Preparaduria Viernes 20-02-2009

PREPARADURIA

VIERNES: 20-02-2009

1.- Sea  continua en R. Se sabe que $

"   # & 10 ; %

(

"   # & 20 $

;

*+

"  # & 15 (

Halle: $

" 12 * # %

SOLUCION.

Cambio de variable 5 &  * &6 #5 & 2# ; (

$

(

 & 1 &6 5 & 1 ;  & 3 &6 5 & 9

" 6 5 #5 & 6 " 5#5 9 6 " 5#5 & 610 9 20 & 180 %

%

$

2.- Pruebe que Hx es constante. <   & "

%/?

@

SOLUCION.

? 1 1 #= 9 " * #= * = 91 @ = 91


Primer Teorema Fundamental del Cálculo < A   &

1

1 * H I 91 

JK

Por lo tanto Hx es constante.

1 1 1 1 1 L JK L 9 & 9 & 0 * 9 1 * * 9 1 * * 9 1 *

3.- Sea  una función continua, decreciente, positiva en R y tal que lim?RS  & 0 Demuestre que

lim "

?T%

?RS ?

SOLUCION.

= #= & 0

En clase se demostró la siguiente desigualdad. 0V"

?T%

= #= V 

?

Tomando límites.

lim 0 & 0 V lim "

?RS

?T%

 =#= V lim  & 0

?RS ?

?RS

Por lo cual el único valor posible de la función acotada es lim "

?T%

?RS ?

= #= & 0

4.- Halle el valor de las siguientes integrales. √*

"

@

SOLUCION:

Definimos la parte entera. Recuerde Z= Por suma de intervalos. "

%

@

=0

√1 9 = *

9"

√*

%

= 1 

√1 9 = *

*[

√1 9 = *

√*

%

=

% 1 $ #5 1 #= & " & 2 J 5* L c$* & √3 K √2 2 * √5 2 √1 9 = *

" d e K 4 ( 9 g%

#=

0 ^_ 0 `  V 1 & ]1 ^_ 1 `  V √2b …

#= & " %

= Z= * [

sin  f # 1 9  * *

SOLUCION:

La integral es CERO 0 debido a que es la suma de funciones impares en un intervalo simetrico. 5.- Sea   & K * 9 3 K 2 en intervalo (1,2) y sea h & i1, , , 2k las particiones e + j e

dentro del intervalo. SOLUCION. @ & 1 ; % & ∆% &

5 7 ; * & ; $ & 2 4 4

5 1 K1& ; 4 4

∆* &

Punto derecho.

1 1 ; ∆$ & 2 4

$

o ∆p (p ) & ∆% (% ) 9 ∆*  (* ) 9 ∆$ ($ ) pq%

Por lo cual.

5 * 5 1 7 * 7 1 1 dK J L 9 3 J L K 2f 9 dK J L 9 3 J L K 2f 9 (0) r 0,141 4 4 4 2 4 4 4 Por sumatorio de Riemann p & 1 9 t

_ s

;  (p ) & t

_ _ J1 K L ; s s

∆ &

t

t

pq%

pq%

1 s

1 _ _* 1 1 o ∆ (p ) & o d K * f & * o _ K $ o _ * s s s s s pq%

&

pq%

1 (s)(s 9 1) 1 (s)(s 9 1)(2s 9 1) 1 d fK $d f & r 0,1666 * 2 s 2 6 s

6.- Halle el área bajos las curvas dadas.  ( ) &  $ ;

v() & K1

;

&1

SOLUCION.

Dibuje la grafica y determine los puntos de intersección %

" w $ K K x# & @

y* &  K 2 ;

3 4

y 9  9 2 & 0 ; y & K1 ; y & 2

Note que existe un cambio de definiciones en el eje x. por lo cual la integración queda g%

*

$

z

" w2 K K K 2x# 9 " w2 K K1x# 9 " HK√ K 2 K K1I # 9 " w2 K √ K 2x# gj

g%

*

*

Lo cual es muy tedioso, pero note que si se cambia el eje de integración al eje y se simplica notablemente y queda. *

" Hy * 9 2 K wK2 9 yxI #y & g%

33 2

7.- Determine todos los valores de c que satisfacen el Teorema de Valor Medio para integrales.    &

1  9 1*

|s Z0,2[

SOLUCION ~

TVM para integrales es }  =#= &  € K ‚  "

*

@

1 1 1 1 *        # &  € 2 K 0 &6 K c & 2  € &6 K 9 1 & 2 € &6 & € @  9 1* 91 3 3

1 1 & &6 € * 9 2€ K 2 & 0 &6 € & K1 ƒ √3 € 9 1* 3

Por lo cual la solución dentro del intervalo € & K1 9 √3

8.- Determine una función  y un numero a tal que: 69"

?



SOLUCION.

 =  #= & 2√ =*

Aplicando Primer Teorema fundamental del cálculo. Se tiene que 1 g%    & 2  * &6 * 2

Y para cuando  & ‚ 6 & 2√‚ &6 ‰ & Š

†

„ … & …‡