Problem 6 Algebra

Problem 6: Algebra

AIME 1984 #15

Problem: Determine w2 + x2 + y 2 + z 2 if x2 22 − 1 x2 2 4 −1 x2 62 − 1 x2 82 − 1

Solution: Rewrite as

y2 22 − 32 y2 + 2 4 − 32 y2 + 2 6 − 32 y2 + 2 8 − 32 +

z2 22 − 52 z2 + 2 4 − 52 z2 + 2 6 − 52 z2 + 2 8 − 52 +

w2 22 − 72 w2 + 2 4 − 72 w2 + 2 6 − 72 w2 + 2 8 − 72 +

=1 =1 =1 =1

x2 y2 z2 w2 + + + = 1, where t = 22 , 42 , 62 , 82 t − 1 t − 32 t − 52 t − 72

So we have (x2 )(t − 9)(t − 25)(t − 49) + (y 2 )(t − 1)(t − 25)(t − 49) + (z 2 )(t − 1)(t − 9)(t − 49) + (w2 )(t − 1)(t − 9)(t − 25) = (t − 1)(t − 9)(t − 25)(t − 49) Rearranging, we have (t − 1)(t − 9)(t − 25)(t − 49) − [(x2 )(t − 9)(t − 25)(t − 49) + (y 2 )(t − 1)(t − 25)(t − 49) + (z 2 )(t − 1)(t − 9)(t − 49) + (w2 )(t − 1)(t − 9)(t − 25)] = 0 Now this equation is equivalent to (t − 4)(t − 16)(t − 36)(t − 64) = 0, since the roots of the polynomial two lines above are t = 22 , 42 , 62 , 82 , because that’s what we substituted. So (t − 1)(t − 9)(t − 25)(t − 49) − [(x2 )(t − 9)(t − 25)(t − 49) + (y 2 )(t − 1)(t − 25)(t − 49) + (z 2 )(t − 1)(t − 9)(t − 49) + (w2 )(t − 1)(t − 9)(t − 25)] = (t − 4)(t − 16)(t − 36)(t − 64). Each of the coefficients on each side for t4 , t3 , t2 , t, 1 must be the same. We will equate the t3 coefficients. They are −1 − 9 − 25 − 49 − (x2 + y 2 + z 2 + w2 ) = −4 − 16 − 36 − 64 ⇒ −84 − (x2 + y 2 + z 2 + w2 ) = −120 ⇒ x2 + y 2 + z 2 + w2 = 36

Solution was written by 1234567890 and compiled from Art of Problem Solving Forums.