Probalitati Bune

TEORIA PROBABILITATILOR

probalilitati_dificultate scazuta

1. Cum sunt următoarele evenimente intre ele: evenimentul sigur si evenimentul imposibil ?

complementare

F

2.

A

3.

Ce tip de afirmatie este: Orice eveniment elementar sau compus nu implică întodeauna evenimentul sigur.

Ce tip de afirmatie este: Într-un câmp finit de evenimente evenimentul sigur este reuniunea tuturor evenimentelor elementare.

A 4.

F 5.

A 6.

A 7.

Ce tip de afirmatie este: Într- un câmp de evenimente egal posibile probabilitatea evenimentului A este egală cu raportul dintre numărul cazurilor posibile si numărul cazurilor favorabile.

Ce tip de afirmatie este: P(0) = 1.

Ce tip de afirmatie este: P (W) = 1.

Ce tip de afirmatie este: P

A

V 1

A8.

ÈA

| = P

2

A

+ P A

1J

V 2J

- P A

V 1

nA 2J

,A , A 1 2

Î S

Ce tip de afirmatie este: Evenimentele A, B ale câmpului de probabilitate {W, S, P} sunt P independente dacă: P (A

A 9.

n

B )

=

P (A) P (B)

Ce tip de afirmatie este: N u m i m probabilitate a evenimentului A condiţionată de evenimentul B ( P (B

0)

raportul P(A\E)-

P{A n S) P{E)

10.

Ce tip de afirmaţie este: Funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare verifica următoarea - ^ ( ^ 2 ) dacax1 >x2, y^,x2 e U

proprietate:

F

11.

Ce tip de afirmaţie este: Funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare verifica următoarea proprietate: Hm F[x) = 1 p

12.

Ce tip de afirmaţie este: Funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare verifica următoarea proprietate: Hm F[x) = 1

13.

Ce tip de afirmaţie este: Fie £ o variabila aleatoare continua si fie f(x) densitatea sa de repartiţie atunci are loc:

A 14. Evenimentul care nu se poate realiza prin nici o probă a experimentului studiat se numeşte evenimentul

IMPOSIBIL

15. Evenimentul care se realizează printr-o singură probă a experimentului studiat se numeşte evenimentul .... ELEMENTAR 16.

Evenimentul care se realizează prin două sau mai multe probe a experimentului considerat se numeste evenimentul .... COMPUS

17. Evenimentul care se realizează dacă si numai dacă se realizează cel putin unul din evenimentele A sau B se numeste .... evenimentelor A sau B. REUNIUNEA 18. Evenimentul care se realizează dacă si numai dacă se realizează ambele evenimente A sau B se numeste .... evenimentelor A sau B. I N T E R S E S C T I A 19. Evenimentele A si B care nu se pot realiza simultan sunt evenimente ... 20.

INCOMPATIBILE

Alegerea unei piese corespunzătoare sau necorespunzătoare standardului dintr-un lot de piese reprezintă evenimentul ... al experientei. SIGUR

21. Aparitia fetei 7 la aruncarea cu zarul (cu fete numerotate de la 1 la 6) reprezintă un eveniment ...

22.

IMPOSIBIL

Variabila aleatoare care inregistreaza numarul produselor defecte dintr-un lot analizat se numeste variabila aleatoare.... DISCRETA

23. Daca gsi

¡7

sunt doua variabile aleatoare pentru care : P[g= x ,

atunci spunem ca

x

r? sunt variabile aleatoare...

7

=y ) = m

INDEPENDENTE

x )-?(s7 H

=y ) m

A

24.

A 25.

A 26.

A

27.

28.

Ce tip de afirmatie este: Fiecare realizare a unui experiment se numeste proba.

Ce tip de afirmatie este: Rezultatul unei probe se numeste eveniment.

Ce tip de afirmatie este: Evenimentul care apare sau se realizează prin orice probă a experimentului studiat se numeste evenimentul sigur.

Ce tip de afirmatie este: Aparitia unei fete la aruncarea cu zarul reprezintă un eveniment sigur.

Ce tip de afirmatie este: Apariţia unui număr par la aruncarea cu zarul reprezintă un eveniment elementar. p

Probabilitatidificultate medie 1. Fie X, Y doua variabile aleatoare. Determinati M(Z), unde Z=X+2Y, stiind ca M(X)=5, M(Y)=3. 11 2. Fie X, Y doua variabile aleatoare. Determinati M(Z), unde Z=2X+3Y, stiind ca M(X)=2, M(Y)=6. 22

3.

Fie X variabila aleatoare următoare X=

4

x-.

ö

Determinati x-¡,p-¡ stiind ca M(X)=8.

p,j

0,3

^0,5

c. ^ = 2 1 ^ = 0,2 4.

Fie X variabila aleatoare următoare X=

2

3

x?

0,2

P l

Determinati x ,p 3

[0,4

stiind ca M(XÌ=11,4.

3

\

I i 3 = 25,^ = 0,4 5.

Fie X variabila aleatoare următoare

Determinati Pi,p ,Pi 2

stund ca

M(X) = 0,IM(X2) = 0,9.

6.

Fie X variabila aleatoare următoare X=

*1

x

2

• • •

X

x

Stiind ca m, M reprezinta valoarea

[Pi P2 minima posibila, respectiv valoarea maxima posibila pe care le poate lua variabila aleatoare X, stabiliti dacă a. m<M(X)<M: 10.

Fie X, Y doua variabile aleatoare, independente. Determinati D2(Z), unde Z=3X+2Y, stiind ca D2{X) = î,D2{Y) = 6 ( g ^

2

11. Fie X, Y doua variabile aleatoare, independente. Determinaţi D (Z), unde Z = 2 X + 3 Y , ştiind ca

D2{T) = 5,D2{r) = 6 - 4 13.

(x2 >^iX ştiind ca M{X) = 1 , 4 ; D ( J ^ = 0,24,

Fie X variabila aleatoare următoare X=

1

atunci completati repartiţia lui X. 14.

o. e

2 0.4

Fie X o variabila aleatoare, stabiliti daca ( unde x^x^ sunt doua valori posibile ale variabilei aleatoare X) este adevarata

15.

Fie X o variabila aleatoare, ce ia valoarea minima a si valoarea maxima b, atunci

16.

Fie X, Y doua variabile aleatoare independente, ( unde m = M{X),n = M(7))atunci D

A

(_XY) = D^(_X)D (_Y) +^D\X) +

+m2D2(_Y) +!2

J n2

D\Y) unde a este

17. Utilizand inegalitatea lui Cebisev stabiliti o margine inferioara abaterea medie patratica a variabilei aleatoare X .

18. Utilizand inegalitatea lui Cebisev stabiliti o margine i n f e r i o a r a P [ \ X - M { X ) | < 0,2), stiind ca D2{X)

19.

=

0,004.

Ştiind ca p[\X- M{X) \ < ej > 0,9 si D2 {X) = 0,009, utilizaţi inegalitatea lui Cebisev si stabiliţi valoarea lui 8.

c

£" = O, 3

20. Fie X variabila aleatoare următoare X P[\X-M{X) \

utilizand inegalitatea lui Cebisev estimati

2 1 . Fie X variabila aleatoare u r m ă t o a r e ^ p[\X-M{X)\

22.

<

utilizând inegalitatea lui Cebisev estimati

Fie doua variabilele aleatoare X si Y având repartiţiile X=

Fie repartitia variabilei bidimensionale urmatoare I Y/X I 3 I 10 I 12 I

£ -$kf] >0.909

[\x-M(JO \

,JuĂJ

Gasiti repartiţia variabilei aleatoare Z = X+ Y 23.

>0.64

<0,2)

10

12

,0,4

0,1

16

0,5,

1 , 0,2

2

0,8,

4 0,17 0,13 0,25 5 0,10 0,30 0,05 aflaţi distribuţia variabilei aleatoare X, respectiv distribuţia variabilei aleatoare Y.

24.

Fie repartiţia variabilei bidimensionale următoare , xl = 2 x2 = 5 xi = S Y/X y2 = o,

0,15

0,30

0,35

0,05

0,12

0,03

aflaţi repartiţia lui X condiţionata de evenimentul ( F = 0,4)

25.

Fie repartiţia variabilei bidimensionale următoare xl = 2 x2 = 5 X?, = 8 Y/X yi = o,

0,15

0,30

0,35

y 2 = o,

0,05

0,12

0,03

d

aflaţi repartiţia lui Y condiţionata de evenimentul (_X= 5)

26.

a, sinx,

xza • < x 1= n

1,

O variabila aleatoare continua X are funcţia de densitatea de repartiţie J[x) =

A

Determinati funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare continue X

j—

27.

O variabila aleatoare continua X are funcţia de densitatea de repartiţie

Determinati funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare continue X o. *
1, 28.

x>2.

O variabila aleatoare continua X are funcţia de densitatea de repartiţie J[x)

Determinati functia de repartitie a variabilei aleatoare continue X

29.

O variabila aleatoare continua X are funcţia de densitatea de repartiţie J[x) =

Determinati media variabilei aleatoare continue X .

d

30.

O variabila aleatoare continua X are funcţia de densitatea de repartiţie J[x)

Determinaţi media variabilei aleatoare continue X .

31.

2

b.

AtfţJQ

O variabila aleatoare continua X are functia de repartitie

Determinati functia densitate de repartitie a variabilei aleatoare continue X

o, X

32.

O variabila aleatoare continua X are functia de repartitie F[x)

—

A' 1,

* <0

0

<x<4 x>4

Determinati media variabilei aleatoare continue X .

33.

O variabila aleatoare continua X are functia de repartitie

Determinati dispersia variabilei aleatoare continue X .

34.

Fie X variabila aleatoare următoare X=

atunci aflati media lui X.

M(X)=2,2

35.

Fie X variabila aleatoare urmatoare

36.

Fie X variabila aleatoare următoare X=

2 M

37.

38.

2

Fie X variabila aleatoare următoare X=

2

Fie X variabila aleatoare următoare X= M

39.

2

Fie X variabila aleatoare următoare X=

^0,3 40.

2

X.

atunci aflati media lui

2

Fie X variabila aleatoare următoare X= M

3

5

0,4

0,5

4

7

0,2

0,3

3

5

0,4

0,5

4

5

0,6

0,1

3

5

0,4

0,5

4

5

0,6

0,1

4

5

0,6

0,1

3

5

0,4

0,5

M(X)=3 9 9

Determinati M(X)

Determinati ^ x )

Determinati F{x)

Determinati

Determinati

M(X)

MjXjH^S

2

M[X J

3

Jvl

(y^

^) = 1<5,5

{

41.

42.

Fie X variabila aleatoare următoare X=

Fie X variabila aleatoare următoare X=

2

2 ^0,3

43.

Fie X variabila aleatoare următoare X=

2

2

Determinati M ( x )

Determinati

D(X2)

3

O variabila aleatoare continua X are funcţia de repartiţie F[x) =

1 1 i - + — arcsin-, 2 jt 2 1,

determinati P{-1 < X < 1)

1 flt-i
M[X^=13,3

b.

Determinati M(x ^) a. 0,

44.

b.

3

M["X "]=74,1 x <-2

—2 <

<2

X>2

45.

O variabila aleatoare continua X are funcţia de repartiţie F[x)

0,

x<-l

3 3 -x+ 4 4

-l <x< determinati x> 3

0,

46.

O variabila aleatoare continua X are funcţia de repartiţie F[x) =

0,5x-l,

x<-l 2<x<4

determinati

x>4

P{X<3)

P(X<3)=0,5

47. Evenimentul care se realizează dacă si numai dacă nu se realizează evenimentul A se numeşte .... (oale M I N i m U l e

48.

a. (Evenimentul contrar lui A) b.(Evenimentul complementar lui A) c.(evenimentul opus lui A) Două evenimente elementare distincte sunt

49.

H

H'oi 11]); llil

Se extrage o bilă dintr-o urnă având următorul continut: două bile albe, cinci bile negre, zece bile verzi. Considerăm evenimentul E\ bila extrasă este albă. Să se scrie evenimentul contrar.

iii

ÎT*

E

va fi: b i l a e x r r a t â nu e^te a l b a :

1 50. într-un sistem de comunicabil se transmit trei mesaje. Considerăm evenimentul E\: cele trei mesaje se înregistrează corect. Să se scrie evenimentul contrar. nici o VilNinilll 51. Intr-un centru de calcul sunt 6 computere si 4 calculatoare de buzunar. Probabilitatea ca un computer să se defecteze este de 0,05, iar pentru un calculator este de 0,2. Un student alege la intamplare un instrument de calcul. Care este probabilitatea ca instrumentul de calcul ales sa functioneze? 0,89 52.

Intr-o cutie sunt 12 piese de la firma 1, 20 de piese de la firma 2 si 18 piese de la firma 3. probabilitatea ca piesa de la firma 1 sa fie corespunzatoare este de 0,9; probabilitatea ca piesa de la firma 2 sa fie corespunzatoare este de 0,6; probabilitatea ca piesa de la firma 3 sa fie corespunzatoare este de 0,9. Se extrage o piesa la intamplare. Determinaţi probabilitatea ca piesa extrasa sa fie corespunzatoare? 0 78

53. Fie doua ume Uv U2 având următoare compoziţie: urna Ul conţine 10 bile, din care 8 bile sunt albe; urna U2 conţine 20 bile, din care 4 bile sunt albe. Se extrage o bila la intamplare din cele doua urne. Care este probabilitatea ca bila extrasa sa fie alba? 0,5 54.

12 aparate de acelasi tip sunt in exploatare. Stiim ca 3 aparate provin de la fabrica 1, 4 aparate provin de la fabrica 1, 5 aparate provin de la fabrica 3. Probabilitatea ca un aparat de la fabrica 1 sa functioneze este de 0,9; probabilitatea ca un aparat de la fabrica 2 sa functioneze este de 0,8; probabilitatea ca un aparat de la fabrica 3 sa functioneze este de 0,75. Aparatele sunt supuse unri probe de verificare. Se alege la intamplare un aparat. Care este probabilitatea ca aparatul ales sa treaca proba de verificare? ~0,804

55.

12 aparate de acelasi tip sunt in exploatare. Stiim ca 3 aparate provin de la fabrica 1, 4 aparate provin de la fabrica 1, 5 aparate provin de la fabrica 3. Probabilitatea ca un aparat de la fabrica 1 sa functioneze este de 0,9; probabilitatea ca un aparat de la fabrica 2 sa functioneze este de 0,8; probabilitatea ca un aparat de la fabrica 3 sa functioneze este de 0,75. Aparatele sunt supuse unri probe de verificare. Se alege la intamplare un aparat, care trece proba de verificare. Care este probabilitatea ca aparatul ales sa provina de la cea de a doua fabrica? ~0,391

probabilitati-dificultate ridicata

1.

Fie repartiţia variabilei aleatoare £.

2.

Fie ^ si

e /, atunci determinaţi următoarea valoare 2j Pi •

doua variabile aleatoare cu următoarele repartiţii:

atunci repartitia variabilei aleatoare

Pij

=

p

= ^ } r ì {ffl|j7(o) = j } J ™ 2 p

x

{i+ V = i+yj) = P\

;

i J

A

= î

.fi-

atanti este adevărat ca

=

? A

3.

Fie repartitia variabilei aleatoare

4.

Fie repartitia variabilei aleatoare

5.

Fie (si î] doua variabile discrete pentru care exista M[ (] siM[ 57] atunci determinati media lui 4-n¬

b.

i = \,n atunci este adevărat ca M[ (] =

M[ţ+rj\=M[ţ\+irf{7i\

?

A

1

6.

Mc^ A 7.

si fie c o constanta reala, atunci determinaţi media

Fie £ o variabila aleatoare pentru care exista M[ ^ [ c -

4] =C-M\ g] ss M

Fie Çsi rj doua variabile discrete pentru care exista

atunci este adevărat ca

•M 7]

A 8.

Fie £si ¡7 doua variabile discrete independente pentru care exista M[

s i M [ 57] atunci

M[^. ]=M[^].M[ ]? 7

A. 9.

7

variabilei aleatoare £ este M f A. 10.

atunci momentul de ordin r al

Fie £, o variabila aleatoare si fie r un număr narural, daca exista My f =2*^jt?

Momentul absolut de ordin r, r e N, pentru o variabila aleatoare £ este M\ | £|

?

A

11-

Fie £ o variabila aleatoare atunci momentul centrat de ordin r, r e N, este M ( £ - M [

A

12.

Dispersia unei variabile aleataore £ este momentul centrat de ordin 2 al variabilei aleatoare

A

13.

Fie £ o variabila aleatoare atunci D [ 4] = M £

A14. A

2

Daca ¡7 = 12 •

15.

- [ M(

2

] ?

a s i b constante reale, atunci D[ 9] = |a| • D[

Fie n variabile aleatoare {^^j

_independente doua cate doua si (c^J Jt- 1,K

D

2
16.

A 17.

_constante reale, atunci Jt- 1,K

&

Jt— 1

A

?

jt— 1

Fie 4 o variabila aleatoare atunci Py |

M[

| > fJ < —— ?

Este funcţie de repartiţie a unei variabile aleatoare £ următoarea funcţie F(Jt)

= P(|#|£(«)< JJ, " g

A 18. Fie variabila aleatoare discreta

A 19. Fie repartitia variabilei aleatoare

M})

?

atunci M(X)=-0,3 si opT) = 3,9?

atunci funcţia de repartiţie este F[x) =

px?

, 20.

Fie ë, o variabila aleatoare a cărui funcţie de repartiţie este F(x) si fie a si b doua constante reale astfel incat a
2\.

Fie £ o variabila aleatoare continua si fie f(x) densitatea sa de repartiţie atunci funcţia de repartiţie F(x) este data de F{x) = f

J[u) dui

-GO

22.

Fie ( o variabila aleatoare continua si fie f(x) densitatea sa de repartiţie atunci f[x) e l ?

23.

Fie ( o variabila aleatoare continua si fie f(x) densitatea sa de repartiţie atunci o

0, d a c a * < 0 s a u * > 24.

Variabila aleatoare X are următoarea densitate: f[x) =

atunci mediana smx, daca 0 < x < — 2

variabilei aleatoare X este — ?

jumătate

25. Variabila aleatoare X are următoarea densitate: f[x) =

0, dacax < 0 saux > 1

atunci media

2x, daca 0 < x < 1 variabilei aleatoare X este 0? 0, dacax < 0 saux > 2 26.

Variabila aleatoare X are următoarea densitate: f[x) =

1 - x, daca 0 < x < 2 2

atunci media

variabilei aleatoare X este 0? 0, dacax < 0 saux > k 27.

Variabila aleatoare X are următoarea densitate: f[x) =

x

atunci

2

M[X '^

- sinx, daca 0 < x < x este 0? 0, dacax < 0 saux > n jT 28.

Variabila aleatoare X are următoarea densitate: f[x) =

! atunci D 2 ( Z ) = 0 ? - sin*, daca 0 < x < x 2

0, d a c a * < 0 saux > 29.

atunci M[XA 1=0?

Variabila aleatoare X are următoarea densitate: f[x) = cosx, daca 0 < x <

fl

Fie X o variabila aleatoare pentru care M(X)=3 siM(Xi) = pentru P(-l < X < 7 ) = 0 ? 3/4

30.

. Determinati o margine inferioara

31. Se dau 52 de bile din care 4 sunt albe. Cele 52 de bile se impart in patru grupe egale. Se cere sa se determine probabilitatea ca in fiecare grupa sa se găsească o bila alba. b. ai ea 32.

O urna conţine cinci bile albe si doua bile negre, alta patru bile albe si trei bile negre si o a treia sase bile albe si patru bile negre. Se extrage cate o bila din fiecare urna. Se cere probabilitatea ca doua bile sa fie albe si una neagra. 33.

Fie variabila X cu densitatea normal redusa: fjx) ••

1

Sa se calculeze densitatea de

repartitie a variabilei Y=3|X| 34.

Fie X o variabila aleatoare cu distribuţia uniforma in intervalul (0,1). Sa se calculeze densitatea de repartiţie a variabilei Y= In

1

b

0,

< 0

35. Fie £ o variabila aleatoare continua pentru care exista momentele centrate de ordin 2 si 3 atunci b precizaţi formula pentru asimetria (4) 36.

Fie £ o variabila aleatoare continua pentru care exista momentele centrate de ordin 2 ,3 si 4 atunci precizaţi formula pentru exces.

37. Se da funcţia

s

+s

-2x

1. Care este valoarea constantei a astfel incat f(x) sa fie densitate de repartitie ? 2. Determinaţi forma funcţiei de repartitie corespunzatoare 2 , / , v -arclg{s ) \ 1 1 s 3. Calculaţi P

38. Variabila aleatoare X are următoarea densitate de repartitie: 0,

4 ' 1,

x<-2

-2<x<2

1. 2.

2)0 3)4/3 4)4/3 5)1/2

3. 4. 5.

39. Intr-o loterie cu 100 de bilete exista 3 bilete câştigătoare. Un jucător a cumpărat 40 de bilete. 1.

Care este probabilitatea ca el sa câştige cu un singur bilet?

2.

Care este probabilitatea ca el sa câştige cu do ua bilete?

k-

^B

— i ,i\ 3.

Care este probabilitatea ca el sa câştige cu cel puţin un bilet?

40. Fie funcţia f(x,y) = kx(x + y), 0 < x < 1, 0
Sa se determine constanta k astfel incat f sa fie o densitate de repartitie

1) 12/7

2. Sa se determine repartiţia marginala a variabilei X 3. Sa se determine repartiţia marginala a variabilei Y 41. Vectorul (X,Y) are densitatea de repartiţie f{x,y) =


înrest 1. sa se calculeze P(X>l/2) 5/6 2. sa se calculeze P(Y<X) 7/24 3.sa se calculeze P(Y<1/2|X<1/2) 5/32 42. Fie (£ rf) un vector pentru care avem P((=x, Î? = y) =

1

1 • ~ • Aflaţi daca componentele acestui

vector sunt variabile aleatoare independente. 43. Se dau urmatoarele variabile aleatoare discrete: -1

1

1

2

,3

-0

1

1

3

si rj:

3 ,

.4

Se stie ca : P[( = - l , Î?= o) = -.

4 ,

Determinati valoarea: -P( £ = - 1 , Î? = 1 ). 44.

Se dau urmatoarele variabile aleatoare discrete: -1

1

1

2

,3

-0

1

1

3

si J?:

3 ,

.4

Se stie ca: P[(= - l, /= O) = -. Sa se afle următoarea valoare: M(£>7).

4 ,

45. Se dau urmatoarele variabile aleatoare discrete: -1

1

1

2

,3

-0

1

1

3

si ÎJ:

.4

Z ,

Se cunoaşte următoarea probabilitate: P^(= - l, J? = O) = —. Sa se afle

4 ,

coeficientul de corelaţie: p{jţ, ifj. 4 6 . Fie £ si 57 variabile aleatoare independente pentru care stim ca M(£)=-2, M ( Î 7 ) = 4 , D ( 2

= 4,

2

- D ( Î?) = 9, p( £ Î?) = -0,5.Determinati valoarea covariantei cov( £ 57)

47.

Fie ( si Î? variabile aleatoare independente pentru care stim ca M(£)=-2, M ( Î ? ) = 4 , ^ (

=

5

î ?

'

£ )

=

- 0

5

' -Determinati valoarea mediei M^-fjj

4 8 . Determinati densitatea de repartiţie marginala a variabilei aleatoare ( daca stim ca /[fj) = ^

^

i

e

( a » > e ( 0 , c O ) s i / i ? ( y ) = ^ ( l + y ) ^ y e (o,co).

(

= 4,

49.

Densitatea de repartitie a vectorului ( £ r/j este de forma: c(jr + y ) , 0
Determinati valoarea constantei c.

înrest 50.

Densitatea de repartitie a vectorului ( 4 î?)este de forma: 2{x

+

y),0
fey)

Determinati densitatea repartiţiei marginale a variabilei ¡7.

înrest 51.

Densitatea de repartitie a vectorului ( £ 7) este de forma: 2 ( * + y ) , 0 < j <x < 1 fey)

0,

Determinati densitatea repartiţiei marginale a variabilei 4.

înrest

52. Fie densitatea de repartitie a variabilei aleatoare bidimensionale^, r/j :

4 * 3 0 =

2 ^ * + y , 0 < * < 1 , 0
in rest

53. Fie densitatea de repartitie a variabilei aleatoare bidimensionale( 4> v) '•

fey)

=

-> xy x + — ,0 <x <\,0
înrest

„ , , . Sa se calculeze Pn

(>

-2