Primitive

Primitive Cet article fait partie de la série  Primitives de fonctions  

Rationnelles   Logarithmes   Exponentielles   Irrationnelles   Trigonométriques   Hyperboliques   Circulaires réciproques   Hyperboliques réciproques  

En mathématiques, une primitive (ou, rarement, antidérivée – de l'anglais antiderivative) d'une fonction f d'une variable réelle définie sur un intervalle I est une fonction F définie et dérivable sur I dont la dérivée est f, autrement dit telle que :  

Une condition suffisante pour qu'une fonction f admette des primitives sur un intervalle est qu'elle y soit continue. Si f est une fonction admettant une primitive F sur un intervalle I, alors pour tout réel k, une primitive de kf sur l'intervalle I est kF. Si F et G sont des primitives respectives de deux fonctions f et g, alors une primitive de f + g est F + G. Si une fonction f admet une primitive sur un intervalle, elle en admet une infinité, qui diffèrent d'une constante : si F1 et F2 sont deux primitives de f, alors il existe un réel k0 tel que F1 = F2 + k0. Si F est une primitive de f, alors

.  

Ceci est la seconde partie du théorème fondamental de l'analyse.

Sommaire [masquer] 

  



1 Exemples   2 Calcul automatique   3 Primitives courantes   o 3.1 Fonctions simples   o 3.2 Fonctions composées   4 Voir aussi  

Exemples [modifier] Polynômes et fonctions rationnelles   

Une primitive de la fonction 



Une primitive de la fonction 



Une primitive de la fonction 

est 

 

est 

  est 

  pour n réel 



Une primitive de la fonction  différent de −1.  



Une primitive de la fonction inverse 



.   Dans le cas général, il n'y a pas de manière simple d'avoir la primitive d'une fraction  rationnelle sauf en la décomposant en éléments simples.  

est 

est la fonction logarithme népérien 

Fonctions trigonométriques    

Une primitive de la fonction cosinus est la fonction sinus.   Une primitive de la fonction sinus est l'opposé de la fonction cosinus.  

Autres   

Une primitive de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle elle‐même.  

Calcul automatique [modifier] Des logiciels comme Maxima, Maple ou Mathematica permettent depuis quelques années de calculer interactivement certaines primitives sous forme symbolique. Le premier logiciel permettant d'effectuer de l'intégration assistée par ordinateur sous forme symbolique était le langage FORMAC, utilisé par les physiciens dans les années 1970.

Primitives courantes [modifier] Article détaillé : table de primitives. 

Pour le premier tableau, la première colonne est la fonction dont on cherche la primitive, la deuxième est son domaine de dérivation et la troisième, la primitive correspondante à cette fonction. Pour le second tableau, la première colonne est la fonction dont on cherche la primitive et la seconde, la primitive correspondante à la fonction

Fonctions simples [modifier] Soient a,b,C des constantes et k un entier relatif. Tableau des primitives simples

f(x) 

DD 

 

F(x) 

 

 

   

 

(

)

si 

; 

sinon  

   

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

   

   

 

 

 

 

   

 

Fonctions composées [modifier] Soient u et v deux fonctions. Tableau des primitives composées

f(x) 

F(x)