Primer Resumen Resist En Cia De Materiales

1 PRIMER RESUMEN RESISTENCIA DE MATERIALES Introducción. Resistencia de Materiales, también conocida como Mecánica de Materiales o Mecánica de los Cuerpos Deformables, es una rama de la Mecánica Aplicada para entender el comportamiento de los cuerpos sólidos sometidos a varios tipos de carga. Los cuerpos sólidos considerados incluyen barras con cargas axiales, ejes en torsión, vigas en flexión y columnas en compresión, entre otros. Su objetivo principal es determinar los esfuerzos, deformaciones unitarias y desplazamientos en estructuras y sus componentes, debido a las cargas que actúan sobre ellas. El poder determinar esas cantidades para todos los valores de las cargas hasta las que causan la falla, permite una representación completa del comportamiento mecánico de esas estructuras, lo cual es esencial para el diseño adecuado de todos los tipos de estructuras. Se basa en la Estática y la Dinámica, pero va un paso más adelante al considerar los cuerpos de dimensiones finitas que sufren deformaciones bajo la acción de cargas. Los conceptos fundamentales en Resistencia de Materiales son el Esfuerzo y la Deformación Unitaria. Como una carga (fuerza) puede aplicarse a un cuerpo en la dirección de sus ejes longitudinal o transversal, podemos distinguir dos tipos de esfuerzos principales: axial (eje longitudinal) que a su vez se subdivide en esfuerzo de tensión (si el sentido de las fuerzas se alejan del centro del cuerpo) y esfuerzo de compresión (si el sentido de las fuerzas apunta al centro del cuerpo); el otro tipo de esfuerzo principal es el radial (eje transversal) que se denomina esfuerzo cortante (porque provoca fracturas, cortes). Los esfuerzos axiales también se denominan esfuerzos normales, porque son perpendiculares al plano de una sección transversal y se representan mediante la letra griega sigma minúscula (). Puesto que el esfuerzo normal se obtiene al dividir la fuerza axial entre el área transversal, sus unidades son las de Fuerza entre unidad de Área; cuando se usan unidades inglesas (U. S.) se expresa en libras por pulgada cuadrada (psi) o kips por pulgada cuadrada (ksi), donde un kip o kilolibra es igual a 1000 libras; cuando se usan unidades del Sistema Internacional (SI), la fuerza se expresa en newtons (N) y el área en metros cuadrados (m 2), por lo que el esfuerzo tiene unidades de newton sobre metro cuadrado (N/m 2), los cuales dan lugar a la unidad llamada pascal (Pa), pero como el pascal es una unidad de esfuerzo muy pequeña, se utiliza un múltiplo: el megapascal (Mpa) que es un millón de veces más grande. A veces, el esfuerzo se expresa en newton/milímetro cuadrado (N/mm2) que es equivalente al Mpa. Si usamos el Sistema técnico, podemos encontrarnos con unidades del tipo kilogramo-fuerza/centímetro cuadrado (Kg/cm2) El esfuerzo axial se determina mediante la fórmula:  = F/A la cual es válida sólo si el esfuerzo está uniformemente distribuido sobre la sección transversal de la barra, es decir, si la línea de acción de la fuerza axial F pasa por el centroide del área de la sección transversal. La distribución del esfuerzo en el extremo de una barra, depende de cómo se transmite a ésta la fuerza F: si la carga está uniformemente distribuida sobre el extremo, entonces el padrón de esfuerzos será el mismo en otras partes, pero lo más probable es que la carga sea transmitida por medio de un perno o un pasador, lo cual genera esfuerzos altamente localizados,

2 llamados concentraciones de esfuerzos, por lo que las fuerzas son las resultantes de presiones de apoyo o aplastamiento entre los pasadores y ls distribución es bastante compleja; pero si nos alejamos de los extremos y nos acercamos al centro de la barra, la distribución del esfuerzo tiende gradualmente a la distribución uniforme. Como regla práctica, la fórmula  = F/A puede usarse con buena aproximación en cualquier punto dentro de una barra prismática que esté alejado de la concentración de esfuerzos por lo menos una distancia igual a la dimensión del diámetro. Aún cuando el esfuerzo no esté uniformemente distribuido, la ecuación  = F/A es de utilidad porque da el esfuerzo promedio sobre la sección transversal. Cuando se aplica un esfuerzo axial (tensión o compresión) sobre una barra, varía la longitud de la barra, alargándola o acortándola en una magnitud que llamamos , la cual dependerá de la longitud inicial, la magnitud del esfuerzo y el tipo de material de la barra, dando lugar a la denominada deformación unitaria, es decir, la variación de la longitud por unidad de longitud; esta deformación unitaria se representa mediante la letra épsilon () y se determina mediante la fórmula  =   L la cual es una cantidad adimensional que se expresa simplemente con un número (sin importar el sistema que se esté usando) y suele ser muy pequeño, porque las barras hechas de materiales estructurales (que se usan para estructuras) sólo sufren pequeños cambios de longitud al ser cargadas. En la práctica se puede encontrar que  se reporta como mm/m, /m, in/in, etc., o en porciento (sobre todo cuando es muy grande) Para que las máquinas y estructuras funcionen adecuadamente su diseño, se necesita que entendamos el comportamiento el comportamiento mecánico de los materiales usados y, por lo general, la única manera de establecer este comportamiento es experimentalmente. El procedimiento es colocar pequeñas muestras de material (probetas) en máquinas de prueba y medir las deformaciones resultantes (cambios de longitud y diámetros) para cargas estáticas y dinámicas. Con el fin de que las pruebas sean fácilmente comparables, el tamaño de las probetas y los métodos de aplicación tienen que estandarizarse, por lo cual se usan diversos estándares, según las necesidades requeridas; por ejemplo, podemos mencionar los de la Sociedad Americana de Pruebas y Materiales (ASTM, por sus siglas en inglés), Sociedad Americana de Normas (ASA), Instituto Nacional de Normas y Tecnología (NIST), Sociedad Americana de Soldadura (AWS), Sociedad de Ingenieros Automotrices (SAE), Instituto Americano del Hierro y el Acero (AISI) y el Instituto Alemán de Normas (DIN, por sus siglas en alemán). La probeta de tensión estándar de la ASTM tiene un diámetro de 0.505 in y una longitud calibrada de 2.0 in entre las marcas de calibración, que son los puntos donde los brazos del extensómetro (aparato para medir el alargamiento o acortamiento) se unen a la probeta. En una prueba estática, la carga se aplica despacio (la velocidad de carga no es de interés) y en una prueba dinámica la carga se aplica rápidamente (la velocidad de carga debe medirse). Las pruebas de compresión de metales se efectúan sobre probetas en forma de cubos (2.0 in por lado) o cilindros circulares (diámetro 1.0 in y longitudes de 1 a 12 in). El

3 acortamiento debe medirse sobre una longitud calibrada que sea menor que la longitud de la probeta para evitar el efecto de borde. El concreto se debe probar a compresión en todo proyecto de construcción importante para garantizar que se ha obtenido la resistencia requerida, usándose probetas de 6 in de diámetro y 12 in de longitud, además de 28 días de edad, ya que es importante porque el concreto gana resistencia con el curado. Los resultados de las pruebas dependen del tamaño de la probeta, pero si se expresan en esfuerzos y deformaciones unitarias, se pueden aplicar a los materiales de cualquier tamaño. El esfuerzo axial en una probeta se calcula dividiendo la carga axial aplicada entre el área de la sección transversal ( = F/A); cuando se usa el área inicial de prueba en los cálculos, el esfuerzo se denomina esfuerzo nominal; cuando se usa el área real de la barra en la sección transversal donde ocurre la falla, el esfuerzo se denomina esfuerzo verdadero. Como el área real de la barra en la sección transversal donde ocurre la falla siempre es menor que el área inicial, el esfuerzo verdadero siempre es mayor que el esfuerzo nominal. De igual manera, la deformación unitaria se puede determinar usando la longitud calibrada inicial (deformación unitaria nominal) o la variación de la longitud (deformación unitaria verdadera o deformación unitaria natural). En tensión, la deformación unitaria verdadera siempre es menor que la deformación unitaria nominal. Para la mayoría de los fines ingenieriles, el esfuerzo nominal y la deformación unitaria nominal son adecuados, porque nos dan un margen de tolerancia. Después de realizar una prueba de tensión o compresión, se puede trazar un diagrama Esfuerzo-Deformación Unitaria que es una característica del material en especial que se está probando. GRÁFICA CUALITATIVA ESFUERZO-DEFORMACIÓN

4  Plasticidad o fluencia perfecta Región lineal (elástica) Endurecimiento por deformación Estricción Esfuerzo último Esfuerzo de fluencia

Fractura

Límite Proporcional

Deformación La región elástica o lineal se apega a la Ley de Hooke de la elasticidad de los cuerpos; la pendiente dependerá del tipo de material, entre más resistente sea, la pendiente será mayor y se llama módulo de elasticidad y es la región que nos interesa para trabajar en ella; termina e un punto llamado Límite Proporcional. Con un incremento en el esfuerzo más allá del límite proporcional, la deformación unitaria tiende a crecer con más rapidez, disminuyendo la pendiente hasta hacerse horizontal (pendiente cero), en este momento, la probeta tiende a alargarse considerablemente sin un incremento perceptible del esfuerzo, dando lugar a la plasticidad o fluencia del material. El punto donde la pendiente se hace cero, se llama punto o esfuerzo de fluencia, donde ocurren cambios en la estructura cristalina del material y dan lugar a deformaciones permanentes. Después de la región plástica, el material empieza a endurecerse (también por cambios en la estructura cristalina), requiriéndose mayores esfuerzos para mayores deformaciones hasta alcanzar un máximo, llamado esfuerzo último, para tener un alargamiento adicional con reducción de carga y ocurre la fractura o falla. Este diagrama no está a escala. Cuando una probeta se estira, sufre una contracción lateral; esta variación en su diámetro es muy pequeña para que tenga un efecto significativo en los valores calculados hasta terminar la zona de fluencia, pero más allá de este punto la reducción del área comienza a modificar la forma de la curva, de tal manera que cerca del esfuerzo último, la reducción del área de la barra resulta visible y ocurre una estricción. Los metales, como el acero estructural, que sufren grandes deformaciones permanentes antes de fallar, se clasifican como dúctiles. Una

5 característica deseable de los materiales dúctiles es que ocurra en ellos una deformación visible si las cargas alcanzan grandes valores ya que pueden tomarse medidas correctivas antes de que ocurra la falla. Los materiales dúctiles son capaces de absorber grandes cantidades de energía de deformación antes de fracturarse. Aunque pueden tener considerable ductilidad, las aleaciones de aluminio no poseen un punto claramente definido de fluencia, pero tienen una región lineal inicial con un límite proporcional reconocible. La ductilidad de un material en tensión puede caracterizarse por su alargamiento y la reducción de su área transversal donde ocurre la fractura. El porcentaje de alargamiento se define y calcula mediante la fórmula: % de alargamiento =

L f  Lo Lo

100

en donde Lo es la longitud calibrada inicial y L f es la distancia entre las marcas de calibración en la fractura. El porcentaje de reducción del área mide la cantidad de estricción que se presenta y se define y calcula mediante: % de reducción de área =

Ao  A f Ao

100

Los materiales que fallan en tensión a valores relativamente bajos de la deformación unitaria se clasifican como frágiles, algunos ejemplos son: concreto, hierro fundido, vidrio, cerámicas y diversas aleaciones metálicas. Los materiales frágiles fallan con poco alargamiento después de que se ha excedido el límite proporcional; la reducción de área es insignificante por lo que el esfuerzo nominal de fractura es el mismo que el esfuerzo último verdadero. Los aceros al alto carbono tienen esfuerzos de fluencia muy altos (más de 100 ksi en algunos casos) pero su comportamiento es frágil y la fractura ocurre con alargamientos de sólo un bajo porcentaje. El vidrio ordinario es un material frágil casi ideal, porque no exhibe ductilidad alguna, su gráfica esfuerzo-deformación unitaria es prácticamente un línea recta, su falla ocurre antes de que tenga lugar alguna fluencia. Las fibras de vidrio pueden desarrollar enormes resistencias y se han alcanzado esfuerzos últimos de más de 1 000 000 psi (7 GPa). Muchos tipos de plástico se usan con fines estructurales debido a su bajo peso, resistencia a la corrosión y buenas propiedades aislantes; sus propiedades mecánicas varían considerablemente, algunos son dúctiles, otros frágiles; por eso, al diseñar con plásticos es importante tener en cuenta que los cambios de temperatura y el paso del tiempo afectan sus propiedades en forma notoria; por ejemplo, el esfuerzo último de tensión de algunos plásticos se reduce a la mitad al elevarse la temperatura de 50 a 120 oF (10 a 49 oC); un plástico cargado puede estirarse gradualmente con el paso del tiempo hasta que pierde su capacidad de servicio; por ejemplo, una barra de PVC sometida a una carga de tensión que le produce una deformación unitaria inicial de 0.005 puede adquirir el doble de esta deformación después de una semana, aún cuando la carga permanezca constante. Este fenómeno se conoce como flujo plástico. Un material reforzado con filamentos consta de un material base (matriz) en que están embebidos (incrustados) filamentos o fibras de alta resistencia, resultando un material con resistencia mucho mayor que la del material base; por ejemplo: matriz plástica con fibra de vidrio. Este tipo de materiales se usa en estructuras que requieren alta

6 resistencia y poco peso, como son los aviones, botes y vehículos espaciales, entre otros. Las curvas esfuerzo-deformación unitaria en compresión difieren de las de tensión. Los materiales dúctiles tienen una región plástica y límite proporcional semejantes en los dos tipos de esfuerzo, pero el comportamiento es diferente en la región plástica. En una prueba a tensión, la probeta se alarga, puede ocurrir la estricción y después la fractura, mientras que en compresión, se abomba hacia los lados (la fricción en los extremos impide la dilatación lateral) y toma la forma de un barril. Con carga creciente, la probeta se aplana y ofrece una mayor resistencia al acortamiento inicial (la curva se vuelve muy empinada). Los materiales frágiles se rompen bajo las cargas máximas.

.

1.- Región elástica; 2.- Empieza a abombarse; 3.- Se aplasta

1

2

3

GRÁFICA CUALITATIVA (MATERIAL DÚCTIL)

DE

ESFUERZO-DEFORMACIÓN UNITARIA

A

COMPRESIÓN

Los diagramas de esfuerzo-deformación unitaria muestran el comportamiento de los materiales ingenieriles cuando están cargados en tensión o compresión; para ir un paso más allá, consideremos lo que sucede cuando la carga se retira y el material se descarga: mientras el esfuerzo permanezca en la región elástica, el material recupera sus dimensiones originales y se llama elasticidad y el material se considera elástico; si cargamos el material a un punto superior a la región elástica (zona plástica), al descargarse el material no recupera sus dimensiones originales, sino que conserva una deformación unitaria residual o deformación unitaria permanente y la variación en la longitud se denomina deformación remanente, por lo que se dice que el material es parcialmente elástico. Cargando y

7 descargando sucesivamente un material, con esfuerzos cada vez mayores, se puede determinar el punto en el cual el material ya no es elástico para convertirse en parcialmente elástico; a este punto se le conoce como límite elástico del material, el cual es aproximadamente el mismo que el límite proporcional en muchos materiales, pero no en todos. La característica de un material por la cual sufre deformaciones unitarias más allá del límite elástico se conoce como plasticidad y cuando ocurren grandes deformaciones en un material dúctil cargado en la región plástica, se dice que el material sufre un flujo plástico. Cuando algunos materiales son cargados durante largos períodos, sufren o desarrollan deformaciones unitarias adicionales y se dice que fluyen plásticamente, aunque los cambios son muy pequeños para considerarlos. Este proceso, que es una manifestación del flujo plástico, recibe el nombre de relajación. En general, el flujo plástico es más importante a altas temperaturas que a temperaturas ordinarias; así que debe considerarse siempre en el diseño de motores, hornos y otras estructuras que operen a elevadas temperaturas durante largos períodos. Cuando una barra prismática se somete a tensión, el alargamiento axial va acompañado de una contracción lateral, la cual podemos advertir fácilmente si estiramos una liga elástica, pero en los metales, los cambios en las dimensiones laterales, dentro de la región elástica, son muy pequeños para detectarlos a simple vista, necesitándose equipo especial para su detección. La deformación unitaria lateral en cualquier punto de una barra es proporcional a la deformación unitaria axial en el mismo punto si el material es elástico lineal. Para que las deformaciones sean las mismas en toda la barra, se deben cumplir ciertas condiciones adicionales: 1º.- La fuerza axial debe ser constante en toda la longitud de la barra, de manera que la deformación unitaria axial también sea constante. 2º.- Material homogéneo y 3º.- Las propiedades elásticas sean las mismas en todas las direcciones perpendiculares al eje longitudinal. Se dice que los materiales que tienen las mismas propiedades en todas direcciones son isótropos; si las propiedades difieren en varias direcciones, el material es anisótropo y, cuando las propiedades en una dirección especial son las mismas en todo el material y las propiedades en todas las direcciones perpendiculares a esa dirección son las mismas, pero diferentes de las primeras propiedades, el material se llama ortotrópico, como es el caso de los plásticos reforzados con fibras y el concreto reforzado con barras paralelas de acero. La relación de la deformación unitaria lateral ’ y la deformación unitaria axial  se conoce como razón de Poisson y se representa con la letra griega  (ni): = 

Deformación unitaria lateral  '  Deformación unitaria axial 

de donde : ’ =  Para una barra en tensión, la deformación unitaria axial es positiva y la deformación unitaria lateral es negativa; para la compresión tenemos los casos contrarios, por lo que siempre tendrá valores positivos la razón de Poisson.

8 Debido a que las dimensiones de una barra en tensión o en compresión cambian cuando se aplica una carga, el volumen de la barra también se modifica; el cambio de volumen puede calcularse a partir de las deformaciones unitarias axiales y laterales. El volumen final se puede determinar mediante la fórmula: Vf = Vo (1 +  - 2) y el cambio de volumen es: V = Vf – Vo = Vo(1 - 2) El cambio de volumen unitario e se define como el cambio en el volumen dividido entre el volumen original: V    (1 - 2) = 1  2  e= Vo

E

La cantidad e también se conoce como expansión. Estas ecuaciones se pueden usar para los cambios de volumen, tanto en tensión como en compresión, sólo hay que usar los signos algebraicos adecuados (positivo o negativo) según sea el caso. De la ecuación para la expansión se puede observar que el valor máximo que puede alcanzar la razón de Poisson () para los materiales ordinarios es de 0.5, porque cualquier valor superior significaría que la expresión e resultaría negativa y que el volumen decrece cuando el material está en tensión, lo cual es físicamente imposible.