Pregunta 1 Y 5- Paola Monroy (2)

UNIDAD 1: FASE 1 - PLANIFICACIÓN

PAOLA ANDREA MONROY COD. 1.1181.197.949

JORGE ENRIQUE TABOADA TUTOR

302 GRUPO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA-UNAD ECUACIONES DIFERENCIALES SEPTIEMBRE 2018

ECUACIONES DIFERENCIALES Clasificación según la Linealidad: Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si F es lineal en y, y’,…, y(n). Esto significa que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal cuando F (x, y, y’,…, y(n)) = 0. Por lo tanto, la variable dependiente “y” y todas sus derivadas y’, y’’,…, y(n) son de primer grado. Y los coeficientes a0, a1,…, an dependen solo de la variable x. 1.

De acuerdo al texto, una ecuación diferencial ordinaria de tercer corresponde a:

orden y lineal

𝑑𝑦 2

a. (1 − 𝑦) (𝑑𝑥 ) + 2𝑦 = 𝑒 𝑥𝑦 b. (𝑥 2 − 𝑦)𝑑𝑥 + 5 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑑𝑦 = 0 c. 𝑥 3 𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥 = 0 d. 𝑥 2

𝑑3 𝑦 𝑑𝑥 3

+ 𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑑2 𝑦 𝑑𝑥 2

+ 𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑑𝑦 𝑑𝑥

+ 𝑥2𝑦 = 𝑒 𝑥 Respuesta

Nombre estudiante que realiza el ejercicio: PROPOSICION MATEMÁTICA

ENUNCIADO

O

EXPRESIÓN

Ecuación diferencial ordinal de tercer orden lineal.

𝑥2

RAZON O EXPLICACION Condiciones de la ecuación diferencial

𝑑𝑦 2 (1 − 𝑦) ( ) + 2𝑦 = 𝑒 𝑥𝑦 𝑑𝑥

Esta ecuación es de primer orden, no cumple con la proposición inicial.

(𝑥 2 − 𝑦)𝑑𝑥 + 5 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑑𝑦 = 0

Esta ecuación es de primer orden, no cumple con la proposición inicial.

𝑥 3 𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥 = 0

Esta ecuación es de primer orden, no cumple con la proposición inicial.

𝑑3 𝑦 𝑑2 𝑦 𝑑𝑦 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑥2𝑦 = 𝑒 𝑥 3 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Esta ecuación diferencial es ordinaria de tercer orden lineal, por lo tanto si cumple con la proposición inicial. Respuesta D.

5. Si una ecuación homogénea de la forma 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0, las funciones M y N son del mismo grado de homogeneidad, puede reducirse a una ecuación de variables separables mediante el uso de una de las sustituciones 𝑦 = 𝑢𝑥, ó, 𝑥 = 𝑣𝑦 Un estudiante decide hacer la sustitución 𝑦 = 𝑢𝑥 en la ecuación diferencial (𝑦 2 + 𝑥𝑦)𝑑𝑥 − 𝑥 2 𝑑𝑦 = 0 y obtiene la ecuación de variables separables 𝑢2 𝑑𝑢 − 𝑥𝑑𝑥 = 0. El proceso anterior es:

a. Verdadero puesto que al reemplazar 𝑦 = 𝑢𝑥 y 𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢 se obtiene (𝑢2 𝑥 2 + 𝑢𝑥 2 )𝑑𝑥 − 𝑥 2 (𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢) = 0 que al simplificarlo da 𝑢2 𝑑𝑢 − 𝑥𝑑𝑥 = 0 b. Verdadero puesto que al reemplazar 𝑦 = 𝑢𝑥 y 𝑑𝑥 = 𝑢𝑑𝑦 + 𝑥𝑑𝑢 se obtiene (𝑢2 𝑥 2 + 𝑢𝑥 2 )𝑑𝑥 − 𝑥 2 (𝑢𝑑𝑦 + 𝑥𝑑𝑢) = 0 que al simplificarlo da 𝑢2 𝑑𝑢 − 𝑥𝑑𝑥 = 0 c. Falso, puesto que al reemplazar 𝑦 = 𝑢𝑥 y 𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢 se obtiene (𝑢2 𝑥 2 + 𝑢𝑥 2 )𝑑𝑥 − 𝑥 2 (𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢) = 0 que al simplificarlo da 𝑢2 𝑑𝑥 − 𝑥𝑑𝑢 = 0 d. Falso, puesto que al reemplazar 𝑦 = 𝑢𝑥 y 𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢 se obtiene (𝑢2 𝑥 2 + 𝑢𝑥 2 )𝑑𝑥 − 𝑥 2 (𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢) = 0 que al simplificarlo da 𝑢2 𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢 = 0 Respuesta Nombre estudiante que realiza el ejercicio: PROPOSICION MATEMÁTICA

ENUNCIADO

O

EXPRESIÓN

(𝑦 2 + 𝑥𝑦)𝑑𝑥 − 𝑥 2 𝑑𝑦 = 0

𝑢=

RAZON O EXPLICACION Ecuación diferencial a evaluar (dado)

𝑢2 𝑑𝑢 − 𝑥𝑑𝑥 = 0

Proposición del estudiante (dada)

𝑦 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑦 = 𝑥𝑢 𝑥

Hacemos la sustitución adecuada

𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢

Derivamos

(𝑥 2 𝑢2 + 𝑢𝑥 2 )𝑑𝑥 − 𝑥 2 (𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢) = 0

Reemplazamos en la ecuación diferencial

(𝑢2 + 𝑢)𝑑𝑥 − (𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢) = 0

Aplicamos propiedad uniforme, dividimos entre 𝑥 2

𝑢2 𝑑𝑥 + 𝑢𝑑𝑥 − 𝑢𝑑𝑥 − 𝑥𝑑𝑢 = 0

Aplicamos propiedad distributiva

𝒖𝟐 𝒅𝒙 − 𝒙𝒅𝒖 = 𝟎

Simplificamos, es Falsa la proposición del estudiante. Respuesta C