Problema Del Tiburon

EJEMPLO ILUSTRADO DE EQUILIBRIO Un tiburón de 10,000 N está sostenido por un cable unido a una barra de 4 m de largo que puede hacer pivote en la base. Calcule la tensión de la cuerda de amarre entre la barra y la pared si está sosteniendo el sistema en la posición mostrada. Encuentre la magnitud y dirección de la fuerza ejercida por la bisagra sobre la barra. El peso de la barra es de 10N.

Diagrama de Cuerpo libre para la barra 90.0°

90.0°

T

T

90.0°

α

β=α+θ

θ

Wf

φ

L

Wv

Ry

L

Ry

θ

q

φ

90.0°

Wv

θ

Rx

q

Rx

Wf

SOLUCION FORMAL En primer lugar encontraremos la magnitud de la tensión del cable, haciendo una sumatoria de momentos eligiendo el punto “q” como el más adecuado para hacer la sumatoria; posteriormente haremos una sumatoria de fuerzas horizontales y verticales para determinar las componentes de la fuerza de reacción en el pivote y con ellas determinar magnitud y dirección de la Fuerza de Reacción Resultante. Para la sumatoria de momentos, tomaremos como POSITIVA LA DIRECCIÓN ANTIHORARIA. 





Recuerde que el momento de torsión es un vector definido como   r x F y su magnitud se determina como   rFsen donde  , r, F son las magnitudes de los vectores respectivos y  



es el ángulo más pequeño que hay entre los vectores r y F , por tanto para determinar la 



magnitud del momento de torsión ejercido por cada fuerza, hay que colocar los vectores r y F sobre un origen común y determinar el ángulo 

FUERZA DE TENSIÓN

L

180-(β+α)

T β=α+θ

q

La tensión del cable hace torque positivo, por lo tanto se puede escribir como:

 LT sen180     

PESO DEL TIBURON

L

θ

q 90.0°

90+θ

Wf El peso del tiburón hace torque negativo, por lo tanto se puede escribir como:

 LW f sen90   

PESO DE LA BARRA

L/2 θ

q 90.0°

90+θ

Wv El peso de la barra hace torque negativo, por lo tanto se puede escribir como:

 LWv sen90   

De lo anterior finalmente podemos escribir la siguiente expresión, en donde la única incógnita es la magnitud de la tensión del cable:

 =  LT sen180       LW sen90     LWvsen90    = 0 f

Para determinar las reacciones en el pivote, deberá realizarse una sumatoria de fuerzas en dirección horizontal y vertical, por lo tanto deberemos descomponer todas las fuerzas en estas direcciones, tomaremos como positivas las direcciones derecha y hacia arriba.

Tsenα T

90.0°

α

Tcosα Wf L

Ry

Wv θ

Rx

q Quedando de la siguiente manera:



y

= Ry + TSenα – Wf – Wv =0



x

= Rx – Tcosα = 0

Ry

R Ω

Rx

Para obtener:

R  Rx  R y 2

2

y

 Ry   tan 1   Rx

  

SOLUCIONES ALTERNATIVAS Como en el caso anterior, elegimos el punto “q” como el mas adecuado para hacer sumatoria de momentos y de esta manera obtener directamente la magnitud de la tensión del cable (T). Presentamos varias maneras en las cuales se puede escribir el par de torsión ejercido por cada fuerza, en todos los casos se tomara como POSITIVA LA DIRECCION ANTIHORARIA. La magnitud del momento se escribirá como el producto de una fuerza* un brazo; la 

fuerza se grafica de color rojo, mientras que el brazo de color azul. El vector r se representa en 

color verde, mientras que el vector F será de color violeta.

PESO DE LA BARRA

90.0°

Wv se L/2

Wv θ

q L/2cosθ

L/2

90.0°

φ

Wv

θ

q

El peso de la barra hace torque negativo, por lo tanto se puede escribir como: a) – Wv*L/2Cosθ (Proyección de brazo perpendicular a fuerza) b) – WvSenφ*L/2 (Proyección de fuerza perpendicular a brazo)

nφ

PESO DEL TIBURON

90.0°

Wf se Wf φ

L

θ

q

Lcosθ

L

Wf

θ

90.0°

q

El peso del tiburón también hace torque negativo, por lo tanto se puede escribir como: a) – Wf*LCosθ (Proyección de brazo perpendicular a fuerza) b) – WfSenφ*L (Proyección de fuerza perpendicular a brazo)

nφ

TENSIÓN DEL CABLE BARRA-PARED a) Proyectando la fuerza perpendicular al brazo: +TSenβ*L Ts e

nβ

T

90.0°

β=α+θ

L

θ

q

b) Descomponiendo la fuerza en una componente horizontal y una vertical, como podrá observar, ninguna de las componentes pasa por el pivote, por lo tanto ambas hacen un momento de torsión positivo; y como siempre habrá que buscar perpendicularidad entre brazo y fuerza, por lo que los momentos resultantes serán: + TCosα*LSenθ + TSenα*LCosθ

Tsenα T

90.0°

α

Tcosα

Lsenθ

90.0°

L

θ

q

Lcosθ

90.0°

Finalmente las Expresiones podrían quedar de la siguiente manera, combinando de cualquier manera las formas (a) y (b) de las tres fuerzas: a) – Wv*L/2Cosθ (Proyección de brazo perpendicular a fuerza) b) – WvSenφ*L/2 (Proyección de fuerza perpendicular a brazo) a) – Wf*LCosθ (Proyección de brazo perpendicular a fuerza) b) – WfSenφ*L (Proyección de fuerza perpendicular a brazo) a) + TSenβ*L b) + TCosα*LSenθ + TSenα*LCosθ

 = – Wv*L/2Cosθ – Wf*LCosθ + TSenβ*L = 0  = – WvSenφ*L/2 – WfSenφ*L + TSenβ*L = 0

 = – Wv*L/2Cosθ – Wf*LCosθ + TCosα*LSenθ + TSenα*LCosθ = 0  = – WvSenφ*L/2 – WfSenφ*L + TCosα*LSenθ + TSenα*LCosθ = 0 En todos los casos la única incógnita es la magnitud de la tensión del cable. Para determinar la fuerza de reacción resultante en el pivote, se procede como lo hicimos anteriormente.

SEA UN POCO CURIOSO(a) Y VERIFIQUE QUE CON CUALQUIERA DE LAS FORMAS ANTERIORES OBTENDRA EL MISMO RESULTADO. CUALQUIER COMENTARIO Y/O INQUIETUD ME LA PUEDE HACER SABER ESCRIBIENDOME AL CORREO [email protected] o [email protected]