Presentacion Unidad I Obj 5,6

Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado. Unidad I. Obj 5. Plano Cartesiano. Ecuación de la recta y la parábola.

martes, 14 de octubre de 2008

Hecho por M. Sc. Jorge Hernández

Unidad I. Preliminares. 1. Plano Cartesiano. Definición: El producto cartesiano del conjunto R con el mismo es un nuevo conjunto numérico definido por medio de:

R 2 = R × R = { ( a ,b ) : a ∈ R , b ∈ R } Como se ve en esta definición el conjunto consta de elementos que son pares de números reales.

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Unidad I. Preliminares. Todo punto en el plano tiene asociado un par del conjunto indicado anteriormente, estos reciben el nombre de coordenadas, al primero se le llama abscisa y al segundo de ellos ordenada.

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Unidad I. Preliminares. 2. Distancia entre dos puntos: Consideremos dos puntos del plano

P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) Entonces, la distancia entre ellos está definida por medio de

P1 P2 = ( x1 − x 2 )2 + ( y1 − y 2 )2

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Unidad I. Preliminares. 3. Pendiente entre dos puntos: Dados dos puntos

P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) La pendiente entre ellos está definida por medio de

m=

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y 2 − y1 x 2 − x1

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Unidad I. Preliminares. Rigurosamente hablando la pendiente entre dos puntos no es más que el valor de la tangente del ángulo formado por el segmento de recta que une los puntos y la horizontal:

m = tag ( θ ). A continuación mostramos dos ejemplos de cómo conseguir la distancia entre dos puntos y la pendiente entre ellos.

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Unidad I. Preliminares. Ejemplo 1. Encuentre la distancia entre los puntos

P1 = (1,2) y P2 = (3,4) Y la pendiente entre ellos. Respuesta: Aplicando la fórmula de distancia entre dos puntos, tenemos que

P1 P2 = ( x1 − x2 ) 2 + ( y1 − y2 ) 2 = (1 − 3) 2 + (2 − 4) 2

= (−2) 2 + (−2) 2 = 8 martes, 14 de octubre de 2008

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Unidad I. Preliminares. La pendiente entre ellos la encontramos por medio de

y2 − y1 m= x 2 − x1 Entonces,

4−2 2 m= = =1 3 −1 2

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Unidad I. Preliminares. Aquí mostramos el gráfico representativo del ejemplo.

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Unidad I. Preliminares. 4. Definición: Gráfico de una ecuación. Se define el conjunto gráfico de una ecuación como aquel formado por todos los pares ordenados tales que el valor y se obtiene al sustituir x en la ecuación. La gráfica de la ecuación es el conjunto de puntos en el plano numérico asociado al conjunto gráfico. (dibujo)

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Unidad I. Preliminares. 5. Ecuación de la recta. Toda ecuación que tiene la forma:

y = mx + b donde las variables son x , y, y m, b son números fijos, tiene como gráfica una línea recta. Pero, necesitamos más información respecto a como es esta recta, es decir, si es horizontal o no, si es inclinada hacia arriba o hacia abajo. Bien, la misma forma de la ecuación nos brinda esa información.

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Unidad I. Preliminares. Si la ecuación tiene la forma llamaremos pendiente de la recta al número m, y diremos que:

m=0 ⇒

la recta es horizontal

m>0 ⇒

la recta es inclinada hacia arriba

m<0 ⇒

la recta es inclinada hacia abajo

Uno de los puntos del plano por donde pasa la recta es el punto Este es el punto donde la recta corta al eje y. Es usual llamar al número b, ordenada en el origen.

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Unidad I. Preliminares. Aquí observamos algunas anteriormente definido

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rectas

que

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nos

muestran

lo

Unidad I. Preliminares. La ecuación de la recta contiene información que nos permite comparar rectas, unas con otras, según la posición geométrica que ocupan en el plano. Conocemos que dadas dos rectas en el plano se pueden presentar tres casos geométricos: que sean paralelas, que sean secantes, es decir que se corten en algún punto, y que sean perpendiculares, es decir, que se corten en algún punto formando un ángulo recto. En la siguiente figura se muestran los tres casos.

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Unidad I. Preliminares. Rectas en el plano

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Unidad I. Preliminares. Consideremos dos rectas

L1 : y = m1 x + b1

L2 : y = m2 x + b2 .

Entonces

a) m1 = m2

⇒

L1 y L2 son paralelas

b) m1m2 = −1 ⇒ L1 y L2 son perpendiculares

c) m1 ≠ m2 y m1.m2 ≠ −1 ⇒ L1 y L2 son secantes

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Unidad I. Preliminares. Ejemplo: Sean las rectas

L1 : y = 3 x − 2 y L2 : y = 3 x + 7. Como las pendientes son:

m1 = 3 concluimos que

y

L1

m2 = 3

L2 ,

Es decir las rectas son paralelas. martes, 14 de octubre de 2008

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Unidad I. Preliminares. Grafico de las rectas en el ejemplo.

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Unidad I. Preliminares. Sean las rectas

1 L1 : y = x − 3 y L2 : y = −5 x + 2. 5 1 Aquí encontramos que m1 = y m 2 = −5 5

Al multiplicar esta pendientes, obtenemos 1 m1 m 2 = ⋅ ( −5 ) = −1 5

Concluimos entonces que las rectas son perpendiculares. Es decir,

L1 ⊥ L2 martes, 14 de octubre de 2008

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Unidad I. Preliminares. Grafico de las rectas en el ejemplo.

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Unidad I. Preliminares. † Ecuación de la Parábola. Una ecuación de la forma

y = ax + bx + c 2

Tiene como gráfica una parábola. Así como la ecuación de la recta contiene información que nos ayuda a encontrar su gráfica, la ecuación de la parábola también la tiene.

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Unidad I. Preliminares. Primero veamos en una gráfica algunos elementos de importancia.

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Unidad I. Preliminares. Como se vió en la gráfica los elementos de la parábola más resaltantes son: el vértice, las raíces y su eje de simetría. El Vértice se consigue por medio de estas ecuaciones:

b xv = − 2a

4ac − b yv= 4a martes, 14 de octubre de 2008

2

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Unidad I. Preliminares. Las raíces son los valores de x que hacen que él valor de y sea cero, y se consiguen con la ecuación de la resolvente cuadrática:

− b ± b − 4ac = 2a 2

x1, 2

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Unidad I. Preliminares. El eje se simetría de la parábola siempre será la recta vertical identificada por la ecuación de la recta

b x=− 2a

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Unidad I. Preliminares. Aquí vemos los elementos mencionados.

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Unidad II. Funciones. En la próxima clase se verán algunos ejercicios correspondientes a rectas y parábolas. Se recomienda la lectura del capítulo 4 del libro texto (AryaLardner) y el capítulo correspondiente del libro de consulta (Tan).

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Unidad I. Preliminares. Fin de la clase. Gracias por su atención. Jorge E. Hernández H.

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