Prepa 29-05-2009

UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR PREPARADURIA DE MATEMATICAS 3 Miguel Guzmán [email protected]

FE DE ERRATA. 1.1.- Determine si el conjunto dado de vectores genera al espacio dado. 1 2 2 En /0 1 2 ; 1 2 ; 1 2 1 1 2

Sea 465 7 8 /0 cualquier elemento del espacio vectorial. Debemos escribir este vector como

COMBINACION LINEAL de los elementos del generador. Para ello procedemos ; 1 2 2 1 2 = >1 2?@1 2?A1 2 < 1 1 2

Se tiene entonces que resolver el siguiente sistema de ecuaciones B

; = > ? 2@ ? 2AC < = > ? @ ? 2A

Se determina la matriz ampliada asociada al sistema. Y aplicando gauss 1 4 1 Se concluye que @ = < M ;

2 1

2 2

; 7 <

GH IGJKGH

F E

1 4 0

2 1

2 0

; 7 <M;

=O > = 3; M 2< M 2A

Por lo tanto se tiene INFINITAS SOLUCIONES al sistema. Lo que permite decir que el conjunto SI GENERA al espacio vectorial. RECUERDE QUE: La cantidad de elementos necesarios para generar un espacio vectorial es la “dimensión” del espacio, luego si se agrega un elemento más TAMBIEN genera al espacio vectorial (teorema). Se debe tener en cuenta que en ocasiones los nuevos vectores resultan ser combinaciones de los otros.

EJERCICIOS QUE FALTO REALIZAR EN LA PREPA. 2.2. Sea

Z = [(;, <, \, ] W 8 /^ : _; ? `< ? a\ ? b] = 0c

(Conocido como hiperplanoW ¿Sera H un subespacio vectorial de /^ para _, `, a, b 8 / no todos iguales a cero? i.- Sea ; = (0,0,0,0W. Este elemento pertenece a H

_(0W ? `(0W ? a(0W ? b(0W = 0 ? 0 ? 0 ? 0 = 0 Luego ; 8 Z =O Z g h

Sea i = (;j , <j , \j , ]j W, k = (;0 , <0 , \0 , ]0 W 8 Z < lm_ > 8 /

ii.- i ? k = (;j , <j , \j , ]j W ? (;0 , <0 , \0 , ]0 W = (;j ? ;0 , <j ? <0 , \j ? \0 , ]j ? ]0 W _(;j ? ;0 W ? `(<j ? <0 W ? a(\j ? \0 W ? b(]j ? ]0 W = _;j ? _;0 ? `<j ? `<0 ? a\j ? a\0 ? b]j ? b]0 = _;j ? `<j ? a\j ? b]j ? _;0 ? `<0 ? a\0 ? b]0 = 0 ? 0 = 0

Luego i ? k 8 Z

iii.- >i = >n(;j , <j , \j , ]j Wo = (>;j , ><j , >\j , >]j W

_ (>;j W ? ` (><j W ? a (>\j W ? b (>]j W = >(_;j ? `<j ? a\j ? b]j W = > (0W = 0

Luego >i 8 Z

De i. ii. Iii. Se tiene que H es un subespacio vectorial. 3.3.- Determine si los vectores general a el espacio vectorial dado 1 M1 5 pq / r s2t ; s 2 t ; s2t 3 3 3

(En principio si lo generan, ya que para / r se necesitan mínimo 3 vectoresW xq?

Veamos

; Sea x
; 1 M1 5 x s2t ? @ s 2 t ? A s2t \ 3 3 3

Resolviendo el sistema y aplicando Gauss se tiene que: 1 s2 3

1

M1 5 ; |0 2 2
M1 1

El sistema tendrá SOLUCION INFINITA si y solo si

0

5

; < M 2; € M2 4  \ < 0 M 3 2 ~

\ < M = 0 =O 2\ M 3< = 0 3 2

Lo que representa un PLANO en el espacio por lo tanto LOS VECTORES NO GENERAN al espacio vectorial 4.4.- Determine si los vectores generan al espacio vectorial señalado. Sea „ = 4

_ a

` 7 8 ‚00 b

OBSERVACION:

4

_ a

1 0 1 2 4 7;4 7;4 1 0 0 0 3

pq ‚00

4

1 ` 7 = >4 1 b

0 1 2 4 7?@4 7?A4 0 0 0 3

M1 M2 7;4 0 6

5 7 0

M1 M2 5 7?…4 7 0 6 0

Note que el elemento b no tiene condición sobre los vectores del generador. Por lo tanto b = 0, esto condiciona la matriz A por lo cual solo generaran a elementos cuya forma matricial sea _ 4 a

` 7 0

De ello se concluye que los vectores NO GENERAN a ‚00 solo genera a un SUBESPACIO DE ‚00

5.5.- ¿Se puede generar ‚00 con matrices invertibles?

1 Sea 4 0

0 1 0 0 1 0 7;4 7;4 7;4 1 0 M1 1 0 M1 4

_ a

1 7 0

1 0 1 ` 7= >4 7?@4 0 1 0 b

Resolviendo se tiene que

>=

SI 0 0 7?A4 M1 1

1 0 1 7?‡4 7 0 M1 0

_?b _Mb `?a `Ma ; @= ; A= ; ‡= 2 2 2 2