Problem As 9

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Problemas - Teoria Cin´ etica 1. Num g´ as ideal cl´ assico de part´ıcuals de massa m, ` a temperatura T , a distribui¸ca ˜o de Maxwell d´ aa probabilidade de se encontrar uma part´ıcula com velocidade entre v e v + dv. Sua forma ´e P (v)dv = 4π



m 2πκB T

3/2

  mv 2 dv. exp − 2κB T

(a) A partir da forma para P (v), encontre express˜ oes equivalentes para as distribui¸c˜ oes das componentes da velocidade, ou seja, P (vx ), P (vy ) e P (vz ), usando argumentos de simetria. Dica: use que P (~v )d3 v=P (vx )P (vy )P (vz )dvx dvy dvz . (b) Calcule as seguintes m´edias i. ii. iii. iv. v. vi.

hvx i hvx2 i hvy vx2 i hvx |v|2 i h(vx + bvy )2 i hvy2 vx2 i

(c) Considere apenas as mol´eculas que se movem para cima (dire¸c˜ ao z > 0, por exemplo). Mostre o valor m´edio de vz para dessas mol´eculas ´e hvz+ i = (κB T /2mπ)1/2 . (d) Calcule o valor mais prov´ avel de v, que chamamos de vm , e mostre que a fra¸ca ˜o de mol´eculas com R1 0 < vx < vm ´e 0.42. (Use que ERF(1)= 0 exp(−x2 )dx = 0.843). (e) Mostre que a fra¸ca ˜o de mol´eculas com v < vm ´e 0.427. 2. Suponha que N ´ atomos de um g´ as est˜ ao em equil´ıbrio t´ermico em um reservat´ orio de volume V a uma temperatura T . Supondo que a intera¸ca ˜o entre os ´ atomos ´e desprez´ıvel, e que seus movimentos s˜ ao descorrelacionados. (a) Mostre que a pressao ´e dada por P = 13 nmhv 2 i, onde n = N/V ´e a concentra¸c˜ ao. Dica: A press˜ ao ´e dada pelo momento transferido, por unidade de tempo, por unidade de ´ area. Assim, calcule, a quantidade de momento linear transferido num intervalo de tempo ∆t, pelas mol´eculas que colidem numa ´ area ∆A da parede do reservat´ orio, para cada dire¸ca ˜o x, y e z. (b) Use a distribui¸c˜ ao de Maxwell para calcular hv 2 i. (c) A partir dos itens acima, encontre a equa¸ca ˜o de estado do g´ as ideal cl´ assico.