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MÉTODOS NUMÉRICOS (Octave) Profesoras: María Zegarra Garay e -mail: [email protected] Elizabeth Puelles Bulnes e-mail:

CONTENIDO:

Teoría de errores - Técnicas Operativas - Teorema del valor IntermedioSolución de Ecuaciones de una variable El algoritmo de Bisección - Iteración de Punto fijo.

El análisis numérico es la rama de la matemática que se encarga de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real. ( LLOYD TREFETHEN, Universidad de Oxford.) 2

UNIDAD 1

INTRODUCCIÓN

0 Teoría de Errores. 0 Cifras Significativas. 0 Redondeo. Truncamiento.

0 Error Absoluto. Error Relativo

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TEORIA DE ERRORES Definición 1 : Se denominan cifras significativas, de un número a aquellas que tienen un significado real y, por lo tanto, aportan alguna información. Toda medición experimental es inexacta y se debe expresar con cifras significativas. Veamos un ejemplo sencillo: supongamos que medimos la longitud de una mesa con una regla graduada en milímetros . El resultado se puede expresar , por ejemplo como: 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝐿 = 85,2 𝑐𝑚 No es esta la única manera de expresar el resultado, pues también puede ser: L = 0,852 m L = 8,52 dm L = 852 mm etc…

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Se exprese como se quiera, el resultado tiene tres cifras significativas, que son los dígitos considerados como ciertos en la medida. Cumplen con la definición pues tienen un significado real y aportan información. Así, un resultado como: L = 0,8520 m no tiene sentido ya que el instrumento que hemos utilizado para medir no es capaz de resolver las diezmilésimas de un metro. Por lo tanto, y siguiendo con el ejemplo, el número que expresa la cantidad en la medida tiene tres cifras significativas. Pero, de esas tres cifras sabemos que dos son verdaderas y una es incierta, la que aparece subrayada a continuación: L = 0,852 m

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Esto es debido a que el instrumento utilizado para medir no es perfecto y la última cifra que se puede apreciar es incierta. ¿Cómo es de incierta?. Pues en general se suele considerar que la incertidumbre es la cantidad más pequeña que se puede medir con el instrumento, aunque no tiene por qué ser así pues puede ser superior a dicha cantidad. La incertidumbre de la última cifra también se puede poner de manifiesto si realizamos una misma medida con dos instrumentos diferentes, en nuestro caso dos reglas milimetradas. Por extraño que pueda parecer no hay dos reglas iguales y , por lo tanto, cada instrumento puede aportar una medida diferente. Quedando claro que la última cifra de la medida de nuestro ejemplo es significativa pero incierta, la forma más correcta de indicarla (asumiendo por ahora que la incertidumbre es de ±1 mm, es L = 0,852 ± 0,001 𝑚

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No obstante, lo más normal es omitir el término ±0′ 001 y asumir que la última cifra de un numero siempre es incierta si este esta expresado con todas sus cifras significativas. Este es el llamado convenio de cifras significativas que asume lo sgte.: “Cuando un número se expresa con sus cifras significativas, la ultima cifra es siempre incierta” Asumiendo que cualquier problema que nos muestre las cantidades con sus cifras significativas, debemos saber expresar el resultado de las operaciones que hagamos con dichos números con sus cifras significativas correspondientes . Es lo que veremos mas adelante pues antes es necesario ampliar conceptos y establecer procedimientos.

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Reglas para establecer las cifras significativas de un número dado Regla 1. En números que no contienen ceros, todos los dígitos son significativos. Por ejemplo: 3,14159 → 𝑠𝑒𝑖𝑠 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 → 3,14159

5,694 → 𝑐𝑢𝑎𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 → 5,694

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Regla 2. Todos los ceros entre dígitos significativos son significativos. Por ejemplo: 2,054 → 𝑐𝑢𝑎𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 → 2,054 506 → 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 → 506 Regla 3. Los ceros a la izquierda del primer dígito que no es cero sirven solamente para fijar la posición del punto decimal y no son significativos . Por ejemplo:

0,054 → 𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 → 0,054 0,0002604 → 𝑐𝑢𝑎𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 → 0,0002604

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Regla 4. En un número con dígitos decimales, los ceros finales a la derecha del punto decimal son significativos. Por ejemplo: 0,0540 → 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 → 0,0540

30,00 → 𝑐𝑢𝑎𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 → 30,00

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Regla 5. Si un número no tiene punto decimal y termina con uno o más ceros , dichos ceros pueden ser o no significativos. Para poder especificar el número de cifras significativas, se requiere información adicional. Para evitar confusiones es conveniente expresar el número en notación científica, no obstante, también se suele indicar que dichos ceros son significativos escribiendo el punto decimal solamente. Si el signo decimal no se escribiera, dichos ceros no son significativos. Por ejemplo: 1200 → 𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 → 1200 1200, → 𝑐𝑢𝑎𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 → 1200

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Regla 6. Los números exactos tienen un número infinito de cifras significativas. Los números exactos son aquellos que se obtienen por definición o que resultan de contar un número pequeño de elementos. Por ejemplo: Al contar el número de átomos en una molécula de agua se obtiene un número exacto: 3. Al contar las caras de un dado: 6. Por definición el número de metros que hay en un kilómetro es un número exacto: 1000. Por definición el número de grados hay en una circunferencia es un número exacto: 360.

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Definición 2: La notación científica de un número se representa utilizando potencias de base diez. El número se escribe como un producto. 𝐴 x 10𝑛 siendo A un número mayor o igual que uno y menor que 10, y n un número entero. La notación científica se utiliza para poder expresar fácilmente números muy grandes o muy pequeños. También es muy útil para escribir las cantidades físicas pues solo se escriben en notación científica los dígitos significativos. Un número en notación científica se expresa de manera que contenga un dígito (el más significativo) en el lugar de las unidades, todos los demás dígitos irán después del separador decimal multiplicado por el exponente respectivo.

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Un número en notación científica se expresa de manera que contenga un dígito (el más significativo) en el lugar de las unidades, todos los demás dígitos irán después del separador decimal multiplicado por el exponente respectivo. Ejemplos: Ejemplos: · Distancia media Tierra - Luna = 𝟑𝟖𝟒. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 𝒎 =𝑵

. 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 − 𝐿𝑢𝑛𝑎 = 𝟑𝟖𝟒. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 𝒎 = 𝟑, 𝟖𝟒 × 𝟏𝟎−𝟖 𝒎 =𝑵

𝑵𝒐𝒕𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑪𝒊𝒆𝒏𝒕í𝒇𝒊𝒄𝒂 𝒅𝒆 𝑵

· Radio del átomo de hidrógeno = 0,000000000053 m · Radio del átomo de hidrógeno = 5,3 · 10 -11 m (dos cifras significativas)

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CIFRAS SIGNIFICATIVAS EN EL CÁLCULO NUMÉRICO Regla 7. En (Suma y Sustracción): El número de cifras significativas a la derecha del punto decimal en la suma o la diferencia es determinada por el número con menos cifras significativas a la derecha del punto decimal de cualquiera de los números originales. Por ejemplo: 6.2456 + 6.2 = 12.4456 𝑟𝑒𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 12.4 Nota: 3 cifras significativas en la respuesta

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Regla 8. (Multiplicación y División): El número de cifras significativas en el producto final o en el cociente es determinado por el número original que tengan las cifras significativas más pequeño. 2.51 𝑋 2.30 = 5.773 𝑟𝑒𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 5.77 2.4 𝑋 0.000673 = 0.0016152 𝑟𝑒𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 0.0016

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CONCLUSIÓN: Como hemos visto, el convenio de cifras significativas no es del todo satisfactorio. Asi, la realización de operaciones aritméticas con cifras significativas hace que en ocasiones aumente la incertidumbre respecto a lo esperado, que es considerar que encadenemos y , por lo tanto sería conveniente determinar el valor de la incertidumbre si se quiere estar seguro de conocer la progresión del error cometido en las operaciones realizadas. Incluso, tal como se ha visto en algún caso, la omisión de este estudio para la simple aplicación de las reglas aquí establecidas puede llevarnos a la pérdida de cifras significativas.

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Definición 3 : Redondeo de Números La aplicación práctica de las reglas anteriores ha requerido del redondeo de números para ofrecer el resultado con el número de cifras significativas estipulando. Es decir, en el proceso de redondeo se eliminan los dígitos no significativos de un numero, pero siguiendo unas reglas que se deben aplicar al primero de los dígitos que se desea eliminar. Regla 9. Si el primer digito que se va a eliminar es inferior a 5, dicho digito los que le siguen se eliminan y el numero que queda se deja como está. Por ejemplo, los siguientes números se han redondeado a 4 cifras significativas: 1,4142136 … →= 12.4456 1,4142136 … → 1,414 6 = 2,4494897 … →= 2,4494897 … → 2,449

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Regla 10. Si el primer dígito que se va a eliminar es superior a 5, o si es 5 seguido de dígitos diferentes de cero, dicho dígito y todos los que le siguen y se aumenta en una unidad el número que quede.

Por ejemplo, los siguientes números se han redondeado a cuatro cifras significativas: π = 3,1415927 … →= 3,1415927 … → 3,142 7 = 2,6457513 … → 2,6457513 … → 2,646

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Regla 11. Si el primer dígito que se va a eliminar es 5 y todos los dígitos que le siguen son ceros, dichos dígito se elimina y el número que se va a conservar se deja como esta si es par o aumentar en una unidad si es impar .

Por ejemplo, los siguientes números se han redondeado a cuatro cifras significativas: 61,555 →= 61,555 → 61,56 2.0925→ 2,0925 … → 2,092 Esta última regla elimina la tendencia a redondear siempre en un sentido determinado el punto medio que hay entre dos extremos. Es importante destacar aquí que cuando se establece la función de redondeo en una calculadora normalmente esta no aplica la regla 11, es decir, si un número simple la condición dada en dicha regla, la calculadora aumentara en una unidad el ultimo digito del numero que queda de eliminar las cifras no significativas (es decir, la calculadora aplica en este caso la regla 10 ) 20

Definición 3 : Truncamiento El proceso simple de cortar un numero por un digito determinado sin tener en cuenta los dígitos que le siguen (sin redondear ) se denomina truncamiento. Por ejemplo , truncar el numero π a la diezmilésima sería: 3,1415927 … → 3,1415 Definición 4 . • Error Absoluto. Es la diferencia entre el valor aproximado y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si el valor aproximado es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). 𝐸𝑎𝑏𝑠 = | Valor real – Valor aprox.|

• Error Relativo. Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo que sea el error absoluto ) porque puede ser por exceso o por defecto , no tiene unidades 𝐸𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡

| Valor real – Valor aprox. | = x 100% Valor real 21

Una aportación importante sobre el estudio de los errores consiste en la magnitud de los errores que se cometen en el manejo de los datos en forma inherente al uso de la aritmética de punto flotante. Mc Craken concluye que las magnitudes de los errores cometidos por truncamiento son mayores a las cometidas por el uso del redondeo simétrico es independiente de la calidad en si misma siendo producto del tamaño de la mantisa que se utilice para hacer los cálculos. El máximo error absoluto debido al redondeo simétrico se calcula a través de la expresión: 1 . 10−𝑡+1 2

donde t es el tamaño de la mantisa

Ejemplo. Utilizando una mantisa de 3 cifras, determine el máximo error absoluto cometido en las siguientes cifras:

1. 2.

10.334 123293.967

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En ambos casos, las cantidades están definidas con una mantisa de tamaño tres, t=3, para lo cual sustituyendo en la ecuación correspondiente:

1 −𝑡+1 1 .10 = . 10−3+1 = 0,0005 2 2 Se observa que las cantidades 1 y 2 son muy diferentes en cuanto a magnitud ; no obstante el máximo error absoluto presente en cada una de ellas es igual. Es importante establecer que en la realización de cálculos no es trascendente conocer el signo algebraico de los errores, lo importante es conocer la diferencia entre los valores de trabajo, es decir, su distancia en valor absoluto . Esta distancia absoluta, o error absoluto, debe ser siempre menor que una cantidad de error permitida para considerar válido el cálculo. En la práctica de la Ingeniería, a esta cantidad de error permitida se le conoce como tolerancia.

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Las tolerancias suelen expresarse en forma de porcentajes (errores relativos) y casi siempre están enfocadas hacia el número de cifras significativas que deben utilizarse en la aproximación. Se puede demostrar que si el siguiente criterio se cumple, se puede tener la seguridad de que el resultado es correcto en al menos n cifras significativas: 𝑡𝑜𝑙 = (0,5𝑥102−𝑛 )

%

Ejemplo. Calcule el valor de la función 𝑒 1 utilizando la serie:

𝑥

𝑒 =

𝑖

𝑥 σ𝑛𝑖=0 𝑖!

𝑥2 =1+x+ 2!

+

𝑥3 3!

+⋯

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Variando el numero de términos de la serie utilizados y utilizado cinco cifras exactas. Para este ejemplo, la tolerancia es tol= 0.5 . 102−5 =0,00050. Si se considera como valor real el obtenido directamente de una calculadora, el resultado se muestra en la siguiente tabla:

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Una segunda aportación del estudio de McCracken es el establecimiento de un proceso para medir la propagación de los errores ocasionados por el uso de la aritmética de punto flotante. A partir del establecimiento del máximo error absoluto cometido y de la operación aritmética utilizada se demuestra que en este tipo de procesos el orden en que se realiza las operaciones si modifica el resultado

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UNIDAD 2

SOLUCION DE ECUACIONES DE UNA VARIABLE

0 El Teorema del Valor Intermedio. 0 El Método de la Bisección. 0 Iteración de Punto Fijo.

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EL TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO

RAÍCES REALES DE ECUACIONES NO LINEALES

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• MÉTODO DE LA BISECCIÓN

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Convergencia del Método

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El Algoritmo de la Bisección:

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Eficiencia del Método

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Implementación Computacional Calcular una raíz “r” real de la ecuación f(x)=0 donde f es contínua en [a, b] tal que f(a) y f(b) tienen signos diferentes. El algoritmo de este método será dado en Octave. El nombre de la función será: biseccion y recibirá como parámetros f, a, b, y entregará “c” como aproximación a la raíz “r”. Criterio de parada: Terminar cuando la longitud del intervalo sea menor que un valor pequeño “e” especificado como parámetro de la función. Entonces este valor c estará aproximadamente a una distancia “e” de la raíz “r” y será la raíz que se busca. function c=biseccion(f,a,b,e) format long while b-a >=e c=(a+b)/2; if f(c)==0 return elseif sign(f(a))==sign(f(c)) a=c; else b=c end end endfunction 38

En el editor de Octave: f1=@(x) [x*exp(x)-pi] c=biseccion(f1,0,2,0.0001) fprintf('El valor de la raiz de f es %f\n', c) x=0:0.1:2; f=x.*exp(x)-pi; plot(x,f,'b') hold on fc=f1(c(:,1)) plot(c,fc,'or') grid title('Método de la Bisección') legend('f(x)=x.exp(x)-pi','Raíz aproximada de f') xlabel('X') ylabel('Y') text(0.1, 14, 'Fig. 1')

• MÉTODO DEL PUNTO FIJO

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El Algoritmo del Punto Fijo:

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clear all;clc; x=0:0.01:2; y= exp(x)-pi*x; plot(x,y) hold on plot([0,2],[0,0],'k') grid on legend('f(x)= exp(x) - pi*x') xlabel=('X'); ylabel=('Y'); title('Raices de f(x)')

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Convergencia del Método

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Eficiencia del Método

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OCTAVE  Para que el método tenga éxito, se le debe ingresar : • Una función F(x) • Un valor inicial • Una tolerancia • Numero "n" de iteraciones

El método se para cuando la tolerancia es mayor que el error.

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%Programa de metodo de punto fijo function [ tabla ] = punto_fijo(a,n,delta,tole) format long i=0; funcionvalue=delta+1; error=tole+1; while idelta & error>tole format long i=i+1; %numero de iteraciones a realizar tabla(i,1)=i;

punto_fijo.m

x = gun(a); %evaluar el punto de busquedas en la funcion tabla(i,2)=x; y= funcion(x); %evaluar x en la funcion principal tabla(i,3)=y; funcionvalue= abs(y); %error= abs(x-a); %calculo del error %error=abs(x-a)/abs(x); %error relativo %error=(abs(x-a)/abs(x))*100; %error porcentual tabla(i,4)=error; a = x; %Para que el programa sepa cuando detenerse endwhile endfunction 57

function.m

gun.m

function [ y ] = funcion (x) format long

function [ y ] = gun (x)

y=exp(x)-3.14156*x;

%nthroot (8,3) raiz cubica de 8

endfunction

%y=asin((-3*exp(-x)+3*cos(x)+5)/(4));

y=exp(x)/3.14156; endfunction

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numero de iteraciones

Evaluar x en la funcion principal el programa sepa cuando detenerse Evaluar el punto de búsquedas f(x)

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