Problema Golpe De Ariete.docx

Problema Golpe de Ariete Determinar la sobre presiones positivas y negativas que ocurren en una obra de toma para una planta hidroeléctrica, a lo largo del tiempo que dura la maniobra de cierre lineal, si la válvula se cierra en un tiempo de segundos. Considerar los siguientes datos: Diámetro de la tubería de 1.5= 150cm Espesor de la tubería de ½”=127mm=1.27cm Un gasto de 4.5m^3/seg = 4500 lt/seg Una longitud de la tubería de 308m Una carga de presión inicial de h=300m Solución Determinación del tipo de tubería con la siguiente formula 𝑅 𝐷 150 75 = = = = 59.05 2 2 𝑒 1.27 𝑒 1.27 Como 59.05>5 entonces se trata de una tubería de pared delgada Calculo de celeridad. Por ser una delgada se usa la siguiente ecuación C=

9900 𝐷 √0.5∗ +48.3 𝑒

9900

=

150 +48.3 1.27

=955.48m/s

√0.5∗

Con la obtención de la celeridad se determina el periodo 2𝐿

μ= 𝑐 =

2(308𝑚) 955.48

= 0.645𝑠

Determinación de la velocidad; se obtiene la velocidad con la ecuación de continuidad: 𝑄

Q=AV 𝑉 = 𝐴=

𝑄 𝜋𝐷2 4

4𝑄

= 𝜋𝑟 2

En esta ecuación el diámetro corresponde a real e el interior de la tubería: d =D-2e………….. (3) d= 150-2(1.27)=147.46cm=1.4746m con el valor obtenido de la ecuación (3) se sustituye en la ecuación (2) por lo tanto queda 𝜋 𝜋 𝐴 = 4 𝑑2 = 4 (1.4746)2 = 1.7078𝑚2 …….. (2) Sustituyendo los valores del área y el gasto en la ecuación (a) 𝑄

𝑉=𝐴=

4.5𝑚3 𝑠𝑒𝑔

1.7078𝑚2

= 2.63𝑚/𝑠……………… (a)

Se obtiene el valor característico

𝐶𝑉

955.48(2.63)

ε=2𝑔ℎ0 = 2(9.81)(300) =0.42 0

Se identifica el tipo de cierre. Para este caso se tiene dos que son: a) Cierre lineal b) Si la válvula se cierra en 12 segundos El cierre lineal se determina con la cadena de Allievi 𝑍𝑖 2 − 1 = 1 − 𝑍𝑖−1 2 + 2ε(𝑍𝑖−1 η𝑖−1 − 𝑍𝑖 η𝑖 )………(4) Si i=1 entonces la ecuación (4) queda: 𝑍𝑖 2 − 1 = 1 − 𝑍0 2 + 2ε(𝑍0 η0 − 𝑍𝑖 η𝑖 ) … … … … . (4.1) Donde 𝑍𝑖 2 = η𝑖 =

ℎ𝑖 … … … (4𝑎) ℎ0

𝐴𝑖 … … … (4𝑏) 𝐴0

De la ecuación (4 a) y (4 b) se obtiene 𝑍0 2 𝑦 η0 , η1 𝑍𝑖 2 =

ℎ𝑖 … … (4 𝑎) ℎ2

𝑍0 2 =

300 =1 300

η𝑖 =

𝐴𝑖 … … . . (4 𝑏) 𝐴0

η0 =

𝐴0 2.33 = =1 𝐴0 2.33

η0 =

𝐴1 0 = =0 𝐴0 2.33

Sustituyendo 𝑍0 2 𝑦 η0 , η1 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (4.1)𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒: 𝑍𝑖 2 − 1 = 1 − 𝑍0 2 + 2ε(𝑍0 η0 − 𝑍𝑖 η𝑖 ) … . … … … . . (4.1) 𝑍𝑖 2 − 1 = 1 − 1 + 2(0.29)[(1)(1) − 𝑍𝑖 (0)] … . . . (4.2) La ecuación (4.2) se reduce a 𝑍𝑖 2 − 1 = 0 + 0.58 𝑍𝑖 2 = 1 + 0.58

𝑍𝑖 2 = 1.58𝑚 Con la magnitud de 𝑍𝑖 2 𝑦 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 ℎ0 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎 ℎ1 se obtiene de la ecuación (4.2.1) 𝑍𝑖 2 =

ℎ𝑖 … … … … … (4𝑎) ℎ0

𝑍𝑖 2 =

ℎ1 … … … … … (4𝑎1 ) ℎ0

Donde se despeja a ℎ1 de la ecuación de (4𝑎1 ) por lo cual queda: ℎ1 = 𝑍𝑖 2 ∗ ℎ0 Sustituyendo los valores se tiene: ℎ1 = 1.58 ∗ 300 ℎ1 = 474 𝑚. 𝑐. 𝑎 b) si la válvula se cierra en 12 segundos primero se obtiene el numero de periodos 𝑡

12𝑠𝑒𝑔

N° μ= μ = 673𝑠𝑒𝑔 =17.83=18

η0=1 η1 = 0.945

η2=0.89 η3=0.835 η4=0.780 η5=0.725 η6=0.670 η7=0.615 η8=0.56 η9=0.505 η10=0.450 η11=0.395 η12=0.34 η13=0.285 η14=0.23 η15=0.175 η16=0.120 η17=0.65 η18=0

Factores de cierre

Obtenidos los factores de cierre se calcula la sobrepresión con la ecuación de Allievi 𝑍𝑖 2 − 1 = 1 − 𝑍𝑖−1 2 + 2ε(𝑍𝑖−1 η𝑖−1 − 𝑍𝑖 η𝑖 )……(4) Si i=1 entonces la ecuación (4) queda 𝑍𝑖 2 − 1 = 1 − 𝑍0 2 + 2ε(𝑍0 η0 − 𝑍𝑖 η𝑖 ) … . (4.1) Donde 𝑍𝑖 2 =

ℎ𝑖 … … … (4𝑎) ℎ0

De la ecuación (4 a) y (4 b) se obtiene 𝑍0 2 𝑦 η0 , η1 𝑍𝑖 2 =

ℎ𝑖 … … (4 𝑎) ℎ2

𝑍0 2 =

300 =1 300

Sustituyendo 𝑍0 2 𝑦 η0 , η1 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (4.1)𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒: 𝑍𝑖 2 − 1 = 1 − 𝑍0 2 + 2ε(𝑍0 η0 − 𝑍𝑖 η𝑖 ) … . … … … . . (4.1) 𝑍𝑖 2 − 1 = 1 − 1 + 2(0.29)[(1)(1) − 𝑍1 (0.945)] … . . . (4.2) La ecuación (4.2) se reduce a 𝑍𝑖 2 − 1 = 1 − 1 + 2(0.29)[(1)(1) − 𝑍1 (0.945)] … . . . (4.2) 𝑍𝑖 2 = 0 + 2(0.29)[(1)(1) − 𝑍1 (0.945)] … . . . (4.2.1. ) 𝑍𝑖 2 − 1 =0.58-0.5481𝑍𝑖 ………………………………..(4.2.2.) Igualando la ecuación (4.2.2.) a cero se obtiene 𝑍𝑖 2 +0.5481𝑍𝑖 − 0.58 = 0 … … … … … … … … (4.2.3. ) Como la ecuación (4.2.2.) es de 2° grado se procede a resolver la misma con la ecuación general

−𝑏±√𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎

se obtiene:

𝑍𝑖 2 +0.5481𝑍𝑖 − 0.58 = 0 … … … … … … … … (4.2.3. ) 𝑍𝑖 =

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

𝑍𝑖 2 +0.5481𝑍𝑖 − 0.58 = 0 … … … … … … … … (4.2.3. )

𝑍𝑖 2 =

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

−(0.5481)±√(0.5481)2 −4(1)(−0.58)

𝑍𝑖 =

2(1)

−(0.5481)±√(0.5481)2 −4(1)(−0.58)

𝑍𝑖 =

2(1)

−(0.5481)+1.619

𝑍𝑖 =

2

=0.53m

−(0.5481)−1.619

𝑍𝑖 =

2

=-1.08m

Con la obtención de 𝑍𝑖 𝑦 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 ℎ0 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑚𝑖𝑛𝑎 ℎ1 la cual se obtiene de la ecuación (4 a) 𝑍𝑖 2 =

ℎ𝑖 … … … … … (4𝑎) ℎ0

𝑍𝑖 2 =

ℎ1 … … … … … (4𝑎1 ) ℎ0

De las cuales se despeja ℎ1 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (4𝑎1 ): ℎ𝑖 = 𝑍1 2 ∗ ℎ0 Sustituyendo los valores correspondientes se tiene: ℎ1 = (0.53)2 ∗ 300 ℎ1 =84.27 m.c.a. Si i=2 entonces la ecuación (4) 𝑍2 2 − 1 = 1 − 𝑍1 2 + 2ε(𝑍1 1 − 𝑍2 η2 ) … . … … … . . (4.1) 𝑍2 2 − 1 = 1 − (0.53)2 + 2(0.29)[(0.58)(0.945) − 𝑍1 (0.89) … … … . . (4.2) La ecuación (4.2) 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑒: 𝑍2 2 − 1 = 1 − (0.53)2 + 2(0.29)[(0.58)(0.945) − 𝑍2 (0.89) 𝑍2 2 − 1 = 1 − (0.53)2 + 2(0.29)[(0.58)(0.945) − 𝑍2 (0.89) 𝑍2 2 − 1 = 0.7191 + 0.58 − 0.3944 𝑍2

𝑍2 2 − 1 = 1.2991 − 0.3944 𝑍2 𝑍2 2 = 0.3944 𝑍2 − 1 − 1.2991 𝑍2 2 = 0.3944 𝑍2 − 2.2991 = 0…………………………………………………………(4.2.2.) Resolvemos esta expresión con la ecuación general −𝑏±√𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎

y se obtiene:

𝑍2 2 + 0.3944 𝑍2 − 2.2991 = 0 … … … … … … … … (4.2.3. ) −𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 𝑍𝑖 = 2𝑎 −(0.3944)±√(0.3944)2 −4(1)(−2.2991)

𝑍𝑖 =

2(1)

−(0.3944)+3.05

𝑍𝑖 =

2

=1.32m

−(0.5481)−3.05

𝑍𝑖 =

2

= -1.72m

Con la obtención de 𝑍2 𝑦 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 ℎ0 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑚𝑖𝑛𝑎 ℎ1 la cual se obtiene de la ecuación (4 a) 𝑍𝑖 2 =

ℎ𝑖 … … … … … (4𝑎) ℎ0

𝑍𝑖 2 =

ℎ1 … … … … … (4𝑎1 ) ℎ0

De las cuales se despeja ℎ1 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (4𝑎1 ): ℎ2 = 𝑍2 2 ∗ ℎ0 Sustituyendo los valores correspondientes se tiene: ℎ1 = (1.32)2 ∗ 300 ℎ1 =522.72 m.c.a. Si i=3 entonces la ecuación (4) 𝑍2 2 − 1 = 1 − 𝑍3 2 + 2ε(𝑍2 η2 − 𝑍3 η3 ) … . … … … . . (4.1) 𝑍2 2 − 1 = 1 − (1.32)2 + 2(0.29)[(1.32)(0.945) − 𝑍3 (0.835) … … … . . (4.2)