Presentacion Unidad I Obj 7,8

Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado. Unidad I. Ejercicios correspondientes a rectas y parábolas.

14/10/2008

Hecho por M.Sc. Jorge Hernández

Unidad I. Rectas y parábolas. • Ejercicios respecto a Rectas. •

1. Dibuje la gráfica de la ecuación

2x + 3y = 6 •

Respuesta: Primero, despejamos la variable y de la ecuación dada:

6 − 2x 2 y= = 2− x 3 3 14/10/2008

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Unidad I. Rectas y parábolas. Claramente, la pendiente de la recta es

2 m=− 3 Y esto nos indica que la recta es descendente, o inclinada hacia abajo. Por otra parte, la ordenada en el origen es 2, luego, la recta pasa por el punto

(0,2)

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Unidad I. Rectas y parábolas. Para graficar una recta se necesitan solo dos puntos, ya tenemos uno, en consecuencia si le damos a la variable x un valor distinto de cero obtenemos un punto adicional y con este podemos graficar la recta.

2 3 x = 3 / 2 ⇒ y = 2 − ⋅ = 2 −1 = 1 3 2

Luego el punto

(3 / 2,1)

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Unidad I. Rectas y parábolas. Gráfica de la ecuación del ejercicio.

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Unidad I. Rectas y parábolas. • 2. Encuentre la gráfica de la ecuación dada por:

y = 2 x + 3x − 1 2

• Respuesta: Nos interesa encontrar el vértice, sus raíces y su eje de simetría. El vértice se consigue así:

b 3 3 xv = − =− =− 2a 2.2 4

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4ac − b 2 4.2.(−1) − 32 − 17 yv = = = 4a 4.2 8

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Unidad I. Rectas y parábolas. (

)

− 3 / 4,−17 / 8 El vértice es el punto de coordenadas Y por consiguiente, la ecuación de la recta que representa al eje de simetría es 3 x=− 4 Las raíces de esta ecuación se consiguen por medio de

x1, 2

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− 3 ± 32 − 4.2.(−1) − 3 ± 17 = = 2.2 4

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Unidad I. Rectas y parábolas. En consecuencia las raíces están sobre el eje x con los valores

3 + 17 x1 = 4

y

3 − 17 x2 = 4

En la próxima diapositiva están graficados estos valores.

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Unidad I. Rectas y parábolas. Aquí mostramos los datos encontrados.

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Unidad I. Rectas y parábolas. Lo que hacemos ahora es trazar una línea continua que una los puntos en la gráfica en forma de parábola.

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Unidad I. Rectas y parábolas. • 3. Encuentre los puntos de intersección entre las rectas

L1 : y = x + 1 y L2 : y = −2 x + 4 • Solución: Buscamos un punto que es común a ambas rectas, es decir, valores de x y de y que satisfacen las ecuaciones de las rectas dadas. En consecuencia, este problema tendrá solución cuando encontremos la solución del sistema de ecuaciones

⎧ y = x +1 ⎨ ⎩ y = −2 x + 4 14/10/2008

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Unidad I. Rectas y parábolas. Escrito de otra manera queda.

⎧ y − x =1 ⎨ ⎩ y + 2 x = +4 Podemos usar cualquier método para resolver el sistema. Usemos el método de reducción. Restando las ecuaciones tenemos:

0 − 3x = −3 Con lo que

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x =1 Hecho por M.Sc. Jorge Hernández

Unidad I. Rectas y parábolas. Este valor de x se sustituye en cualquiera de las ecuaciones y se obtiene el valor de la otra variable

y +1 = 1 y=2 Luego el punto buscado es el punto

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(1,2)

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Unidad I. Rectas y parábolas. Veamos la gráfica.

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Unidad I. Rectas y parábolas. • Encontrar el o los puntos de intersección de las parábolas

• Solución:

⎧ y = x2 − 2x − 2 ⎨ 2 y x = − − x +1 ⎩

Igualando las ecuaciones tenemos

x − 2x − 2 = −x − x +1 2

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2

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Unidad I. Rectas y parábolas. Igualando a cero:

2x − x − 3 = 0 2

Aplicando resolvente cuadrática queda que

− (−1) ± (−1) 2 − 4.2.(−3) 1 ± 1 + 24 1 ± 5 r1, 2 = = = 2.2 4 4 Entonces, los valores de x son

3 x= y 2 14/10/2008

x = −1

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Unidad I. Rectas y parábolas. Sustituyendo estos valores en cualquiera de las ecuaciones, digamos en la primera, tenemos que 2

3 9 11 3 ⎛3⎞ x = ⇒ y = ⎜ ⎟ − 2. − 2 = − 3 − 2 = − 2 4 4 2 ⎝2⎠

x = −1 ⇒ y = (− 1) − 2.(−1) − 2 = 1 + 2 − 2 = 1 2

De esta forma los puntos de intersección son

11 ⎞ ⎛3 ⎟ ⎜ ,− 4 ⎠ ⎝2 14/10/2008

(− 1,1)

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Unidad I. Rectas y parábolas. Veamos el gráfico.

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Unidad I. Rectas y parábolas. • Ejercicios Propuestos. 1. Resolver los ejercicios del 2 al 10 de la página 171 del libro de Arya-Lardner. 2. Resolver los ejercicios del 33 al 36 y los ejercicios 42 y 43 de la página 172 y 173 del libro de Arya-Lardner.

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Unidad I. Rectas y parábolas. Fin de la Presentación.

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