Probabilidad

UNIVERSIDAD CATÓLICA SANTO TORIBIO DE MOGROVEJO ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIÓN ASIGNATURA: ESTADÍSTICA APLICADA PROFESORA: JESSICA OLIVA GASTULO

TEMA : PROBABILIDAD INTRODUCCIÓN. Como ya se ha visto, la Estadística es una Ciencia con la que se pretende buscar las regularidades existentes en el comportamiento de los datos. Sabemos que la Estadística se puede clasificar en dos grandes bloques: Estadística Descriptiva e Inferencia Estadística. Con el primero lo que se hace es dar un conjunto de métodos y herramientas que permiten estudiar esas regularidades cuando lo que observamos es toda la población. Es decir admitimos que es posible realizar esa operación de recuento exhaustivo. En tal caso lo que realizamos con la estadística es estudiar, describir, el comportamiento de una variable determinada. Esa observación exhaustiva nos permite realizar afirmaciones “categóricas” sobre las distintas características de la variable, tales como cual es su media, su dispersión, la forma de la distribución, etc. Pero esa posibilidad de observación exhaustiva no siempre es posible. En la gran mayoría de los casos nos vemos limitados a realizar una observación parcial de la variable. Con ese conjunto limitado de datos intentaremos conocer las características de toda la población, es decir, intentaremos inferir su comportamiento. Así una empresa antes de lanzar un nuevo producto estará interesada en conocer cual puede ser su cuota de mercado, para lo cual realizará un sondeo de opinión entre algunos de sus potenciales clientes. Pero el resultado de ese sondeo, basado en una muestra (observación parcial), no le permite concluir cual será su verdadera cuota de mercado. La decisión que tome respecto a ese producto estará marcada por un cierto grado de incertidumbre. Pero que duda cabe que, en esas situaciones, nuestras afirmaciones ya no pueden ser “categóricas” y las decisiones que se tomen puede que no sean las más acertadas como consecuencia de la información no contenida en la muestra. Más bien al contrario debemos admitir que nuestras conclusiones están sujetas a un margen de incertidumbre que es la consecuencia de nuestra observación parcial de la realidad. Ante tales circunstancias nuestro objetivo será doble: por un lado estudiar el comportamiento de la variable y de otro reducir en la medida de lo posible ese margen de incertidumbre o, al menos, intentar cuantificar esa falta de certeza en relación a las características de las variables. Una forma de cuantificar esa incertidumbre es haciendo uso del concepto de probabilidad. De hecho la probabilidad es un concepto con el que convivimos de forma diaria, incluso sin percatarnos de él. Cada vez que hacemos uso de las expresiones quizás, tal vez, es probable, puede que, etc. estamos implícitamente hablando en términos probabilísticos. La incertidumbre es una acompañante inseparable de todas las ciencias sociales e incluso de las físicas como señaló Heisenberg con el enunciado del principio de incertidumbre de la mecánica cuántica. La afición al juego fue lo que impulsó el desarrollo de la probabilidad. En un esfuerzo por aumentar sus ganancias pidieron a los matemáticos que les proporcionaran las estrategias óptimas para varios juegos de azar. Como resultado de este primer desarrollo de la teoría de la probabilidad, se extiende junto con la estadística a muchos campos, como la política, los negocios, la predicción del clima, y la investigación científica. Las probabilidades son de gran importancia en la estadística. Para iniciar el estudio de las probabilidades es necesario definir una serie de términos básicos para su mejor comprensión. Experimento Determinístico: Es aquel experimento en el que es posible predecir el resultado final de ese proceso aun sin haberlo realizado. Ej. Cuando los químicos combinan oxigeno más hidrógeno el resultado

es agua; este experimento no es necesario realizarlo para conocer el resultado. Experimento aleatorio: Es todo proceso que consiste de la ejecución de un acto (o prueba) uno o más veces, cuyo resultado en cada prueba depende del azar y en consecuencia no se puede predecir con certeza. Ejemplo: lanzar un dado y observar su resultado, contar objetos defectuosos producidos diariamente por cierto proceso, etc. Espacio muestral: se denomina espacio muestral al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento dado. Este conjunto se denotara por Ω. Cada resultado posible de un experimento aleatorio es un elemento del espacio muestral, que se le conoce como punto muestral. Ejemplo:








Experimento aleatorio: lanzar un dado y observar el resultado obtenido: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Experimento aleatorio: lanzar una moneda dos veces: Ω = {CC, CS, SC, SS}. Experimento aleatorio: lanzar una moneda tres veces: Ω = {CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, CSS}. Experimento aleatorio: tomar un examen: Ω = {aprobar, desaprobar} Experimento aleatorio: seleccionar un alumno de acuerdo a su rendimiento académico Ω = {sobresaliente, bueno, regular, malo}

Evento o suceso: Es cada resultado del experimento aleatorio o una combinación de resultados. También se dice que es un subconjunto del espacio muestral. Los eventos se denotan por letras mayúsculas: Ejemplos:




Experimento Aleatorio: se hace rodar un dado y se observa el número que aparece en la cara superior. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Evento: A: obtener un número par A = {2, 4, 6}




Experimento aleatorio: lanzar una moneda dos veces: Ω = {CC, CS, SC, SS}. Evento: B: obtener dos caras B = {CC}




Experimento aleatorio: arrojar una moneda cuatro veces y contar el número de sellos obtenidos Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Evento: C: Obtener más de dos sellos C = {3, 4}




Experimento aleatorio: lanzar dos dados y se observa los puntos obtenidos Ω = { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} Evento: D: obtener la suma de puntos igual o mayor que 10 Ω = {(4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6)} Evento: E: el número del primer dado sea mayor que el segundo Ω = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3) (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5)}

Eventos Mutuamente Excluyentes: Son aquellos eventos que no pueden ocurrir simultáneamente al realizar una sola vez un experimento. Se dice que dos eventos A y B son mutuamente excluyentes si y solo si, su intersección es el conjunto vacío, es decir A∩B = Ø. Ej. El resultado obtenido al lanzar un dado, si sale una cara con un 3, no puede salir otro número en este mismo lanzamiento.

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Eventos Dependientes: Son aquellos sucesos en los que el conocimiento de la verificación de uno de ellos altera la probabilidad de verificación del otro. Se dice que dos o más eventos son dependientes si la ocurrencia de uno cualquiera de ellos afecta la probabilidad de la ocurrencia de alguno de los otros eventos. Ej. Consideremos la probabilidad de obtener 2 cartas de basto al sacar sucesivamente 2 cartas de una baraja de 40 cartas. Al sacar la primera carta la probabilidad de obtener basto es de 10/40 y al no sustituirla quedaran en el paquete 39 cartas de las cuales 9 son de basto, en la segunda extracción la probabilidad de obtener basto es de 9/39, en este caso la segunda extracción depende de la primera que tenía como probabilidad 10/40 y la segunda extracción tendrá ahora 9/39 como se puede observar la probabilidad de la segunda extracción es afectada por la primera. Eventos Independientes: Se dice que dos ó más eventos son independientes si la ocurrencia de uno cualquiera de ellos no afecta la probabilidad de la ocurrencia de ninguno de los otros sucesos. Ej. El evento de obtener simultáneamente un 2 al lanzar un dado y sello al tirar una moneda, esta compuesto de 2 sucesos independientes, puesto que la ocurrencia de un 2 en el dado no afecta la probabilidad de la aparición de sello en la moneda y viceversa. Eventos complementarios: Dos eventos A y Ā son complementarios si y solo si, se cumple que: P(A) + P(Ā) = P(Ω), es decir, son eventos mutuamente excluyentes y su unión es el espacio muestral, entonces tenemos, P(A) + P(Ā) = P(S), pero P(Ω) = 1, entonces, P(A)+ P(Ā) = 1



P(A) = 1- P(Ā), donde

P(Ā), se lee probabilidad de A complemento.

Eventos no Mutuamente Excluyentes.- Son aquellos eventos que pueden verificarse simultáneamente. A estos eventos también se les llaman Sucesos Compatibles. REGLAS DE CONTEO La capacidad de identificar y contar los puntos muestrales de un experimento es un paso importante para comprender lo que puede suceder en él. Veamos un experimento que consiste en lanzar dos monedas, donde los resultados experimentales se definen en función de comportamiento de casa y sellos que dan hacia arriba de las monedas. ¿Cuántos resultados experimentales (o puntos muestrales) son posibles en este experimento? Podemos considerar que el experimento de lanzar dos monedas se lleva a cabo en dos etapas: la etapa 1 corresponde a lanzar la primera moneda, y la etapa 2 a lanzar la segunda. El diagrama de árbol es un dispositivo gráfico útil para visualizar un experimento de varias etapas y enumerar los resultados experimentales. C CC C S CS C

SC

S S SS Se observa que hay cuatro resultados experimentales del hecho de lanzar dos monedas, y el espacio muestral del mismo se puede presentar mediante: Ω = {CC, CS, SC, SS}. Regla de conteo para experimentos de etapas múltiples: Una regla útil para determinar la cantidad de puntos muestrales para un experimento de varias etapas es la siguiente: Si un experimento se puede describir como una sucesión de k etapas, en las que hay n1 resultados en la primera etapa, n2 en la segunda, etc., la cantidad total de resultados experimentales es igual a (n1)(n2)…(nk). Esto es, la cantidad de resultados del experimento total es el producto de las cantidades de resultados en cada etapa.

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Regla de conteo para combinaciones: La cantidad de combinaciones de N objetos tomando n a la vez es:

C nN =

N! n!( N − n)!

Ejercicios: 1. Un experimento consiste en hacer tres llamadas de venta. En cada una habrá compra o no compra. a. Trace un diagrama de árbol de este experimento. b. Identifique cada punto muestral y el espacio muestral. ¿cuántos puntos muestrales hay? c. ¿Cuántos puntos muestrales habría si el experimento consistiera en cuatro llamadas? 2. En la ciudad de Milford, las aplicaciones de cambio de zonificación siguen un proceso de dos etapas: una revisión por la comisión de planeación, y una decisión final por el consejo ciudadano. En el paso 1 la comisión de planeación revisa la petición de cambio de zonificación y emite una recomendación positiva o negativa acerca del cambio. En el paso 2 en consejo ciudadano revisa la recomendación de la comisión de planeación y vota aprobándola o rechazándola. En algunos casos el voto del consejo ciudadano concordó con la recomendación de dicha comisión. El constructor de un complejo de viviendas acaba de presentar una solicitud de cambio de zonificación. Considere que el procesamiento de la solicitud es un experimento. a. ¿Cuántos puntos muestrales hay para este experimento? Haga una lista de ellos. b. Trace un diagrama de árbol de este experimento. 3. Un experimento consiste en seleccionar al azar 4 alumnos y conocer si practican deporte o no. a. ¿Cuántos puntos muestrales hay para este experimento? Haga una lista de ellos. b. Trace un diagrama de árbol de este experimento. 4. Un inversionista que revisa el desempeño de seis acciones seleccionará dos de ellas para invertir ¿Cuántas combinaciones alternativas de dos acciones debe tomar en cuenta el inversionista. 5. Pérez y Compañía formará un comité de planeación a largo plazo, con el encargo de desarrollar un plan quinquenal estratégico para que la empresa ingrese al mercado de un nuevo producto. El presidente ha identificado a siete gerentes capaces como candidatos para el comité. ¿De cuántas maneras se puede formar el comité de tres miembros? 6. Un inspector de control de calidad eligió una pieza fabricada para probarla. Posteriormente se establece si la parte se acepta, se repara, o se desecha. Después se prueba otra. Mencione todos los posibles resultados de este experimento. 7. Un joven tiene cuatro camisas de los siguientes colores: roja (R), blanca (B), negra (N) y verde(V),también posee dos pantalones, gris(G) y azul (A). a. Trace un diagrama de árbol de este experimento. b. ¿De cuántas maneras pueden combinarse los pantalones con las camisas o viceversa? 8. Un restaurante de la localidad ofrece un menú de tres componentes: 1.- Aperitivo: Sopa (S), o Ensalada(E). 2.- Plato Principal: Bisté (B), Carite (C), o Pavo (P). 3.- Postre:Torta (T), o Helado (H). Construya un diagrama de árbol, indicando el número posible de comidas completas (aperitivo, plato principal y postre) que se pueden consumir. OPERACIONES CON EVENTOS Los eventos o sucesos son conjuntos, en consecuencia se pueden combinar eventos para formar nuevos eventos, para el efecto se realizan diferentes operaciones con conjuntos. i.

A∪B (A unión B), es el evento que ocurre si y sólo si A o B o ambos ocurren

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ii. A∩B (A intersección B), es el evento que ocurre si y sólo si A y B suceden simultáneamente iii. A´ (Complemento de A), es el evento que ocurre si y sólo si A no ocurre.

A∪B

A∩B

A´

Ejemplo: En el experimento de lanzar dos monedas y un dado Ω = {CC1, CC2, CC3, CC4, CC5, CC6, CS1, CS2, CS3, CS4, CS5, CS6, SC1, SC2, SC3, SC4, SC5, SC6, SS1, SS2, SS3, SS4, SS5, SS6} Se define los siguientes eventos: F = {que aparezca dos caras y un número par } G = {que aparezca un dos} Es decir: F = {CC2, CC4, CC6} G = {CC2, CS2, SC2, SS2} Ahora podemos definir: a) F y G sucedan, es decir F∩G = {CC2 } b) Sucede F ó G , es decir F∪G = {CC2, CS2, SC2, SS2, CC4, CC6} c) Que no ocurra F, es decir F´ (elementos que no pertenecen a F) F´ = {CC1, CC3, CC5, CS1, CS2, CS3, CS4, CS5, CS6, SC1, SC2 SC3, SC4, SC5, SC6, SS1, SS2, SS3, SS4, SS5, SS6 } PROBABILIDAD DE UN EVENTO Diariamente se escuchan afirmaciones que llevan implícito el concepto de probabilidad como por ejemplo los pronósticos del tiempo que indican las probabilidades de lluvia; los galenos indican la probabilidad que tiene un enfermo de curarse si realiza al pie de la letra sus tratamientos farmacológicos, los docentes especulan sobre las posibilidades de éxito del estudiantado si dedican más tiempo al estudio, las compañías encuestadoras predicen las oportunidades que tienen los políticos de ganar una elección determinada, etc. La Teoría de la Probabilidad es una rama de las matemáticas que se encarga de los eventos que se realizan al azar o fenómenos aleatorios, como a menudo se les denominan. Se define la probabilidad como un número comprendido entre 0 y 1, que se le asigna a un evento para señalar su posibilidad de ocurrencia. Por lo general las probabilidades se expresan en porcentajes, también se pueden expresar con números decimales. Es una condición de esta cátedra que siempre sé resuelvan las fracciones con que se expresan las probabilidades de un problema dado; los resultados de esos cocientes deben tener por lo menos 4 decimales y el mismo se representa en porcentaje. La probabilidad de cualquier evento se representa con la letra P. Se le asigna la probabilidad de 1 al evento que con certeza ocurrirá y se le asigna la probabilidad de 0 a un suceso que no puede ocurrir; se le asigna una probabilidad de 0.5 a un fenómeno que tenga la misma posibilidad de suceder o de no suceder. Se le asigna una probabilidad 0 ≤ P ≤ 0.5, a un fenómeno que tenga más posibilidades de no suceder que de suceder; y se le asigna una probabilidad 0.5 < P ≤ 1 a un evento que tenga más posibilidades de suceder que de no suceder.

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La probabilidad es una característica que interviene en todos los trabajos experimentales. Es necesario obtener un procedimiento lógicamente sólido para que dichos enunciados tengan validez científica. En otras palabras, en virtud de que la probabilidad en definitiva, es un cuantificador o medida de la posibilidad de ocurrencia de un suceso al que se le asocia un grado de incertidumbre, se debe estudiar la forma en que esta medida puede ser obtenida. Sea Ω el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. La probabilidad de cualquier evento A de Ω, es el número real P(A) que satisface los siguientes axiomas de probabilidad: a. 0 ≤ P(A) ≤ 1, para todo evento A b. P(Ω Ω) = 1 c. P(∅ ∅) = 0 Existen tres enfoques para el estudio de la probabilidad. Probabilidad Clásica: Llamada también probabilidad a priori debido a que es posible conocer el resultado con anterioridad, es decir sin llevar a cabo el experimento y sólo basado en un razonamiento lógico. Se calcula a través de P(A) = Casos favorables de ocurrencia del evento A Total de casos posibles Esta definición se basa en el supuesto de que todos los resultados probables de un experimento aleatorio son igualmente probables; es decir, cada uno de los elementos del espacio muestral tiene la misma probabilidad de salir. Así por ejemplo; si lanzamos un dado normal, debe considerarse que hay igual posibilidad que salga cualquiera de los números del espacio muestral Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} entonces la probabilidad de que salga cualquier número será 1/6. En general si un experimento aleatorio tiene n resultados posibles, los n elementos del espacio muestral tendrían la misma probabilidad de salir. En consecuencia la probabilidad de que salga cualquiera de ellos es 1/n. Probabilidad de Frecuencia Relativa de la ocurrencia Este enfoque surge por la necesidad de asignar probabilidades a aquellos eventos considerados no simétricos. Los seguidores de esta corriente afirman que solo a partir de experimentos realizados varias veces en las mismas condiciones, es posible asignar probabilidades a los eventos de un experimento aleatorio. En términos generales el empeño de esta teoría es destacar que cuando el número de experimentos aumenta, la frecuencia relativa del evento se estabiliza y se acerca bastante a un valor determinado que podría ser prácticamente igual a la probabilidad del evento con un elevado grado de certeza. Se halla a través de:

P( A) =

N ( A) n A = = N (Ω) n

Número de veces que ocurrió el evento A ____ Número total de veces que se repitió el experimento

La probabilidad de frecuencia relativa, es llamada también probabilidad empírica o a posteriori, debido a que se obtiene el resultado después de llevar a cabo el experimento un gran número de veces. Ejemplo: En una encuesta realizada a 500 profesores de la ciudad de Chiclayo, se encontró que 320 de ellos se encuentran trabajando en escuelas no estatales. Hallar la probabilidad que al seleccionar aleatoriamente un profesor, esté trabajando en una escuela no estatal. Sea el evento A: profesor que trabaja en una escuela no estatal # Veces que ocurrió A = 320 # Total de veces que se repitió el experimento = 500

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Luego:

P ( A) =

N ( A) 320 = = 0.64 = 64.0% N (Ω) 500

Probabilidad subjetiva Existen varios sucesos de sumo interés cuyas probabilidades no se pueden calcular tomando en cuenta los métodos de frecuencia relativa ni con la teoría de la probabilidad clásica. Surge entonces, el punto de vista subjetivo el cual hace hincapié en la probabilidad que resulta de una opinión, creencia, o juicio personal sobre una situación determinada. El enfoque subjetivo denominado también probabilidad personal, asigna a los eventos probabilidades, aun cuando los datos experimentales sean escasos o imposibles de obtener. Los que toman decisiones utilizando este tipo de probabilidad se fundamentan en sus propias experiencias personales y en muchos casos en presentimientos. Este enfoque de la probabilidad personal se aplica a problemas de toma de decisiones tales como construcciones de plantas, compras de equipos, licitaciones de contratos, etc. La probabilidad personal se ha vuelto sistemáticamente popular entre los teóricos de la toma de decisiones. Los defensores de esta corriente tratan de buscar soluciones a la asignación de probabilidades de aquellos eventos que solo ocurren una vez o que no pueden estar sometidos a experimentos repetidos. La asignación de probabilidades a un evento en estas condiciones, más que un juicio arbitrario, es un juicio de valor. Ejercicios: 9. Una en un grupo de 34 estudiantes de una escuela de administración, reveló la siguiente selección de carrera profesionales: Suponga que se selecciona un estudiante y se considera su elección Contaduría 10 profesional. Finanzas 5 a) ¿cuál es la probabilidad de que estudie la carrera de Sistemas de información 3 administración? Administración 6 b) ¿qué concepto de probabilidad utilizó para hacer tal estimación? Mercadotecnia 10 10. Se venden 500 billetes para realizar una lotería. Los talones de los billetes se mezclan bien y el ganador es quien tiene el boleto del talón elegido aleatoriamente al efectuar el sorteo. Si alguien compró 25 billetes, ¿Cuál es la probabilidad de que gane? 11. Sea x el nivel de éxito de un nuevo programa de televisión. En la tabla siguiente se observan las probabilidades subjetivas asignadas a cada x para un nuevo programa particular, según fueron otorgadas por personas que laboran en tres distintos medios de difusión. ¿cuáles de estos conjuntos de probabilidades son inapropiadas? Explique su respuesta. Grado de éxito (x) Muy exitoso Exitoso Nada exitoso

A 0.5 0.4 0.3

Juez B 0.6 0.5 -0.1

C 0.4 0.3 0.3

12. En un grupo de expedientes médicos se clasifica a los pacientes por género y por tipo de diabetes (I ó II). Los agrupamientos pueden ser como sigue. En la tabla se proporciona el número de pacientes en cada categoría Género Masculino Femenino

Tipo de diabetes I II 25 20 35 20

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REGLA DE LA SUMA DE PROBABILIDADES Se usa cuando se desea averiguar la probabilidad de ocurrencia de uno u otro evento. 

Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes, la probabilidad de ocurrencia de A o de B es: P (A∪B) = P (A) + P (B)

Ejemplo: De 100 alumnos de la especialidad de ingeniería, 20 desaprobaron matemática, 32 desaprobaron estadística y 18 desaprobaron teología, estos alumnos sólo desaprobaron un solo curso. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un alumno que haya desaprobado matemática o estadística o teología? P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) =



n ( A ) n ( B) n (C) 20 32 18 + + = + + = 0.7 n (Ω) n (Ω) n (Ω) 100 100 100

Si los eventos A y B no son mutuamente excluyentes, la probabilidad de ocurrencia de A o de B es: P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) Donde: P(A∪B): Probabilidad de ocurrencia de que el evento A o B ocurran P(A∩B): Probabilidad de que ocurran simultáneamente los eventos A y B Eventos Mutuamente excluyente: La ocurrencia de un evento implica que ninguno de los otros eventos pueden ocurrir al mismo tiempo

Ejemplo: De 100 alumnos de la especialidad de ingeniería, 20 desaprobaron matemática, 32 desaprobaron estadística y 18 desaprobaron teología, 5 desaprobaron matemática y estadística, 9 desaprobaron matemática y teología, 10 desaprobaron estadística y teología a. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un alumno que haya desaprobado matemática o estadística? b. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un alumno que haya desaprobado matemática o teología? c. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un alumno que haya desaprobado estadística o teología? Solución: A: Alumno desaprobó Matemática P(A) = 20/100 = 0.20 B: Alumno desaprobó Estadística P(B) = 32/100 = 0.32 C: Alumno desaprobó Teología P(C) = 18/100 =0.18 P(A ∩ B) = 5/100 = 0.05, P(A ∩ C) = 9/100 = 0.09,

P(B ∩ C) = 10/100 = 0.10

a. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 0.20 + 0.32 - 0.05 = 0.47 b. P(A ∪ C) = P(A) + P(C) – P(A∩C) = 0.20 + 0.18 - 0.09 = 0.29 c. P(B ∪ C) = P(B) + P(C) – P(B∩C) = 0.32 + 0.18 – 0.10 =0.40

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REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN Se utiliza para calcular la probabilidad de ocurrencia simultánea de dos o más eventos 

Si los eventos A y B son dependientes, entonces la ocurrencia de un evento tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento, por lo tanto la ocurrencia simultánea de los eventos es: P(A∩B) = P(A) P(B/A)

Ejemplo: Suponga que se extrae dos cartas, una a la vez sin reemplazo, de una baraja ordinaria. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas cartas sean ases? A: un as en la primera extracción B: un as en la segunda extracción P(A∩B) = P(A).P(B/A) = (4/52).(3/51) = 0.0045 Ejemplo: Supongamos que se extrae al azar dos frutas, de una bolsa que contiene 4 manzanas, 6 naranjas y 5 duraznos. Se obtiene una muestra sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que se obtenga una naranja y una manzana, en ese orden? A: Extraer una naranja en la primera extracción B: Extraer una manzana en la segunda extracción dada una naranja en la primera extracción P(A∩B) = P(A) P(B/A) = (6/15).(4/14) = 0.1143 

Si los eventos A y B son independientes, entonces la ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro, por lo tanto la ocurrencia simultánea de los eventos es P(A ∩ B) = P(A) P(B)

Ejemplos: Supongamos que lanzamos un par de dados legales una sola vez. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 2 en el primer dado y un 4 en el segundo? A: Obtener 2 en el primer dado B: Obtener 4 en el segundo dado P(A∩B) = P(A) P(B) = 1/6 x 1/6 = 1/36 Ejemplos: Supongamos que se extrae una muestra aleatoria de una bolsa de frutas. La bolsa contiene 4 manzanas, 6 naranjas y 5 duraznos. Si se selecciona 2 frutas, una a la vez, con reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que se obtenga una naranja y una manzana en ese orden? A: Obtener una naranja B: Obtener una manzana P(A∩B) = 6/15 * 4/15 = 24/225 PROBABILIDAD CONDICIONAL La probabilidad de que ocurra un evento B cuando se sabe que ha ocurrido algún otro evento A, se denomina PROBABILIDAD CONDICIONADA y se designa como P(B/A). Él símbolo P(B/A) se lee como la probabilidad de que ocurra B sabiendo que ocurrió A o sencillamente probabilidad de B dado A Las probabilidades condicionadas están relacionadas a probabilidades asociadas a los eventos definidos en subpoblaciones o espacios muéstrales reducidos. Se dice que la probabilidad de ocurrencia de un evento dado es condicionada, si esta se afecta por la ocurrencia de otro evento presente. P(B/A) =

P ( B ∩ A) P ( BA) , = P ( A) P ( A)

si P(A) ≠ 0

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Ejemplo: Un profesor de matemáticas da clases en una sección matutina y una vespertina de introducción al cálculo. Sea A = {el profesor da una mala conferencia matutina} y B = {el profesor da una mala conferencia vespertina}. Si P(A) = 0.3, P(B) = 0.2 y P(AB) = 0.1, calcule las siguientes probabilidades. c

c

b) P(B /A)

a) P(B/A)

a) P ( B / A) =

c) P(B/A )

P ( BA) 0.1 = = 0.33 P ( A) 0.3

b) P ( B c / A) =

P( B c A) P( A) − P( AB ) 0.3 − 0.1 = = = 0.67 P( A) P( A) 0 .3

c) P ( B / Ac ) =

P ( BAc ) P ( B ) − P ( AB) 0.2 − 0.1 = = = 0.14 P( Ac ) P( Ac ) 0 .7

TEOREMA DE BAYES Es un método que nos permite calcular la probabilidad de que un evento que ya ocurrió (o efecto) sea resultante de alguna “causa”. Si A1, A2, …, An son sucesos n mutuamente excluyentes, de los cuales al menos unos de los Ai (i = 1, 2, ..., n) debe ocurrir, y sea B un suceso cualesquiera en Ω, la probabilidad condicional de la ocurrencia de Ai cuando el evento B ha ocurrido es:

P(Ai/B) =

P (Ai )P( B / A i )

P(A )P (B / Ai ) = n i P ( A1 ) P ( B / A1 ) + P ( A 2 ) P ( B / A 2 ) + ... + P ( A n ) P ( B / A n ) ∑ P(Ai )P (B / Ai ) i =1

Ejemplo: En una empresa del total de trabajadores, se tiene que el 50% son ingenieros, el 30% son abogados y el 20% son administrativos; además se tiene que el 8% de los ingenieros, el 9% de los abogados y el 10% de los administrativos son “provincianos” (nacidos fuera de la capital). a. Supongamos que se selecciona un trabajador al azar y resulta ser “provinciano”. Hallar la probabilidad de que el trabajador sea ingeniero. b. Supongamos que se selecciona un trabajador al azar y resulta ser “provinciano”. Hallar la probabilidad de que el trabajador sea abogado. c. Supongamos que se selecciona un trabajador al azar y resulta ser “provinciano”. Hallar la probabilidad de que el trabajador sea abogado. d. Supongamos que se selecciona un trabajador al azar y resulta ser “ no provinciano”. Hallar la probabilidad de que el trabajador sea ingeniero. Solución: A1 = Trabajador ingeniero A2 = Trabajador abogado A3 = Trabajador administrativo B = Trabajador provinciano B’ = Trabajador no provinciano P(A1) = 0.50 , P(A2) = 0.30, P(A3) = 0.20

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P(B/A1) = 0.08

P(A1)=0.50 P(B’/A1) = 0.92 P(B/A2) = 0.09

P(A2)=0.30 P(B’/A2) = 0.91 P(B/A3) = 0.10

P(A3)=0.20 P(B’/A3) = 0.90

a. P(A1/B) =

P(A1 )P( B / A1 )

=

b. P(A2/B) =

P(A3/B) =

P ( A1 ) P ( B / A 1 ) + P ( A 2 ) P ( B / A 2 ) + P ( A 3 ) P ( B / A 3 )

0.30( 0.09) = 0.3103 0.50( 0.08) + 0.30( 0.09) + 0.20( 0.10)

P(A 3 )P( B / A 3 ) P ( A1 ) P ( B / A 1 ) + P ( A 2 ) P ( B / A 2 ) + P ( A 3 ) P ( B / A 3 )

=

d. P(A2/B’) =

0.50( 0.08) = 0.4798 0.50( 0.08) + 0.30( 0.09) + 0.20( 0.10)

P(A 2 )P( B / A 2 )

=

c.

=

P ( A1 ) P ( B / A 1 ) + P ( A 2 ) P ( B / A 2 ) + P ( A 3 ) P ( B / A 3 )

0.20( 0.10) = 0.2299 0.50( 0.08) + 0.30(0.09) + 0.20( 0.10)

P ( A2 ) P ( B ' / A2 ) P ( A1 ) P ( B ' / A1 ) + P ( A2 ) P ( B ' / A2 ) + P ( A3 ) P ( B ' / A3 )

=

0.30( 0.91) = 0.2990 0.50( 0.92) + 0.30( 0.91) + 0.20( 0.90)

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