  2

ESTUDIO COMPLETO DE UNA FUNCIÓN 2)

Dada la función y  a. b. c. d. e. f. g. h.

x se pide: x3

Dominio y conjunto imagen Puntos de discontinuidad. Clasificación. Ecuaciones de las asíntotas vertical y horizontal Hallar la función derivada Calcular las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva en x  0 y en Graficar Analizar y determinar los intervalos de crecimiento o decrecimiento constante Analizar y determinar los intervalos de concavidad constante 2

y

Dada la función 3)

x6

3x  x

2x 2  2x

se pide lo mismo que en el anterior.

Dadas las siguientes funciones, determinar para cada una de ellas: a. Dominio b. Intersección con los ejes coordenados, si existen c. Estudio de paridad d. Discontinuidad, si existe e. Asíntotas, si existen f. Máximos y mínimos relativos, si existen g. Intervalos de crecimiento y de decrecimiento h. Puntos de inflexión, si existen i. Intervalos de concavidad y convexidad j. Gráfico aproximado

1 x

3.1

f(x)  x 3  3x  2

3.2

f(x)  x 

3.3

f(x)  e x

3.4

f(x)  e x

3.5

f(x) 

x 1 x3

3.6

f(x) 

4x x2  1

3.7

f(x) 

x2  1 x2  4x  3

3.8

f(x) 

x3  4x2  3 x2  1

2

1

f(x) 

4 x2

3.9

f(x)  2x 2  x 4

3.10

3.11

f(x)  x 2 .e x ln x f(x)  x

3.12

f(x)  x  ln x

3.14

f(x)  x.e x

3.13

2

f(x)   x  2 3

3.15 3.17

3.16

f(x)   x  2   x  1 2

3.18

x2  1 x2  1 1 f(x)  x3  3x 2  5x  1 3 f(x) 

ANALIZAR LAS SIGUIENTES SITUACIONES 1. Sean a y b los gráficos de f’(x). Definir para ellos los intervalos de crecimiento de sus respectivas f(x).

y b)

a)

 

2. Si la derivada de f(x) es f x 3. Si

1

   x  3

2

-1

x

 x – 4 ; entonces es creciente en:

3

x

f  x   e – kx, se verifica que f  0   4 ; entonces k = ....

4. El valor positivo de a que hace que f(x) =

1 (2x  a)2 tenga un punto crítico en x = es: x 2

5. Obtener a y b de manera tal que

f  x   x 3  ax 2 b ; tenga un extremo relativo en (2;3).

6. Cuál es el intervalo en que f(x) =

e x

2

es convexa.

7. Hallar los puntos de inflexión y los intervalos de concavidad de

8. Si f’(x) =

x2 1 x2

; se puede asegurar que es creciente en(



f  x   ln x 2 +9



1;  ) . Justificarlo.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS 1. Encuentre dos números no negativos cuya suma sea 10 y cuyo producto sea máximo. Rta. x=y=5 2. Demuestre que el rectángulo de máxima área con perímetro dado k es un cuadrado 3. La granja Victoria tiene 80 pies de tela de alambre con la que planea cercar un corral rectangular al lado de un granero de 100 pies de largo, como muestra la figura ¿Cuáles son las dimensiones del corral de máxima área? 2

granero

x

Rta. x=20;y=40

corral y

4. Un rectángulo de perímetro p se hace girar alrededor de uno de sus lados generando un cilindro.¿De todos los rectángulos que se sujetan a la condición del perímetro dado, cuál es el que genera un cilindro de volumen máximo? Rta. x= p/3 ; y= p/6 5. Encuentre las dimensiones del rectángulo de máxima área que se puede inscribir en un semicírculo de radio 2r r r. Rta. l= ; a= 2 2 6. Con una escalera se desea alcanzar una pared por encima de un muro de 8m,el muro se encuentra a 1m de la pared. ¿Cuál es la longitud de la escalera más corta que puede usarse en esta operación? Rta. Escalera de 11.18 m a 5 m de la pared

7. Se desea construir una caja sin tapa con base rectangular a partir de una hoja rectangular de cartón de 16 cm de ancho y 21 cm de largo. Recortando un cuadrado en cada esquina y doblando los lados hacia arriba. Calcular el lado del cuadrado para el cual se obtiene una caja de volumen máximo. Rta. x = 3 8. Se desea elaborar un pequeño recipiente cilíndrico sin tapa que tenga un volumen de 24 cm 3 .El material que se usa para la base cuesta tres veces más que el que se emplea en la parte cilíndrica. Suponiendo que en la construcción no se desperdicia nada, evaluar las dimensiones para las que es mínimo el costo de material de fabricación. Rta. r=2; h=6 9. Se va a cortar una viga rectangular de un tronco de sección transversal circular. Si la resistencia de una viga es proporcional al producto del ancho por el cuadrado de su altura encuentre las dimensiones de la sección

6 a y= a 3 3 10. Antonio se encuentra en una lancha a dos millas de B, el punto más cercano de una playa rectilínea ,y ve salir humo de su casa que está a 6milas playa arriba de B. Él se imagina que puede remar a 6 millas por hora y correr 10 millas por hora ¿Cómo puede proceder para llegar a su casa en el mínimo tiempo? Rta. Debe remar hasta un punto situado a 1.5 millas de la playa transversal que da la viga de mayor resistencia

Rta. x =

11. Encuentre las dimensiones del cilindro circular recto de máximo volumen que se puede inscribir en un cono circular recto dado. 12. Un cable de 100cm de longitud es cortado en dos piezas ;una se dobla para formar un cuadrado y la otra para formar un triángulo equilátero.¿Dónde debe hacerse el corte si (a) la suma de las dos áreas debe ser mínima,(b) máxima?(Se admite la posibilidad de no cortar) Rta. Para el máximo solo el cuadrado Para el mínimo lado del cuadrado es

100 3 (9  4 3) 33

13. Un observatorio debe tener la forma de un cilindro circular recto, rematado por una bóveda hemisférica, con un volumen total dado. Si la bóveda hemisférica cuesta el doble por pie cuadrado que el muro cilíndrico, ¿cuáles son las proporciones más económicas? Rta. La altura del cilindro es el doble del radio 14. Una compañía estima que puede vender 1000 unidades por semana si el precio es de $3por unidad, pero las ventas semanales subirán 100 unidades por cada 10 centavos que disminuya el precio. Si x es el número de unidades vendidas a la semana, encuentre a)la función precio p(x);b)el número de unidades y el precio correspondiente que maximice el ingreso semanal. Rta. 2000 unidades. P=$2. Ingreso total: $4000 3

15. La compañía XYZ fabrica sillas de mimbre. Con sus máquinas actuales tiene una producción anual máxima de 500 unidades .Si fabrica x sillas, puede venderlas a un precio de p(x)= 200-0.15x dólares cada una y un costo anual total de C(x)= 4000+ 6x-0.001x2 dólares. ¿Qué nivel de producción maximiza la utilidad total al año? (pista Utilidad = Ingreso – costo ,ingreso =cantidad x precio) Rta. Utilidad $55.750 x=500 16. Dos postes, de 12 y 28 pies de altura distan 30 pies entre sí. Desea tenderse un cable, fijado en un único punto del suelo ,entre las puntas de ambos postes.¿En qué punto del suelo hay que fijar el cable para usar el mínimo cable posible? Rta. x=9 17. Halle los puntos de la gráfica y = 4- x2 que estén más próximos del punto (0;2) Rta. (

3 5 3 5 ; ) ;(  ; ) 2 2 2 2

18. Se forman triángulos rectángulos en el primer cuadrante con los ejes y una recta cualquiera que pase por (1,2).Hallar los vértices del triángulo que minimiza la longitud de la hipotenusa. Rta. (2.6,0); (0,3.26) 19. Hallar el volumen máximo de un cono circular recto inscripto en una esfera de radio r Rta. y=

4 r 3

; x=

2 2 r 3

20. Entre todos los triángulos isósceles de perímetro 30cm ¿Cuál es el de área máxima?

Rta. El equilátero l = 10cm

21. Sea f(x)=x6( 0 x 1); se construyen todos los rectángulos de lados paralelos a los ejes , que tienen una diagonal con extremo en los puntos (1;0) y (a ; f(a)) con 0 a 1. Hallar el de área máxima.

22. De todos los trapecios en los que tres lados tienen longitud s, pruebe que el área máxima tiene su cuarto lado de longitud 2s 23. Sea y = ln 4 x y c Î (0;1) .Considere todos los triángulos que tienen vértices : en el origen ; en los puntos de abscisa c pertenecientes al eje x; en los puntos de abscisa c pertenecientes a la función dada. Halle el de área máxima.

4