Predavanje 2

Osnovi računarske inteligencije sa primenama u saobraćaju i transportu Dušan Teodorović

Copyright Dušan Teodorović, 2005 1

ALFA PRESEK Pod alfa presekom (koji se najcešće označava kao α -presek) fuzzy skupa A podrazumeva se skup Aα, čiji elementi imaju stepen pripadnosti fuzzy skupu A veći ili jednak α, pri cemu je α ∈ [0, 1].

2

ALFA PRESEK

3

ALFA PRESEK

4

LINGVISTIČKE PROMENLJIVE I RAČUNANJE SA REČIMA „Mi moramo da koristimo našu toleranciju za nepreciznost.“ Lotfi Zadeh začetnik teorije fuzzy skupova, 1973

5

LINGVISTIČKE PROMENLJIVE I RAČUNANJE SA REČIMA Jezici kojima se sporazumevamo okrakterisani su nepreciznošću i višeznačnošću. U svakodnevnim situacijama obično nemamo problema da razumemo jedni druge. 6

LINGVISTIČKE PROMENLJIVE I RAČUNANJE SA REČIMA Koncept lingvističke promenljive potiče od Zadeh-a (1975a, 1975b). Vrednosti numeričke promenljive su brojevi. Analogno ovome, vrednosti lingvističke promenljive su reči ili rečenice. 7

LINGVISTIČKE PROMENLJIVE I RAČUNANJE SA REČIMA Naše uobičajeno poimanje bilo kakvog računanja podrazumeva odredjene manipulacije sa brojevima i simbolima. Računanje rečima (Computing with Words) podrazumeva manipulacije sa rečima, rečenicama i lingvističkim izrazima koje koristimo u svakodnevnoj komunikaciji. 8

LINGVISTIČKE PROMENLJIVE I RAČUNANJE SA REČIMA “Računanje rečima je inspirisano zadivljujucim sposobnostima ljudi da izvršavaju veliki broj različitih fizičkih i mentalnih zadataka bez ikakvih merenja i izračunavanja.“

9

LINGVISTIČKE PROMENLJIVE I RAČUNANJE SA REČIMA Kada vozimo automobil, menjamo traku na auto-putu, prevodimo sa stranog jezika, prepričavamo priču, vozimo slalom niz strmu padinu, ili vozimo klizaljke na klizalištu na kome je gužva, mi ništa ne merimo i ništa ne izračunavamo. Mi percepiramo stvari oko nas i sposobni smo da u realnom vremenu donesemo odgovarajuće odluke na osnovu percepcija. 10

“Mozak poseduje sposobnost da manipuliše percepcijama - percepcijama rastojanja, veličine, težine, boje, brzine, vremena, smera, sile, broja, istine, verodostojnosti i ostalih karakteristika fizičkih i mentalnih objekata. Manipulacija percepcijama igra ključnu ulogu u procesima saznavanja i donošenja odluka. Osnovna razlika izmedju percepcija i merenja sastoji se u činjenici da su merenja precizna, a percepcije rasplinute. “ (Zadeh (1999)). 11

Numeričke i lingvističke informacije U odredjenim situacijama, insistiranje na apsolutnoj preciznosti, odnosno na isključivom korišćenju numeričkih promenljivih može čak da izazove nejasnost i konfuziju. Primer: Uključivanje parkiranog vozila u saobraćaj 12

LINGVISTIČKI MODIFIKATORI Pridevi i prilozi “vrlo, veoma, manjeviše,...” koje koristimo u svakodnevnom govoru se nazivaju lingvističkim modifikatorima. Koriščenjem lingvističkih modifikatora, možemo da modifikujemo funkciju pripadnosti odredjenog fuzzy skupa (Zadeh, 1973). 13

LINGVISTIČKI MODIFIKATORI “vrlo” A = A2

‚

“vrlo vrlo” A = A4

14

LINGVISTIČKI MODIFIKATORI

15

LINGVISTIČKI MODIFIKATORI “Pomalo ” B = B

16

Fuzzy skupovi kao tačke u hiper kocki (hypercube) Kosko (1992b, 1993) X = {x1, x2, x3} (0,1,0) predstavlja podskup {x2} (1,0,1) predstavlja podskup {x1, x3} …….. …….. Temena kocke predstavljaju klasične skupove

17

Fuzzy skupovi kao tačke u hiper kocki (hypercube)

18

Fuzzy skupovi kao tačke u hiper kocki (hypercube)

19

Fuzzy skupovi i Teorija verovatnoće Tokom poslednje četiri decenije pojavio se veći broj tvrdjenja da fuziness predstavlja prerušenu verovatnocu. Funkcije pripadnosti su sličnog oblika kao i gustine raspodele verovatnoca.

20

Fuzzy skupovi i Teorija verovatnoće Obe teorije - Teorija fuzzy skupova i Teorija verovatnoće predstavljaju pokušaj da se neizvesnost kvantifikuje i izrazi numerički. U oba slučaja, pokušava se sa kvantifikacijom neizvesnosti korišćenjem brojeva iz intervala [0,1]. 21

Fuzzy skupovi i Teorija verovatnoće U čemu je fundamentalna razlika izmedju fuziness-a i verovatnoće? Zbog čega ne koristimo isključivo Teoriju verovatnoće?

22

Fuzzy skupovi i Teorija verovatnoće Primer: Pretpostavimo da tri uzastopna leta kasne priliko poletanja sa odredjenog aerodroma. Ova kašnjenja mogu da izazovu neplanirano prisustvo većeg broja putnika u delu aerodromske zgrade. Zagušenje u zgradi možemo lingvistički da opišemo rečima i izrazima kao što su “vrlo velika gužva”, “velika gužva”, “poluprazan hol”, itd. 23

Fuzzy skupovi i Teorija verovatnoće Fuzziness meri stepen saobraćajnog zagušenja (fuzziness meri stepen sa kojim se realizuje odredjeni dogadjaj). Fuzziness ne meri da li će zagušenje da se desi u delu aerodromske zgrade ili ne. Verovatnoća je povezana sa pitanjem da li će odredjeni dogadjaj da se desi. 24

Fuzzy skupovi i Teorija verovatnoće A - Tri uzastopna leta kasne na poletanju P(A) = 0,7 Vrednost 0, 7 sadrzi informaciju o relativnoj frekvenciji i ukazuje nam da u 70% posmatrana tri uzastopna leta kasne na poletanju.

25

Fuzzy skupovi i Teorija verovatnoće Fuzziness je tolerantna:

A∩

c

A

≠∅

c

A∪ A ≠ X 26

Fuzzy skupovi i Teorija verovatnoće

Osvežavajuća tečnost sa verovatnoćom 0.95 Osvežavajuća tečnost sa stepenom pripadnosti 0.95 27

Fuzzy skupovi i Teorija verovatnoće Fuzziness i verovatnoća tretiraju različite aspekte neizvesnosti. Teorija fuzzy skupova je pogodan matematički aparat za modeliranje problema okarakterisanih aproksimativno poznatim vrednostima parametara, ljudskim percepcijama, subjektivnošću i ekspertnim znanjem iskazanim rečima. 28

OSNOVNA PRAVILA FUZZY ARITMETIKE “Oko 30 sekundi” “Otprilike $3000” ……….. Fuzzy skupove “oko 30”, “otprilike 3000” možemo da tretiramo kao brojeve. Brojevi izraženi na ovakav način nazivaju se fuzzy brojevima. 29

OSNOVNA PRAVILA FUZZY ARITMETIKE

30

OSNOVNA PRAVILA FUZZY ARITMETIKE Pod fuzzy brojem podrazumeva se fuzzy skup koji je konveksan i normalizovan.

31

OSNOVNA PRAVILA FUZZY ARITMETIKE

32

OSNOVNA PRAVILA FUZZY ARITMETIKE Kaufmann and Gupta (1985) su predložili tretiranje fuzzy brojeva kao “uopštenje koncepta intervala poverenja.” Primer: Vreme putovanja nije manje od t1 i nije vece od t2. 33

OSNOVNA PRAVILA FUZZY ARITMETIKE Vreme putovanja pripada zatvorenom intervalu [t1, t2] koji se naziva intervalom poverenja. T = [t1, t2] Pored intervala poverenja fuzzy broj je okarakterisan i stepenom uverenosti. 34

OSNOVNA PRAVILA FUZZY ARITMETIKE Fuzzy broj A i odgovarajući intervali poverenja i stepeni uverenosti

35

SABIRANJE FUZZY BROJEVA X = [x1, x2]

Y = [y1, y2]

Ukoliko je m ∈ [x1, x2] i n ∈ [y1, y2], tada je:

m +n ∈[ x1 + y1 , x2 + y2 ]

36

SABIRANJE FUZZY BROJEVA Sabiranje intervala poverenja:

X (+)Y = [ x1 , x2 ] (+) [ y1 , y2 ] = [ x1 + y1 , x2 + y2 ] Fuzzy brojevi se sabiraju na isti način na koji se sabiraju intervali poverenja.

37

SABIRANJE FUZZY BROJEVA Sabiranje se vrši za svaku vrednost stepena uverenosti. X α ( + ) Yα =

[

α x1 ,

α x2

] ( +) [

α y1 ,

α y2

] =[

α x1

+

α α y1 , x2

+

α y2

]

38

SABIRANJE FUZZY BROJEVA

39

ODUZIMANJE FUZZY BROJEVA X = [x1, x2]

Y = [y1, y2]

Ukoliko je m ∈ [x1, x2] i n ∈ [y1, y2]. Tada je:

[

X ( −) Y = x1 , x2

] ( −) [ y , y ] = [ x 1

2

1

− y2 , x2 − y1

]

40

ODUZIMANJE FUZZY BROJEVA

Xα − Yα =

[

α α x1 , x2

] −[

α y1 ,

α y2

] =[

α x1

−

α α y2 , x2

−

α y1

41

]

MNOZENJE FUZZY BROJEVA

Xα (⋅) Yα =

[

(α ) (α ) x1 , x2

] (⋅) [

(α ) (α ) y1 , y2

] =[

(α ) x1

(α ) (α ) y1 , x2

(α ) y2

42

]

DELJENJE FUZZY BROJEVA

X α ( ÷ ) Yα =

[

(α ) (α ) x1 , x2

] (÷ ) [

(α ) y1 ,

(α ) y2

]

 x1( α ) x2( α )  =  (α ) , (α )  y1   y2

43

MNOZENJE FUZZY BROJA KONSTANTOM

cX α =

(α ) (α ) [ c, c] (⋅) [ x1 , x2 ] =

(α ) (α ) [ cx1 , cx2 ]

44

MNOZENJE FUZZY BROJA KONSTANTOM

45

TROUGLASTI FUZZY BROJEVI

46

TROUGLASTI FUZZY BROJEVI a1 – donja (leva) granica trouglastog fuzzy broja a2 – vrednost kojoj odgovara najveći stepen pripadnosti a3 – gornja (desna) granica trouglastog fuzzy broja 47

TROUGLASTI FUZZY BROJEVI A =( a1 , a2 , a3 ) Funkcija pripadnosti fuzzy broja A je: 0, x ≤ a1   x − a  1   , a1 ≤ x ≤ a2   a2 − a1  µ A ( x) =   a3 − x  , a ≤ x ≤ a 3  a3 − a2  2  0, x ≥ a3 

48

TROUGLASTI FUZZY BROJEVI

(

A ( + )B = ( a1 , a2 , a3 ) ( + )( b1 , b2 , b3 ) = a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3

49

)

TROUGLASTI FUZZY BROJEVI

50

TRAPEZOIDALNI FUZZY BROJEVI

51

TRAPEZOIDALNI FUZZY BROJEVI A ( + )B = ( a1 , a2 , a3 , a4 ) ( + )( b1 , b2 , b3 , b4 ) = = a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 , a4 + b4

(

)

A ( −)B = ( a1 , a2 , a3 , a4 ) ( −)( b1 , b2 , b3 , b4 ) = = a1 − b4 , a2 − b3 , a3 − b2 , a4 − b1

(

)

52

POREDJENJE FUZZY BROJEVA Metod Kaufmann-a i Gupta-e (1988)

53

POREDJENJE FUZZY BROJEVA Pod “levom pomerenošću” Rl(A,k) fuzzy broja A u odnosu na realan broj k podrazumeva se površina izmedju realnog broja k i leve strane fuzzy broja A. “Desna pomerenost” Rr(A,k) fuzzy broja A definisana je površinom izmedju realnog broja k i desne strane fuzzy broja A. 54

POREDJENJE FUZZY BROJEVA “Pomerenost” fuzzy broja A u odnosu na realan broj k definiše se kao:

55

POREDJENJE FUZZY BROJEVA U slučaju kada je fuzzy broj A trouglastog oblika i kada je k = 0, pomerenost fuzzy broja A je:

56

POREDJENJE FUZZY BROJEVA Korak 1: Izvršiti poredjenje “pomerenosti” brojeva. U slučaju da je po izvršenom poredjenju “pomerenosti” brojeva moguće doneti odgovarajući zaključak završiti sa algoritmom. U suprotnom slučaju preći na korak 2.

57

POREDJENJE FUZZY BROJEVA Korak 2: Izvršiti poredjenja vrednosti kojima odgovaraju najveći stepeni pripadnosti. U slučaju da se posle izvršenog poredjenja ovih vrednosti može utvrditi poredak brojeva završiti sa algoritmom. Ukoliko ni posle poredjenja vrednosti kojima odgovaraju najveći stepeni pripadnosti nije moguće doneti odgovarajući zaključak preći na korak 2. 58

POREDJENJE FUZZY BROJEVA Korak 3: Izvršiti poredjenje “baza” fuzzy brojeva. (Pod “bazom” fuzzy broja podrazumeva se dužina osnovice fuzzy broja).

59

POREDJENJE FUZZY BROJEVA Primer:Porediti fuzzy broj A = (6,9,11) sa fuzzy brojem B = (7,8,12) .

60

POREDJENJE FUZZY BROJEVA

61

POREDJENJE FUZZY BROJEVA Pošto je:

Zaključujemo da je fuzzy broj A veći od fuzzy broja B. 62