Primer Parcial. Ecuaciones Diferenciales.

Clase, 7 de Septiembre. Resolución del examen. 1. Analice la siguiente ecuación diferencial,

, para ello:

a) Establezca su pertenencia a todas las clasificaciones que conozca (orden, grado, linealidad, tipos de derivadas y cualquier otro tipo de clasificación en que la pueda enclaustrar). La ecuación diferencial que se muestra, se puede clasificar como: •

de primer orden, porque el orden de la derivada mayor es 1;

•

de primer grado, porque la derivada de mayor orden está elevada a la primera potencia;

•

no lineal, porque no existen productos entre

•

no autónoma, porque la variable independiente ecuación diferencial; y

•

ordinaria, porque no presenta derivadas parciales.

y su derivadas; aparece en la forma derivada de la

b) Establezca el dominio para el que se presenta la existencia y/o la unicidad de las posibles soluciones. La ecuación diferencial del problema se puede simplificar y escribirse como

. Y

entonces sabemos que: •

no existe solución a la ecuación cuando

•

después de obtener la derivada parcial de la función con respecto a solución única para l función cuando

; , no existe

.

c) Resuelva mediante el método de las isoclinas señalando las principales características de la solución gráfica (puntos de inflexión, soluciones únicas, isoclinas y curvas integrales).

Igualamos la ecuación a una constante y despejamos , entonces tenemos que . Le asignamos valores a para dibujar las isoclinas y sobre estas dibujamos líneas con pendiente igual a .

En la gráfica se muestran las pendientes de varias partes de las curvas integrales pero sólo algunas isoclinas. Se observa que sobre el eje x hay una solución única (y=0) y si unimos las pendientes que se observan obtendremos las curvas integrales (familias de soluciones de la función).

d) Resuelva, si procede, analíticamente. Tenemos una ecuación diferencial exacta, para comprobarlo la usamos en la forma que se muestra al principio del problema, , y obtenemos las derivadas parciales de M y N con respecto a la variable de la diferencial contraria. Entonces:

Como las derivadas parciales son iguales, comprobamos que son exactas y hacemos las integrales correspondientes para obtener la solución.

El problema anterior también puede resolverse por variables separables.

e) Encuentre la solución particular que corresponde a

.

En la solución del problema anterior, sustituimos la condición inicial.

La solución particular para la ecuación diferencial que corresponde a la condición inicial presentada es .

2. Encuentre mediante el método del polinomio característico la solución de las dos siguientes ecuaciones diferenciales lineales: a) El polinomio característico de la ecuación anterior es obtenemos

. A partir de

diferencial que queda como

, de donde despejamos

y

obtenemos directamente la solución de la ecuación .

b) El polinomio auxiliar de la ecuación es

, que se puede factorizar como

. De lo anterior obtenemos dos raíces de las cuales despejamos y

. La solución de la ecuación diferencial queda como

: .

3. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales por un método conveniente: a) Tenemos una ecuación homogénea que se puede reducir a variables separables, después de realizar los cambios de variable correspondientes. Primero, sabemos que se presentan dos rectas que se cruzan en un punto y necesitamos encontrarlo para trasladar el origen con el primer cambio de variable. Entonces:

Resolviendo el sistema de ecuaciones por el método más conveniente, obtenemos el punto de cruce cuando . Con lo anterior podemos realizar el primer cambio de variable:

Y la ecuación diferencial inicial nos queda como:

La ecuación anterior es una homogénea, por lo que para resolverla hacemos un segundo cambio de variable y obtendremos una ecuación de variables separables. Definimos que , entonces y sustituimos en la ecuación anterior.

Sacamos de factor común, distribuimos en el segundo término y separamos las diferenciales, poniendo una de cada lado de la igualdad, para posteriormente plantear las integrales correspondientes y obtener la solución de la ecuación.

La primera integral es directa, para resolver la segunda se necesitan varios pasos. Primero definimos que y entonces . Para tener otra integral directa, multiplicamos y dividimos por 2 toda la integral y le sumamos y restamos 1, posteriormente las separamos para tener una integral de la forma resolveremos después.

y otra que

Para la última integral, completamos el trinomio cuadrado perfecto en el denominador y factorizamos lo que obtuvimos como una diferencia de cuadrados:

Usamos fracciones parciales para encontrar los numeradores de las integrales que nos faltan:

Y con lo anterior ya tenemos sólo integrales directas. Después de terminar de resolver las integrales tenemos que regresar a las variables originales, recordemos que y

.

,

b) Se trata de una ecuación homogénea, para resolverla la reacomodamos y posteriormente hacemos el cambio de variable , . Después tendremos una ecuación de variables separables que reducimos a dos integrales.

Para resolver la segunda integral la separamos en fracciones parciales y encontrar integrales directas.

Y así tenemos las integrales directas que buscábamos. Se resuelven las integrales y regresamos a las variables originales. Recordemos que

.

c) La ecuación diferencial tiene que reacomodarse para posteriormente resolverse por variables separables.