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MECÀNICA DE FLUIDOS TEMA :

PRINCIPIO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO INTEGRANTES : CABANILLAS GALVEZ PEDRO FLORES CHILON DEYSI GUERRERO SANTISTEBAN KEVIN PERALTA PANTA JORGE

OBJETIVOS: • Definir cantidad de movimiento, así como su ecuación. • Llegar hacia la ecuación general del principio de la cantidad de movimiento. • Conocer la ecuación de cantidad de movimiento para flujos permanentes. • Conocer la ecuación del principio de cantidad de movimiento aplicada a un corriente liquida. • Desarrollar ejercicios que nos permitan comprender de una forma más clara el principio de la cantidad de movimiento.

Principio de Cantidad de Movimiento La cantidad de movimiento de un elemento de masa “m”, es el producto de esta por su velocidad. Ԧ la cantidad de movimiento: Sea “𝐶”

𝐶Ԧ = m𝑣Ԧ La ecuación de cantidad de movimiento de un cuerpo libre o volumen de control se deriva de la segunda ley de Newton, que establece lo siguiente: “La suma vectorial de todas las fuerzas 𝐹Ԧ que actúan sobre una masa de fluido es igual a la rapidez del cambio del vector cantidad de movimiento de la masa del fluido”, es decir Si:

: 𝐶Ԧ = m𝑣Ԧ 𝑑 𝐹Ԧ = 𝑑𝑡(m𝑣) Ԧ 𝑑 Ԧ 𝐹Ԧ = 𝑑𝑡 (𝐶)

………………(1)

Ԧ Calculando el d(𝐶):

d(m𝑣) Ԧ = dm𝑣Ԧ Además:

dm = 𝜌d ∀ d𝐶Ԧ = 𝜌𝑣Ԧ d ∀ 𝐶Ԧ = ‫𝑣𝜌 ∀׬‬Ԧ d∀………..(2) Reemplazando (2) en (1): 𝑑 𝐹Ԧ =𝑑𝑡(‫𝑣𝜌 ∀׬‬Ԧ d∀)

……….(3)

Haciendo: 𝜙 = 𝜌𝑣Ԧ ⇒ 𝜙 = 𝜙(x, y, z, t), una función vectorial ligada al movimiento. Luego, de la expresión (3):

I = ‫𝑣𝜌 ∀׬‬Ԧ d∀ I = ‫ 𝜙 ∀׬‬d∀

Y sea “ 𝐼1 ” la función ”I” incrementada un ⅆ𝜙:

𝐼1 = ‫ 𝜙( ∀׬‬+ ⅆ𝜙) d∀1 ………(4) 1

Para hallar el valor de “𝐼1 ” necesitamos los valores de: ⅆ𝜙 yⅆ∀1 " sabiendo que:

ⅆ𝜙 =

𝜕𝜙 ⅆ𝑡 𝜕𝑡

+

𝜕𝜙 ⅆ𝑥 𝜕𝑥

𝜕𝜙

+ 𝜕𝑦 ⅆ𝑦 +

𝜕𝜙 ⅆ𝑧 𝜕𝑧

Dividiendo la expresión anterior entre dt: 𝑑𝜙 𝑑𝑡

=

𝜕𝜙 𝑑𝑡 𝜕𝑡 𝑑𝑡

𝑑𝑥 𝑑𝑡

= 𝑉𝑥 ; 𝑑𝑡 = 𝑉𝑦 ; 𝑑𝑡 = 𝑉𝑧

+

𝜕𝜙 𝑑𝑥 𝜕𝑥 𝑑𝑡

+

𝜕𝜙 𝑑𝑦 𝜕𝜙 𝑑𝑧 + 𝜕𝑦 𝑑𝑡 𝜕𝑧 𝑑𝑡

Además se sabe: 𝑑𝑦

𝑑𝜙 𝑑𝑡

=

𝜕𝜙 𝜕𝑡

+

𝑑𝜙 𝑑𝑡

=

𝜕𝜙 𝜕𝑡

+ (𝑣Ԧ ∗ 𝛻)𝜙

ⅆ𝜙 =

𝜕𝜙 ⅆ𝑡 𝜕𝑡

𝜕𝜙 𝑉 𝜕𝑥 𝑥

𝑑𝑧

𝜕𝜙

+ 𝜕𝑦 𝑉𝑦 +

+ (𝑣Ԧ ∗ 𝛻)𝜙 ⅆ𝑡

𝜕𝜙 𝑉 𝜕𝑧 𝑧

……..(5)

Además se sabe por deformación volumétrica de los fluidos que: “la velocidad de deformación volumétrica relativa, coincide con la suma de velocidades de deformación lineal”, es decir: 𝑑∀1 − 𝑑∀ 𝜕𝑉𝑥 = 𝑑∀ 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝑑∀1 − 𝑑∀ = 𝑑∀ 𝑑𝑡

+

𝜕𝑉𝑦

𝜕𝑦

+

𝜕 𝑉𝑧 𝜕𝑧

𝛻 ∗ 𝑣Ԧ

Despejando ⅆ∀1 :

ⅆ∀1 = [(𝛻 ∗ 𝑣) Ԧ ⅆ𝑡 + 1] ⅆ∀

……(6)

Reemplazando las ecuaciones (5), (6) en la ecuación (4).

𝐼1 = ‫ 𝜙( ∀׬‬+ ⅆ𝜙) d∀1 1

𝐼1 = ‫ 𝜙[ ∀׬‬+

𝜕𝜙 ⅆ𝑡 𝜕𝑡

+ (𝑣Ԧ ∗ 𝛻)𝜙 ⅆ𝑡][(𝑣Ԧ ∗ 𝛻) ⅆ𝑡 + 1] d∀

Siendo “ⅆ𝑡” un tiempo muy pequeño, por lo tanto ⅆ𝑡 2 , es una cantidad despreciable por lo cual se considera cero, reduciéndose la expresión anterior a:

𝐼1 = ‫ 𝜙[ ∀׬‬+ 𝜙(𝑣Ԧ ∗ 𝛻) ⅆ𝑡 +

𝜕𝜙 ⅆ𝑡 𝜕𝑡

+ (𝑣Ԧ ∗ 𝛻)𝜙 ⅆ𝑡] d∀

𝛻 ∗ (𝜙𝑣) Ԧ = (𝛻𝜙) ∗ 𝑣Ԧ + (𝑣Ԧ ∗ 𝛻)𝜙

Por definición de producto escalar:

Luego: 𝜕𝜙

Ahora:

𝐼1 = ‫ 𝜙[∀׬‬+ ( 𝜕𝑡 + 𝛻 ∗ (𝜙𝑣)) Ԧ ⅆ𝑡] d∀ …………(7) 𝜕𝜙 𝜕𝑡

𝐼1 - I = ‫ 𝜙[∀׬‬+ 𝐼1 - I = ‫[∀׬‬

+ 𝛻 ∗ 𝜙𝑣Ԧ

ⅆ𝑡 − 𝜙] d∀ − ‫ 𝜙 ∀׬‬d∀

𝜕𝜙 𝜕𝑡

+ 𝛻 ∗ 𝜙𝑣Ԧ

ⅆ𝑡 ] d∀

𝜕𝜙 𝜕𝑡

+ 𝛻 ∗ 𝜙𝑣Ԧ

d∀

Dividiendo (𝐼1 - I) entre ⅆ𝑡: 𝐼1 − 𝑑𝑡 𝑑𝐼 𝑑𝑡

I

= ‫∀׬‬

= ‫∀׬‬

𝜕𝜙 𝜕𝑡

d∀ + ‫𝑣𝜙 [∀׬‬Ԧ ∗ 𝛻]d∀

Al considerar un volumen de control de profundidad la unidad, La dirección del d∀ es perpendicular al área, es decir: d∀ = 𝛻d𝐴

𝑑𝐼 𝑑𝑡

= ‫∀׬‬

𝜕𝜙 𝜕𝑡

d∀ + ‫𝑣𝜙 𝐴׬‬Ԧ d𝐴

Se sabe que:

También se sabe que:

𝑑 (‫׬‬ 𝑑𝑡

𝜙 d∀) = ‫∀׬‬

𝑑 (‫׬‬ 𝑑𝑡

𝜌𝑣d∀) Ԧ = ‫∀׬‬

𝜕𝜙 𝜕𝑡

d∀ + ‫𝑣𝜙 𝐴׬‬Ԧ d𝐴

𝜙 = 𝜌𝑣Ԧ

𝐹Ԧ = ‫∀׬‬

𝜕(𝜌𝑣) 𝜕𝑡

𝜕(𝜌𝑣) 𝜕𝑡

d∀ + ‫)𝑣𝜌( 𝐴׬‬ Ԧ 𝑣Ԧ d𝐴

d∀ + ‫()𝑣𝜌 𝐴׬‬ Ԧ 𝑣. Ԧ ⅆ𝐴

Ley que constituye una de las ecuaciones fundamentales de la mecánica de los fluidos conocida como la ecuación o principio de la cantidad de movimiento.

Para el caso especial del movimiento permanente la ecuación general de la cantidad de movimiento se simplifica a:

𝐹Ԧ = ‫()𝑣𝜌( 𝐴׬‬ Ԧ 𝑣d𝐴 Ԧ Puesto que se sabe que en un flujo permanente las propiedades del flujo y las condiciones del movimiento en cualquier punto no cambian con el tiempo, es decir que la velocidad y la densidad en un punto permanecen constantes. Se sabe que el vector velocidad y el vector área son ambos perpendiculares al área, es decir: 𝑣Ԧ ⊥ d𝐴 ⇒ 𝑣Ԧ // d 𝐴 ⇒ 𝑣Ԧ ∗ ⅆ𝐴 = v ∗ d𝐴 ∗ cos 0°

𝑣Ԧ ∗ ⅆ𝐴 = v ∗ d𝐴 La fuerza quedaría:

𝐹Ԧ =𝜌𝑣Ԧ ‫𝑣 𝐴׬‬d𝐴 𝐹Ԧ =𝜌𝑣Ԧ ‫𝑣 𝐴׬‬d𝐴 = (𝜌𝑣)(𝑣A) Ԧ Se sabe que: Q = 𝑣Ԧ ∗ 𝐴Ԧ pero como 𝑣Ԧ // 𝐴Ԧ , entonces Q = v ∗ A ∗ cos 0°

Q=v∗A Entonces la fuerza quedaría:

𝐹Ԧ =𝜌Q𝑣Ԧ

Si tuviéramos el siguiente volumen de control:

Si tomamos dos secciones como: 1-1 y 2-2; en cada extremo de la porción de fluido entre ambas secciones actúa una fuerza, como se muestra en el grafico. Y si el flujo fuera permanente, entonces la fuerza sería:

𝐹Ԧ = 𝜌Q𝑣Ԧ Entonces las fuerzas seria:

𝐹1 = 𝜌Q𝑣1

𝐹2 =−𝜌Q𝑣2

y

Las velocidades son:

𝑉1 = 𝑣1𝑥 𝑖Ԧ + 𝑣1𝑦 𝑗Ԧ

𝑉2 = 𝑣2𝑥 𝑖Ԧ + 𝑣2𝑦 𝑗Ԧ

y

Las fuerzas quedarían:

𝐹1 = 𝜌Q(𝑣1𝑥 𝑖Ԧ + 𝑣1𝑦 𝑗Ԧ )

y

𝐹2 = −𝜌Q(𝑣2𝑥 𝑖Ԧ + 𝑣2𝑦 𝑗Ԧ)

La sumatoria de las fuerzas en los ejes X e Y son:

∑ 𝐹𝑥 = 𝜌Q(𝑣1𝑥 − 𝑣2𝑥 )

∑ 𝐹𝑦 = 𝜌Q(𝑣1𝑦 − 𝑣2𝑦 )

Aplicación 1: Codo Reductor ෍ 𝐹𝑥 = 𝐶. 𝑀.𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑥(2) − 𝐶. 𝑀.𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑥(1)

𝑃1 𝐴1 − 𝑃2 𝐴2 cos 𝜃 − 𝐹𝑥 = 𝜌𝑄(𝑣2 cos 𝜃 − 𝑣1 ) 𝐹𝑥 = 𝜌𝑄(𝑣1 − 𝑣2 cos 𝜃) + 𝑃1 𝐴1 - 𝑃2 𝐴2 cos 𝜃 ෍ 𝐹𝑦 = 𝐶. 𝑀.𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑦(2) − 𝐶. 𝑀.𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑦(1) 𝐹𝑦 − 𝑃2 𝐴2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 𝑤 = 𝜌𝑄𝑣2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ; donde: w=0 𝐹𝑦 = 𝜌𝑄𝑣2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝑃2 𝐴2 𝑠𝑒𝑛 𝜃

Aplicación 2: Paletas o álabes La fuerza que se necesita para que el álabe permanezca en su sitio, cuando el flujo permanente de un chorro de agua golpea sobre el. •Para este tipo de problemas se supone que no hay cambios en la velocidad y en el área transversal del chorro. A1  A2  A0 P1  P2  Patm  0 V1  V2  V0

Entonces de las ecuaciones de la aplicación 1:

También 𝐹𝑥 = 𝜌𝑄(𝒗𝟏 − 𝒗𝟐 cos 𝜃) + 𝑷𝟏 𝐴1 - 𝑷𝟐 𝐴2 cos 𝜃 Tambien: Q = v0 A0 𝐹𝑥 = 𝜌𝑄𝒗𝟎 (1 − cos 𝜃) 𝐹𝑥 = 𝜌𝑣0 2 𝐴0 (1 − cos 𝜃) Fy = ρQv2 sen θ + P2 A2 sen θ Fy = ρv0 2 A0 sen θ

Aplicación 3:

• Ejercicio 1 La placa A es de 10 cm de diámetro y tiene un orificio con arista afilada en su centro. Un chorro de agua concéntrico golpea a la placa con una velocidad de 100 m/s. Manteniendo la placa estacionaria y si el chorro que sale del orificio también tiene una velocidad de 100 m /s. ¿Qué fuerza externa se requiere para mantener la placa en su lugar los diámetros del chorro son: D = 4 m y d = 2 m. Consideraciones: I.- flujo permanente e incompresible

Calculo A1:

𝜋 4

𝜋 4 22

𝐴1 = 𝐷 2 = × 42 = 4𝜋 𝑚2 𝜋 4

𝜋 4

CalculoA2 :𝐴2 = ⅆ 2 = ×

= 𝜋 𝑚2

Calculo de 𝑹𝑿 : Aplicando la ecuación de la cantidad de movimiento. 𝜕 𝐹𝑥 = ම 𝑉𝑥 𝜌ⅆ∀ + ∯ 𝑉𝑥 𝜌V. dA 𝜕𝑡 𝐹𝑥 = −ʃ𝐴1 𝑉𝑥1 𝜌𝑉1 . ⅆ𝐴1 + ʃ𝐴2 𝑉𝑥2 𝜌𝑉2 . ⅆ𝐴2 +ʃ𝐴3 𝑉𝑥3 𝜌𝑉3 . ⅆ𝐴3 + ʃ𝐴4 𝑉𝑥4 𝜌𝑉4 . ⅆ𝐴4 Los términos 𝑉𝑥3 y 𝑉𝑥4 son igual a 0. 𝑭𝑿 = −𝑽𝑿𝟏 𝜌𝑉1 𝐴1 + 𝑽𝑿𝟐 𝜌𝑉2 𝐴2 𝐹𝑋 = 𝑅𝑥 + 𝑝1 𝐴1 − 𝑝2 𝐴2

Como 𝑝1 = 𝑝2 = 0 Calculo𝑉𝑋1 : Calculo𝑉𝑋2 :

⇒ 𝐹𝑋 = 𝑅𝑋

𝑉𝑋1 = 𝑉1 = 100 𝑚/𝑠 𝑉𝑋2 = 𝑉2 = 100 𝑚/𝑠

Reemplazando en ec.1 𝑘𝑔 𝑘𝑔 𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 100 𝑠 ∗ 1000 3 ∗ 100 𝑠 ∗ 4𝜋𝑚2 100 𝑠 ∗ 1000 3 ∗ 100 𝑠 ∗ 𝜋𝑚2 𝑚 𝑚 𝑅𝑋 = − + 𝑘𝑔 ∗ 𝑚 𝑘𝑔 ∗ 𝑚 9.81 9.81 𝑘𝑔. 𝑓 ∗ 𝑠𝑒𝑔2 𝑘𝑔. 𝑓 ∗ 𝑠𝑒𝑔2 ⇒ 𝑅𝑋 = −9607316.98 𝑘𝑔𝑓 … … 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑐ℎ𝑜𝑟𝑟𝑜 𝑅𝑋 = 9607316.98 𝑘𝑔𝑓 … … 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 𝑒𝑛 𝑠𝑢 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟

Ejercicio 2 La figura muestra un flujo de agua incomprensible y uniforme El las sección 1 y 2 determine la fuerza F que el fluido ejerce sobre el obstáculo

Solución. Puede suponerse que en la sección 1 y 2 la distribución de las presiones es hidrostática porque las líneas de corriente del flujo son esencialmente rectilíneas en dichas secciones.

Consideraciones: I) flujo permanente e incomprensible II) flujo uniforme en las secciones 1 y 2 III) distribución hidrostática de presiones en las secciones 1 y 2 Aplicando la ecuación de cantidad de movimiento en el eje X : ə 𝐹𝑋 = ʃʃʃ𝑉𝑋 . ᵨdv -ʃʃ𝑉𝑋 ᵨ v .dA ə𝑡

𝐹𝑋 = ʃ𝐴1 𝑉𝑋1 ᵨ𝑉1 . d𝐴1 + ʃ𝐴2 𝑉𝑋2 ᵨ𝑉2 . d𝐴2

Por II: 𝐹𝑋 = 𝑉𝑋1 ᵨ𝑉1 .𝐴1 + 𝑉𝑋2 ᵨ𝑉2 .𝐴2 …(1) Calculo de 𝐹𝑋 : ℎ

ℎ

𝐹𝑋 = -F + 𝑃1 .𝐴1 - 𝑃2 .𝐴2 = -F + ˠ 1 x bℎ1 - ˠ 2 x bℎ2 2 2 Pres. hid en cg1 Pres. hid en cg2 𝐹𝑋 = -F +

𝑏 ˠ 2

(ℎ1 2 - ℎ2 2 )

Calculo de 𝑉2 : Por I y II la ecuación de continuidad es 𝐴1 𝑉1 = 𝐴2 𝑉2 𝑉2 =

𝐴1 𝑉 𝐴2 1

=

𝑏ℎ1 𝑏ℎ2

x 𝑉1 =

0.9 0.15

x 0.6

𝑉2 = 3.6

𝑚 𝑠𝑒𝑔

Calculo de 𝑉𝑥1 -𝑉𝑥2 𝑚 𝑉𝑥1 = 𝑉1 =0.6

𝑉𝑥2 = 𝑉2 =

𝑠𝑒𝑔 𝑚 3.6 𝑠𝑒𝑔

Remplazando en la ecuación (1) -F

𝐾𝑔𝑓 +1000 𝑚3 𝑚

𝐾𝑔

x

𝑏 (𝑚) (0.92 -0.152 )𝑚2 =2 𝑚

3.6𝑠𝑒𝑔𝑥1000𝑚3𝑥3.6𝑠𝑒𝑔𝑥1.5 𝑏𝑚2 9.81

𝐾𝑔𝑥𝑚 𝐾𝑔𝑓𝑥𝑠𝑒𝑔2

F=228.6 Kg f

𝑚 𝐾𝑔 𝑚 𝑥1000 𝑥0.6 𝑥0.9 𝑏𝑚2 𝑠𝑒𝑔 𝑚3 𝑠𝑒𝑔 𝐾𝑔𝑥𝑚 9.81 𝐾𝑔𝑓𝑥𝑠𝑒𝑔2

0.6

+

Ejercicio 3: Los pilares de un puente están separados una distancia entre ejes de 6.10 m. Aguas arribas el tirante es 3.05 m y la velocidad media del agua 3.05 m/s. Aguas abajo el tirante es 2.90 m. Despreciando la pendiente del río y las pérdidas por fricción encontrar el empuje del agua sobre cada pilar.