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LABORATORIO N°8 CIRCUITOS TRANSITORIOS DE SEGUNDO ORDEN RLC SERIE FUNDAMENTO TEORICO: Las variables de estos circuitos se gobiernan por ecuaciones diferenciales de segundo orden. A primera vista se pueden distinguir porque contienen dos elementos capaces de almacenar energía; ya sean dos condensadores, dos bobinas (que no se puedan sustituir por una C o una L equivalente) o un condensador más una bobina. Su estudio será similar al empleado con los circuitos basados en una ecuación de primer orden.  Respuesta transitoria de un circuito RCL: Sea el circuito de la Figura 01. En el que el interruptor ha estado abierto un tiempo suficiente como para descartar energía inicial almacenada en C o L.  Ahora para t  0 :

Derivando la ecuación:

La solución general por métodos de ecuaciones diferenciales se obtiene:

iT (t ) = Solución Homogénea o natural (componente transitorio). iS (t )

= Solución Particular i forzada (componente estacionaria).

Para solución homogénea se asume una respuesta del tipo: i  e De donde:

pt

Reemplazando y derivando en la ecuación diferencial:

Como “i” es una respuesta esperada  i  0 Por lo que:

Definiendo:

  Coeficiente de amortiguamiento 0  Frecuencia de resonancia Sabiendo que “p” es un parámetro que solo depende de la red y su naturaleza lo da el discriminante radical, la respuesta podrá ser alguno de los siguientes tres tipos:

Caso A: respuesta sobre amortiguada

  0

Las soluciones de “p” son reales y negativas; por lo que el transitorio queda como combinación de ellas.

Caso B: respuesta críticamente amortiguada

  0 La solución estacionaria es una familia de excitación como en este caso es una constante:

La única solución de, por lo que la solución en este caso será;

La solución adicional homogénea considera una rampa que se atenúa exponencialmente.

Caso C: respuesta críticamente Sub-Amortiguada

  0 Las soluciones de “p” son complejas conjugadas, los cuales se pueden representar:

Considerando la oscilación:

La solución general seria:

Utilizando las fórmulas de

EULER:

Como las soluciones deben ser reales, A y B deberán ser complejos conjugados, por lo que se puede hacer la siguiente conversión de variables:

Sumando las partes trigonométricas en forma fasorial:

 Observamos la oscilación natural y el sobre picos que se producen hasta quedar en estado estable: i ( ) .El estado en cada uno de estos casos es función de las propiedades de elementos y no de la excitación.

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