Preparaduria De Repaso Primer Parcial

PREPARADURIA DE REPASO PRIMER PARCIAL. MATEMATICAS 3 (MA(MA-1116)

Miguel Guzmán.. [email protected]

1 1.1.- Sea la matriz ) * + 3 ,2

,1 2 4 2. 3 4

(a) Halle la matriz de los cofactores de A. (b) Determine el determinante A. (c) Halle la inversa de A. SOLUCION.

10 a.- 6 * + 10 ,10

,16 8 4

17 ,1. 7

b.- 60

c.- )

:;

1/6 1/6 * +,4/15 2/15 17/60 ,1/60

2.2.- Para qué valores de @ la matriz A no tiene inversa: @ )*+ 1 2,@

SOLUCION.

@,1 2 @B3

,1/6 1/15 . 7/60

@B1 3 . @B7

La matriz A no tiene inversa si det()) * 0 *C @ (@ B 5) * 0 *C @ * 0 ó @ * ,5 3.3.- Determine si la matriz es invertible halle la inversa.

3 1 (a) +1 ,1 1 1

SOLUCION.

2 ,1 (b) +,1 0 19 ,7

0 2. 1

(b) No tiene inversa

(a) )

:;

3/8 1/8 * +,1/8 ,3/8 ,1/4 1/4

4 5. 3

,1/4 3/4 . 1/2

4.4.- Sea la matriz invertida

):;

(a)

Halle Determinante de A

(a)

det(A) * ,1/6

1 ,1 *F 0 1

SOLUCION.

3 0 3 3

0 ,1 0 2G 6 3 1 ,1

(b) ¿Cofactor )IJ ?

(b) )IJ * ,1/2

5.5.- Sea A y B matrices 3x3 si det()) * det(6) * 2 entonces. det(26)O ) * 8

SOLUCION.

Falso. El valor real es det(26)O ) * 32 6.6.- Considere la matriz

(a)

(b)

Halle det (Q)

2 1 0 2

Sea A y C dos matrices 4x4. Si det()) * det (W).

SOLUCION. (a)

1 Q * F1 0 1

det(Q ) * 16

,4 3 ,3 1G 8 0 2 1 I

RST(U)

V ()QW :; )O W :; * XI Calcule el

(b) det(W ) * Y2

7.7.- Sea A una matriz invertible tal que )Z * ) B X demuestre que.

(a) ):; * ) , X

(b) )I * 3) B 2X

SOLUCION. (a)

Multiplique por la inversa ():; ) la hipótesis. (b) Desarrolle )Z )Z

8.8.- Sea A una matriz n x n. Supongamos que )Z B ) , X\ * 0, pruebe que A es invertible y que además ):; * ) B X\

SOLUCION.

() B X\ ) * X\ Por lo tanto A es invertible y )Z B ) , X\ * 0 *C )Z B ) * X\ *C ) ^_`_a además )

:;

bcd

* ) B X\

i ,4 ,1 1 2 f ; 6*e f ; h * e3 9.9.- Sea ) * e 4 1 ,2 ,4 cumpla )h * h6 SOLUCION.

i * ,1

i j f halle los valores de a y p para que se j*2

10.10.- ¿A es simétrica y det()) k 0 *C ):; es simétrica?

SOLUCION.

det()) k 0 *C ):; existe

():; )O * ()O ):; * ):;

por lo tanto si es simetrica.

1

)O * )

11.11.- A es no singular y ))O * ) *C det()) * 1 SOLUCION.

))O * ) *C ):; ))O * ):; ) *C )O * X *C det()O ) * 1 *C det()) * 1

1

Establesca las propiedades que se usaron para la demostración. Recuerde dejar planteado sus procedimientos para reforzar la solución.

12.12.- CD es simétrica si y solo si Wl * lW SOLUCION.

Equivale a demostrar que

Hipótesis

2

(Wl)O * Wl m*C Wl * lW

l no opqnrspti W no opqnrspti

i.- (Wl )O * Wl *C l O W O * Wl *C lW * Wl

Sea Wl * lW V W O * W

lO * l

ii.- (Wl )O * l O W O * lW * Wl

13.13.- Dado el sistema lineal

(a) (b) (c)

Hallar los valores de a para los cuales el sistema es consistente. Halle la solución general del sistema Halle una solución particular al sistema dado y la solución general del sistema homogéneo asociado.

(a)

a*5

SOLUCION. (b) (c)

2

5v , V B 2w B x * 7 u2v B V B 4w , 2x * 1y v , 3V B 6w B 5x * i

, , v ~ ~ ~  ;ƒ ;Z‚ | ‚ | ‚ | V F w G * {, ~ B w {, ~  B x {, ~  0 1 0 x z0€ z 0 € z 1 € }

ƒ

~;

} ~

,

ƒ

~ ;ƒ‚

,

~; ~

| ‚ | | ;Z‚ Sol Particular v * {, ~ Sol del sistema homogéneo asociado „ * @ {, ~  B … {, ~  0 1 0 z0€ z 0 € z 1 €

El “si y solo si” equivale a realizar dos demostraciones i y ii.