Problema 1 De Castro

1. Demuestra la propiedad de diferenciación compleja de la transformada de Laplace. Sabemos que la propiedad de trasformada de Laplace es: 𝑑 𝐹(𝑠) 𝑑𝑠

𝐿[𝑡𝑓(𝑡)] = −

Sabemos por definición que por definición de Laplace: ∞

𝐿[𝑡𝑓(𝑡)] = ∫ 𝑡𝑓(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 0

Pero el 𝑡𝑒 −𝑠𝑡 = −

𝑑 −𝑠𝑡 (𝑒 ) 𝑑𝑠

Reemplazando en la ecuación ∞

𝐿[𝑡𝑓(𝑡)] = − ∫ 𝑓(𝑡) 0

𝑑 −𝑠𝑡 (𝑒 )𝑑𝑡 𝑑𝑠

Para poder expresar de otra manera hacemos uso del teorema de Leibniz Teorema de Leibniz ℎ(𝑥) 𝑑 ℎ(𝑥) ∫ 𝑓(𝑡, 𝑥)𝑑𝑡 = ∫ 𝑓 ′ (𝑡, 𝑥)𝑑𝑡 + 𝑓(𝑔(𝑥), 𝑥 )𝑔′ (𝑥) − 𝑓(ℎ(𝑥), 𝑥)ℎ′(𝑥) 𝑑𝑥 𝑔(𝑥) 𝑔(𝑥)

Como en estos casos los limites no dependen de la s. Entonces: ∞

− ∫ 𝑓(𝑡) 0

𝑑 −𝑠𝑡 𝑑 ∞ (𝑒 )𝑑𝑡 = − ∫ 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑠 𝑑𝑠 0

Volvemos a aplicar la definición de Laplace y nos quedaría la siguiente ecuación: 𝐿[𝑡𝑓(𝑡)] = −

𝑑 𝐹(𝑠) 𝑑𝑠

De esta manera queda demostrada la propiedad de Diferenciación Compleja.