Predavanje 1-2

Osnovi računarske inteligencije sa primenama u saobraćaju i transportu Dušan Teodorović

Copyright Dušan Teodorović, 2005 1

Osnovne definicije teorije Fuzzy skupova

2

Mi moramo da koristimo našu toleranciju za nepreciznost. Lotfi Zadeh začetnik teorije fuzzy skupova, 1973 Preciznost nije istina. Henri Matisse (1869-1954) slikar

3

POJAM FUZZY SKUPA “The future looks fuzzy” Newsweek, May 28, 1990

U klasičnoj teoriji skupova postoje veoma precizne granice koje razdvajaju elemente koji pripadaju odredjenom skupu od elemenata van posmatranog skupa. 4

POJAM FUZZY SKUPA A - skup semaforisanih raskrsnica u jednom gradu µA(x) – funkcija pripadnosti 1, if and only if x is member of A µ A ( x ) =   0, if and only if x is not member of A

5

POJAM FUZZY SKUPA µA(x) = 1

µA(y) = 1

µA(z) = 0

6

POJAM FUZZY SKUPA Veliki broj skupova sa kojima se susrećemo u realnosti nema precizno odredjene granice koje razdvajaju elemente u skupu od elemenata izvan skupa. A – “dugo vreme cekanja na semaforu” 7 sec, 15 sec, 23 sec,… 7

POJAM FUZZY SKUPA Fuzzy skup A se definiše kao skup uredjenih parova A = {x, µA(x)} pri čemu je µA(x) stepen pripadnosti elementa x skupu A. Ukoliko je µA(x) veće utoliko ima vise istine u tvrdnji da element x skupu A. 8

POJAM FUZZY SKUPA Označimo sa X = {x1, x2, ..., x3} konačan skup elemenata xi, i = 1, 2, ..., n. Skup X može takodje da bude prikazan u obliku: n

X = x1 + x2 + ... + xn = ∑ xi i =1

pri čemu znak + označava uniju elemenata. 9

POJAM FUZZY SKUPA Fuzzy skup A definisan na skupu najčesće se prikazuje u obliku:

X

n

µ A ( x1 ) µ A ( x2 ) µ A ( xn ) µ A ( xi ) A= + + ... + =∑ x1 x2 xn xi i=1

10

POJAM FUZZY SKUPA U slucaju kada X nije konačan skup, rasplinuti skup A definisan na skupu X izražava se kao:

µ A ( x) A=∫ x x 11

POJAM FUZZY SKUPA X = {2, 5, 9, 18, 21, 25} Elementi skupa označavaju broj vozila koja čekaju u redu ispred semafora. B – “mali broj vozila u redu” Fuzzy skup B može, na primer, da bude prikazan kao: 0.95 0.55 0.20 010 . 0.05 0.01 B= + + + + + 2 5 9 18 21 25 12

POJAM FUZZY SKUPA Fuzzy skupovi se veoma često definišu preko funkcije pripadnosti pomoću koje se svakom elementu dodeljuje odgovarajući stepen pripadnosti fuzzy skupu. C - fuzzy skup

0 ≤ µC ( x ) ≤ 1

∀x ∈X 13

A - “vreme putovanja je otprilike 30 minuta” µA(t) – funkcija pripadnosti

14

JEDNAKOST FUZZY SKUPOVA Uočimo rasplinute skupove A i B definisane na skupu X. Za fuzzy skupove A i B kazemo da su jednaki (A = B) ako i samo ako: µA(x) = µB(x) za sve elemente x skupa X. 15

PODSKUP FUZZY SKUPA Fuzzy skup A je podskup fuzzy skupa B ako i samo ako je: µA(x) ≤ µB(x) za sve elemente x skupa X. 16

“Dugo” i “Vrlo dugo vreme putovanja”

17

PRESEK FUZZY SKUPOVA Presek fuzzy skupova A and B se označava kao A ∩ B Presek se definiše se kao najveći fuzzy skup koji je istovremeno sadržan u fuzzy skupovima A i B.

Presek odgovara opreaciji “i”. 18

PRESEK FUZZY SKUPOVA Funkcija pripadnosti µA∩B(x) preseka A ∩ B definiše se na sledeći način:

µ A ∩ B ( x ) = min { µ A ( x ), µB ( x )} 19

PRESEK FUZZY SKUPOVA Simbol ∧ se često koristi umesto simbola min.

20

PRESEK FUZZY SKUPOVA

21

PRESEK FUZZY SKUPOVA T - norm operatori se takodje često koriste da opišu presek dva fuzzy skupa. Algebarski proizvod (The algebraic product) fuzzy skupa A i fuzzy skupa B se označava kao A⋅B. Funkcija pripadnosti µA⋅B(x) of the algebraic product se definiše kao:

µ A ⋅B ( x ) = µ A ( x ) ⋅ µ B ( x ) 22

PRESEK FUZZY SKUPOVA Ograničeni proizvod (The bounded product) fuzzy skupova A i B se označava kao A(⋅) B. Odgovarajuća funkcija pripadnosti se definiše na sledeći način:

µ A( ⋅) B ( x ) = max { 0, µ A ( x ) + µ B ( x ) − 1} . 23

Dubois i Prade (1984) definisu min operator na sledeći nacin:

µ A ( x) ⋅ µ B ( x) µ A λ B ( x) = , max(µ A ( x), µ B ( x), λ )

λ ∈[0, 1]

Lako se pokazuje da su za λ=0 i λ=1, ispunjene sledeće relacije:

µ A λ B ( x ) = min { µ A ( x ), µ B ( x )}

µ A λ B ( x) = µ A ( x) ⋅ µ B ( x) 24

UNIJA FUZZY SKUPOVA Unija fuzzy skupova A and B označava se kao A ∪ B i definiše se kao najmanji fuzzy skup koji istovremeno sadrži i fuzzy skup A i fuzzy skup B.

25

UNIJA FUZZY SKUPOVA Funkcija pripadnosti µA∪B(x) unije A ∪ B fuzzy skupova A i B definiše se na sledeći nacin:

µ A ∪ B ( x ) = max { µ A ( x ), µB ( x )}

26

UNIJA FUZZY SKUPOVA

Simbol ∨ se često koristi umesto simbola max. Unija odgovara operaciji “ili”

27

UNIJA FUZZY SKUPOVA T - norm operatori se takodje često koriste da opišu uniju dva fuzzy skupa. Funkcija pripadnosti algebarske sume (The algebraic sum) fuzzy skupova A i B se definiše na sledeći način:

28

UNIJA FUZZY SKUPOVA Funkcija pripadnosti ograničene sume (The bounded sum) fuzzy skupova A i B se definiše na sledeći način:

29

Yager-ov (1982) max operator

30

β=1

31

β=∞

32

VISINA FUZZY SKUPA Pod visinom fuzzy skupa se podrazumeva najveća vrednost stepena pripadnosti elemenata koji pripadaju skupu. Fuzzy skup se naziva normalizovanim ukoliko je stepen pripadnosti bar jednog njegovog elementa jednak 1. 33

VISINA FUZZY SKUPA

34

KOMPLEMENT FUZZY SKUPA Pod komplementon fuzzy skupa A podrazumeva se fuzzy skup čoja se funkcija pripadnosti izračunava kao:

35

KOMPLEMENT FUZZY SKUPA

36

KONVEKSAN FUZZY SKUP Fuzzy skup A je konveksan fuzzy skup ukoliko je:

x1, x2 ∈ X, λ ∈ [0,1] 37

KONVEKSAN FUZZY SKUP

38

Osnovi računarske inteligencije sa primenama u saobraćaju i transportu Dušan Teodorović

Copyright Dušan Teodorović, 2005 39

ALFA PRESEK Pod alfa presekom (koji se najcešće označava kao α -presek) fuzzy skupa A podrazumeva se skup Aα, čiji elementi imaju stepen pripadnosti fuzzy skupu A veći ili jednak α, pri cemu je α ∈ [0, 1].

40

ALFA PRESEK

41

ALFA PRESEK

42

LINGVISTIČKE PROMENLJIVE I RAČUNANJE SA REČIMA „Mi moramo da koristimo našu toleranciju za nepreciznost.“ Lotfi Zadeh začetnik teorije fuzzy skupova, 1973

43

LINGVISTIČKE PROMENLJIVE I RAČUNANJE SA REČIMA Jezici kojima se sporazumevamo okrakterisani su nepreciznošću i višeznačnošću. U svakodnevnim situacijama obično nemamo problema da razumemo jedni druge. 44

LINGVISTIČKE PROMENLJIVE I RAČUNANJE SA REČIMA Koncept lingvističke promenljive potiče od Zadeh-a (1975a, 1975b). Vrednosti numeričke promenljive su brojevi. Analogno ovome, vrednosti lingvističke promenljive su reči ili rečenice. 45

LINGVISTIČKE PROMENLJIVE I RAČUNANJE SA REČIMA Naše uobičajeno poimanje bilo kakvog računanja podrazumeva odredjene manipulacije sa brojevima i simbolima. Računanje rečima (Computing with Words) podrazumeva manipulacije sa rečima, rečenicama i lingvističkim izrazima koje koristimo u svakodnevnoj komunikaciji. 46

LINGVISTIČKE PROMENLJIVE I RAČUNANJE SA REČIMA “Računanje rečima je inspirisano zadivljujucim sposobnostima ljudi da izvršavaju veliki broj različitih fizičkih i mentalnih zadataka bez ikakvih merenja i izračunavanja.“

47

LINGVISTIČKE PROMENLJIVE I RAČUNANJE SA REČIMA Kada vozimo automobil, menjamo traku na auto-putu, prevodimo sa stranog jezika, prepričavamo priču, vozimo slalom niz strmu padinu, ili vozimo klizaljke na klizalištu na kome je gužva, mi ništa ne merimo i ništa ne izračunavamo. Mi percepiramo stvari oko nas i sposobni smo da u realnom vremenu donesemo odgovarajuće odluke na osnovu percepcija. 48

“Mozak poseduje sposobnost da manipuliše percepcijama - percepcijama rastojanja, veličine, težine, boje, brzine, vremena, smera, sile, broja, istine, verodostojnosti i ostalih karakteristika fizičkih i mentalnih objekata. Manipulacija percepcijama igra ključnu ulogu u procesima saznavanja i donošenja odluka. Osnovna razlika izmedju percepcija i merenja sastoji se u činjenici da su merenja precizna, a percepcije rasplinute. “ (Zadeh (1999)). 49

Numeričke i lingvističke informacije U odredjenim situacijama, insistiranje na apsolutnoj preciznosti, odnosno na isključivom korišćenju numeričkih promenljivih može čak da izazove nejasnost i konfuziju. Primer: Uključivanje parkiranog vozila u saobraćaj 50

LINGVISTIČKI MODIFIKATORI Pridevi i prilozi “vrlo, veoma, manjeviše,...” koje koristimo u svakodnevnom govoru se nazivaju lingvističkim modifikatorima. Koriščenjem lingvističkih modifikatora, možemo da modifikujemo funkciju pripadnosti odredjenog fuzzy skupa (Zadeh, 1973). 51

LINGVISTIČKI MODIFIKATORI “vrlo” A = A2

‚

“vrlo vrlo” A = A4

52

LINGVISTIČKI MODIFIKATORI

53

LINGVISTIČKI MODIFIKATORI “Pomalo ” B = B

54