Preparaduria Viernes 20-02-2009
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- Words: 955
- Pages: 5
PREPARADURIA
VIERNES: 20-02-2009
1.- Sea continua en R. Se sabe que $
" # & 10 ; %
(
" # & 20 $
;
*+
" # & 15 (
Halle: $
" 12 * # %
SOLUCION.
Cambio de variable 5 & * &6 #5 & 2# ; (
$
(
& 1 &6 5 & 1 ; & 3 &6 5 & 9
" 6 5 #5 & 6 " 5#5 9 6 " 5#5 & 610 9 20 & 180 %
%
$
2.- Pruebe que Hx es constante. < & "
%/?
@
SOLUCION.
? 1 1 #= 9 " * #= * = 91 @ = 91
Primer Teorema Fundamental del Cálculo < A &
1
1 * H I 91
JK
Por lo tanto Hx es constante.
1 1 1 1 1 L JK L 9 & 9 & 0 * 9 1 * * 9 1 * * 9 1 *
3.- Sea una función continua, decreciente, positiva en R y tal que lim?RS & 0 Demuestre que
lim "
?T%
?RS ?
SOLUCION.
= #= & 0
En clase se demostró la siguiente desigualdad. 0V"
?T%
= #= V
?
Tomando límites.
lim 0 & 0 V lim "
?RS
?T%
=#= V lim & 0
?RS ?
?RS
Por lo cual el único valor posible de la función acotada es lim "
?T%
?RS ?
= #= & 0
4.- Halle el valor de las siguientes integrales. √*
"
@
SOLUCION:
Definimos la parte entera. Recuerde Z= Por suma de intervalos. "
%
@
=0
√1 9 = *
9"
√*
%
= 1
√1 9 = *
*[
√1 9 = *
√*
%
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" d e K 4 ( 9 g%
#=
0 ^_ 0 ` V 1 & ]1 ^_ 1 ` V √2b …
#= & " %
= Z= * [
sin f # 1 9 * *
SOLUCION:
La integral es CERO 0 debido a que es la suma de funciones impares en un intervalo simetrico. 5.- Sea & K * 9 3 K 2 en intervalo (1,2) y sea h & i1, , , 2k las particiones e + j e
dentro del intervalo. SOLUCION. @ & 1 ; % & ∆% &
5 7 ; * & ; $ & 2 4 4
5 1 K1& ; 4 4
∆* &
Punto derecho.
1 1 ; ∆$ & 2 4
$
o ∆p (p ) & ∆% (% ) 9 ∆* (* ) 9 ∆$ ($ ) pq%
Por lo cual.
5 * 5 1 7 * 7 1 1 dK J L 9 3 J L K 2f 9 dK J L 9 3 J L K 2f 9 (0) r 0,141 4 4 4 2 4 4 4 Por sumatorio de Riemann p & 1 9 t
_ s
; (p ) & t
_ _ J1 K L ; s s
∆ &
t
t
pq%
pq%
1 s
1 _ _* 1 1 o ∆ (p ) & o d K * f & * o _ K $ o _ * s s s s s pq%
&
pq%
1 (s)(s 9 1) 1 (s)(s 9 1)(2s 9 1) 1 d fK $d f & r 0,1666 * 2 s 2 6 s
6.- Halle el área bajos las curvas dadas. ( ) & $ ;
v() & K1
;
&1
SOLUCION.
Dibuje la grafica y determine los puntos de intersección %
" w $ K K x# & @
y* & K 2 ;
3 4
y 9 9 2 & 0 ; y & K1 ; y & 2
Note que existe un cambio de definiciones en el eje x. por lo cual la integración queda g%
*
$
z
" w2 K K K 2x# 9 " w2 K K1x# 9 " HK√ K 2 K K1I # 9 " w2 K √ K 2x# gj
g%
*
*
Lo cual es muy tedioso, pero note que si se cambia el eje de integración al eje y se simplica notablemente y queda. *
" Hy * 9 2 K wK2 9 yxI #y & g%
33 2
7.- Determine todos los valores de c que satisfacen el Teorema de Valor Medio para integrales. &
1 9 1*
|s Z0,2[
SOLUCION ~
TVM para integrales es } =#= & K "
*
@
1 1 1 1 * # & 2 K 0 &6 K c & 2 &6 K 9 1 & 2 &6 & @ 9 1* 91 3 3
1 1 & &6 * 9 2 K 2 & 0 &6 & K1 √3 9 1* 3
Por lo cual la solución dentro del intervalo & K1 9 √3
8.- Determine una función y un numero a tal que: 69"
?
SOLUCION.
= #= & 2√ =*
Aplicando Primer Teorema fundamental del cálculo. Se tiene que 1 g% & 2 * &6 * 2
Y para cuando & 6 & 2√ &6 &
&
VIERNES: 20-02-2009
1.- Sea continua en R. Se sabe que $
" # & 10 ; %
(
" # & 20 $
;
*+
" # & 15 (
Halle: $
" 12 * # %
SOLUCION.
Cambio de variable 5 & * &6 #5 & 2# ; (
$
(
& 1 &6 5 & 1 ; & 3 &6 5 & 9
" 6 5 #5 & 6 " 5#5 9 6 " 5#5 & 610 9 20 & 180 %
%
$
2.- Pruebe que Hx es constante. < & "
%/?
@
SOLUCION.
? 1 1 #= 9 " * #= * = 91 @ = 91
Primer Teorema Fundamental del Cálculo < A &
1
1 * H I 91
JK
Por lo tanto Hx es constante.
1 1 1 1 1 L JK L 9 & 9 & 0 * 9 1 * * 9 1 * * 9 1 *
3.- Sea una función continua, decreciente, positiva en R y tal que lim?RS & 0 Demuestre que
lim "
?T%
?RS ?
SOLUCION.
= #= & 0
En clase se demostró la siguiente desigualdad. 0V"
?T%
= #= V
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Tomando límites.
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?RS
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=#= V lim & 0
?RS ?
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Por lo cual el único valor posible de la función acotada es lim "
?T%
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= #= & 0
4.- Halle el valor de las siguientes integrales. √*
"
@
SOLUCION:
Definimos la parte entera. Recuerde Z= Por suma de intervalos. "
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=0
√1 9 = *
9"
√*
%
= 1
√1 9 = *
*[
√1 9 = *
√*
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" d e K 4 ( 9 g%
#=
0 ^_ 0 ` V 1 & ]1 ^_ 1 ` V √2b …
#= & " %
= Z= * [
sin f # 1 9 * *
SOLUCION:
La integral es CERO 0 debido a que es la suma de funciones impares en un intervalo simetrico. 5.- Sea & K * 9 3 K 2 en intervalo (1,2) y sea h & i1, , , 2k las particiones e + j e
dentro del intervalo. SOLUCION. @ & 1 ; % & ∆% &
5 7 ; * & ; $ & 2 4 4
5 1 K1& ; 4 4
∆* &
Punto derecho.
1 1 ; ∆$ & 2 4
$
o ∆p (p ) & ∆% (% ) 9 ∆* (* ) 9 ∆$ ($ ) pq%
Por lo cual.
5 * 5 1 7 * 7 1 1 dK J L 9 3 J L K 2f 9 dK J L 9 3 J L K 2f 9 (0) r 0,141 4 4 4 2 4 4 4 Por sumatorio de Riemann p & 1 9 t
_ s
; (p ) & t
_ _ J1 K L ; s s
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1 _ _* 1 1 o ∆ (p ) & o d K * f & * o _ K $ o _ * s s s s s pq%
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1 (s)(s 9 1) 1 (s)(s 9 1)(2s 9 1) 1 d fK $d f & r 0,1666 * 2 s 2 6 s
6.- Halle el área bajos las curvas dadas. ( ) & $ ;
v() & K1
;
&1
SOLUCION.
Dibuje la grafica y determine los puntos de intersección %
" w $ K K x# & @
y* & K 2 ;
3 4
y 9 9 2 & 0 ; y & K1 ; y & 2
Note que existe un cambio de definiciones en el eje x. por lo cual la integración queda g%
*
$
z
" w2 K K K 2x# 9 " w2 K K1x# 9 " HK√ K 2 K K1I # 9 " w2 K √ K 2x# gj
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*
*
Lo cual es muy tedioso, pero note que si se cambia el eje de integración al eje y se simplica notablemente y queda. *
" Hy * 9 2 K wK2 9 yxI #y & g%
33 2
7.- Determine todos los valores de c que satisfacen el Teorema de Valor Medio para integrales. &
1 9 1*
|s Z0,2[
SOLUCION ~
TVM para integrales es } =#= & K "
*
@
1 1 1 1 * # & 2 K 0 &6 K c & 2 &6 K 9 1 & 2 &6 & @ 9 1* 91 3 3
1 1 & &6 * 9 2 K 2 & 0 &6 & K1 √3 9 1* 3
Por lo cual la solución dentro del intervalo & K1 9 √3
8.- Determine una función y un numero a tal que: 69"
?
SOLUCION.
= #= & 2√ =*
Aplicando Primer Teorema fundamental del cálculo. Se tiene que 1 g% & 2 * &6 * 2
Y para cuando & 6 & 2√ &6 &
&
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