Precalculus

Cursus wiskunde vijfde jaar 6u-8u c Koen De Naeghel

1

OLVA, schooljaar 2009 - 2010

1

Dit werk is beschermd onder het auteursrecht en is geregistreerd bij de Federale Overheidsdienst Financi¨en. Verboden af te drukken zonder schriftelijke toestemming van de auteur.

Deel I

Analyse: Re¨ ele functies - Precalculus

I

Inhoudsopgave I

Analyse: Re¨ ele functies - Precalculus

0 Herhaling 0.1 Cartesische co¨ ordinaten en grafieken . . 0.2 Basisbegrippen in verband met functies 0.3 Elementaire functies . . . . . . . . . . . 0.4 Transformaties van functies. . . . . . . .

I . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

1 1 3 6 11

1 Veeltermfuncties 1.1 Definitie en voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Algebra¨ısch bepalen van nulwaarden en tekentabel 1.3 Gedrag op oneindig van veeltermfuncties . . . . . . Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

15 15 20 22 23

2 Rationale functies 2.1 Rationale vormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Rationale vergelijkingen en ongelijkheden . . . . . . . . . . 2.3 Definitie rationale functie en voorbeelden . . . . . . . . . . 2.4 Algebra¨ısch bepalen van domein, nulwaarden en tekentabel 2.5 Homografische functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Asymptoten van rationale functies . . . . . . . . . . . . . . Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

25 25 26 27 28 31 37 43

3 Irrationale functies 3.1 Definitie irrationale functie en voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Bepalen van domein en nulwaarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47 47 48 50

Interludium 1. Machtswortels . . . . . . . 2. Machten . . . . . . . . . . 3. Bewerkingen met functies 4. Inverse functies . . . . . . 5. Soorten functies . . . . . . Oefeningen . . . . . . . . . . .

. . . . . .

53 53 55 57 60 62 64

4 Exponenti¨ ele functies 4.1 Lineaire groei, lineaire functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Exponenti¨ele groei, exponenti¨ele functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68 68 70 73

5 Logaritmische functies 5.1 Inleiding en motivatie . . . . 5.2 Definitie logaritmische functie 5.3 Rekenregels voor logaritmen . Oefeningen . . . . . . . . . . . . .

. . . .

77 77 81 82 84

6 Exponenti¨ ele en logaritmische vergelijkingen en ongelijkheden 6.1 Modelvoorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88 88 89

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . en eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . .

i

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

7 Goniometrische en cyclometrische functies 7.1 Periodieke functies . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Goniometrische functies . . . . . . . . . . . 7.3 Bewerkingen met periodieke functies . . . . 7.4 Cyclometrische functies . . . . . . . . . . . 7.5 Cyclometrische vergelijkingen . . . . . . . . Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

Herhalingsoefeningen

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

91 91 93 100 102 108 110 116

ii

Hoofdstuk 0

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

Herhaling 0.1

Cartesische co¨ ordinaten en grafieken

• Definities en notaties. Een orthogonaal assenstelsel (of Cartesisch 1 assenstelsel) bestaat uit twee getallenassen in het vlak die loodrecht op elkaar staan, de x-as en de y-as. Het snijpunt van de assen noemen we de oorsprong O. y

P (a, b)

b

1

Ren´e Descartes (1596 - 1650)

O

a

1

x

Elk punt P in het vlak is uniek bepaald door een koppel re¨ele getallen (a, b). We noemen a en b de (Cartesische) co¨ordinaten van P , waarbij a staat voor de abscis en b voor de ordinaat van P . We noteren 2

c

P (a, b)

of

co(P ) = (a, b)

Een grafiek (in het vlak) is een verzameling van punten ten opzichte van het assenstelsel.

• Voorbeeld 1. Stel de grafiek G = {P (2, 1), Q(−1, 3), R(2, −1)} voor ten opzichte van een Cartesisch assenstelsel. Oplossing. We duiden de punten van de verzameling G aan ten opzichte van het assenstelsel y

3

O

2 1

O −2

−1

1

2

3

x

−1

1 Genoemd 2 . . . en

naar Descartes 1637. De gelatiniseerde naam voor Ren´ e Descartes was “Renatus Cartesius”, vandaar de term Cartesisch. we noteren NIET “P = (a, b)”.

1

• Voorbeeld 2. Stel de grafiek G = {P (x, y) | y = 2x − 3} voor ten opzichte van een Cartesisch assenstelsel. Welke meetkundige figuur stelt deze grafiek voor? Oplossing. Om de grafiek te tekenen is het handig om enkele elementen van de verzameling G op te sommen G = ... Aanduiden van enkele punten van de grafiek volstaat om een idee te krijgen van de volledige grafiek y

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

3 2 1

O

−3

−2

1

−1

2

3

x

−1 −2 −3

De meetkundige figuur van deze grafiek is . . .

• Voorbeeld 3. Stel de grafiek

G=

    1 P n, | n ∈ N0 n

c

voor ten opzichte van een Cartesisch assenstelsel.

O

Oplossing.

2

0.2

Basisbegrippen in verband met functies

• Definitie (Re¨ ele functie) 3 . Een (re¨ele) functie f is een verband dat aan elk re¨eel getal x hoogstens ´e´en re¨eel getal y associeert. Dit getal y hangt (meestal) af van het getal x. Daarom noteren we y = f (x) en noemen we f (x) het functievoorschrift van de functie f . Een functie f noteert men soms ook als volgt f :R→R x 7→ f (x)

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

• Opmerking. Meestal zullen we een functie f identificeren met zijn (functie)voorschrift f (x). √ • Voorbeeld 1. Beschouw de functie f (x) = x. Om een zicht te krijgen op de functie maken we

Johann Dirichlet (1805 - 1859)

∗ Tabel van enkele functiewaarden x

−1

f (x)

...

0

1

2

3

4

...

...

...

...

...

2

3

4

x

∗ Grafiek

y

2 1

O

1

−1

De grafiek van f komt overeen met de verzameling

c

G = ...

Met behulp van het grafisch rekenmachine controleren we 2ND

TABLE

WINDOW

GRAPH

O

Y=

• Definitie. De grafiek van een functie f is de verzameling van alle punten P in het vlak van de vorm P (x, f (x)). We noteren deze verzameling met graf f . In symbolen def

graf f = {P (x, y) | y = f (x)} We noemen y = f (x) de vergelijking van graf f . 3 Dirichlet 1837. De term “functie” (Latijnse benaming: “functio”) werd vooropgesteld door Leibniz en Joh. Bernoulli in de 17de eeuw, de notatie y = f (x) is afkomstig van Euler 1734.

3

• Opmerkingen. 1. De drie voorstellingswijzen van een functie f en hun interactie kan als volgt worden voorgesteld

invullen >

tekenen >

tabel van enkele functiewaarden

functievoorschrift

. . . −1 0

x

f (x) < “raden”

f (x)

·

·

·

graf f 1

·

< aflezen

O

x

1

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

·

1 ...

grafiek y

2. Niet elke grafiek is de grafiek van een functie f . Nemen we bijvoorbeeld als grafiek de cirkel C(O, 1) met middelpunt de oorsprong O en straal 1, dan is dit niet de grafiek van ´e´en functie f . y

Inderdaad, uit de vergelijking van de cirkel C(O, 1) volgt

1

C(O, 1)

x

1

O

De volgende eigenschap zegt ons wanneer een grafiek ook de grafiek van een functie is.

• Eigenschap. Gegeven een willekeurige grafiek G. Dan is G de grafiek van een functie f

⇔

bij elke x-waarde hoort hoogstens ´e´en y-waarde zodat P (x, y) ∈ G

c

• Voorbeeld 2. Gegeven zijn de volgende grafieken.

Bepaal telkens wanneer de grafiek ook de grafiek van een functie is. y 2

2

1

1

O

O

−3

−2

y

−1

1

2

3

x

O

−3

−2

−1

−1

−1

−2

−2

Oplossing.

4

1

2

3

x

• Definitie. Het domein van een functie f is de verzameling van alle x-waarden waarbij er een y-waarde hoort. We noteren deze verzameling met dom f . In symbolen def

dom f = {x ∈ R | f (x) bestaat } Meetkundige betekenis. Het domein van f is de loodrechte projectie van graf f op de x-as. y

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

graf f

O

x

dom f

• Definitie. Het beeld (of bereik) van een functie f is de verzameling van alle y-waarden die bereikt worden door f . We noteren deze verzameling met bld f (of met 4 im f of ber f ). In symbolen

def

bld f = {y ∈ R | ∃x ∈ R : y = f (x)}

Meetkundige betekenis. Het beeld van f is de loodrechte projectie van graf f op de y-as. y

graf f

bld f

x

c

O

• Definitie. De nulwaarden (of nulpunten) van een functie f zijn alle x-waarden waarvoor f (x) = 0. De verzameling van alle nulwaarden noemt men ook wel de kern van f , we noteren deze verzameling met ker f . In symbolen def

ker f = {x ∈ R | f (x) = 0}

Meetkundige betekenis. De nulwaarden van f zijn de x-waarden van de snijpunten van graf f met de x-as. y

O

graf f

x

O

nulwaarden van f Merk op dat elke nulwaarde behoort tot het domein van f , want de schrijfwijze “f (x) = 0” betekent eigenlijk “f (x) bestaat en is gelijk aan 0”. 4 De

Engelse term voor beeld is “image”, vandaar de notatie im f .

5

0.3

Elementaire functies

In de volgende voorbeelden bespreken we enkele elementaire

5

functies.

• Voorbeeld 1 (De parabool). ∗ Functievoorschrift f (x) = x2 ∗ Tabel van enkele functiewaarden x

−2

f (x)

...

−1, 5

−1

...

−0, 5

...

...

∗ Grafiek

0

0, 5

...

...

1 ...

1, 5 ...

2 ...

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

y 4 3 2 1

O

−2

1

−1

2

x

∗ Eigenschappen van de functie f (x) = x2 1. Domein.

c

2. Beeld.

3. Nulwaarden.

O

4. Tekentabel.

5. De functie f voldoet aan

∀x ∈ dom f : f (−x) = f (x)

Inderdaad,

Omdat f voldoet aan deze eigenschap zeggen we dat f een even functie is. Meetkundige betekenis. De y-as is een symmetrie-as van graf f . 5 In

de volksmond ook wel “moederfuncties” genoemd.

6

• Voorbeeld 2 (De kubische parabool). ∗ Functievoorschrift f (x) = x3 ∗ Tabel van enkele functiewaarden x

−2

f (x)

...

−1, 5

−1

...

...

−0, 5

0

...

...

∗ Grafiek 0, 5 ...

1

1, 5

...

...

y

2 ...

8 7

∗ Eigenschappen van de functie f (x) = x3 6

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

1. Domein.

5 4

2. Beeld.

3 2 1

3. Nulwaarden.

O

−2

−1

−1

4. Tekentabel.

−2 −3 −4

c

5. De functie f voldoet aan

∀x ∈ dom f : f (−x) = −f (x)

Inderdaad,

−5 −6 −7

O

−8

Omdat f voldoet aan deze eigenschap zeggen we dat f een oneven functie is. Meetkundige betekenis. De oorsprong O is een symmetrie-middelpunt van graf f .

7

1

2

x

• Voorbeeld 3. √ ∗ Functievoorschrift f (x) = x ∗ Tabel van enkele functiewaarden −2

x f (x)

−1

...

...

∗ Grafiek

0

1

2

3

4

...

...

...

...

...

∗ Eigenschappen van de functie f (x) = 1. Domein.

√

y 2

x

1

O

1

−1

2

3

4

x

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

2. Beeld.

3. Nulwaarden.

4. Tekentabel.

• Voorbeeld 4.

√ ∗ Functievoorschrift f (x) = 3 x ∗ Tabel van enkele functiewaarden

x

−8

f (x)

−4

...

−1

...

...

0

1

4

8

...

...

...

...

3

4

5

6

∗ Grafiek

y

2

c

1

O

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

−1 −2

O

∗ Eigenschappen van de functie f (x) = 1. Domein.

√ 3

x

2. Beeld.

3. Nulwaarden.

4. Tekentabel.

8

1

2

7

x

• Voorbeeld 5 (Hyperbool). 1 x ∗ Tabel van enkele functiewaarden ∗ Functievoorschrift f (x) =

x f (x)

−4

−2

...

−1

...

−0, 5 −0, 25

...

...

...

∗ Grafiek

0 ...

0, 25 ...

0, 5 ...

1

2

4

...

...

...

y

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

3 2 1

O

−3

−2

1

−1

2

3

x

−1 −2 −3

∗ Eigenschappen van de functie f (x) =

1 x

c

1. Domein.

2. Beeld.

O

3. Nulwaarden.

4. Tekentabel.

5. De functie f is een even/oneven/noch even, noch oneven functie (schrappen wat niet past). Inderdaad,

9

• Voorbeeld 6 (Rechte). ∗ Functievoorschrift f (x) = x. Deze bespreking laten we over als oefening voor de leerling. • Voorbeeld 7 (Absolute waarde). ∗ Functievoorschrift f (x) = |x| ∗ Tabel van enkele functiewaarden x

−3

f (x)

−2

...

−1

...

∗ Grafiek

...

0

1

2

3

...

...

...

...

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

y 3 2 1

O

−3

−2

−1

1

2

3

x

∗ Eigenschappen van de functie f (x) = |x| 1. Domein.

c

2. Beeld.

3. Nulwaarden.

O

4. Tekentabel.

5. De functie f is een even/oneven/noch even, noch oneven functie (schrappen wat niet past). Inderdaad,

10

0.4

Transformaties van functies.

Verschuiven • Op ontdekking. Gegeven is de functie f (x) = x2 . Voer de volgende stappen uit op het functievoorschrift van f en observeer wat er gebeurt met de grafiek van f . y y = x2 2

∗ y=x

4

vervang x door x − 2:

3

verschuif volgens . . .-as met . . . naar . . .

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

2

y = (x − 2)2

1

−4

−3

−2

−1

∗ y = x2

O

1

2

3

4

x

−1

vervang x door x + 3:

−2

verschuif volgens . . .-as met . . . naar . . .

−3

y = ...

−4

y

∗ y = x2

y = x2

vervang y door y + 1:

4

c

verschuif volgens . . .-as met . . . naar . . .

3

y = x2 + 1

2

∗ y = x2

1

vervang y door y − 4:

verschuif volgens . . .-as met . . . naar . . .

−4

−2

−1

O

−1

y = ...

O

−3

−2

vervang x door x + 2:

−3

verschuif volgens . . .-as met . . . naar . . .

−4

y = ...

11

1

2

3

4

x

• Algemeen. We kunnen de grafiek van een functie f verschuiven door de volgende transformaties uit te voeren.

∗ y = f (x)

∗ y = f (x)

verschuif volgens x-as met k naar rechts:

verschuif volgens y-as met k naar boven:

vervang x door x − k

vervang y door y + k y = f (x) + k

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

y = f (x − k)

1 • Voorbeeld 1. Gegeven is functie f (x) = . Vul de volgende transformaties aan. Schets bij elke stap de nieuwe x grafiek ten opzichte van het assenstelsel. y 1 y= x 1 ∗ y= 4 x vervang . . . door . . . . . .

3

verschuif volgens . . .-as met . . . naar . . .

y=

2

1 −3 x

1

vervang . . . door . . . . . .

verschuif volgens . . .-as met . . . naar . . .

y=

−4

−3

−2

O

−1

1

2

3

4

x

−1

1 −3 x−2

−2

c

−3 −4

• Voorbeeld 2. Welke transformaties moet je uitvoeren op de functie y = bekomen? Wees volledig.

O

Oplossing.

12

√

x om de functie y =

√

x + 7 − 13 te

Uitrekken en spiegelen • Op ontdekking 1. Gegeven is de functie f (x) = x2 . Voer de volgende stappen uit op het functievoorschrift van f en observeer wat er gebeurt met de grafiek van f . y y = x2 2

∗ y=x

vervang x door

4 x : 2

3

rek uit volgens . . .-as met factor . . .

2

 x 2

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e y=

1

2

−4

−3

−2

−1

∗ y = x2

O

1

2

3

4

x

−1

vervang y door 3y:

−2

rek uit volgens . . .-as met factor . . .

−3

y = 3 x2

−4

√ • Op ontdekking 2. Gegeven is de functie f (x) = x. Voer de volgende stappen uit op het functievoorschrift van f en observeer wat er gebeurt met de grafiek van f . y

c

∗ y=

√ x

4

vervang x door −x:

3

y=

spiegel om de . . .-as

2

y = ...

O

√ ∗ y= x

√ x

1

−4

−3

−2

−1

O

−1

vervang y door −y:

−2

spiegel om de . . .-as

−3

y = ...

−4

13

1

2

3

4

x

• Algemeen. We kunnen de grafiek van een functie f uitrekken door de volgende transformaties uit te voeren.

∗ y = f (x)

∗ y = f (x)

rek uit volgens x-as met factor k: vervang x door

x k

vervang y door k y

 x

y = k f (x)

k

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

y=f

rek uit volgens y-as met factor k:

We kunnen de grafiek van een functie f spiegelen door de volgende transformaties uit te voeren.

∗ y = f (x)

∗ y = f (x)

spiegel om de x-as:

spiegel om de y-as:

vervang y door −y

vervang x door −x

y = −f (x)

y = f (−x)

• Voorbeeld. Gegeven is functie f (x) = x. Vul de volgende transformaties aan. Schets bij elke stap de nieuwe grafiek op het assenstelsel.

y

∗ y=x

c

vervang . . . door . . . . . .

4

y=x

....................................

3

y =x−3

2

vervang . . . door . . . . . .

1

....................................

−4

O

y = 2x − 3

−3

−2

−1

O

−1

vervang . . . door . . . . . .

−2

....................................

−3

y = −2x + 3

−4

14

1

2

3

4

x

Hoofdstuk 1

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

Veeltermfuncties 1.1

Definitie en voorbeelden

• Definitie. Een (re¨ele) veelterm A(x) is van de vorm

A(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn

waarbij n ∈ N en a0 , a1 , a2 , . . . , an ∈ R

Als an 6= 0 noemen we n de graad van de veelterm A(x), notatie n = gr A(x). De graad van de nulveelterm wordt niet gedefini¨eerd 1 .

Elke veelterm A(x) bepaalt een functie

A:R→R

x 7→ A(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn

Een functie van deze vorm noemt een veeltermfunctie, die men dan meestal noteert met f in plaats van A.

• Voorbeeld 1. Gegeven is de veelterm

A(x) = x3 − 3x2 − x + 3

Hier is a0 = . . . , a1 = . . . , a2 = . . . en a3 = . . . .

De graad van de veelterm is gr A(x) = . . . .

De corresponderende veeltermfunctie heeft als

∗ Functievoorschrift f (x) = x3 − 3x2 − x + 3 ∗ Tabel van enkele functiewaarden

c

x

−3

f (x)

∗ Grafiek

...

−2

...

−1

0

1

2

3

...

...

...

...

...

y

graf f

We lezen af uit de grafiek:

3

dom f = . . .

2

We kunnen dit ook algebra¨ısch aantonen:

O

1

dom f = {x ∈ R | f (x) bestaat }

−1

O

1

2

x

3

= ...

−1 −2 −3

1 In hogere wiskunde stelt men gr 0 = −∞ omdat op deze manier rekenregels in verband met de graad van een veelterm geldig blijven (bijvoorbeeld de rekenregel “de graad van het product van twee re¨ ele veeltermen is gelijk aan de som van de graden van de veeltermen”).

15

• Eigenschap. Zij f een veeltermfunctie. Dan is dom f = R. • Voorbeeld 2 (Eerstegraadsfunctie). Gegeven is de functie f (x) = −0, 17 x + 28 (a) Teken, zonder gebruik te maken van je grafisch rekenmachine, de grafiek van de functie f . (b) Plot de grafiek van f (dat wil zeggen: teken de grafiek met behulp van je grafisch rekenmachine). (c) Bepaal dom f en bld f . (d) Welke transformaties moet je uitvoeren op de functie y = x om de functie y = −0, 17 x + 28 te bekomen? Oplossing.

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

(a) De functie f is een veeltermfunctie van graad 1, ook wel een eerstegraadsfunctie genoemd. In het derde jaar heb je gezien dat de grafiek van een eerstegraadsfunctie een stijgende of dalende rechte is. Om de grafiek van een eerstegraadsfunctie op te bouwen, doorlopen we de volgende stappen. Stap 1. Vorm: . . .

Teken vorm.

Stap 2. Snijpunt met de y-as: dan is . . . Teken de y-as, daarna de x-as.

Stap 3. Snijpunt met de x-as: dan is . . .

(b) Dankzij (a) kunnen we geschikte vensterinstellingen kiezen WINDOW

c

Y=

(c) We lezen af uit de grafiek van f dat dom f = . . .

(d)

y=x

vervang . . . door . . . . . .

O

....................................

y = ...

vervang . . . door . . . . . .

....................................

y = ... vervang . . . door . . . . . . ....................................

y = −0, 17x + 28

16

GRAPH

en bld f = . . .

• Voorbeeld 3 (Tweedegraadsfunctie). Gegeven is de functie f (x) = 0, 4 x2 + 4x − 8 (a) (b) (c) (d)

Schets, zonder gebruik te maken van je grafisch rekenmachine, de grafiek van de functie f . Controleer je grafiek in (a) door de grafiek van f te plotten. Bepaal dom f en bld f . Welke transformaties moet je uitvoeren op de functie y = x2 om de functie y = 0, 4 x2 + 4x − 8 te bekomen?

Oplossing.

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

(a) De functie f is een veeltermfunctie van graad 2, ook wel een tweedegraadsfunctie genoemd. In het vierde jaar heb je gezien dat de grafiek van een tweedegraadsfunctie een parabool is. Om de grafiek van een tweedegraadsfunctie op te bouwen, doorlopen we de volgende stappen. Stap 1. Vorm: . . .

Schets vorm.

Stap 2. Symmetrie-as: x = −

b dus x = . . . 2a

Schets symmetrie-as, daarna de y-as.

Stap 3. Top: T (. . .

,...

)

Schets top.

Stap 4. Snijpunt met de y-as: dan is . . . Schets de x-as.

Stap 5. Snijpunt(en) met de x-as: dan is . . .

c

(b)

(c) We lezen af uit de grafiek van f dat dom f = . . .

(d)

y = x2

vervang . . . door . . . . . .

O

....................................

y = ...

vervang . . . door . . . . . .

....................................

y = ... vervang . . . door . . . . . . ....................................

y = 0, 4x2 + 4x − 8

17

en bld f = . . .

• Voorbeeld 4 (Gebruik van grafisch rekenmachine). Karel maakt een vlucht met een luchtballon. De ballon vliegt volgens de functie h(t) = 40 − 2t +

1 3 1 4 t − t 30 250

met h de hoogte van de ballon boven de grond (uitgedrukt in meter) en t de tijd (uitgedrukt in veelvoud van 10 minuten), met t = 0 het tijdstip waarop de ballon boven het stadhuis van Damme vliegt. Los de volgende vragen op met behulp van je grafisch rekenmachine (hoogtes afronden op 1 cm nauwkeurig, tijdstippen afronden op 1 seconde nauwkeurig).

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

(a) Plot de grafiek met behulp van je grafisch rekenmachine, en neem een schets over op je blad. Noteer de vensterinstellingen die je gebruikt hebt. (b) Bepaal het theoretisch domein en het praktisch domein van de functie.

(c) Hoe lang vliegt Karel al voordat hij boven het stadhuis van Damme vliegt?

(d) Hoe lang duurt de volledige vlucht?

(e) Op welke hoogte vliegt de ballon op het ogenblik dat hij boven het stadhuis van Damme vliegt? (f) Hoe lang vliegt de ballon hoger dan 40 meter?

(g) Op welk tijdstip bereikt de ballon zijn maximale hoogte? Wat is deze maximale hoogte?

Oplossing. (a) Y=

2ND

Gebruikte vensterinstellingen: Xmin= . . .

TABLE

Xmax= . . .

∨

WINDOW

Ymin= . . .

GRAPH

Ymax= . . .

2ND

CALC

2:zero

<

ENTER

O

c

(b) Theoretisch domein: dom f = . . . Praktisch domein: de t-waarden waarvoor h(t) ≥ 0. We zoeken de nulwaarden met behulp van het grafisch rekenmachine.

Antwoord. Het praktisch domein is . . .

(c)

(d)

18

>

ENTER

ENTER

(e)

(f) We plotten de rechte y = 40, en bepalen de snijpunten van de grafiek van h met deze rechte. GRAPH

2ND

CALC

5: intersect

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

Y=

c

<

ENTER

ENTER

Antwoord. De ballon vliegt ongeveer . . . CALC

<

minuten en . . .

seconden op een hoogte hoger dan 40 meter.

ENTER

>

ENTER

ENTER

O

(g) 2ND

ENTER

Antwoord. De ballon bereikt zijn maximale hoogte ongeveer . . . ballon boven het stadhuis van Damme vliegt. De maximale hoogte is ongeveer . . .

meter.

19

minuten en . . .

seconden alvorens de

1.2

Algebra¨ısch bepalen van nulwaarden en tekentabel

Om de nulwaarden van een veeltermfunctie algebra¨ısch te bepalen, maken we gebruik van de deling van veeltermen uit het vierde jaar. We herhalen de belangrijkste resultaten. • Euclidische deling. Gegeven twee veeltermen A(x) en B(x) waarbij B(x) 6= 0. Dan bestaat er precies ´e´en veelterm Q(x) en ´e´en veelterm R(x) zodat A(x) = Q(x) · B(x) + R(x)

en waarvoor gr R(x) < gr B(x) of R(x) = 0

We noemen Q(x) het quoti¨ent en R(x) de rest. Als R(x) = 0 dan zeggen we dat A(x) deelbaar is door B(x). • Reststelling. De rest bij deling van een veelterm A(x) door x − a is gelijk aan A(a).

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

• Kenmerk van deelbaarheid door x − a. Een veelterm A(x) is deelbaar door x − a als en slechts als A(a) = 0. • Staartdeling. Te gebruiken bij deling van twee veeltermen.

Voorbeeld. Deling van A(x) = 4x5 − 2x4 − 3x2 − 2x + 2 door B(x) = 2x3 + x − 1 4x5

−2x4

±4x5

−2x4 ∓2x4

−3x2

±2x3

∓2x2

−2x3

−x2 ∓x2

+2x +2

2x3 + x − 1 2x2 − x − 1

+2x +2 ±x

−2x3 ∓2x3

+x +2 ∓x ±1

+2x +1

Dus

4x5 − 2x4 − 3x2 + 2x + 2 = (2x2 − x − 1) · (2x3 + x − 1) + 2x + 1 | | {z } | {z } {z } | {z } A(x)

Q(x)

B(x)

R(x)

• Schema van Horner 2 . Te gebruiken bij deling van een veelterm door x − a. Voorbeeld. Deling van A(x) = x5 − 2x4 − 3x3 − 2x + 31 door B(x) = x − 2 2

1 −2 −3 0 −2 31 ↓ 2 0 −6 −12 −28

c

1

0 −3 −6 −14

3

Dus

3 x5 − 2x4 − 3x3 − 2x + 31 = (x4 − 3x2 − 6x − 14) · (x − 2) + |{z} | {z } | {z } | {z } A(x)

Q(x)

B(x)

R(x)

• Voorbeeld 1. Bepaal algebra¨ısch de nulwaarden van de veeltermfunctie f (x) = x3 − 3x2 + 2x − 6

Oplossing.

O

Los op:

f (x) = 0

⇔

x3 − 3x2 + 2x − 6 = 0

kanshebbers gehele nulwaarden: delers van −6 we vinden f (3) = 0 dus f (x) is deelbaar door x − 3 (waarom?) Horner: 1 −3 2 −6 3 ↓ ... ... ... ...

... ...

...

dus x3 − 3x2 + 2x − 6 = . . .

⇔ ... 2 Genoemd naar William George Horner die deze methode beschreef in 1819, maar reeds bekend bij Isaac Newton 1669 en Ch’in Chiu-Shao 13de eeuw.

20

• Voorbeeld 2. Gegeven is de veeltermfunctie f (x) = x4 + 2x3 − 2x2 − 6x − 3 (a) Bepaal algebra¨ısch de nulwaarden van f . (b) Bepaal de tekentabel van f . (c) Voor welke x-waarden ligt de grafiek van f onder de x-as?

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

Oplossing.

• Voorbeeld 3. Gegeven zijn de veeltermfuncties

f (x) = x3 + 2x2

en

g(x) = 4x

(a) Plot beide grafieken, en neem een schets over op je blad (beide grafieken tekenen in ´e´en assenstelsel).

(b) Bepaal algebra¨ısch alle x-waarden waarvoor graf f boven graf g ligt.

c

(c) Controleer je uitkomst in (b) met behulp van je grafisch rekenmachine.

O

Oplossing.

21

1.3

Gedrag op oneindig van veeltermfuncties

• Voorbeeld 1. Gegeven is de functie f (x) = x3 − 2x2 − x + 2

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

We plotten de grafiek van f met behulp van het grafisch rekenmachine

Uit de grafiek van f lezen we af

∗ Als x evolueert naar +∞ dan evolueert f (x) naar +∞. We noteren in symbolen als x → +∞ dan f (x) → +∞

of nog

lim f (x) = +∞

x→+∞

Dit kunnen we ook inzien door de functiewaarde van enkele grote x-waarden te nemen f (10) = . . .

f (100) = . . .

of aan de hand van het grafisch rekenmachine Y-VARS

1:Function

1:Y1

c

VARS

We kunnen deze limiet ook “berekenen”

lim f (x) = lim (x3 − 2x2 − x + 2) = . . .

x→+∞

x→+∞

∗ Als x evolueert naar −∞ dan evolueert f (x) naar −∞. We noteren in symbolen

O

als x → −∞ dan f (x) → −∞

of nog

We kunnen deze limiet ook “berekenen”

lim f (x) = lim (x3 − 2x2 − x + 2) = . . .

x→−∞

x→−∞

• Voorbeeld 2. Onderzoek het gedrag op oneindig van de veeltermfunctie f (x) = −7x4 + 100x − 8 Oplossing.

22

lim f (x) = −∞

x→−∞

Oefeningen bij §1.1 Oefening 1. Welke van de volgende veeltermfuncties zijn even, oneven of geen van beide? Ga algebra¨ısch na. (a) f (x) = x4 − x2 (b)

f (x) = 1 + x3

(c)

f (x) = 6

(d)

f (x) = (1 − x)2 + 2x

Oefening 2. Gegeven is de functie f (x) = −x2 + 7x − 8 (a) Schets, zonder gebruik te maken van je grafisch rekenmachine, de grafiek van de functie f . (b) Controleer je grafiek in (a) door de grafiek van f te plotten. (c) Bepaal dom f en bld f .

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

(d) Welke transformaties moet je uitvoeren op de functie y = x2 om de functie y = −x2 + 7x − 8 te bekomen? ?Oefening 3. Toon aan: niet elke derdegraadsfunctie kan bekomen worden door transformaties uit te voeren op y = x3 . Oefening 4. Een bedrijf produceert draadloze fietscomputers. De bedrijfsleiding wil weten hoeveel computers er per uur moeten geproduceerd worden om winst te maken. Het verband tussen de winst W (in euro) en de productie x (aantal geproduceerde computers) per uur wordt gegeven door 1 W (x) = − x3 + 8x2 − 24x 2

Winst kan ook negatieve waarden aannemen, dan spreken we van verlies. Los de volgende vragen op met behulp van je grafisch rekenmachine. (a) Bepaal het theoretisch domein van de functie W (x). (b) Bepaal het praktisch domein van de functie W (x).

(c) Hoeveel eenheden moet het bedrijf produceren om een maximale winst te maken? (d) Bij welke productie is de winst groter dan 36 euro per uur?

Oefening 5. De doorsnede van een rivier in China kan beschreven worden door het functievoorschrift

x4 − 10x3 − 400x2 + 1600x − 48000 12000 met d de diepte (in meter) en de x-as de huidige waterspiegel. Los de volgende vragen op met behulp van je grafisch rekenmachine (lengtes afronden op 1 cm nauwkeurig). d(x) =

c

(a) Plot de grafiek met behulp van je grafisch rekenmachine, en neem een schets over op je blad. Noteer de vensterinstellingen die je gebruikt hebt.

(b) Hoe breed is de rivier nu?

(c) In het droge seizoen daalt de rivier met 4 meter ten opzichte van de huidige waterstand. Er vormt zich een eilandje in het midden van de rivier. Hoe hoog steekt het eilandje dan boven het waterpeil uit?

(d) In het regenseizoen stijgt de rivier met 3 meter ten opzichte van de huidige waterstand. Hoeveel breder is de rivier dan ten opzichte van zijn laagste peil in het droge seizoen?

O

Oefening 6. Een firma produceert taartdozen in de vorm van een balk. Men vertrekt van het onderstaand patroon waarbij de machine het karton plooit langs de stippellijnen, om zo de doos rechts te bekomen. 64 cm x

39 cm

x x x Voor welke x is de inhoud van de taartdoos maximaal? Maak gebruik van je grafisch rekenmachine.

23

Oefeningen bij §1.2-§1.3 Oefening 7. Bepaal van de volgende functies algebra¨ısch de nulwaarden en de tekentabel. (a) f (x) = x4 − 16 (b)

f (x) = x(2 − x)(3 + x)2

(c)

f (x) = 3x3 + 3x

(d)

f (x) = 2x3 − 5x2 − 28x + 15

Oefening 8. Bepaal algebra¨ısch de nulwaarden van de functie f (x) =

1 4 5 3 9 2 x + x + x + 2x + 1 4 4 4

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

Oefening 9. Bepaal algebra¨ısch de oplossingenverzameling van de ongelijkheid x4 + 6x3 + 8x2 − 6x ≤ 9

Controleer je antwoord met behulp van je grafisch rekenmachine.

Oefening 10. Bepaal grafisch (dat wil zeggen, met behulp van je grafisch rekenmachine) de oplossingenverzameling van de ongelijkheid 16x3 + 332x + 210 > 168x2 Oefening 11. Bepaal algebra¨ısch de x-waarden waarvoor de grafiek van functie f (x) = x4 − 3x2 + 2 boven de x-as ligt. Oefening 12. Bepaal algebra¨ısch de snijpunten van functies f (x) = x3 − 3x2 + x + 3

en

g(x) = (x − 1)2

Oefening 13. Onderzoek het gedrag op oneindig van de veeltermfunctie f (x) = −12x5 + 81x3 + 120. ?Oefening 14. Bepaal het voorschrift van een veeltermfunctie f (x) waarvoor • x=−

1 is een nulwaarde van f , en 2

• graf f raakt aan de x-as in het punt (6, 0), en • graf f snijdt de y-as in het punt (0, −3).

c

Oefening 15 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 3 1998 eerste ronde). Hoeveel van de volgende veeltermen zijn een deler van de veelterm x7 − x? x2 + x + 1, (A) 2

x3 − 1,

(B) 3

x2 − 1,

x4 + x2 + 1,

(C) 4

x4 + x,

(D) 5

x2 − x

(E) 6

?Oefening 16 (Toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven 1999). Welke van de volgende beweringen over de veeltermfunctie f (x) = 6acx3 + 4bcx2 + 9adx + 6bd

waarbij a, b, c, d ∈ R

is niet juist?

O

(A) Als a = 0 en bcd 6= 0 dan heeft de veeltermfunctie f hoogstens twee nulwaarden. (B) Als 2c + 3d = 0 dan heeft de veeltermfunctie x = 1 en x = −1 als nulwaarden.

(C) Als cd > 0 dan heeft de veeltermfunctie twee tegengestelde nulwaarden.

(D) Als a = 2 dan heeft de veeltermfunctie −

b als nulwaarde. 3

Oefening 17 (Toelatingsexamen Koninklijke Militaire School 1984). Gegeven zijn de volgende twee re¨ele functies f (x) = x2 − 5x + 1

en

g(x) = −x + 2

Bepaal algebra¨ısch de snijpunten van de grafiek van f (x) met de grafiek van g(x). 3 De Vlaamse Wiskunde Olympiade, afgekort VWO, is een wiskundewedstrijd voor scholieren die jaarlijks in Vlaanderen wordt georganiseerd. Eerdere wedstrijdvragen zijn te vinden op de website http://www.vwo.be/vwo/vorige-edities

24

Hoofdstuk 2

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

Rationale functies 2.1

Rationale vormen

• Definitie. Een rationale vorm is een quoti¨ent van veeltermen R(x) =

T (x) N (x)

met T (x) een veelterm en N (x) 6= 0 een veelterm

We noemen de rationale vorm R(x) echt indien gr T (x) < gr N (x) of T (x) = 0. We noemen de rationale vorm R(x) onecht indien gr T (x) ≥ gr N (x).

• Voorbeeld 1. De uitdrukking

R(x) =

x + 1302 x5 − 2009

is een echte/onechte rationale vorm (schrappen wat niet past).

• Voorbeeld 2. Gegeven is de veelterm A(x) = 7x2 − 6x + 1. Dan is A(x) = 7x2 − 6x + 1 =

7x2 − 6x + 1 1

dus A(x) is een rationale vorm. In het bijzonder is gr T (x) ≥ gr N (x) dus A(x) is een onechte rationale vorm. In het algemeen is elke veelterm verschillend van de nulveelterm een onechte rationale vorm (waarom?).

c

• Voorbeeld 3. De uitdrukking

R(x) =

x5 − 7x + 12 x3 − 4

is een onechte rationale vorm. Voeren we de staartdeling (zie pagina 20) uit dan verkrijgen we (vul aan) x5 − 7x + 12

x3 − 4

O

zodat

x5 − 7x + 12 = .|. {z . . .}. (x3 − 4) + .|. . . . . . . . .{z . . . . . . . . . .}. Q(x)

R(x)

Op deze manier kunnen we de onechte rationale vorm herschrijven als R(x) =

x5 − 7x + 12 = ... x3 − 4

= ...

Dus we hebben de onechte rationale vorm R(x) herschreven als de som van een veelterm en een echte rationale vorm. Deze eigenschap blijkt ook in het algemeen waar te zijn. 25

• Eigenschap. Elke onechte rationale vorm kan men (op een unieke manier) schrijven als de som van een veelterm en een echte rationale vorm. T (x) een onechte rationale vorm. Wegens de Euclidische deling bestaat er juist ´e´en veelterm N (x) Q(x) en ´e´en veelterm R0 (x) zodat Bewijs. Zij R(x) =

T (x) = Q(x) · N (x) + R0 (x)

en waarvoor gr R0 (x) < gr N (x) of R0 (x) = 0

Op deze manier kunnen we de onechte rationale vorm R(x) herschrijven als T (x) = ... N (x)

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

R(x) =

= ...

2.2

Rationale vergelijkingen en ongelijkheden

• Modelvoorbeeld 1. Bepaal algebra¨ısch alle oplossingen van de rationale vergelijking 8x − 3 3x2 − 2x = 4 − x+3 x+3

c

Oplossing.

• Modelvoorbeeld 2. Bepaal algebra¨ısch alle oplossingen van de rationale ongelijkheid 2+x ≥1 x2 − 2

O

Oplossing.

26

2.3

Definitie rationale functie en voorbeelden

• Definitie. Een rationale functie is een functie y = f (x) waarbij f (x) een rationale vorm is, i.e. f (x) =

T (x) N (x)

met T (x) een veelterm en N (x) 6= 0 een veelterm

• Voorbeelden.

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

√ √ −x2 − 3x + 2 3x − 5 7 (a) f (x) = en g(x) = zijn rationale functies. 2x − 1 x2 − 4π (b) f (x) = x3 − 7x is een rationale functie. Algemeen is elke veeltermfunctie een rationale functie. √ (c) f (x) = x is geen rationale functie (waarom?). • Voorbeeld. De temperatuur in een koele berging wordt gegeven door de functie T (t) =

3t2 − 6t + 3 t2 − 2t + 2

met T de temperatuur (in graden Celsius) en t de tijd (in uren). Het tijdstip t = 0 komt overeen met 3 uur ’s nachts. Los de volgende vragen op met behulp van je grafisch rekenmachine. (a) Schets de grafiek van de functie T .

(b) Op welk tijdstip was de temperatuur het laagst? Hoe laag was deze temperatuur dan?

(c) Als de temperatuur lager wordt dan 1◦ C dan is er gevaar voor schade aan het voedsel. Hoe lang bevond de temperatuur zich onder 1◦ C?

(d) Naar welke waarde evolueert de temperatuur in de berging?

c

Oplossing.

O

(d) Uit de grafiek van T vermoeden we dat naarmate de tijd toeneemt de temperatuur naar een constante waarde zal evolueren. Door de functiewaarde van een groot getal te berekenen kunnen we deze constante waarde “raden”.

Antwoord. De temperatuur evolueert naar T = . . . 27

2.4

Algebra¨ısch bepalen van domein, nulwaarden en tekentabel

• Algemeen. Zij f (x) =

T (x) een rationale functie. N (x)

∗ Het domein van f vinden we via dom f = {x ∈ R | f (x) bestaat } = ...

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

= ...

We besluiten dat dom f = R \ { nulpunten noemer}

Voorbeeld. Bepaal algebra¨ısch het domein van f (x) =

8x x2 − 4x

∗ De nulwaarden van f vinden we via

los op:

f (x) = 0

⇔... ⇔...

O

c

Besluit: De nulwaarden van f zijn de nulpunten van de teller die geen nulpunten zijn van de noemer De nulpunten van de noemer noemt men de polen van de rationale functie f .

Voorbeeld. Bepaal algebra¨ısch alle nulpunten en polen van f (x) =

8x x2 − 4x

∗ De tekentabel van f vinden we door de tekentabel van teller en noemer door elkaar te “delen” Voorbeeld. Bepaal algebra¨ısch de tekentabel f (x) =

28

x2

8x − 4x

• Modelvoorbeeld 1. Gegeven is de functie f (x) =

x2

x −1

(a) Bepaal algebra¨ısch het domein, alle nulpunten, polen en de tekentabel van de functie f . (b) Plot de grafiek van f , en neem een schets over op je blad.

c

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

Oplossing. Hoewel eerst gevraagd wordt algebra¨ısch te bepalen, is het toch verstandig om eerst de grafiek van f te plotten om zo een idee te krijgen van de te bekomen resultaten.

O

• Opmerking bij modelvoorbeeld 1. Uit de grafiek van f lezen we af

∗ Als x evolueert naar +∞ dan nadert f (x) naar 0. We noteren in symbolen als x → +∞ dan f (x) → 0

of nog

lim f (x) = 0

x→+∞

Daarom noemen we de rechte y = 0 een horizontale asymptoot voor x → +∞ aan de grafiek van f . Analoog, als x evolueert naar −∞ dan nadert f (x) naar 0. ∗ Als x nadert naar 1 van links dan nadert f (x) naar −∞. We noteren in symbolen als x → 1 dan f (x) → −∞ <

of nog

lim f (x) = −∞

x→ 1 <

Daarom noemen we de rechte x = 1 een verticale asymptoot aan de grafiek van f . Analoog, als x nadert naar 1 van rechts dan nadert f (x) naar +∞. ∗ Analoog is de rechte x = −1 een verticale asymptoot. 29

• Modelvoorbeeld 2. Gegeven is de functie x2 − 4 + 5x + 6 (a) Bepaal algebra¨ısch het domein, alle nulpunten, polen en de tekentabel van de functie f . (b) Plot de grafiek van f , en neem een schets over op je blad. (c) Beschrijf de eventuele asymptoten aan de grafiek van f , gebruik de correcte notaties. f (x) =

x2

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

Oplossing.

• Opmerking bij modelvoorbeeld 2.

O

c

∗ Wanneer we de grafiek van f plotten met behulp van het grafisch rekenmachine, vertoont de grafiek schijnbaar geen onderbreking voor x = −2. Dat er wel degelijk zo’n “gaatje” is blijkt uit bovenstaande tekentabel en het commando 2ND TABLE

We zeggen dat de grafiek van f een perforatie vertoont voor x = −2. ∗ Hoe verleidelijk ook, “schrappen” in het functievoorschrift is uit den boze wanneer het domein be¨ınvloed wordt, omdat men zo de grafiek van de functie wijzigt. Zo zijn bijvoorbeeld de volgende functies verschillend omdat hun domein verschillend is (en dus ook hun grafiek). f (x) =

(x − 1)2 (x − 1)

6=

dom f = . . .

g(x) = x − 1

dom g = . . .

Algemeen kunnen we dus stellen dat voor twee functies f en g f =g

⇔

dom f = dom g en ∀x ∈ dom f : f (x) = g(x) 30

y

2.5

Homografische functies

• Voorbeeld 1. Gegeven is de elementaire functie

f (x) =

1 x

met als grafiek x

Uit de grafiek van f lezen we af ∗ Als x → +∞ dan f (x) → . . .

of nog

lim

x→+∞

1 = ... x

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

Dus de rechte . . . . . . is horizontale asymptoot voor x → +∞ aan de grafiek van f . De uitkomst van deze limiet kunnen we ook inzien met behulp van het grafisch rekenmachine

Daarom schrijven we deze limiet in het vervolg als volgt uit lim

x→+∞

1 1 = =0 x +∞

1 1 = = 0 dus de rechte y = 0 is een horizontale asymptoot voor x → −∞. x→−∞ x −∞ 1 ∗ Als x → 0 dan f (x) → . . . of nog lim = . . . > x→ 0 x > Analoog is lim

c

Dus de rechte . . . . . . is een verticale asymptoot aan de grafiek van f . De uitkomst van deze limiet kunnen we ook inzien met behulp van het grafisch rekenmachine

Daarom schrijven we deze limiet in het vervolg als volgt uit

O

lim

x→ 0 >

Analoog is lim

x→ 0 <

1 1 = + = +∞ x 0

1 1 = − = −∞ x 0

31

• Voorbeeld 2. Gegeven is de functie

2x − 1 x We plotten de grafiek van f met behulp van het grafisch rekenmachine

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

f (x) =

1 x Om in te zien waarom de grafiek van f deze vorm heeft, herschrijven we het functievoorschrift van f als volgt De grafiek van f heeft de zelfde vorm als de grafiek van de elementaire functie f (x) =

f (x) =

2x − 1 2x 1 1 = − =2− x x x x

(∗)

1 Op deze manier wordt het duidelijk dat we y = f (x) kunnen bekomen uit y = door middel van de volgende x transformaties y

y=

1 x

3

vervang . . . door . . . . . .

2

....................................

1

y = ...

O

−3

c

vervang . . . door . . . . . .

−2

−1

1

2

3

x

−1

....................................

−2

y =2−

1 x

−3

O

Opmerking. In (∗) hebben we f (x) herschreven als de som van een veelterm en een echte rationale vorm. Bij de laatste gelijkheid in (∗) “schrappen” we x in teller en noemer. Nochtans zagen we in de opmerking op pagina 30 dat we niet zomaar mogen “schrappen” in het functievoorschrift. Waarom mogen we dit hier wel doen? Omdat . . .

32

Uit de grafiek van f lezen we af ∗ Als x → +∞ dan f (x) → . . .

of nog

lim f (x) = . . .

x→+∞

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

Dus de rechte . . . . . . is een horizontale asymptoot voor x → +∞ aan de grafiek van f . De uitkomst van deze limiet kunnen we ook inzien met behulp van het grafisch rekenmachine (rechtsreeks, of handiger met behulp van Y1 )

We kunnen deze limiet ook “berekenen”



lim f (x) = lim

x→+∞

x→+∞

2−

1 x



= ...

Analoog is

lim f (x) = . . .

x→−∞

∗ Als x → 0 dan f (x) → . . . >

of nog

lim f (x) = . . .

x→ 0

O

c

>

Dus de rechte . . . . . . is een verticale asymptoot aan de grafiek van f . De uitkomst van deze limiet kunnen we ook inzien met behulp van het grafisch rekenmachine

We kunnen deze limiet ook “berekenen”



lim f (x) = lim

x→ 0

x→ 0

>

>

Analoog is lim f (x) = . . .

x→ 0 <

33

1 2− x



= ...

• Voorbeeld 3. Gegeven is de functie f (x) =

6x + 2 2x − 3

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

Om de grafiek van f te begrijpen, schrijven we f (x) eerst als de som van een veelterm en een echte rationale vorm

en we kunnen y = f (x) bekomen uit y =

1 door middel van de volgende transformaties x y

1 y= x

vervang . . . door . . . . . .

....................................

y = ...

vervang . . . door . . . . . .

....................................

y = ...

vervang . . . door . . . . . .

c

....................................

y=

6x + 2 2x − 3

Uit de grafiek van f lezen we af

O

∗

lim f (x) = . . . dus de rechte . . . . . . is een horizontale asymptoot voor x → +∞ aan de grafiek van f .

x→+∞

lim f (x) = . . . dus de rechte . . . . . . is een horizontale asymptoot voor x → −∞ aan de grafiek van f .

x→−∞

Opmerking. Behouden we van f (x) enkel de hoogstegraadstermen, dan krijgen we hoogstegraadsterm teller = hoogstegraadsterm noemer

∗ lim f (x) = . . . dus de rechte . . . . . . is een verticale asymptoot aan de grafiek van f . x → ... >

Analoog is lim f (x) = . . . x → ... <

Opmerking. Berekenen we het domein van f , dan hebben we dom f =

34

x

• Voorbeeld 4. Gegeven is de functie f (x) =

5x + 10 2x + 4

(a) Plot de grafiek van f met behulp van je grafisch rekenmachine, en neem een schets over op je blad. 1 (b) Kunnen we y = f (x) bekomen uit y = door middel van transformaties? Leg uit. x

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

Oplossing.

• Definitie. Een homografische functie is een functie y = f (x) waarbij f (x) =

ax + b cx + d

waarbij a, b, c, d ∈ R met c 6= 0 en ad 6= bc

• Opmerking. In de bovenstaande definitie is

∗ c 6= 0 want anders is de grafiek van f . . .

c

∗ ad 6= bc want anders is de grafiek van f . . .

1 ax + b een homografische functie. Dan kunnen we y = f (x) bekomen uit y = door cx + d x middel van transformaties.

• Eigenschap. Zij f (x) =

Bijgevolg is de grafiek van f van de vorm ax+b cx+d

y=

O

y=

ax+b cx+d

y = ...

y = ...

of

x = ...

x = ...

• Opmerking. Hoe men in de praktijk het onderscheid maakt tussen deze twee vormen, wordt duidelijk aan de hand van het volgend modelvoorbeeld. 35

• Modelvoorbeeld. Gegeven is de functie f (x) =

3x − 2 3x + 2

(a) Toon aan dat f een homografische functie is. (b) Schets, zonder gebruik te maken van je grafisch rekenmachine, de grafiek van de functie f . (c) Controleer je grafiek in (b) door de grafiek van f te plotten. (d) Bepaal dom f en bld f . (e) Welke transformaties moet je uitvoeren op de functie y =

1 om de functie y = f (x) te bekomen? x

Oplossing.

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

(a)

(b) Om de grafiek van een homografische functie op te bouwen, doorlopen we de volgende stappen. Stap 1. H.A.: y = . . .

Teken H.A. daarna de x-as.

Stap 2. V.A.: x = . . .

Teken V.A. daarna de y-as.

Stap 3. Snijpunt met de x-as: dan is . . .

Teken snijpunt, daarna de grafiek van f .

c

(c)

(d)

O

(e)

36

2.6

Asymptoten van rationale functies

Verticale asymptoten en perforaties • Algemene regel 1 . Gegeven is een functie f . Voor een verticale asymptoot of perforatie voor x = a zijn de kanshebbers voor a de randpunten van dom f die niet tot dom f behoren. In de volgende voorbeelden ontdekken we criteria hoe we bij rationale functies alle verticale asymptoten en perforaties kunnen vinden. • Op ontdekking 1. Gegeven is de functie

x−1 x2 − 4 Om de alle verticale asymptoten en perforaties te vinden, gaan we voorlopig als volgt te werk.

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

f (x) =

∗ dom f = . . .

∗ De kanshebbers voor een V.A. of perforatie zijn . . .

∗ Plot de grafiek van f met behulp van je grafisch rekenmachine. y

x

c

∗ Uit de grafiek van f lezen we af Als x → 2 dan f (x) → . . . <

of nog

Als x → 2 dan f (x) → . . . >

of nog

lim f (x) = . . .

x→ 2 <

lim f (x) = . . .

x→ 2 >

Dus de rechte . . . . . . is een V.A. aan de grafiek van f .

∗ We kunnen dit ook berekenen lim f (x) = lim

x→ 2 <

x→ 2 <

x−1 = ... x2 − 4

x−1 = ... x → 2 x2 − 4 >

O

lim f (x) = lim

x→ 2 >

∗ Besluit. De reden waarom de rechte x = 2 een V.A. is aan de grafiek van f is

aantal keer x = 2 nulpunt teller < aantal keer x = 2 nulpunt noemer | {z } | {z } ...

...

1 Voor de meest courante functies - inclusief degene die we in Deel Precalculus behandelen - is deze regel van toepassing. Toch bestaan er functies waarbij x = a een verticale asymptoot is, en toch a ∈ dom f . Voor een expliciete behandeling van de begrippen asymptoot en perforatie, en een algemene werkwijze om deze te bepalen zal de leerling geduld moeten uitoefenen tot Deel Calculus.

37

• Op ontdekking 2. Gegeven is de functie x2 − 1 x−1 Om de alle verticale asymptoten en perforaties te vinden, gaan we voorlopig als volgt te werk. f (x) =

∗ dom f = . . . ∗ De kanshebbers voor een V.A. of perforatie zijn . . . ∗ Plot de grafiek van f met behulp van je grafisch rekenmachine.

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

y

x

∗ Uit de grafiek van f lezen we af Als x → 1 dan f (x) → . . . <

of nog

lim f (x) = . . . 6= ±∞

x→ 1 <

Als x → 1 dan f (x) → . . . >

of nog

lim f (x) = . . . 6= ±∞

x→ 1 >

Dus de rechte x = 1 is geen V.A. aan de grafiek van f . Daarom is x = 1 een perforatie aan de grafiek van f .

∗ We kunnen dit ook berekenen

x2 − 1 = ... x→ 1 x − 1 <

c

lim f (x) = lim

x→ 1 <

x2 − 1 = ... x→ 1 x − 1 >

lim f (x) = lim

x→ 1 >

∗ Besluit. De reden waarom de grafiek van f een perforatie vertoont voor x = 2 is

aantal keer x = 1 nulpunt teller ≥ aantal keer x = 1 nulpunt noemer | {z } | {z } ...

O

...

• Algemene werkwijze. Gegeven is een rationale functie f . Om alle verticale asymptoten en perforaties x = a aan de grafiek van f te vinden gaan we als volgt te werk. Stap 1. Bepaal dom f . De kanshebbers voor a zijn de randpunten van dom f die niet tot dom f behoren. Stap 2. Voor elke kanshebber gaan we na ∗ als aantal keer x = a nulpunt teller < aantal keer x = a nulpunt noemer dan is de rechte x = a een V.A. aan de grafiek van f ∗ als aantal keer x = a nulpunt teller ≥ aantal keer x = a nulpunt noemer dan vertoont de grafiek van f een perforatie voor x = a

38

• Modelvoorbeeld. Bepaal alle eventuele verticale asymptoten en/of perforaties aan de grafiek van de functie f (x) =

2x3 − 8x2 x(x − 4)2

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

Oplossing.

Horizontale asymptoten en schuine asymptoten • Op ontdekking 1. Gegeven is de functie

−3x + 5 2x2 + x + 1 Om alle horizontale en schuine asymptoten van f te vinden, gaan we voorlopig als volgt te werk. f (x) =

∗ Plot de grafiek van f met behulp van je grafisch rekenmachine. y

c

x

∗ Uit de grafiek van f lezen we af Als x → +∞ dan f (x) → . . .

of nog

lim f (x) = . . .

x→+∞

Dus de rechte . . . . . . is een H.A. voor x → +∞ aan de grafiek van f .

O

Als x → −∞ dan f (x) → . . .

of nog

lim f (x) = . . .

x→−∞

Dus de rechte . . . . . . is een H.A. voor x → −∞ aan de grafiek van f . ∗ We kunnen dit ook berekenen −3x + 5 = ... lim f (x) = lim x→+∞ x→+∞ 2x2 + x + 1 −3x + 5 = ... x→−∞ 2x2 + x + 1

lim f (x) = lim

x→−∞

∗ Besluit. De reden waarom de rechte y = 0 een H.A. is aan de grafiek van f is graad teller < graad noemer | {z } | {z } ...

...

39

• Op ontdekking 2. Gegeven is de functie 3x2 + 5 x2 − x Om alle horizontale en schuine asymptoten van f te vinden, gaan we voorlopig als volgt te werk. f (x) =

∗ Plot de grafiek van f met behulp van je grafisch rekenmachine.

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

y

x

∗ Uit de grafiek van f lezen we af

Als x → +∞ dan f (x) → . . .

of nog

lim f (x) = . . .

x→+∞

Dus de rechte . . . . . . is een H.A. voor x → +∞ aan de grafiek van f . Als x → −∞ dan f (x) → . . .

of nog

lim f (x) = . . .

x→−∞

Dus de rechte . . . . . . is een H.A. voor x → −∞ aan de grafiek van f .

∗ Om in te zien waarom de rechte y = 3 een H.A. is, schrijven we f (x) als de som van een veelterm en een echte rationale vorm

c

f (x) =

3x2 + 5 = ... x2 − x

Zo kunnen we eenvoudig de volgende limieten berekenen 3x2 + 5 = ... x→+∞ x2 − x

lim f (x) = lim

x→+∞

3x2 + 5 = ... x→−∞ x2 − x

lim f (x) = lim

O

x→−∞

Een alternatieve manier om deze limieten te berekenen is 3x2 + 5 = ... x→+∞ x2 − x

lim f (x) = lim

x→+∞

∗ Besluit. De reden waarom de rechte y = 3 een H.A. is aan de grafiek van f is graad teller = graad noemer | {z } | {z } ...

en

...

40

hoogstegraadsterm teller =3 hoogstegraadsterm noemer

• Op ontdekking 3. Gegeven is de functie x2 + 2x x−1 Om alle horizontale en schuine asymptoten van f te vinden, gaan we voorlopig als volgt te werk. f (x) =

∗ Plot de grafiek van f met behulp van je grafisch rekenmachine.

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

y

x

∗ Uit de grafiek van f lezen we af

Als x → +∞ dan f (x) → . . .

lim f (x) = . . . 6∈ R

of nog

x→+∞

Dus er is geen H.A. voor x → +∞ aan de grafiek van f . Als x → −∞ dan f (x) → . . .

lim f (x) = . . . 6∈ R

of nog

x→−∞

Dus er is geen H.A. voor x → −∞ aan de grafiek van f .

∗ Toch heeft deze functie f een specifiek gedrag als x → ±∞. Om dit gedrag te ontdekken schrijven we f (x) als de som van een veelterm en een echte rationale vorm

c

f (x) =

Op deze manier zien we in dat   lim f (x) − (x + 3) = lim . . . x→+∞

O

x2 + 2x = ... x−1

x→+∞

Dus als x → +∞ dan f (x) → x + 3 Daarom noemen we de rechte y = x + 3 een schuine asymptoot voor x → +∞ aan de grafiek van f . Analoog berekenen we   lim f (x) − (x + 3) = lim . . . x→−∞

x→−∞

Dus als x → −∞ dan f (x) → x + 3 Daarom noemen we de rechte y = x + 3 een schuine asymptoot voor x → −∞ aan de grafiek van f . ∗ Besluit. De reden waarom er een S.A. is aan de grafiek van f is graad teller = graad noemer +1 | {z } | {z } ...

...

41

• Algemene werkwijze. Gegeven is een rationale functie f . Om alle horizontale en schuine asymptoten aan de grafiek van f te vinden gaan we als volgt te werk. ∗ Als graad teller < graad noemer dan is er een H.A. voor x → ±∞, namelijk de rechte y = 0. ∗ Als graad teller = graad noemer dan is er een H.A. voor x → ±∞, namelijk de rechte y = a met f (x) =

a |{z}

+

veelterm graad 0

g(x) |{z}

echte rationale vorm

Praktisch vinden we het getal a door hoogstegraadsterm teller hoogstegraadsterm noemer

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

a=

∗ Als graad teller = graad noemer +1 dan is er een S.A. voor x → ±∞, namelijk de rechte y = ax + b met f (x) =

ax + b | {z }

veelterm graad 1

+

g(x) |{z}

echte rationale vorm

Praktisch vinden we de getallen a en b door de Euclidische deling van de teller met de noemer uit te voeren (staartdeling).

∗ Als graad teller > graad noemer +1 dan is er geen H.A. en geen S.A.

• Modelvoorbeeld. Bepaal de eventuele horizontale en/of schuine asymptoten aan de grafiek van de volgende functies. 2x2 − 5x + 2 0, 3 x2 − 5 x2 + 3 f (x) = 2x + 4

(a) f (x) =

(b)

O

c

Oplossing.

• Opmerking. De grafiek van een functie kan niet tegelijk een horizontale asymptoot voor x → +∞ en een schuine asymptoot voor x → +∞ bereiken. Immers, mocht dit toch het geval zijn dan zou . . .

42

Oefeningen bij §2.1 Oefening 1. Waar of vals? Beoordeel de volgende uitspraken. Indien vals, geef een tegenvoorbeeld of argumenteer waarom vals. (a) Elke rationale vorm is een veelterm. (b) Een constante veelterm is een echte rationale vorm. (c) Elke rationale vorm is te schrijven als de som van een veelterm en een echte rationale vorm. (d) Elke rationale vorm is te schrijven als de som van een echte en een onechte rationale vorm. Oefening 2. Schrijf de volgende rationale vormen als de som van een veelterm en een echte rationale vorm. x5 − 3x x 4 2x + 5x3 − 4x2 − 7x + 2 x2 + x − 3

(c)

x2 − 3x x3 − 7

(d)

5x2 − 17

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

(a)

(b)

Oefening 3. Vereenvoudig zoveel mogelijk de volgende rationale vormen. (a)

(b)

x2 + 5x + 6 7(x + 3) 25 − x2 x+5

(c)

(d)

8 − x3 x2 − 4x + 4 −x3 + x2 + 9x − 9 2x2 + 6x − 8

Oefening 4. Herleid tot een rationale vorm en vereenvoudig zoveel mogelijk. x−2 x+2 x+2 −1 x−2 1 1 − 2 x2 a 1 1 − x a

1−

(a)

4 3x 1 − 2x + − x − 2 x + 3 x2 + x − 6

(c)

(b)

2 3 1 + − 2 x x2 x −x

(d)

waarbij a ∈ R0

Oefeningen bij §2.2

c

Oefening 5. Bepaal algebra¨ısch de oplossingen van de volgende rationale vergelijkingen. (a)

1 1 8 + = 2 x+4 x−4 x − 16

(b)

x+3 x+2 x2 − 75 − = 2 x+2 x+3 x + 5x + 6

Oefening 6. Bepaal algebra¨ısch de oplossingen van de volgende rationale ongelijkheden. (a)

(b)

(c)

(d)

(3x − 1)(x + 2) ≤0 x3 + 8 x3 − 1 <0 4x3 + 4x2 + x

Oefening 7. Karel is een gedreven roeier, en wil zijn kunsten tonen op een rivier waarvan de stroomsnelheid 3 km / u is. Om een afstand van 2 km stroomopwaarts en daarna 2 km stroomafwaarts te roeien aan constante snelheid heeft Karel in totaal 42 minuten nodig. Aan welke snelheid roeit Karel, mocht hij in stilstaand water roeien?

O

?

x 2x + 1 ≥ 2x − 1 x 6x2 + 5x + 5 <7 x2 + x + 1

Oefeningen bij §2.3

Oefening 8. Bepaal grafisch alle snijpunten van de grafiek van f (x) = 4 − x2 met de grafiek van g(x) =

1 . x3

Oefening 9. In een plaatselijke krant betaal je voor een advertentie 20 euro per cm2 . De marges tussen twee advertenties zijn boven en onder 0, 5 cm, links en rechts 0, 25 cm. Die marges worden uiteraard in de prijs verrekend. We wensen een rechthoekige advertentie te plaatsen die 30 cm2 (exclusief marges) inneemt. Bepaal grafisch de afmetingen van de rechthoek waarvoor de kostprijs het laagst is.

43

Oefening 10. Een sporter krijgt injecties met een spierversterkend product. De concentratie in het bloed wordt gegeven door 15t C(t) = 2 t +3 met C de concentratie (in milligram per liter) en t de tijd (in uren). Het tijdstip t = 0 stelt het moment van inspuiting voor. Indien de concentratie lager dan 2mg/l wordt dan treedt een omgekeerd effect op (spieratrofie). Indien de concentratie van het middel minder dan 0, 1mg/l bedraagt dan is het spierversterkend product moeilijk opspoorbaar. (a) Na hoeveel tijd is er een nieuwe injectie nodig, wil men geen versnelde spierafbraak bekomen? Afronden tot op 1 seconde nauwkeurig. (b) Hoe lang blijft het product opspoorbaar?

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

Oefeningen bij §2.4

Oefening 11. Gegeven is de functie

f (x) =

x2 − 1 x2 − x

(a) Bepaal algebra¨ısch het domein, alle nulpunten, polen en de tekentabel van de functie f . (b) Plot de grafiek van f , en neem een schets over op je blad. (c) Bepaal het beeld van de functie f . Oefening 12. Gegeven is de functie

f (x) =

−x3 + 9x2 − 22x + 56 x3 − 2x2 − 5x + 6

(a) Bepaal algebra¨ısch het domein, alle nulpunten en polen van de functie f .

(b) Bepaal algebra¨ısch de x-waarden waarvoor de grafiek van f boven de x-as ligt.

(c) Beschrijf de eventuele asymptoten aan de grafiek van f , gebruik de correcte notaties. Oefening 13. Gegeven is een rationale functie f (x) =

x3

x2 + 12x + 35 − 6x2 + 11x + m

waarbij m ∈ R

Bepaal de waarde(n) van m zodat −5 6∈ dom f .

c

Oefeningen bij §2.5

Oefening 14. Welke van de volgende functies zijn homografische functies? Motiveer je antwoord. 4x − 4 x+1  2 2x − 11 f (x) = 5x − 9

(a) f (x) =

(c)

f (x) = 2 −

(b)

(d)

f (x) =

Oefening 15. Gegeven is de functie

f (x) =

7 3(x − 2)

3x − 2 9 − 6x

−4x + 2 7x − 6

O

(a) Toon aan dat f een homografische functie is.

(b) Schets, zonder gebruik te maken van je grafisch rekenmachine, de grafiek van de functie f . (c) Controleer je grafiek in (b) door de grafiek van f te plotten. (d) Bepaal dom f en bld f .

1 om de functie y = f (x) te bekomen? x Oefening 16. Bepaal domein, beeld en alle asymptoten aan de grafiek van de volgende homografische functies. (e) Welke transformaties moet je uitvoeren op de functie y =

2x + 5 x+3 3x − 7 f (x) = x−3

(a) f (x) =

(c)

(b)

(d) 44

−7x 2x + 3 −5x + 2 f (x) = 3−x

f (x) =

Oefening 17. Bepaal bij elk van de homografische functies in Oefening 16 welke transformaties je moet uitvoeren op 1 de functie y = om de functie y = f (x) te bekomen. Wees volledig. x Oefening 18. Bepaal telkens het voorschrift van de homografische functie f die voldoet aan de gegeven voorwaarden. (a) Bepaal f zodat −4 een pool is, 3 een nulpunt is en de rechte y = 2 een asymptoot is. (b) Bepaal f zodat −1 een nulwaarde is, de rechte x = 5 een asymptoot is en P (4, 10) ∈ graf f . Oefening 19. De volgende grafieken stellen de grafiek van een homografische functie y = f (x) voor. Bepaal telkens een mogelijk functievoorschrift (enkel roosterpunten gebruiken). (a)

(b)

y

y

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

y = f (x) 3

3

2

2

1

1

O

−3

−2

−1

1

2

x

3

O

−4

−3

−2

−1

−1

−1

−2

−2

1

2

3

x

y = f (x)

−3

−3

Oefeningen bij §2.6

Oefening 20. Gegeven is de functie

f (x) =

5x2 − 25x + 30 x2 − 6x + 9

c

(a) Bepaal het domein van f .

(b) Vereenvoudig - indien mogelijk - het functievoorschrift van f .

(c) Bepaal alle eventuele perforaties en/of verticale asymptoten aan de grafiek van f . Laat zien hoe je te werk gaat.

(d) Bepaal alle eventuele horizontale en/of schuine asymptoten aan de grafiek van f . Laat zien hoe je te werk gaat. Oefening 21. Gegeven is de functie

f (x) =

x3 − 3x2 − 4x + 12 x2 − 4x + 3

(a) Bepaal het domein van f .

O

(b) Vereenvoudig - indien mogelijk - het functievoorschrift van f .

(c) Bepaal alle eventuele perforaties en/of verticale asymptoten aan de grafiek van f . Laat zien hoe je te werk gaat.

(d) Bepaal alle eventuele horizontale en/of schuine asymptoten aan de grafiek van f . Laat zien hoe je te werk gaat.

Oefening 22 (Toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven 1997). Welke van de volgende beweringen is juist? De rationale functie f : x 7→ y(x) = (A) heeft de rechte y = 0 als asymptoot. (B) vertoont geen (relatieve) extrema. (C) heeft de rechte y = x + 2 als schuine asymptoot. (D) heeft de rechte y = 2x als schuine asymptoot. 45

x2 − 2x + 1 x

Oefening 23. Gegeven is de functie f (x) =

x2 − x + 5 + p x−3

waarbij p ∈ R

(a) Bepaal de waarde(n) van p waarvoor de grafiek van f een perforatie bereikt. (b) Bepaal voor de waarde van p die je vond in (a) alle eventuele asymptoten aan de grafiek van f .

?

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

?Oefening 24. Caroline houdt van sporten. Ze fietst een helling op, aan de top blijkt haar gemiddelde snelheid (over de rit van beneden naar boven) 6 km / u te zijn. Hoe snel moet Caroline terug naar beneden fietsen om ervoor te zorgen dat haar totale gemiddelde snelheid (dus over de ganse rit, van beneden naar boven en terug) gelijk is aan 12 km / u?

Oefening 25 (Toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Universiteit Gent 1984). 1 Gegeven is f (r) = 2 r (a) Bepaal f (r) − f (r + 1) (b) Bepaal

n X r=1

2r + 1 r2 (r + 1)2

Oefening 26 (Toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven 2000). Welke van de volgende beweringen is juist? De rationale functie f : x 7→ y(x) = x2 −

27 x

(A) heeft de rechte y = 0 als asymptoot. (B) vertoont een (relatief) minimum.

(C) heeft de rechten y = x en y = −x als schuine asymptoot. (D) heeft een schuine asymptoot.

c

Oefening 27 (Toelatingsexamen Koninklijke Militaire School 1988). Werk uit en vereenvoudig x2 − 6x + 9 x2 − 5x + 6 1 : + x2 − 4 −x + 2 x+2

Oefening 28 (Toelatingsexamen Burgerluchtvaartschool). Los het volgend stelsel op in R (duid de oplossingsverzameling aan op een getallenas).  (−x + 5)(x2 + 5x − 6)    ≤0 −x2 + 4x − 5  x+5 x + 26   > 2 x−2 x −4

O

Oefening 29 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2008 eerste ronde). 4 De oplossingenverzameling van ≤ 2 is x (A) R \ [0, 2]

(B) ]0, 2]

(D) ]−∞, −2] ∪ ]0, +∞[

(C) [2, +∞[

(E) ]−∞, 0[ ∪ [2, +∞[

?Oefening 30 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2005 tweede ronde). Als x, y en z > 0 en xyz = 1, dan is

1 1 1 + + 1 + x + xy 1 + y + yz 1 + z + xz gelijk aan (A)

x+y+z 3

(B) 1

(C)

3 2

(D) 2

46

(E)

xy + yz + xz 3

Hoofdstuk 3

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

Irrationale functies 3.1

Definitie irrationale functie en voorbeelden

• Definitie. Een irrationale functie is een functie y = f (x) waarbij in f (x) de variabele x onder een wortelteken voorkomt (na vereenvoudiging met behulp van algebra¨ısche operaties). • Voorbeelden. (a) f (x) =

√

√

x

en

g(x) =

p 3

16 −

x2

en

h(x) =

169 − x2 − x − 7 √ x

zijn irrationale functies.

7x2 − 3 √ zijn geen irrationale functies want . . . f (x) = −3x2 + 2x − 6 en g(x) = x− 2 √ 3 (c) f (x) = x3 is geen irrationale functie want . . . √ (d) f (x) = x2 is een irrationale functie want . . . (b)

• Voorbeeld. De families Jacobs en Swinnen bezitten beide een appartement aan zee. Ze willen samen een strandcabine huren. De familie Jacobs woont op 500 m van het strand, de familie Swinnen op 1 km. Hun appartementen liggen in vogelvlucht op 1, 3 km van elkaar. Ze willen een strandcabine op de kustlijn, die op gelijke afstand van de twee appartementen ligt. Waar op de kustlijn moet de strandcabine komen? Los eerst op met behulp van je grafisch rekenmachine, daarna algebra¨ısch.

c

Swinnen

1 , 3 km

Jacobs

1 km

500 m

kustlijn

O

cabine

x

Oplossing.

47

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

3.2

Bepalen van domein en nulwaarden

• Modelvoorbeeld 1. Gegeven is de irrationale functie f (x) =

√ x + 2x − 4 √ 3 3x − 9

(a) Bepaal grafisch het domein van f . Schets de grafiek van f op je blad.

c

(b) Bepaal algebra¨ısch het domein f .

O

Oplossing.

48

• Modelvoorbeeld 2. Gegeven is de irrationale functie √ 169 − x2 − x − 7 √ f (x) = x (a) Bepaal algebra¨ısch het domein f . (b) Controleer je resultaat in (a) met behulp van je grafisch rekenmachine. Schets de grafiek van f .

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

Oplossing.

• Modelvoorbeeld 3. Gegeven is de irrationale functie p f (x) = 169 − x2 − x − 7 (a) Bepaal algebra¨ısch de nulwaarden van f .

(b) Controleer je resultaat in (a) met behulp van je grafisch rekenmachine. Schets van de grafiek van f .

O

c

Oplossing.

49

Oefeningen bij §3.1 Oefening 1. Een olieplatform op zee is 10 km van de kustlijn verwijderd. Door een menselijke fout lekt olie uit het platform aan een snelheid van 90000 m3 per uur, en vormt een cirkelvormige laag met een dikte van 1 cm. (a) Tot welke afstand van het boorplatform reikt de olievlek vijf uur na het ontstaan van het lek? (b) Toon aan dat de straal r (in meter) van de olievlek in functie van de tijd t (in uur) gegeven wordt door het voorschrift r t r(t) = 3000 π

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

(c) Na hoeveel uur spoelt de eerste olie aan de kust? Bepaal algebra¨ısch, en controleer met je grafisch rekenmachine. 1 Oefening 2. Beschouw de functie f (x) = x + x (a) Is f een irrationale functie? Verklaar.

(b) Bepaal algebra¨ısch de oplossingen van f (x) ≤ 6, en controleer met je grafisch rekenmachine.

Oefeningen bij §3.2

Oefening 3. Gegeven is de functie f (x) =

√

−3x + 2 − 6.

(a) Bepaal algebra¨ısch het domein van f .

(b) Welke transformaties moet je uitvoeren op de functie y =

√

x om de functie y = f (x) te bekomen?

(c) Schets de grafiek van f met behulp van (b). Controleer door de grafiek van f te plotten. (d) Bepaal bld f .

Oefening 4. Bepaal zonder gebruik te maken van je grafisch rekenmachine welke functie bij welke grafiek hoort. r p 1 (a) f (x) = (c) f (x) = x3 − 3x2 + 2x 9 − x2 p √ (b) f (x) = −2x + 6 (d) f (x) = 3x2 − x + 2

c

Grafiek 1 y 3

3

2

2

1

1

O

−2

−1

O

−3

Grafiek 2 y

1

2

3

x

O

−3

−2

−1

Grafiek 3 y

−2

−1

2

3

x

1

2

3

x

Grafiek 4 y

3

3

2

2

1

1

O −3

1

1

2

3

x

O −3

50

−2

−1

Oefening 5. Los de volgende irrationale vergelijkingen algebra¨ısch op. q √ √ √ (a) x + 5x + 10 = 8 (f) 2 + x − 5 = 13 − x √ √ √ (b) x − 7 − x = 3 (g) x+5− x−2=1 p √ √ (c) 2x2 + 2 = 2x + 2 (h) x−3=3− x p √ √ (d) x − 2 = x2 − x + 1 (i) 2x + 1 − x − 1 = 2 √ √ x+1 (e) 6x + 1 = 7x + 4 (j) 1 + √ =0 x2 + 2x

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

Oefening 6. Bepaal algebra¨ısch het domein, de nulwaarden, snijpunten met de assen en het tekentabel van de volgende functies. Controleer je resultaten met behulp van je grafisch rekenmachine. Maak een schets van de grafiek op je blad. √ p x−3 2 √ √ (a) f (x) = x − 4 (d) f (x) = 2x + 2 − x − 1 − 2 √ √ 50 − x2 + x − 6 √ (b) f (x) = 5 − 8 + 2x (e) f (x) = 36 − x2 √ 1 2x2 − 3x − 2 (c) f (x) = √ (f) f (x) = √ 3 2 3 x x −4 x + 3x2 + 7 − x − 1 Oefening 7. Onderzoek algebra¨ısch of f en g gelijke functies zijn. r √ x−2 x−2 (a) f (x) = en g(x) = √ x+3 x+3 r √ 2 x − x − 20 x2 − x − 20 √ (b) f (x) = en g(x) = 2 x −9 x2 − 9 r √ 2 2 x −4 x −4 en g(x) = √ (c) f (x) = 2 x +9 x2 + 9

Oefening 8 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998 eerste ronde). Beschouw volgende drie uitspraken over de re¨ele functie r 1 f (x) = −1 x I. f is gedefinieerd voor alle x groter dan 0.

c

II. f is gedefinieerd voor sommige negatieve waarden van x.

III. f neemt alle positieve waarden aan.

De enige correcte uitspraken zijn: (A) I

(B) II

(C) III

(D) I en III

(E) II en III

Oefening 9. Gegeven zijn de functies

f (x) =

p

16 − x2

en

g(x) =

1 x+3 2

O

(a) Plot beide grafieken, en neem een schets over op je blad (beide grafieken tekenen in ´e´en assenstelsel).

(b) Bepaal algebra¨ısch de snijpunten van graf f en graf g.

(c) Controleer je uitkomst in (b) met behulp van je grafisch rekenmachine. Oefening 10. Gegeven zijn de functies r f (x) =

x3 + 8 x

en

g(x) = x − 2

(a) Plot beide grafieken, en neem een schets over op je blad (beide grafieken tekenen in ´e´en assenstelsel). (b) Bepaal algebra¨ısch alle x-waarden waarvoor graf f boven graf g ligt. (c) Controleer je uitkomst in (b) met behulp van je grafisch rekenmachine. 51

Oefening 11. Een oliepijplijn moet punt A met punt B verbinden. Het punt A ligt aan de ene oever van een stroom die 25 km breed is, punt B aan de andere kant van de oever. De afstand van A tot B is 50 km. Een leiding trekken onder water kost 25000 euro per kilometer, aan land is de kostprijs 13000 euro per kilometer. A

50

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

25

C

D

B

x

(a) Bepaal de kostprijs voor het leggen van de pijplijn volgens het traject AB.

(b) Bepaal de kostprijs voor het leggen van de pijplijn volgens het traject ACB.

(c) Waar moet het punt D aan de andere kant van de oever liggen opdat de kostprijs voor het leggen van de pijplijn volgens het traject ADB zo klein mogelijk is? Los op met behulp van je grafisch rekenmachine. ?

Oefening 12. Gegeven is de functie

f (x) =

x2 + 1 x2 − 1

Toon aan, zonder gebruik te maken van je grafisch rekenmachine, dat bld f = ]−∞, −1] ∪ ]1, +∞[.

Oefening 13 (Toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Katholieke Universiteit Leuven). √ √ 3 3 Bepaal de oplossingen in R van x + x2 + x = 0 Oefening 14 (Toelatingsexamen Koninklijke Militaire School 1988). p Los de volgende vergelijking op naar x ∈ R x2 − 3x + 2 = |x| − 2

Oefening 15 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2008 tweede ronde). De grafieken van de re¨ele functies met functievoorschrift q q p p 2 3 2 g1 (x) = −(x + 2x) + 8x + 4x g3 (x) = −(x2 + 2x) − 8x3 + 4x2 q q p p g4 (x) = − −(x2 + 2x) − 8x3 + 4x2 g2 (x) = − −(x2 + 2x) + 8x3 + 4x2

c

?

O

vormen samen het trifolium van De Longchamps (zie figuur). y

x

Het deel van de kromme bepaald door g1 is y

y

x

(A)

y

y

x

(B)

x

(C)

x

(D)

52

y

x

(E)

Interludium Machtswortels

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

1.

• Definitie. Zij n ∈ N0 en b ∈ R. Elke (re¨ele) oplossing van de vergelijking xn = b noemt een (re¨ele) n-de machtswortel van b. De bespreking van n-de machtwortels valt uiteen in twee wezenlijk verschillende gevallen.

• Geval 1: n-de machtswortels met n even. ∗ Voorbeelden.

(a) 3 is een 2-de machtswortel (of vierkantswortel) van 9 want 32 = 9. Ook −3 is een vierkantswortel van 9 want (−3)2 = 9. 2 is een 6-de machtswortel van 64 want 26 = 64. Ook −2 is een 6-de machtswortel van 64 want (−2)6 = 64. (b) −16 heeft geen re¨ele vierkantswortels want de vergelijking x2 = −16 heeft geen oplossingen in R. −64 heeft geen re¨ele 6-de machtswortels want de vergelijking x6 = −64 heeft geen oplossingen in R.

∗ Eigenschap. Zij n ∈ N0 even en b ∈ R.

1. Als b ≥ 0 dan heeft b re¨ele n-de machtswortels, en als x een n-de machtswortel is van b dan is ook −x een n-de machtswortel van b. 2. Als b < 0 dan heeft b geen re¨ele n-de machtswortels.

∗ Meetkundige betekenis. We kunnen deze eigenschap verklaren aan de hand van de grafiek van de functie f (x) = xn met n even (duid aan) y

c

f (x) = xn met n even

O

x

∗ Definitie en notatie. Zij n ∈ N0 even. Elk positief re¨eel getal b heeft dus twee n-de machtswortels, waarvan de ene het tegengestelde is van de andere. De positieve van de twee noemen we de positieve n-de machtswortel √ n van b, en we noteren deze met b De negatieve van de twee n-de machtswortels heten we de negatieve n-de machtswortel van b. Omdat deze √ n het tegengestelde is van de positieve n-de machtswortel is die gelijk aan − b ∗ Voorbeelden (vervolg). (a) Het getal 9 heeft√twee vierkantswortels, namelijk 3 en −3. De positieve vierkantswortel van de twee √ √ noteren we met 2 9 of kortweg 9. √Dus 9 = 3. De negatieve van de√twee is dan gelijk aan het √ tegengestelde van de positieve, dus − 9 = −3. Analoog is 6 64 = 2 en − 6 64 = −2. √ √ (b) Het symbool “ −16 ”heeft geen betekenis. Immers, de notatie heeft enkel betekenis voor positieve √ 6 re¨ele getallen. Analoog voor “ −64 ”. 53

• Geval 2: n-de machtswortels met n oneven. ∗ Voorbeelden. (a) 2 is een 3-de machtswortel (of kubische wortel) van 8 want 23 = 8. −2 is geen 3-de machtswortel van 8 want (−2)3 6= 8. 3 is een 5-de machtswortel van 243 want 35 = 243. −3 is geen 5-de machtswortel van 243 want (−3)5 6= 243. (b) −8 heeft een re¨ele 3-de machtswortel want de vergelijking x3 = −8 heeft een oplossing in R, namelijk x = . . . −2187 heeft een re¨ele 7-de machtswortel want de vergelijking x7 = −2187 heeft een oplossing in R,

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

namelijk x = . . .

∗ Eigenschap. Zij n ∈ N0 oneven en b ∈ R. Dan heeft b precies ´e´en n-de machtswortel.

∗ Meetkundige betekenis. We kunnen deze eigenschap verklaren aan de hand van de grafiek van de functie f (x) = xn met n oneven (duid aan) y

f (x) = xn met n oneven

x

∗ Definitie en notatie. Zij n ∈ N0 oneven. Elk re¨eel getal b heeft dus ´e´en n-de machtswortel, en we noteren √ n deze met b

c

∗ Voorbeelden. √ 3 (a) 8 = 2 want 8 = 23 √ 11 (b) 0 = 0 want 0 = 011 √ (c) 3 −8 = −2 want − 8 = (−2)3

∗ Eigenschap. Zij n ∈ N0 oneven en b ∈ R. Dan is √ n

√ n −b = − b

O

• Gebruik van het grafisch rekenmachine.

54

2.

Machten • Definitie. Een macht is een uitdrukking van de vorm ar met a, r ∈ R. Men noemt a het grondtal en r de exponent. Voorbeelden van machten met grondtal 2 zijn 25 ,

20 ,

2−5 ,

1

23 ,

7

2− 3 ,

2π

De betekenis van elk van deze machten wordt hieronder duidelijk, waarbij we eerst machten met natuurlijke en gehele exponent herhalen, om dit dan uit te breiden naar machten met rationale en re¨ele exponent. • Machten met natuurlijke exponenten.

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

∗ Voorbeelden. (a)

25 = . . .

(b)

71 = . . .

(c)

40 = . . .

(d)

00 = . . .

∗ Definitie (natuurlijke macht).

def

∀a ∈ R : ∀n ∈ N0 : an = a | · a ·{z. . . · a} n keer

def

∀a ∈ R0 : a0 = 1

c

∗ Op ontdekking. (a)

22 · 23 = . . .

(b)

25 = ... 22

O

(c)

25


3

= ... 3

(d)

(2 · 7) = . . .

(e)

 3 2 = ... 7

∗ Rekenregels (de vijf rekenregels voor machten).

∀a ∈ R0 : ∀n, m ∈ N : am · an = am+n am = am−n an n (am ) = am·n n ∀a, b ∈ R0 : ∀n ∈ N : (a · b) = an · bn  a n an = n b b

55

• Machten met gehele exponenten. ∗ Op ontdekking. 2−5 = ? Wat dit ook is, we wensen wel dat de vijf rekenregels voor machten nog steeds blijven gelden. Dus dan moet 2−5 = 20−5 = . . . Zo komen we vanzelf tot de geschikte ∗ Definitie (gehele macht). def

∀a ∈ R0 : ∀n ∈ N0 : a−n =

1 an

∗ Opmerking. De vijf rekenregels voor machten blijven gelden voor machten met gehele exponenten.

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

• Machten met rationale exponenten. 1

7

∗ Op ontdekking. 2 3 = ? en 2− 3 = ? Wat dit ook is, we wensen wel dat de vijf rekenregels voor machten nog steeds blijven gelden. Dus dan moet  1 3 1 2 3 = 2 dus 2 3 = . . . en

7

2− 3 = 2−7


13

= ...

Zo komen we vanzelf tot de geschikte ∗ Definitie (rationale macht).

1

def

∀a ∈ R0 : ∀n ∈ N0 : a n =

√ n

a

m

def

n = ∀a ∈ R+ 0 : ∀n ∈ N0 : ∀m ∈ Z : a

√ n

am

∗ Opmerking. De vijf rekenregels voor machten blijven gelden voor machten met rationale exponenten. ∗ Voorbeeld. Vereenvoudig (a stelt een niet-negatief re¨eel getal voor) √ √ 3 a−5 · a7 p√ = ... 4 a m

∗ Opmerking. De eis a > 0 is cruciaal in de definitie van a n , zo toont het volgend voorbeeld p 12 (−2) 4 6= 4 (−2)12

c

• Machten met re¨ ele exponenten.

O

∗ Op ontdekking. 2π = ? Merk op 1 dat π 6∈ Q, dus 2π is geen macht met een rationale exponent. Wat dit ook is, we wensen wel dat als q ∈ Q en q ≈ π dan 2q ≈ 2π . Dus om de waarde van 2π te vinden, kunnen we in principe als volgt te werk gaan q

2q

3

...

3, 1

...

3, 14

...

3, 141

...

3, 1415

...

3, 14159 .. .

... .. .

↓

↓

π

2π = . . .

∗ Opmerking. De formele definitie van een re¨ele macht steunt op het bovenstaand idee, maar valt buiten het bestek van Deel Precalculus. ∗ Opmerking. De vijf rekenregels voor machten blijven gelden voor machten met rationale exponenten. 1 Johann

Heinrich Lambert 1761.

56

3.

Bewerkingen met functies • Som en verschil van functies. De som (resp. verschil) van twee functies f en g is de functie f +g :R→R

f −g :R→R resp.

def

def

x 7→ (f + g)(x) = f (x) + g(x) √ Voorbeeld. Voor f (x) = x2 − 2 en g(x) = x + 2 is

x 7→ (f − g)(x) = f (x) − g(x)

(f − g)(x) = . . .

(f + g)(x) = . . . y

y y = x2 − 2

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

y = x2 − 2

3 2

y=

3 2

√ x+2

y=

1

O

−3

−2

−1

√ x+2

1

1

2

x

3

O

−3

−2

−1

−1

−1

−2

−2

−3

−3

1

2

3

x

• Product en quoti¨ ent van functies. Het product (resp. quoti¨ent) van twee functies f en g is de functie f ·g :R→R

resp.

def

c

x 7→ (f · g)(x) = f (x) · g(x)

Voorbeeld. Voor f (x) = x2 − 2 en g(x) =

√

f :R→R g   f def f (x) x 7→ (x) = g g(x)

x + 2 is

  f (x) = . . . g

(f · g)(x) = . . . y

y

y = x2 − 2

3 2

O

y=

2

√ x+2

y=

1

O −3

−2

−1

y = x2 − 2

3

√ x+2

1

1

2

3

x

O −3

−2

−1

−1

−1

−2

−2

−3

−3

57

1

2

3

x

• Veelvoud en macht van een functie. Het veelvoud (resp. macht) van een functie f met r ∈ R is de functie fr : R → R

r·f :R→R resp.

def

(als r 6= 0)

def

x 7→ f r (x) = f (x)r

x 7→ (r · f )(x) = r · f (x) Voorbeeld. Voor r = − 12 en f (x) = x2 − 2 is

f r (x) = . . .

(r · f )(x) = . . . y

y y = x2 − 2

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

y = x2 − 2

3 2

2

1

1

O

−3

−2

3

−1

1

2

x

3

O

−3

−2

−1

−1

−1

−2

−2

−3

−3

1

2

3

x

• Samenstellen van functies. De samenstellingen van twee functies f en g zijn de functies f ◦g :R→R

g◦f :R→R

en

def

def

x 7→ (f ◦ g)(x) = f (g(x))

c

Voorbeeld. Voor f (x) = x2 − 2 en g(x) =

√

x 7→ (g ◦ f )(x) = g (f (x))

x + 2 is

(f ◦ g)(x) = . . .

(g ◦ f )(x) = . . .

y

y

y = x2 − 2

3 2

O

y=

2

√ x+2

y=

1

O −3

−2

−1

y = x2 − 2

3

√ x+2

1

1

2

3

x

O −3

−2

−1

−1

−1

−2

−2

−3

−3

58

1

2

3

x

• Absolute waarde van een functie De absolute waarde van een functie f is de functie |f | : R → R def

x 7→ |f | (x) = |f (x)| Voorbeeld. Voor f (x) = x2 − 2 is |f | (x) = . . . y y = x2 − 2

3

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

2 1

O

−3

−2

−1

1

2

3

x

−1 −2 −3

O

c

• Gebruik van grafisch rekenmachine. Bovenstaande voorbeelden kunnen we als volgt controleren.

59

60

4.

O

c

−3

−2

−1

...

f (x)

Grafiek

−2

2

3

x

−1

−1

−2

−3

−2

−3

−2

−1

−3

1

1

...

...

2

1

...

...

2

Grafiek

...

...

3

...

2

3

...

1

x

...

0

y

...

−1 ...

...

1

...

...

2

Tabel van enkele functiewaarden

Tabel van enkele functiewaarden

x

Functievoorschrift . . .

Functievoorschrift f (x) = 2x + 1

...

...

3

y

−3

−2

Grafiek

...

...

−1

...

...

−3

−2

−1

1

2

3

y

...

...

...

...

1

...

...

2

Tabel van enkele functiewaarden

Functievoorschrift . . .

...

...

3

x

(c) De middelste kolom stelt een nieuwe functie g(y) = x voor, die we de inverse functie van f noemen. Omdat we gewoon zijn om een functie in de letter x te zien, en niet in y, verwisselen we de letters x en y. Vul de rechterkolom aan.

(b) De functie f is bijzonder in die zin dat er bij elke y-waarde hoogstens ´e´en x-waarde hoort waarvoor P (x, y) ∈ graf f . Daarom noemen we f een inverteerbare functie. Op deze manier kunnen we een nieuwe functie g maken, namelijk het verband dat aan elke y-waarde die x-waarde associeert. Vul nu de middelste kolom aan.

..................................................................

(a) Vul de linkerkolom aan. Hoe kunnen we uit de grafiek van f afleiden dat f een functie is?

• Op ontdekking. Gegeven is de functie f (x) = 2x + 1.

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

Inverse functies

• Definitie. Een functie f noemt inverteerbaar als er bij elke y-waarde hoogstens ´e´en x-waarde hoort waarvoor P (x, y) ∈ graf f . In dat geval is het verband dat met elke y-waarde die x-waarde associeert een nieuwe functie g:R→R y 7→ x = g(y) die we de inverse functie van f noemen. • Eigenschap. Zij f een inverteerbare functie en g de inverse functie van f . Dan geldt f (x) = y

⇔

∀x ∈ dom f, ∀y ∈ bld f

x = g(y)

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

Meetkundige betekenis. De grafieken van de functies f en g zijn elkaars spiegelbeeld om de eerste bissectrice (de rechte y = x).

• Opmerkingen.

1. Zij f een inverteerbare functie. Vaak noteert men de inverse functie van f met f −1 in plaats van met g. Ongelukkig genoeg valt deze notatie dan samen met het omgekeerde van f . In het vervolg zal de context steeds duidelijk moeten maken welke van de twee men bedoelt. Om verwarring te voorkomen gebruiken we in het vervolg van deze cursus liever de notatie g in plaats van f −1 . 2. De interactie tussen een inverteerbare functie f en zijn inverse functie g kan als volgt worden voorgesteld. grafiek

y

y = f (x)

>

functievoorschrift

tabel van enkele functiewaarden x

f (x) = y

<

f (x)

. . . −1 0 ·

·

·

>

1 ... ·

·

<

1

O

∨

∧

oplossen naar y

tabel omdraaien

∨

∧

tabel omdraaien

spiegelen om y = x

c

oplossen naar x

x

1

∨

∧

spiegelen om y = x

grafiek

x

x = g(y)

>

functievoorschrift

tabel van enkele functiewaarden y

x = g(y)

<

g(y)

. . . −1 0 ·

·

·

>

1 ... ·

·

1

<

O

O

61

1

y

5.

Soorten functies • Definitie. Functies die opgebouwd worden door de algebra¨ısche operaties optelling, vermenigvuldiging, deling, machten en n-de machtswortels heet men algebra¨ısche functies 2 . Alle functies die we tot nu toe besproken hebben vallen onder deze categorie. Functies die niet algebra¨ısch zijn, noemen we transcendent. rationale functies veeltermfuncties • x

• sign(x) • bxc

• −x7 + 5x • ...

exponenti¨ele functies logaritmische functies goniometrische functies cyclometrische functies

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

• • • •

1 • x 8x − π • x3 • ...

• ...

√ • x √ 7x3 − 8 • x5

• |x| • ...

irrationale functies

|

{z

}|

{z

algebra¨ısche functies

}

transcendente functies

We bespreken twee voorbeelden van transcendente functies, namelijk sign(x) en bxc. De andere vermelde functies behandelen we uitvoerig in de volgende hoofdstukken.

c

• Voorbeeld 1 (De “sign” functie). Voor x ∈ R stellen we    −1 als x < 0 def 0 als x = 0 sign(x) =   1 als x > 0 Zo komen we tot een nieuwe functie.

∗ Functievoorschrift f (x) = sign(x) ∗ Tabel van enkele functiewaarden x

O

f (x)

−2

−1

...

−0, 01

...

...

0

0, 01

1

2

...

...

...

...

1

2

3

y

∗ Grafiek

1

O −3

−2

−1

x

−1

2 Al is deze beschrijving een oversimplificatie. In hogere wiskunde noemt men een functie f algebra¨ ısch indien a0 (x) · f (x) + a1 (x) · f 2 (x) + . . . + an (x) · f n (x) = 0 voor een zekere n ∈ N en veeltermen a0 (x), . . . , an (x). Dit impliceert dat alle rationale en irrationale functies algebra¨ısch zijn. Dat dit niet de enige zijn volgt uit het feit dat niet alle algebra¨ısche functies uitgedrukt kunnen worden door middel van radicalen.

62

• Voorbeeld 2 (De “floor” functie) 3 . Voor x ∈ R stellen we def

bxc = het grootste geheel getal dat kleiner of gelijk is aan x Zo komen we tot een nieuwe functie. ∗ Functievoorschrift f (x) = bxc ∗ Tabel van enkele functiewaarden x f (x)

−1 ...

−0, 99 −0, 01 ...

...

0 ...

∗ Grafiek

0, 01

0, 99

...

...

1 ...

1, 01

1, 99

...

...

2 ...

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

y

3 2 1

O

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

−1 −2 −3

• Opmerking. Deze functies staan niet rechtstreeks in het grafisch rekenmachine.

c

∗ De functie sign(x) voert men in aan de hand van de definitie.

O

∗ In het grafisch rekenmachine staat een functie “iPart” voorgeprogrammeerd. Deze functie neemt van elk re¨eel getal het geheel deel. De grafiek van “iPart” lijkt op de grafiek van de “floor” functie.

Hoe kunnen we nu de grafiek van de “floor” functie plotten? Oplossing. 3 De tegenhanger van de “floor” functie is de “ceiling” dxe, zijnde het kleinste geheel getal groter of gelijk aan x. De benamingen floor en ceiling voor deze functies zijn afkomstig van K.E. Iverson 1962.

63

Oefeningen bij §1 - §2 Oefening 1. Gegeven zijn de volgende decimale getallen. Vul in met ∈ of 6∈. Is het decimaal getal rationaal, schrijf het dan als een breuk. (a)

1, 321322323324 . . .

(b) 3, 333 . . . (c) 5, 74245245245 . . .

...

R\Q

... ...

Q R\Q

(d)

π = 3, 141592 . . . √ (e) 2 = 1, 414213 . . . (f) 0, 999 . . .

...

Q

... Q ... R \ Q

Oefening 2. Bereken zonder grafisch rekenmachine. Exacte waarde noteren. 1

(a)

42

(b)

16− 2

81−0,25 √ 3 √ 3 3 (h) 16 − 4 s 2 64 3 (i) 1000 (g)

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

1

−5 1 (c) 32 √ √ 3 6 9 243 (d) √ 3 (e) 27a6 b12  √ √ 2 4 (f) 2 25 − 3 5 

2

100000− 5 p (k) 4 (−3)12 √ n (l) a3n bn met a, b ∈ R+ en n ∈ N (j)

Oefening 3. Welke van de volgende uitdrukkingen zijn gelijk? 4

1

4x 7

7

√ 4

x7

x

4

√ 7

x

1 −7 x 4

7x−4

1 4x7

7 x4

√ 4

√ 7

x7

x4

Oefening 4. Los algebra¨ısch de volgende vergelijkingen op. (a)

0, 7 x4 = 58

(b)

(3x + 2)5 = 74

3x5 = 7x2 3 =6 (d) √ 4 5x

(c)

√

1302

20092010

c

Oefening 5. Bereken met behulp van je grafisch rekenmachine. 1  − 19 3 (a) − (b) 50

Oefening 6. Schrijf als n-de machtswortels van de letters a, b, c (die steeds niet-negatieve re¨ele getallen voorstellen).  r − 83 3 1 4 − 67 − (a) a (d) a 2 b2 √ √ 5 √
43 a3 b ab3 √ a (e) (b) 10 a ab7 !r 1 6  3  12 
1 16−2 a 2 b−3 9 −1 − 31 21 −2 −4 6 − 2 4 a b c (f) ab (c) a b c ab 2 1 81−1 a− 2 b3

O

Oefening 7 (Vlaamse q p Wiskunde Olympiade 1991 tweede ronde). √ Als x ≥ 0 dan is x x x = √ (A) x x

(B) x

√ 4

x

(C)

√ 8

x

(D)

√ 8

x3

(E)

√ 8

x7

Oefening 8 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998 eerste ronde). √ 254a2 = (A) 252a

(B) 252|a|

2

(C) 252a

(D) 52|a|

Oefening 9 (Toelatingsexamen Koninklijke Militaire School 1987). Werk uit en vereenvoudig √ 3 (x2 )3 x−4 x5 q √ p 3 x2 3 4 (x2 )3 64

2

(E) 52a

Oefening 10. De planeten van ons zonnestelsel bewegen in ellipsvormige banen rond de zon. Noemen we a de halve grote as van deze ellips (in miljoen km) en T de omlooptijd rond de zon (in dagen), dan geldt volgens de derde wet van Kepler 4 a3 = 2, 9277 · T 2 (a) Van de volgende planeten is de omlooptijd T gegeven. Bepaal de halve grote as a van de ellips die ze om de zon beschrijven (in miljoen km, op twee cijfers na de komma). planeet

Mercurius

Venus

Aarde

87, 969

224, 701

365, 250

omlooptijd T (in dagen)

Johannes Kepler (1571 - 1630)

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

(b) Van de volgende planeten is de halve grote as a van de ellips, die ze om de zon beschrijven, gegeven. Bepaal de omlooptijd T in jaren en dagen (gebruik 1 jaar ≈ 365, 25 dagen). planeet

halve grote as a (in miljoen km)

Mars

Jupiter

Saturnus

227, 939

778, 294

1429, 373

Oefeningen bij §3

Oefening 11. Bepaal telkens het functievoorschrift van f · g, (a) f (x) = x − 1

en

(b)

f (x) = x + 2

en

(c)

f (x) = 2x −

π 4

f g,

3 · g, f ◦ g en g ◦ f .

g(x) = x−1 1 g(x) = √ x g(x) = x2

en

Oefening 12. Gegeven is de functie f (x) = x2 . Bepaal (f ◦ f ◦ f ◦ f )(3).

Oefening 13. Gegeven is de functie f (x) = x − 1 en een functie g waarvoor (g ◦ f )(x) = x2 − 1. (a) Bepaal g(3).

(b) Bepaal g(x).

O

c

Oefening 14. De volgende grafieken stellen de grafiek van een functie f voor. Teken telkens de grafiek van |f |.

y

y

3

3

2

2

1

1

O

−3

4 Kepler

−2

−1

1

2

3

x

O

−3

−2

−1

−1

−1

−2

−2

−3

−3

1619.

65

1

2

3

x

Oefening 15. Gegeven zijn twee functie f en g en een re¨eel getal r. Waar of vals? Beoordeel de volgende uitspraken. Indien vals, verbeter tot een ware uitspraak. (a)

dom(r · f ) = dom f

(d)

(b)

dom(f r ) = dom f

(e)

(c)

dom(f + g) = dom f ∩ dom g

(f)

dom(f · g) = dom f ∩ dom g   f dom = dom f ∩ dom g g dom |f | = dom f

?Oefening 16. Gegeven is een functie f met dom f = R. Bewijs dat er een even functie g(x) en een oneven functie h(x) bestaat waarvoor f (x) = g(x) + h(x) Aanwijzing. Gebruik f (x) + f (−x) f (x) − f (−x) + 2 2

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

f (x) =

Oefening 17 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2002 eerste ronde). Als f (x) = x + x1 dan is f (f (f (x))) gelijk aan 

(A)

1+

1 x

3

(B) 3 +

1 x

1

(C) 1 +

1+

(D) 1 +

1

3 x

(E) 1 +

3 x3

1 x

1+

Oefening 18 (Vlaamse Wiskunde √ Olympiade 2005 eerste ronde). Met de functies f : x 7→ x2 en g : x 7→ x construeert men vijf nieuwe functies: f (x) f : x 7→ ; g g(x)

f ◦ g : x 7→ f (g(x));

f · g : x 7→ f (x) · g(x);

g ◦ f : x 7→ g(f (x));

g ◦ f : x 7→ g(f (x))

Twee van deze vijf functies hebben hetzelfde domein. Twee andere functies hebben ook hetzelfde domein. Welke is de overblijvende functie? (A)

f g

(B) f ◦ g

(C) f · g

(D) g ◦ f

(E)

g f

Oefening 19. Gegeven is de grafiek van een functie

y

c

5 4 3 2

O

1

O

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

Bepaal algebra¨ısch welke van de volgende vijf voorschriften bij deze functie hoort. |x − 1| + 1

||x| − 1| + 1

|x − 1| + |x + 1|

||x| + 1| + 1

Oefening 20 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2000 eerste ronde). Het aantal oplossingen in R van de vergelijking 1 − x2 = 1 − x is gelijk aan (A) 0

(B) 1

(C) 2 66

(D) 3

(E) 4

2 x − 1 + 1

Oefening 21 (Meervoudig functievoorschrift). Beschouw de functie ( x+2 als x < 3 f (x) = 4 als x ≥ 3 Omdat het functievoorschrift niet enkelvoudig is, zeggen we dat f een meervoudig functievoorschrift heeft. (a) Schets zonder gebruik te maken van je grafisch rekenmachine de grafiek van de functie f . (b) Controleer je resultaat in (a) met je grafisch rekenmachine.

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

Aanwijzing bij (b).

(

Opmerking. Bij het grafisch rekenmachine staat “X < 3” voor de functie g(x) =

1 0

als x < 3 als x ≥ 3

Oefening 22 (Meervoudig functievoorschrift). Gegeven is de grafiek van een functie. Bepaal het (meervoudig) functievoorschrift dat bij deze functie hoort. y

5 4 3 2

c

1

O

−5

−4

−3

−2

1

−1

2

3

4

5

x

Oefeningen bij §4

Oefening 23. Ga telkens na of de functie inverteerbaar is. Zo ja, bepaal het functievoorschrift van de inverse functie. (d) f (x) = x3

(a) f (x) = −3x + 2 f (x) = x2 x−2 f (x) = x+2

(e)

O

(b) (c)

(f)

f (x) = (x − 1)3 − 5 p f (x) = x2 − 25

Oefeningen bij §5

Oefening 24. Schets de grafiek van de functie f (x) = sign(1+x)+sign(1−x). Controleer met je grafisch rekenmachine. Oefening 25 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 1995 eerste ronde). Beschouw de volgende 4 uitspraken: b7xc = 7

b7xc = 7bxc

b7 + xc = 7 + x  11  Hoeveel van deze uitspraken zijn waar voor alle x ∈ 1, 10 ? (A) 0

(B) 1

(C) 2 67

(D) 3

b7 + xc = 7 + bxc

(E) 4

Hoofdstuk 4

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

Exponenti¨ ele functies 4.1

Lineaire groei, lineaire functies

• Op ontdekking. Een bepaalde soort bamboe groeit in de zomer aan een snelheid van 1, 4 cm per dag. In het begin van de zomer is een bamboeplant 1 m lang.

Noem f (x) de lengte van de bamboe (in cm) op x dagen na het begin van de zomer. Om het functievoorschrift te ontdekken maken we eerst een tabel van enkele functiewaarden. ∗ Functievoorschrift f (x) = ?

∗ Tabel van enkele functiewaarden

x

f (x)

0

1

2

3

...

...

...

...

∗ Grafiek

c

y

x

Om de y-waarde van een volgende dag te vinden, moeten we bij de vorige dag de waarde a = . . . optellen. Daarom noemt men a de groeiterm. Omdat a > 0 zegt men dat de lengte van de bamboe lineair stijgt.

O

Dankzij het functievoorschrift kunnen we nu de volgende vragen beantwoorden. (a) Bepaal de lengte van de bamboe na drie maanden.

(b) Hoeveel groeit de bamboe elke twee dagen (de groeiterm elke twee dagen)? (c) Wat is de groeiterm elke halve dag?

(d) Wat is de lengte van de bamboe na

√

2 aantal dagen?

(e) Indien we veronderstellen dat de groei van de bamboe op hetzelfde tempo verloopt v´o´or het begin van de zomer, bepaal dan de lengte van de bamboe 20 dagen v´o´or het begin van de zomer. (f) Op de hoeveelste dag van de zomer is de lengte van de bamboe precies 2 m? Bepaal algebra¨ısch, en duid de betekenis aan op de grafiek.

68

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

Oplossing.

• Definitie. Een lineaire functie is een functie y = f (x) waarbij

met a, b ∈ R en a 6= 0

f (x) = ax + b

• Opmerking. In de bovenstaande definitie is a 6= 0 want anders is f (x) = . . . dus de functie f is een . . . • Eigenschap. Zij f (x) = ax + b een lineaire functie. Dan is de grafiek van f van de vorm +1

y

y

+a

c

+a

+1

b

O

O

b

x

of

O

a<0

a>0

lineaire daling

lineaire stijging

• Eigenschap. Zij f (x) = ax een lineaire functie. Dan geldt f (x1 + x2 ) = f (x1 ) + f (x2 ) Bewijs.

69

voor elke x1 , x2 ∈ R

x

4.2

Exponenti¨ ele groei, exponenti¨ ele functies

• Op ontdekking 1. Een bepaalde soort waterlelie groeit in de zomer zo snel dat de totale bladoppervlakte elke dag 18% groter wordt. In het begin van de zomer is de totale bladoppervlakte van een plantje 3 cm2 . Noem f (x) de oppervlakte van de plant (in cm2 ) op x dagen na het begin van de zomer. Om het functievoorschrift te ontdekken maken we eerst een tabel van enkele functiewaarden. ∗ Functievoorschrift f (x) = ? ∗ Tabel van enkele functiewaarden x

1

2

3

...

...

...

...

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

f (x)

0

∗ Grafiek

y

x

Om de y-waarde van een volgende dag te vinden, moeten we bij de vorige dag de waarde a = . . . vermenigvuldigen. Daarom noemt men a de groeifactor. Omdat a > 1 zegt men dat de oppervlakte van de lelie exponenti¨eel stijgt. Het verband tussen de procentuele toename p = 18 en de groeifactor a wordt gegeven door p 100

c

a=1+

Dankzij het functievoorschrift kunnen we nu de volgende vragen beantwoorden. (a) Bepaal de oppervlakte van de waterlelie na drie maanden.

(b) Mocht de waterlelie het ganse jaar aan dit tempo groeien, wat zou dan de oppervlakte na ´e´en jaar zijn? Vergelijk met de oppervlakte van de aarde (neem aan dat de aarde bolvormig is met straal 6357 km). (c) Hoeveel groeit de waterlelie elke twee dagen (de groeifactor elke twee dagen)? En elke 10 dagen?

(d) Wat is de groeifactor elke halve dag? En elk uur? √ (e) Wat is de oppervlakte van de waterlelie na 2 aantal dagen?

O

(f) Indien we veronderstellen dat de groei van de waterlelie op hetzelfde tempo verloopt v´o´or het begin van de zomer, bepaal dan de oppervlakte van de waterlelie 20 dagen v´o´or het begin van de zomer.

(g) Op de hoeveelste dag van de zomer is de oppervlakte van de waterlelie precies 1 m2 ? Bepaal (indien mogelijk) algebra¨ısch, en duid de betekenis aan op de grafiek.

Oplossing.

70

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

• Op ontdekking 2. Een bepaalde soort waterlelie krimpt in de winter zo snel dat de totale bladoppervlakte elke dag 15% kleiner wordt. In het begin van de winter is de totale bladoppervlakte van een waterlelie 900 m2 . Noem f (x) de oppervlakte van de plant (in m2 ) op x dagen na het begin van de winter. Om het functievoorschrift te ontdekken maken we eerst een tabel van enkele functiewaarden. ∗ Functievoorschrift f (x) = ?

∗ Tabel van enkele functiewaarden

x

f (x)

0

1

2

3

...

...

...

...

∗ Grafiek

c

y

x

O

Om de y-waarde van een volgende dag te vinden, moeten we bij de vorige dag de waarde a = . . . vermenigvuldigen. Daarom noemt men a de groeifactor. Omdat a < 1 zegt men dat de oppervlakte van de lelie exponenti¨eel daalt.

Het verband tussen de procentuele afname p = 15 en de groeifactor a wordt gegeven door a=1−

p 100

Dankzij het functievoorschrift kunnen we nu de volgende vragen beantwoorden. (a) Bepaal de oppervlakte van de waterlelie na drie maanden. (b) Wat is de groeifactor elke twee dagen? En elke maand? (c) Wat is de groeifactor elke halve dag? En elke minuut? (d) Indien we veronderstellen dat de groei van de waterlelie op hetzelfde tempo verloopt v´o´or het begin van de winter, bepaal dan de oppervlakte van de waterlelie 10 dagen v´o´or het begin van de winter. 71

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

Oplossing.

• Definitie. Een exponenti¨ele functie is een functie y = f (x) waarbij f (x) = b · ax

met a ∈ R+ 0 \ {1} en b ∈ R0

• Opmerking. In de bovenstaande definitie is   1 = ... ∗ a ≥ 0 want anders is bijvoorbeeld f 2

∗ a 6= 0 want anders is f (x) = . . . dus de functie f is een . . . ∗ a 6= 1 want anders is f (x) = . . . dus de functie f is een . . . ∗ b 6= 0 want anders is f (x) = . . . dus de functie f is een . . .

c

• Eigenschap. Zij f (x) = b · ax een exponenti¨ele functie. Dan is de grafiek van f van de vorm (voor b > 0) +1

y

y

·a

y=b · a

·a

x

b

b

y = b · ax

O

of

x

O

+1

O

0
a rel="nofollow">1

exponenti¨ele daling

exponenti¨ele stijging

en uit de grafiek van f lezen we de volgende eigenschappen af. (a)

dom f = . . .

en

bld f = . . .

(b)

Voor 0 < a < 1 is

(c)

dus de rechte . . . . . . is een horizontale asymptoot voor x → +∞ aan de grafiek van f . Voor a > 1 is lim f (x) = . . . en lim f (x) = . . .

lim f (x) = . . .

x→−∞

x→−∞

en

lim f (x) = . . .

x→+∞

x→+∞

dus de rechte . . . . . . is een horizontale asymptoot voor x → −∞ aan de grafiek van f . 72

x

Oefeningen bij §4.1 Oefening 1. Een bepaalde soort bamboe krimpt in de winter aan een snelheid van 0, 8 cm per dag. In het begin van de winter is de bamboeplant 7 m lang. Noem f (x) de lengte van de bamboe (in cm) op x dagen na het begin van de winter. (a) Bepaal het voorschrift van f (x). (b) Bepaal de lengte van de bamboe na drie maanden. (c) Hoeveel krimpt de bamboe elke drie dagen? (d) Hoeveel krimpt de bamboe elk uur?

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

(e) Op de hoeveelste dag van de winter is de lengte van de bamboe precies 6, 5 m? Bepaal algebra¨ısch, en duid de betekenis aan op de grafiek. Oefening 2. De volgende grafieken stellen de grafiek van een lineaire functie y = f (x) voor. Bepaal telkens het functievoorschrift (enkel roosterpunten gebruiken). (a)

(b)

y

y

y = f (x)

y = f (x)

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

O

−1

1

2

3

4

5

x

O

−1

2

3

4

5

x

−1

c

−1

1

Oefeningen bij §4.2

Oefening 3. Bepaal telkens de gevraagde groeifactor en/of procentuele toename of afname. (a) Een spaarrekening groeit met 2, 1% netto per jaar. Bepaal de groeifactor per jaar.

(b) In een bepaalde streek neemt de populatie mussen af met 4% per jaar. Bepaal de groeifactor per jaar.

(c) Het aantal klanten van een firma verdubbelt elk jaar. Bepaal de groeifactor en de procentuele toename per jaar.

O

(d) Door een gunstige belegging neemt een kapitaal toe met 15% per jaar. Bepaal de groeifactor en de procentuele toename per week.

Oefening 4. In een tank is door een fout 10 kg zout toegevoegd. Men spoelt de tank door het toevoegen van zuiver water en lozen van het verontreinigd product. Op deze manier verdwijnt er per minuut 20% van het aanwezige zout. (a) Bepaal de groeifactor per minuut. (b) Bepaal de groeifactor en de procentuele afname per 5 minuten. (c) Bepaal de groeifactor en de procentuele afname per 20 seconden.

(d) Hoeveel kilogram zout blijft er over na een half uur spoelen? Los algebra¨ısch op. (e) Hoe lang moet men spoelen opdat er minder dan 1 gram zout overblijft? Los grafisch op.

73

Oefening 5. Bij samengestelde intrestberekening zet je een kapitaal uit aan p% per jaar. Daarbij laat je jaar na jaar de verworven intrest ongemoeid. Stel een formule op die het totale kapitaal berekent na n jaar. Oefening 6 (Toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven). Als een handelaar de prijs van een product met p% verhoogt, met hoeveel procent moet hij dan de nieuwe prijs verlagen om terug bij de oorspronkelijke prijs te komen? (A)

p p 1 − 100

(B) p

(C)

100p 100 − p

(D)

100p 100 + p

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

Oefening 7 (Toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven). In 1995 voorziet het Ministerie van Sociale Zaken dat het aantal bejaarden met psychische problemen in de komende 15 jaar zal verdubbelen van 200000 tot 400000. Hierdoor moeten meer hulpverleners opgeleid worden. In een voorstudie stelt een socioloog voor de groei van het aantal bejaarden met psychische problemen twee modellen voorop (telkens in functie van t, het aantal jaar na 1995) • Model I: lineaire groei

• Model II: exponenti¨ele groei

Beoordeel de volgende uitspraken (juist of fout).

(a) Voor t = 22, 5 voorspelt model I precies 500000 bejaarden met psychische problemen. √ (b) Voor t = 22, 5 voorspelt model II precies 2 · 400000 bejaarden met psychische problemen.

(c) Voor t = 10 voorspelt model I precies 333333, 33 . . . bejaarden met psychische problemen. √
10 (d) Voor t = 10 voorspelt model II precies 200000 15 2 bejaarden met psychische problemen.

(e) Volgens model II zouden er in 2005 meer bejaarden met psychische problemen zijn dan volgens model I. (f) Volgens model II zouden er in 2015 meer bejaarden met psychische problemen zijn dan volgens model I.

Oefening 8 (Toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven). Veronderstel dat de concentraties in het bloed van stof A en van stof B omgekeerd evenredig zijn. Als de concentratie van stof A met p% toeneemt, met hoeveel procent zal de concentratie van stof B dan afnemen? Oefening 9. Zij f (x) = ax een exponenti¨ele functie. Bewijs

c

f (x1 + x2 ) = f (x1 ) · f (x2 )

voor elke x1 , x2 ∈ R

Oefening 10. De volgende grafieken stellen de grafiek van een exponenti¨ele functie y = f (x) voor. Bepaal telkens een mogelijk functievoorschrift (enkel roosterpunten of aangeduide punten gebruiken). (a)

(b)

y

y

y = f (x)

O

6

−2

−1




12

5

10

4

8

3

6

2

4

1

2

O −3

P −2, 45 4

1

2

3

x

O −6

74

−4

−2

Q(0, 5)

y = f (x) 2

4

6

x

Oefening 11. David en Katrijn hebben een job gevonden. David verdient 20 euro per uur en krijgt jaarlijks een loonsverhoging van 1 euro per uur. Katrijn verdient 16 euro per uur en krijgt jaarlijks 10% opslag. (a) Noem f (x) het loon (in euro per uur) van David in jaar x. Bepaal het functievoorschrift van f . Welke soort groei is dit? (b) Noem g(x) het loon (in euro per uur) van Katrijn in jaar x. Bepaal het functievoorschrift van g. Welke soort groei is dit? (c) Schets de grafieken van f en g in ´e´en assenstelsel. Vanaf welk jaar verdient Katrijn meer dan David (uiteraard afronden op 1 jaar nauwkeurig)? Los grafisch op. Hoeveel verdienen beide dan? Oefening 12. Bart K. Ell koopt een nieuwe auto ter waarde van 20000 euro. Per jaar verliest deze auto 20% van zijn waarde.

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

(a) Noem f (x) de waarde van de auto na x jaar. Bepaal het functievoorschrift van f . Welke soort groei is dit? (b) Schets de grafiek van f zonder grafisch rekenmachine. Duid duidelijk de beginwaarde en de groeifactor aan. (c) Wat is de waarde van de auto na 10 jaar? Gebruik je grafisch rekenmachine.

(d) Na hoeveel jaar is de auto van Bart minder dan 1000 euro waard? Afronden op 1 jaar nauwkeurig.

Oefening 13. De volgende tabel geeft de groei weer van een aantal grootheden tijdens vijf opeenvolgende tijdseenheden. In welke gevallen is er sprake van lineaire groei of daling? In welke gevallen is er sprake van exponenti¨ele groei of daling? t 0 1 2 3 4 5 f (t)

1701

567

189

63

21

7

g(t)

105

118

131

146

163

182

h(t)

29, 7

27, 1

24, 5

21, 9

19, 3

16, 7

c

Oefening 14. Bij een gitaar zijn zogenaamde frets geplaatst, plaatjes bevestigd aan de hals waarop een gitarist zijn vingers plaatst, om zo de snaarlengte te veranderen en de klanktoon te be¨ınvloeden. De snaren zijn bevestigd aan de klankkast via het brugzadel. In totaal zijn er 20 frets, enkele afstanden tussen de frets en het brugzadel worden in de volgende tabel gegeven. fret

afstand tot brugzadel (in cm)

1 2 3 4 5

24 25, 4 26, 9 28, 5 30, 2

Blijkbaar nemen de afstanden van frets tot brugzadel exponenti¨eel toe.

(a) Bepaal met behulp van je grafisch rekenmachine de best passende exponenti¨ele functie (afstand van fret tot brugzadel in functie van fret) waarvan de grafiek door deze punten gaat. (b) Bepaal, uitgaande van de exponenti¨ele functie in (a), de groeifactor.

O

(c) Bepaal de afstand van de laatste fret tot het brugzadel.

Aanwijzing bij (a).

∗ Invoeren van de gegevens in een lijst:

STAT

EDIT

75

1:Edit

∗ Plotten van de gegevens:

2ND

STAT PLOT

1: Plot1

STAT

CALC

GRAPH

0: ExpReg

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

∗ Berekenen van de exponenti¨ele functie door de punten:

wijzigen, daarna

Y=

VARS

5:Statistics. . .

EQ

2:a

etc.

c

∗ Plotten van de exponenti¨ele functie:

O

Oefening 15. Bij het inschenken van een glas bier ontstaat een schuimkraag. In de onderstaande tabel staat per 20 seconden de hoogte 1 van de schuimkraag. tijd (in seconden)

hoogte van de schuimkraag (in cm)

0 20 40 60 80 100 120 140

3 2, 55 2, 17 1, 84 1, 56 1, 33 1, 13 0, 96

(a) Bepaal met behulp van je grafisch rekenmachine de best passende exponenti¨ele functie (hoogte van de schuimkraag in functie van tijd) waarvan de grafiek door deze punten gaat. (b) Bepaal, uitgaande van de exponenti¨ele functie in (a), de groeifactor per 20 seconden. (c) Bepaal de hoogte van de schuimkraag na 5 minuten. 1 Volledigheidshalve dienen we op te merken dat de hoogte van de schuimkraag afhangt van heel wat parameters, zoals biersoort, kwaliteit van het bier, zuiverheid van het glas en de leiding, etc.

76

Students usually find the concept of logarithms very difficult to understand. B.L. van der Waerden 1957

Hoofdstuk 5

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

Logaritmische functies 5.1

Inleiding en motivatie

• Op ontdekking 1. “Salvinia Molesta” is een snelgroeiende waterplant. In optimale omstandigheden verdubbelt de omvang van deze plantjes iedere week. Een visser ontdekt op een dag 1 dm2 van deze plantjes. Noem f (x) de totale oppervlakte van de plantjes (in dm2 ) op x weken na de ontdekking. We hebben ∗ Functievoorschrift f (x) = . . .

Salvina Molesta overwoekert de Finniss rivier, Australi¨e

∗ Tabel van enkele functiewaarden

−2

x

f (x)

∗ Grafiek

−1

...

...

0

1

2

3

...

...

...

...

y

8 7 6 5

c

4 3 2 1

−2 −1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

O

Los de volgende vragen op, indien mogelijk algebra¨ısch.

(a) Na hoeveel weken bedraagt de totale oppervlakte van de waterplantjes 8 dm2 ?

(b) Na hoeveel weken bedraagt de totale oppervlakte van de waterplantjes 128 dm2 ? (c) Na hoeveel weken bedraagt de totale omvang van de waterplantjes 5 dm2 ?

Oplossing.

77

Opmerking. Vraag (c) kunnen we (voorlopig) niet algebra¨ısch oplossen. Met behulp van het grafisch rekenmachine vinden we de oplossingen door het snijpunt van f (x) = 2x met g(x) = 5 te zoeken.

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

Antwoord op vraag (c). Na ongeveer . . . weken en . . . dagen is de totale omvang van de waterplantjes 5 dm2 Besluit. We kunnen dit soort vragen altijd grafisch oplossen. Maar telkens de grafieken plotten, zinvolle vensterinstellingen bepalen en snijpunt laten berekenen is tijdrovend. Daarom zoeken we naar een alternatieve manier om dit soort vragen op te lossen. De functie f (x) = 2x is wel/niet inverteerbaar (schrappen wat niet past) want . . .

We zoeken de inverse functie van de functie f . ∗ Functievoorschrift f (x) = 2x

∗ Functievoorschrift: g(y) = ?

∗ Tabel van enkele functiewaarden

∗ Tabel van enkele functiewaarden

x

f (x) = y

−2

−1

0

1

2

3

y

0, 25

0, 5

1

2

4

8

x = g(y)

∗ Grafiek y

∗ Grafiek x

c

y = 2x

7

7

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

O

−1 −1

1

2

3

4

5

6

7

x

−1 −1

1

2

3

4

5

6

7

y

∗ Uit de overgang van tabel f naar tabel g volgt

f (x) = y ⇔ x = g(y)

De functie g(y) is een nieuwe functie. We noemen die de logaritmische functie met grondtal 2 en we schrijven 1 g(y) = 2 log y. Zo wordt bovenstaande formule 2x = y ⇔ x = 2 log y

x ∈ R, y ∈ R+ 0

In woorden: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................... 1 In

de literatuur noteert men naast 2 log y ook log2 y. Lees: “de 2-logaritme van y”.

78

• Voorbeelden. Bereken met behulp van bovenstaande formule. (a)

2

(b)

2

(c)

2

(d)

2

log 8 = . . . log 32 = . . .

log 1024 = . . .

2

(f)

2

(g)

2

(h)

2

log 1 = . . .

log 0 = . . .   1 = ... log 4 log (−8) = . . .

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

log 2 = . . .

(e)

• Logaritme berekenen met behulp van grafisch rekenmachine.

Het getal 2 log 12 berekenen we met het grafisch rekenmachine als volgt 2

• Voorbeelden. Bereken met behulp van je rekenmachine (a)

2

(b)

2

log 8 = . . .

log 0, 000001 = . . .

(c)

2

(d)

2

log 4096 = . . .

log (−3) = . . .

• Op ontdekking 1 (vervolg). “Salvinia Molesta” is een snelgroeiende waterplant. In optimale omstandigheden verdubbelt de omvang van deze plantjes iedere week. Een visser ontdekt op een dag 1 dm2 van deze waterplantjes.

c

(a) Bepaal algebra¨ısch na hoeveel weken de totale omvang van de waterplantjes 5 dm2 bedraagt.

(b) Bepaal algebra¨ısch na hoeveel weken de totale omvang van de waterplantjes 100 m2 bedraagt.

O

Oplossing.

2 Deze

werkwijze steunt op een formule die we in §5.3 zullen aantonen.

79

• Op ontdekking 2. Een gevaarlijke ziekte tast het waterplantje Salvinia Molesta aan. Elke week blijft er slechts de helft over van de vorige week. Een biologisch instituut meet op een dag 1 km2 van deze plantjes. Noem f (x) de totale oppervlakte van de plantjes (in km2 ) op x weken na de meting door het instituut. Ook nu heeft de grafiek van f een inverse. ∗ Functievoorschrift f (x) = . . .

∗ Functievoorschrift: g(y) = ?

∗ Tabel van enkele functiewaarden

∗ Tabel van enkele functiewaarden

x

−3

−2

−1

0

1

2

f (x) = y

...

...

...

...

...

...

y x = g(y) ∗ Grafiek x

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

∗ Grafiek y 6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

−1 −1

2

3

4

5

6

7

x

−1 −1

−2

1

2

3

4

5

6

7

y

−2

∗ Uit de overgang van tabel f naar tabel g volgt

f (x) = y ⇔ x = g(y)

c

De functie g(y) is een nieuwe functie. We noemen die de logaritmische functie met grondtal schrijven g(y) =

1 2

log y. Zo wordt bovenstaande formule  x 1 =y⇔x= 2

1 2

log y

1 en we 2

x ∈ R, y ∈ R+ 0

• Voorbeelden. Bereken met behulp van bovenstaande formule.   1 1 1 2 (a) log = ... (c) 2 log (−1) = . . . 16 

log

1 64



= ...

(d)

1 2

log (16) = . . .

O

(b)

1 2

• Op ontdekking 2 (vervolg). Een gevaarlijke ziekte tast het waterplantje Salvinia Molesta aan. Elke week blijft er de helft over van de vorige week. Een biologisch instituut meet op een dag 1 km2 van deze plantjes. (a) Bepaal algebra¨ısch na hoeveel weken de totale omvang van de waterplantjes 0, 1 km2 bedraagt. (b) Aangenomen dat de waterplant al een tijd is aangetast, bepaal algebra¨ısch hoeveel weken v´o´or de meting de omvang van de plantjes 5 km2 was.

Oplossing.

80

5.2

Definitie logaritmische functie en eigenschappen

• Opbouw. Beschouw een exponenti¨ele functie met grondtal a ∈ R+ 0 \ {1} en beginwaarde b = 1 f :R→R x 7→ f (x) = ax Uit de grafiek blijkt dat f een inverteerbare functie is, want . . . Noem g de inverse functie van f . Uit de overgang van tabel f naar tabel g volgt f (x) = y ⇔ x = g(y) a

log y. Zo wordt de

x a • Eigenschap (Grondformule van logaritmen). Voor a ∈ R+ 0 \{1} is a = y ⇔ x = log y

∀x ∈ R, ∀y ∈ R+ 0

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

We noemen de functie g de logaritmische functie met grondtal a en we schrijven g(y) = bovenstaande formule

Samengevat komen we tot de volgende

3 • Definitie. Zij a ∈ R+ grondtal a 0 \ {1}. De logaritmische functie met

g:R→R x 7→ g(x) = a log x

is de inverse functie van de exponenti¨ele functie met grondtal a

f :R→R x 7→ f (x) = ax

• Opmerking. Elimineren we y (resp. x) uit de grondformule dan verkrijgen we de handige formules x = a log ax

resp.

a

a

log y

=y

• Eigenschap. Zij g(x) = a log x een logaritmische functie. Dan is de grafiek van g van de vorm y

y

y = a log x

y = a log x

+1

·a

c

x

1

O

of

O

1

x

+1

·a

a>1

logaritmische daling

logaritmische stijging

O

0
en uit de grafiek van g lezen we de volgende eigenschappen af. (a)

dom g = . . .

en

bld g = . . .

(b)

Nulwaarden: . . .

(c)

De rechte . . . . . . is een verticale asymptoot aan de grafiek van g.

(d)

Voor 0 < a < 1 is lim g(x) = . . . x→ 0

en voor a rel="nofollow"> 1 is lim g(x) = . . . x→ 0

>

3 Men

>

gebruikt ook de term “basis” in plaats van “grondtal”. In de literatuur noteert men naast a log y ook loga y. Lees: “de a-logaritme

van y”.

81

5.3

Rekenregels voor logaritmen

Uit de tabel van enkele functiewaarden lezen we af dat een exponenti¨ele functie y = ax een som omzet in een product (zie ook Hoofdstuk 4 Oefening 9). Dit betekent blijkbaar dat een logaritmische functie een product omzet in een som. ∗ Functievoorschrift f (x) = ax

∗ Functievoorschrift: g(y) = a log y

∗ Tabel van enkele functiewaarden

∗ Tabel van enkele functiewaarden

x x

a =y

−1

0

...

...

1 ...

2 ...

y

3 a

...

x = log y

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

In deze paragraaf bewijzen we deze en soortgelijke rekenregels. • Rekenregel 1 (Logaritme van een product). a

log(y1 · y2 ) = a log y1 + a log y2

Bewijs.

Voorbeeld.

4

log 32 + 4 log 2 = . . .

c

• Rekenregel 2 (Logaritme van een quoti¨ ent). a



log

y1 y2



= a log y1 − a log y2

O

Bewijs.

Voorbeeld.

7

log 63 − 7 log 9 = . . .

82

• Rekenregel 3 (Logaritme van een macht). a

log(y r ) = r · a log y

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

Bewijs.

Voorbeeld.

5

log 40 − 3 5 log 2 = . . .

• Rekenregel 4 (Verandering van grondtal) 4 . a

b

log y =

log y

a log b

Bewijs.

Leonhard Euler (1707 - 1783)

Voorbeeld.

4

log 8 = . . .

c

Bijzonder geval. Uit Rekenregel 4 volgt

a

b

log a =

log a

a log b

=

1

a log b

• Bijzondere logaritmen.

∗ De logaritme met grondtal 10 noemen we de Briggse 5 logaritme, en noteren we korter door

10

log x = log x

∗ De logaritme met grondtal e = 2, 7182818 . . . noemen we de natuurlijke logaritme (of Neperiaanse 6 logaritme), en noteren we korter door e log x = ln x

O

• Toepassing. In §5.1 zagen we hoe je de bijvoorbeeld het getal 2 log 12 kan berekenen met het grafisch rekenmachine. Deze werkwijze berust op Rekenregel 4, omdat 10 log 12 log 12 2 log 12 = 10 = log 2 log 2

4 Ook wel “Euler’s Golden Rule” genoemd. Het verband tussen logaritmen, de afstand van breedtecirkels in een kaartprojectie van Mercator, de exponenti¨ ele functie ex , de natuurlijke logaritme ln x en de integraal van x1 is langzaam ontdekt, en wordt voor het eerst door Euler in 1748 helder uiteengezet. 5 Henry Briggs 1617. 6 Genoemd naar John Napier 1614, alhoewel zijn opbouw van logaritmen geen verband houdt met het getal e.

83

Oefeningen bij §5.1 Oefening 1. Bereken algebra¨ısch de volgende logaritmen. Controleer je resultaat met je grafisch rekenmachine.   2 81 (a) 5 log 625 (c) 3 log 16   √
(b) 3 log 3 · 3 (d) 125 log 533

Oefeningen bij §5.2 Oefening 2. Schrijf de oplossing van 3x = 7 als een logaritme.

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

Oefening 3. Bepaal telkens het grondtal a. (a)

a

(b)

a

log 9 = 2

(c)

log 64 = 3

(d)

1 2 a log 3 = −1

a

log 5 =

Oefening 4. Gegeven is de functie

f (x) = 3 log (−x + 5)

(a) Bepaal algebra¨ısch het domein van f .

(b) Welke transformaties moet je uitvoeren op de functie y = 3 log x om de functie y = f (x) te bekomen? (c) Schets de grafiek van f met behulp van (b). Controleer door de grafiek van f te plotten. (d) Bepaal bld f en alle asymptoten aan de grafiek van f . Oefening 5. Gegeven is de functie

f (x) =

0,5

log (x + 3) + 2

(a) Bepaal algebra¨ısch het domein van f .

(b) Welke transformaties moet je uitvoeren op de functie y =

0,5

log x om de functie y = f (x) te bekomen?

(c) Schets de grafiek van f met behulp van (b). Controleer door de grafiek van f te plotten. (d) Bepaal bld f en alle asymptoten aan de grafiek van f .

c

Oefening 6. Schrijf 2 als een macht van 5. ?Oefening 7. Bereken 5273 .

Oefeningen bij §5.3

O

Oefening 8. Bereken algebra¨ısch de volgende logaritmen met behulp van de rekenregels. Tussenstappen opschrijven!   1 2 2 (e) 7 log 63 − 7 log 9 (a) log 12 + log 3  
1 2 √ (b) log (f) 2 log 52 + 2 log 12 − 2 log 75 6 8 32 (c) 9 log 27 (g) 5 log 40 − 3 5 log 2 √
√ log 10 10 3 (d) (h) 0,04 log 5 log 0, 1 Oefening 9. Gegeven zijn de afschattingen log 2 ≈ 0, 301 en log 3 ≈ 0, 477. Bereken algebra¨ısch (bij benadering) de volgende logaritmen met behulp van de rekenregels en deze afschattingen. Tussenstappen opschrijven! √ (a) log 1, 5 (d) log 2 (b) log 0, 16 (e) log 500     10 1 (c) log (f) log 13 + 9 3 Oefening 10. Als gegeven is dat

x

log a = 2,

x

log b = 3,

x

log c = 4 en r 2 3 ab x log 4 cd 84

x

log d = 5, bereken dan

Oefening 11. Bewijs de volgende logaritmische identiteiten (we veronderstellen dat alle uitdrukkingen bestaan). (a) aln b = bln a 1 1 1 + b = ab (b) a log c log c log c n log x (c) mn log x = 1 + n log m 2 2 1 (d) b log a · x log b = x log a 4 x log a · y log a (e) xy log a = x log a + y log a a a

log x · b log x + b log x · c log x + c log x · a log x =

log x · b log x · c log x abc log x

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

(f)

Oefening 12. Gegeven is de functie

f (x) = 3 log 3x2




Kunnen we y = f (x) bekomen door transformaties uit te voeren op de functie y = 3 log x? Verklaar.

Oefening 13. De volgende grafieken stellen de grafiek van een functie van de vorm f (x) = a log x + b voor. Bepaal telkens een mogelijk functievoorschrift (enkel roosterpunten gebruiken). (a)

(b)

y

y

3

1

y = f (x)

2

O

−1

1

O

−1

1

2

3

4

5

−1

1

2

3

4

5

−2

x

−1

−3

−2

−4

c

y = f (x)

−5

−3

Oefening 14. Bereken algebra¨ısch met behulp van de rekenregels voor logaritmen. Tussenstappen opschrijven! √ (a) e5 ln 3 (c) e3 ln 7 · ln 49 e √ 7 1 5 (b) e−2 ln 5 · ln e2 (d) 72 · log 3 · 3 log 3 33

O

Oefening 15. Bewijs algebra¨ısch de volgende uitdrukkingen. q  q  q q √ √ √ √ 1 (a) log 5 = log 6 + 2 5 + 6 − 2 5 − log 6+2 5− 6−2 5 2 q  q  q q √ √ √ √ √ (b) log 5 = log 9 + 3 5 + 9 − 3 5 − log 9+3 5− 9−3 5 b

c

Oefening 16. Vereenvoudig a log ab r 5(x − 3)3 Oefening 17. Schrijf log als een som van logaritmen. x+2 1 Oefening 18. Schrijf (log 125 + 8 log 6 − 3 log 121) als ´e´en logaritme. 2 √ √ 3 Oefening 19. Bepaal x als je weet dat 2 log 2 = x. 85

x

Oefening 20 (Koolstof 14-datering). Elk levend organisme (mens, plant, dier, . . . ) bevat een zekere hoeveelheid van de radioactieve stof koolstof-14, een isotoop van koolstof die in onze atmosfeer uit stikstofkernen gevormd wordt door kernreacties ten gevolge van de kosmische straling waaraan de aarde voortdurend blootstaat. Na 14 het afsterven van het organisme neemt de hoeveelheid C exponentieel af, wegens radioactief verval. Dit fenomeen wordt in de archeologie gebruikt 7 om de ouderdom van een vondst te bepalen. De methode is bruikbaar voor materialen tot circa 60.000 14 jaar oud. De halfwaardetijd van C is 5736 jaar. (a) In opgegraven beenderen meet men nog 70% van de oorspronkelijke hoeveelheid 14 C. Wat is de ouderdom van de beenderen? Los grafisch op (afronden tot op 1 jaar nauwkeurig). 14

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

(b) Men heeft met de C de leeftijd van de lijkwade van Turijn (de zogenaamde lijkwade van Christus) trachten te achterhalen. In 1988 trof men in het plant14 aardig weefsel van het doek 92, 2% van de oorspronkelijke hoeveelheid C aan. Hoe oud zou de lijkwade zijn volgens dit resultaat?

Willard Frank Libby (1908 - 1980)

Oefening 21. Onderzoek heeft uitgewezen dat het risico op het hebben van een auto-ongeval exponentieel stijgt met de hoeveelheid alcohol in het bloed. (a) Schrijf een functie op die het verband aangeeft tussen R (risico, uitgedrukt in een percentage) en b (hoeveelheid alcohol in het bloed, uitgedrukt in promille). (b) Indien bij b = 0 (helemaal geen alcoholische dranken genuttigd) het risico R = 1 en bij b = 1, 4 het risico R = 20 is, bereken dan het risico bij 0, 5 promille en bij 0, 8 promille. Oefening 22. Het aantal salmonellabacteri¨en op een stuk vis dat niet koel bewaard wordt neemt exponenti¨eel toe. Na 3 uur vindt men 2500 bacteri¨en, na 8 uur zo’n 7000. (a) Bepaal de groeifactor en de procentuele toename per uur. (b) Hoeveel bacteri¨en bevinden zich op de vis na 20 uur?

Oefening 23. Voor n ∈ N0 houdt log n verband met het aantal cijfers in de decimale voorstelling van n, zo blijkt uit de onderstaande tabel (vul aan). n

log n

aantal cijfers van n

1

...

...

9

...

...

10

...

...

99

...

...

100

...

...

999

...

...

1000

...

...

Salmonella typhimurium

O

c

?

(a) Geef het verband tussen log n en het aantal cijfers van n ∈ N0 .

(b) Bepaal het aantal cijfers van het getal 1324 en 5273 .

(c) Het grootste priemgetal tot op heden 8 bekend werd ontdekt op 4 september 2006 en is gelijk aan 232582657 − 1 Bepaal het aantal cijfers van dit getal. 7 Ontwikkeld

door Libby 1949. het moment dat deze cursus geschreven werd (5 juli 2008). De Electronic Frontier Foundation looft 100000 dollar uit voor de ontdekker van een priemgetal met tenminste 10 miljoen cijfers. Voor meer informatie omtrent priemgetallen verwijzen we naar de website http://en.wikipedia.org/wiki/Prime− number 8 Op

86

Oefening 24. De intensiteit van een aardbeving wordt weergegeven op de schaal van Richter 9 . Het verband tussen deze intensiteit M en de vrijgekomen energie E (in joules) wordt gegeven door log E = 4, 4 + 1, 5 M . (a) Bepaal de energie E die vrijgekomen is na de aardbeving in San Francisco op 18 april 1906 die een intensiteit had van 7, 8 op de schaal van Richter. (b) Als de vrijgekomen energie van een eerste aardbeving 10 keer groter is dan die bij een tweede aardbeving, wat is dan het verband tussen de intensiteit van deze twee aardbevingen?

Stockton Street San Francisco 1906

(c) Onderstel dat de intensiteit van twee aardbevingen met 1 verschilt op de schaal van Richter, wat is dan de verhouding van de vrijgekomen energie van de krachtigere aardbeving ten opzichte van de minder krachtige aardbeving?

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

Aanwijzing bij (b) en (c). Noteer M1 resp. M2 voor de intensiteit en E1 resp. E2 voor de vrijgekomen energie bij de eerste resp. tweede aardbeving. ?Oefening 25. Gegeven is de functie f (x) = a · bcx met a, b, c ∈ R en a > 0, b > 0, b 6= 1 en c 6= 0. Toon aan dat ln f een eerstegraadsfunctie is in x. ?Oefening 26. Gegeven is de functie a

f (x) =

log x

b log x

waarbij a, b ∈ R+ 0 \ {1}

(a) Bepaal algebra¨ısch het domein van f .

(b) Toon aan dat f (x) onafhankelijk is van x ∈ dom f . (c) Maak een schets van de grafiek van f .

Oefening 27. Toon aan dat de uitdrukking s a log 27 + a log (275 ) − 3 · a log 0, 125 a log 3 + a log 6 + onafhankelijk is van a ∈ R0 \ {1}.

Oefening 28 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 1993 tweede ronde). Als log2 (log2 (log2 (x))) = 2, hoeveel cijfers bevat de decimale voorstelling van het getal x dan? (A) 5

(B) 7

(C) 9

(D) 11

(E) 13

10 3

en

c

?Oefening 29 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 1990 tweede ronde). Als x, y > 0, log x + log y = y x xy = 144, dan is x+y 2 = √ √ (A) 12 2 (B) 13 3 (C) 24 (D) 30 (E) 36

O

?Oefening 30 (Betekenis van de natuurlijke logaritme ln x.). De oppervlakte onder de grafiek van de functie 1 f (x) = gedraagt 10 zich als een logaritme, zo blijkt uit de volgende stappen. x Voor t ≥ 1 noemen we A(t) de oppervlakte tussen de grafiek van f , de x-as en de rechten x = 1 en x = t. 1 (a) Schets de grafiek van f (x) = en duid A(2) aan. x 1 (b) Voer op de functie f (x) = de volgende transformaties uit: x • rek uit volgens x-as met factor 31 • rek uit volgens y-as met factor 3

en schets bij elke transformatie de grafiek van de nieuwe functie, alsook de getransformeerde oppervlakte uit (a).

(c) Leid uit (b) af dat A(2 · 3) = A(2) + A(3) waaruit blijkt dat de oppervlaktefunctie A : R → R : t 7→ A(t) zich gedraagt zoals een logaritmische functie log t.

a

Opmerking. Men kan aantonen dat het grondtal a van de logaritmische functie uit (c) gelijk is aan e = 2, 7182818 . . .. Dit betekent dat de oppervlakte onder de hyperbool zich gedraagt zoals de natuurlijke logaritme ln x. Vandaar de benaming “natuurlijke” logaritme. 9 Charles 10 Ontdekt

Francis Richter en Beno Gutenberg, 1935. door Gr´ egoire de Saint-Vincent 1647.

87

Hoofdstuk 6

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

Exponenti¨ ele en logaritmische vergelijkingen en ongelijkheden 6.1

Modelvoorbeelden

• Modelvoorbeeld 1 (Exponenti¨ ele vergelijking). Bepaal algebra¨ısch alle x-waarden die voldoen aan 3x+1 − 2 = 9x

Controleer met behulp van je grafisch rekenmachine.

c

Oplossing.

• Modelvoorbeeld 2 (Exponenti¨ ele vergelijking). Bepaal algebra¨ısch alle x-waarden die voldoen aan x−1

3

 3x+1 1 = 4

Controleer met behulp van je grafisch rekenmachine.

O

Oplossing.

88

• Modelvoorbeeld 3 (Logaritmische vergelijking). Bepaal algebra¨ısch alle x-waarden die voldoen aan 3

1

log (x + 2) + 1 + 3 log (x2 + 4x) = 0

Controleer met behulp van je grafisch rekenmachine.

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

Oplossing.

c

Controle met behulp van het grafisch rekenmachine.

Oefeningen

O

Oefening 1. Los algebra¨ısch de volgende exponenti¨ele en logaritmische vergelijkingen op. √ √ (a) 34x+1 = 9 3 (g) 81 · 3 x − 3x−2 = 0 1 (b) = 1252−x (h) 3x + 3x−1 + 3x−2 + 3x−3 + 3x−4 = 121 52x 2x + 3 (c) = 11 (i) 4 log x · x log 7 = 3 · 2 log x + 8 log x3 2x+1 − 15 4

−2x2 +1

4

= 3x

−2x2 +1

(d)

5x

(e)

8x+1 + 8 · 4x = 5 · 2x−1

(f)

25 · (125)−x = (0, 04)x− 2

(j)

1

x+1

log 8 = log(500x + 500) 1 1 (k) 2 log (x + 2) + 2 log = 2 log (7 − x) 8  
0,5 1 0,5 0,5 0,5 (l) log log x = log 2 − · log x + 1 3 +0,5 log 2

89

Oefening 2. Los op met behulp van je grafisch rekenmachine.
x x (c) xx = 0, 8 (a) 32 = 3(2 ) (b)

1 2

log (x + 3) + 2 ≥ 3 log (−x + 5)

(d)

2x − 5 < 3 ·

 x−2 1 −1 2

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

Oefening 3. Los algebra¨ısch de volgende exponenti¨ele en logaritmische ongelijkheden op.  2x−1 1 1 (a) − < −1 (e) 3 log (x − 2) ≥ −2 3 x−1 1 (b) 4 x+4 ≤ (f) 3 log (x2 − 3) > 0 256  1−x 1 3x−x2 (g) xlog 2 > 8 (c) 2 > 8 1 1 2 + 3x+1 (h) 3 log (4x) < 3 log (x − 1) − 2 (d) 9−x < x 3 Oefening 4. Luchtschepen kunnen gebruikt worden om reclame te maken. Het gas waarmee een luchtschip gevuld is moet regelmatig aangevuld worden. Stel het verband tussen de hoeveelheid gas in een luchtschip en de tijd in dagen wordt gegeven door f (t) = 3000 · (0, 98)0,1 x

(a) Bepaal de procentuele afname per tien dagen.

(b) Om te kunnen vliegen moet er minimaal 2400 m3 gas aanwezig zijn. Bepaal algebra¨ısch na hoeveel dagen het gas aangevuld moet worden.

Oefening 5. Een kopje koffie heeft onmiddellijk na het inschenken een temperatuur van 80◦ C. De temperatuur T (in graden Celsius) in functie van de tijd t (in minuten) van de koffie kan berekend worden met de functie T (t) = 20 + 60 · (0, 881)t

(a) Ga algebra¨ısch na dat de begintemperatuur inderdaad 80◦ C is. (b) Bereken de temperatuur van de koffie na 10 minuten.

(c) Eva vindt koffie lekker als de temperatuur tussen 45◦ C en 55◦ C is. Bepaal algebra¨ısch hoeveel seconden Eva de koffie lekker vindt. (d) Bepaal de kamertemperatuur.

Oefening 6. Een fout bij het aanmaken van brandstof voor de nucleaire opwerkingsfabriek in Tokai-Mura heeft op 30 september 1999 het ergste nucleaire ongeval ooit veroorzaakt op Japanse bodem. Bij deze kernramp is een hoeveelheid van het radioactief isotoop jodium 131 vrijgekomen. In een straal van 2 kilometer rondom de centrale werd tien keer de normale radioactieve waarde gemeten. De autoriteiten evacueerden 130 mensen uit de buurt. Hoeveel dagen moet men die mensen uit de buurt verwijderd houden, als je weet dat jodium 131 per 4 dagen 30% van zijn waarde verliest?

c

?

Oefening 7 (Toelatingsexamen Burgerluchtvaartschool). Los de volgende vergelijking op 10 log (7x − 9)2 + 2 · 10 log (3x − 4) = 2

O

?Oefening 8 (Toelatingsexamen Burgerluchtvaartschool). Los het volgend stelsel op ( 10 log x + 3 · 1000 log y = 2 y 2 − 300 = 4x2

?Oefening 9 (Toelatingsexamen Burgerluchtvaartschool). Los de volgende logaritmische vergelijking op
2
5 5 5 log x + 5 log 30− log 3 = 5 log x6 + 26 ?Oefening 10 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2002 tweede ronde). Voor hoeveel gehele getallen is   x(10 − x) log <0 16 (A) 1

(B) 2

(C) 5

(D) 9 90

(E) oneindig veel

Mathematics compares the most diverse phenomena and discovers the secret analogies that unite them. Joseph Fourier (1768-1830)

Hoofdstuk 7

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

Goniometrische en cyclometrische functies 7.1

Periodieke functies

In de natuur komen veel verschijnselen voor die zich op geregelde tijdstippen herhalen volgens een vast patroon. We noemen ze periodieke verschijnselen. Ze kunnen vaak beschreven worden door een functie. • Voorbeeld 1. De hartslag van een mens in rust is een periodiek verschijnsel, ruwweg tussen 60 en 100 slagen per minuut (30-40 voor sporters in topconditie, en 80 of meer voor mensen die weinig of niet aan sport doen, 70 is een gemiddelde waarde). Theoretisch gezien blijft het basispatroon zich voortdurend herhalen.

c

• Voorbeeld 2. De waterstand aan de kaai van Oostende is een periodiek verschijnsel. Elke 12 uur bereikt de waterstand een piek en een dal. De volgende grafiek geeft de waterstand op dinsdag 22 januari 2008.

Theoretisch gezien blijft herhaalt deze golf zichzelf voortdurend.

• Voorbeeld 3. De propeller van een vliegtuig maakt 1 omwenteling per seconde, in tegenwijzerzin. Teken de hoogte van het vast punt P op de propeller in functie van de tijd t. In de afbeelding van de propeller is t = 0, 125. h

O

P

0.5

91

1.0

1.5

2.0

t

• Defintie. Een periodieke functie is een functie y = f (x) waarbij er een strikt positief re¨eel getal p bestaat waarvoor 1 ∀x ∈ dom f : f (x − p) = f (x) = f (x + p) Indien er een kleinste strikt positief re¨eel getal p bestaat met die eigenschap dan noemen we p de periode van f . • Voorbeeld. Welke grafiek is de grafiek van een periodieke functie? Bepaal indien mogelijk ook de periode. (a)

(d)

y

y 2

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

2 1

1

1

−1

2

3

4

5

6

x

1

−1

−1

−1

−2

−2

(b)

2

3

x

2

3

x

1

x

π 2

c

x

y

1

1

−1

−1

−1

(c)

(f)

y

O

3

(e)

y

y

1

1

1

−1

2

2

3

4

5

6

−1

x

1

−1 −1

1 Merk op: de schrijfwijze “f (x − p) = f (x)” impliceert dat f (x − p) bestaat en gelijk is aan f (x). In het bijzonder is dus x − p ∈ dom f . Analoog voor f (x + p).

92

7.2

Goniometrische functies

Elementaire goniometrische functies • De sinusfunctie. f :R→R

∗ Functievoorschrift

def

def

x 7→ f (x) = sin x

met sin x = sin(x rad)

∗ Tabel van enkele functiewaarden x

π 6

π 4

π 3

π 2

...

...

...

...

...

3π 2

π ...

2π

...

...

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

f (x)

0

∗ Grafiek

y

1

π

π 2

− π2

2π

3π 2

5π 2

x

−1

∗ Eigenschappen van de functie f (x) = sin x 1. Domein.

2. Beeld.

c

3. Periodieke functie met periode . . . Inderdaad,

4. De functie f is even/oneven/noch even, noch oneven functie (schrappen wat niet past). Inderdaad,

O

5. Nulwaarden.

6. Tekentabel.

7. Gedrag op oneindig.

lim sin x = . . .

x→+∞

want 93

lim sin x = . . .

x→−∞

• De cosinusfunctie. f :R→R

∗ Functievoorschrift

def

def

x 7→ f (x) = cos x

met cos x = cos(x rad)

∗ Tabel van enkele functiewaarden x f (x)

0

π 6

π 4

π 3

π 2

...

...

...

...

...

3π 2

π ...

2π

...

...

∗ Grafiek

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

y 1

π

π 2

− π2

2π

3π 2

5π 2

x

−1

∗ Eigenschappen van de functie f (x) = cos x 1. Domein.

2. Beeld.

c

3. Periodieke functie met periode . . . Inderdaad,

4. De functie f is even/oneven/noch even, noch oneven functie (schrappen wat niet past). Inderdaad,

O

5. Nulwaarden.

6. Tekentabel.

7. Gedrag op oneindig.

lim cos x = . . .

x→+∞

want

94

lim cos x = . . .

x→−∞

• De tangensfunctie. ∗ Functievoorschrift

f :R→R def

def

x 7→ f (x) = tan x ∗ Tabel van enkele functiewaarden − π2 − π3 − π4 x f (x)

...

...

∗ Grafiek

− π6

...

...

met tan x = tan(x rad)

0

π 6

π 4

π 3

π 2

...

...

...

...

...

y

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

3 2 1

π

π 2

− π2

2π

3π 2

5π 2

x

−1 −2 −3

∗ Eigenschappen van de functie f (x) = tan x 1. Domein.

c

2. Beeld.

3. Periodieke functie met periode . . . Inderdaad,

O

4. De functie f is even/oneven/noch even, noch oneven functie (schrappen wat niet past). Inderdaad,

5. Nulwaarden.

6. Tekentabel.

7. Gedrag op oneindig.

lim tan x = . . .

x→+∞

want 8. Verticale asymptoten. 95

lim tan x = . . .

x→−∞

• Goniometrische functies plotten met behulp van grafisch rekenmachine. ∗ Instellen op radialen:

MODE

RADIAN

π , via 2

2ND

WINDOW

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

∗ De sinusfunctie invoeren. Stel de schaal op de x-as in op

∗ Analoog plot je cosinusfunctie en de tangensfunctie.

1 . Analoog voor secans- en cosecansfunctie. tan x

c

∗ De cotangensfunctie plot je met de formule cot x =

∗ Je kan ook functies tegelijk plotten. Je kan de grafieken onderscheiden door je cursor op ENTER

O

en te wijzigen met

96

\Y2

te plaatsen

De algemene sinusfunctie • Op ontdekking. Voer de transformaties uit op de sinusfunctie, en maak telkens een schets van de bekomen grafiek. y y = sin x

1 y = sin x π 2

π

3π 2

2π

x

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

−1 rek uit volgens y-as met factor 2: vervang . . . door . . .

y

1

y = ...

π 2

π

3π 2

2π

x

π 2

π

3π 2

2π

x

π 2

π

3π 2

2π

x

π 2

π

3π 2

2π

x

−1

rek uit volgens x-as met factor 13 :

vervang . . . door . . .

y

1

y = ...

c

−1

verschuif volgens x-as met

π 2

naar rechts:

vervang . . . door . . .

y

1

y = ...

O

−1

verschuif volgens y-as met 1 naar boven: vervang . . . door . . .

y

1 y = ...

−1

97

• Algemeen. We kunnen de volgende transformaties uitvoeren op de sinusfunctie y = sin x rek uit volgens y-as met factor a: vervang . . . door . . . y = ...

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

rek uit volgens x-as met factor 1b : vervang . . . door . . .

y = ...

verschuif volgens x-as met c naar rechts:

vervang . . . door . . .

y = ...

verschuif volgens y-as met d naar boven:

vervang . . . door . . .

y = ...

• Definitie. Een algemene sinusfunctie is een functie y = f (x) waarbij f (x) = a sin (b(x − c)) + d

met a, b, c, d ∈ R en a, b > 0

c

De grafiek van een algemene sinusfunctie is van de gedaante (duid de betekenis van a, b, c, d aan) y

y = f (x)

...

O

...

O

x

...

...

Uit het bovenstaande leiden we af dat de periode van f (x) gelijk is aan p = ∗ a de amplitude, ∗ c het faseverschil, ∗ de rechte y = d de evenwichtsas (of evenwichtslijn). 98

2π b

Verder noemen we

• Modelvoorbeeld. De volgende grafiek stelt de grafiek voor van een algemene sinusfunctie y = f (x). Bepaal een mogelijk functievoorschrift (enkel roosterpunten gebruiken). Controleer je antwoord met je grafisch rekenmachine. y 6

y = f (x)

5

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

4 3 2 1

1

−1

2

3

4

5

6

7

−1 −2

c

Oplossing.

O

Controle met behulp van het grafisch rekenmachine.

• Opmerking. Een andere mogelijkheid voor het startpunt is bijvoorbeeld . . . In dat geval wordt het functievoorschrift . . .

99

x

7.3

Bewerkingen met periodieke functies

• Voorbeeld 1. Gegeven zijn de functies  f (x) = 2 sin

 1 x+1 2

 en

g(x) = 3 sin

 1 x+2 3

Is f + g een periodieke functie? Indien ja, bepaal de periode van f + g. Controleer met je grafisch rekenmachine.

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

Oplossing.

• Voorbeeld 2. Gegeven zijn de functies

f (x) = cos

√

 2x

en

g(x) = cos x

Is f + g een periodieke functie? Indien ja, bepaal de periode van f + g. Controleer met je grafisch rekenmachine.

O

c

Oplossing.

100

• Stelling. Zij 2 f een periodieke functie met periode p en g een periodieke functie met periode q. Dan is f + g is een periodieke functie

⇔

p ∈Q q

In dat geval vinden we de periode van f + g als volgt: Stap 1. schrijf

p q

=

m n

met m, n ∈ N0 zodat

m n

een onvereenvoudigbare breuk is.

Stap 2. Dan heeft f + g periode np = mq. Bewijs. Het bewijs valt buiten het bestek van de cursus.

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

• Modelvoorbeeld. Ga algebra¨ısch na of de volgende functies periodiek zijn. Indien periodiek, bepaal de periode.   2x (a) f (x) = tan + 2 sin(3x + 1) 3 (b)

f (x) = sin x + cos(2πx)

O

c

Oplossing.

2 . . . en f is begrensd en er bestaat een interval waarover f continu is. Ook deze voorwaarden kunnen nog afgezwakt worden. Voor meer informatie verwijzen we naar het artikel “On the Sum of Two Periodic Functions”, John M. H. Olmsted, Carl G. Townsend, The Two-Year College Mathematics Journal, Vol. 3, No. 1 (Spring, 1972), pp. 33-38.

101

7.4

Cyclometrische functies

De boogsinusfunctie • Op ontdekking. Beschouw de sinusfunctie f (x) = sin x. y y = sin x 1

− π2

π

2π

3π 2

x

5π 2

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

π 2

−1

De sinusfunctie is wel/niet inverteerbaar (schrappen wat niet past) want . . .

  Daarom beperken we de sinusfunctie. Bij afspraak kiezen we op de x-as het interval − π2 , π2 .

We noemen dit de beperkte sinusfunctie en noteren f (x) = Sin x. We zoeken de inverse functie van de beperkte sinusfunctie. ∗ Functievoorschrift f (x) = Sin x

∗ Functievoorschrift: g(y) = ?

∗ Tabel van enkele functiewaarden

∗ Tabel van enkele functiewaarden

− π2

x

f (x) = y

− π4

π 4

0

π 2

y

///

///

x = g(y)

∗ Grafiek

∗ Grafiek

x

y

π 2

c

y = Sin x

1

− π2

π 2

x

1

−1

y

−1

− π2

∗ Uit de overgang van tabel f naar tabel g volgt

O

f (x) = y ⇔ x = g(y)

De functie g(y) is een nieuwe functie. We noemen die de boogsinusfunctie (of de arcsinusfunctie) en we schrijven 3 g(y) = Arcsin y Zo wordt bovenstaande formule sin x = y ⇔ x = Arcsin y

h π πi x∈ − , , y ∈ [−1, 1] 2 2

∗ Elimineren van x respectievelijk y levert sin(Arcsin y) = y voor alle y ∈ [−1, 1] 3 In

en

h π πi Arcsin(sin x) = x voor alle x ∈ − , 2 2

de literatuur noteert men naast Arcsin x ook Bgsin x. Lees: “de arcsinus van y” of “de boogsinus van y”.

102

• Voorbeelden. Bepaal zonder grafisch rekenmachine (exacte waarde noteren).

  1 = ... 2

(a)

Arcsin

(b)

Arcsin(−1) = . . .

Arcsin

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

(c)

√ ! 3 = ... 2

• Boogsinusfunctie plotten met behulp van grafisch rekenmachine.

Opmerking. Ongelukkig genoeg wordt de notatie voor Arcsin x in het grafisch rekenmachine gegeven door “sin−1 (x)”. Toch is duidelijk 1 Arcsin x 6= (sin x)−1 = sin x

• Voorbeelden (vervolg). Bepaal met behulp van je grafisch rekenmachine.

Arcsin(−0, 275) = . . .

(e)

Arcsin(1, 3) = . . .

c

(d)

• Meetkundige betekenis van de boogsinus.

Uit de formule sin(Arcsin y) = y voor alle y ∈ [−1, 1] volgt

h π πi waarvan de sinus van die hoek gelijk is aan y de boogsinus van een getal y is de hoekwaarde x ∈ − , 2 2} | {z lengte van de boog!

O

y

C(O, 1)

y

x = Arcsin y

1

x x

O

103

De boogcosinusfunctie • Op ontdekking. Beschouw de cosinusfunctie f (x) = cos x. y y = cos x 1

− π2

π

π 2

2π

3π 2

x

5π 2

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

−1

De cosinusfunctie is wel/niet inverteerbaar (schrappen wat niet past) want . . .

Daarom beperken we de cosinusfunctie. Bij afspraak kiezen we op de x-as het interval [0, π].

We noemen dit de beperkte cosinusfunctie en noteren f (x) = Cos x. We zoeken de inverse functie van de beperkte cosinusfunctie. ∗ Functievoorschrift f (x) = Cos x

∗ Functievoorschrift: g(y) = ?

∗ Tabel van enkele functiewaarden

∗ Tabel van enkele functiewaarden

π 4

0

x

f (x) = y

π 2

3π 4

y

π

///

x = g(y)

///

∗ Grafiek

∗ Grafiek

x

y

π

y = Cos x

c

1

π 2

π

π 2

x

−1

−1

1

y

∗ Uit de overgang van tabel f naar tabel g volgt

O

f (x) = y ⇔ x = g(y)

De functie g(y) is een nieuwe functie. We noemen die de boogcosinusfunctie (of de arccosinusfunctie) en we schrijven 4 g(y) = Arccos y Zo wordt bovenstaande formule

cos x = y ⇔ x = Arccos y

x ∈ [0, π] , y ∈ [−1, 1]

∗ Elimineren van x respectievelijk y levert cos(Arccos y) = y voor alle y ∈ [−1, 1]

4 In

en

Arccos(cos x) = x voor alle x ∈ [0, π]

de literatuur noteert men naast Arccos x ook Bgcos x. Lees: “de arccosinus van y” of “de boogcosinus van y”.

104

• Voorbeelden. Bepaal zonder grafisch rekenmachine (exacte waarde noteren).

  1 = ... 2

(a)

Arccos

(b)

Arccos(−1) = . . .

Arccos

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

(c)

√ ! 3 = ... 2

• Boogcosinusfunctie plotten met behulp van grafisch rekenmachine.

Opmerking. Ook nu is

Arccos x 6= (cos x)−1 =

1 cos x

• Voorbeelden (vervolg). Bepaal met behulp van je grafisch rekenmachine.

Arccos(−0, 275) = . . .

(e)

Arccos(1, 3) = . . .

c

(d)

• Meetkundige betekenis van de boogcosinus.

Uit de formule cos(Arccos y) = y voor alle y ∈ [−1, 1] volgt

de boogcosinus van een getal y is de hoekwaarde x ∈ [0, π] waarvan de cosinus van die hoek gelijk is aan y | {z } lengte van de boog!

y

x = Arccos y

O

C(O, 1)

1

x

y

x

O

105

De boogtangensfunctie • Op ontdekking. Beschouw de tangensfunctie f (x) = tan x. y y = tan x 3 2 1

π

π 2

2π

3π 2

x

5π 2

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

− π2

−1 −2 −3

De tangensfunctie is wel/niet inverteerbaar (schrappen wat niet past) want . . .

  Daarom beperken we de tangensfunctie. Bij afspraak kiezen we op de x-as het interval − π2 , π2 .

We noemen dit de beperkte tangensfunctie en noteren f (x) = Tan x. We zoeken de inverse functie van de beperkte tangensfunctie. ∗ Functievoorschrift f (x) = Tan x ∗ Tabel van enkele functiewaarden − π2

x

f (x) = y

− π4

∗ Functievoorschrift: g(y) = ? ∗ Tabel van enkele functiewaarden

0

π 4

π 2

y

///

///

x = g(y)

y

y = Tan x

∗ Grafiek

∗ Grafiek

c

3

x

2

π 2

1

− π2

π 2

x

−3

−2

1

−1

2

3

y

−1

− π2

O

−2 −3

∗ De functie g(y) is een nieuwe functie. We noemen die de boogtangensfunctie (of de arctangensfunctie) en we schrijven 5 g(y) = Arctan y. Zo volgt uit bovenstaande tabel i π πh tan x = y ⇔ x = Arctan y x∈ − , , y ∈ [−1, 1] 2 2 ∗ Elimineren van x respectievelijk y levert tan(Arctan y) = y voor alle y ∈ [−1, 1] 5 In

en

i π πh Arctan(tan x) = x voor alle x ∈ − , 2 2

de literatuur noteert men naast Arctan x ook Bgtan x. Lees: “de arctangens van y” of “de boogtangens van y”.

106

• Voorbeelden. Bepaal zonder grafisch rekenmachine (exacte waarde noteren).

(a)

Arctan (−1) = . . .

(b)

√ Arctan( 3) = . . .

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

• Boogtangensfunctie plotten met behulp van grafisch rekenmachine.

Opmerking. Ook nu is

1 tan x

Arctan x 6= (tan x)−1 =

• Voorbeelden (vervolg). Bepaal met behulp van je grafisch rekenmachine.

(c)

Arctan(−12) = . . .

(d)

Arctan(0, 12) = . . .

• Meetkundige betekenis van de boogtangens.

c

Uit de formule tan(Arctan y) = y voor alle y ∈ [−1, 1] volgt

i π πh de boogtangens van een getal y is de hoekwaarde x ∈ − , waarvan de tangens gelijk is aan y 2 2} | {z lengte van de boog!

y

y

O

C(O, 1)

arctan y

x

1

O

107

x

7.5

Cyclometrische vergelijkingen

• Modelvoorbeeld 1. Bepaal de oplossingsverzameling van de cyclometrische vergelijking Arccos(1 − 2x) =

π 6

Controleer met behulp van je grafisch rekenmachine.

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

Oplossing.

• Modelvoorbeeld 2. Bepaal de oplossingsverzameling van de cyclometrische vergelijking   1 Arctan(−x) − Arctan x = Arctan − 2 Controleer met behulp van je grafisch rekenmachine.

O

c

Oplossing.

108

• Modelvoorbeeld 3. Bepaal de oplossingsverzameling van de cyclometrische vergelijking     x x Arctan + Arctan + Arctan 16 = 0 x−1 x+1 Controleer met behulp van je grafisch rekenmachine.

c

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

Oplossing.

O

Controle met behulp van het grafisch rekenmachine.

109

Oefeningen bij §7.1 Oefening 1. Omschrijf drie periodieke verschijnselen uit het dagelijks gegeven die niet in de cursus vermeld worden. Oefening 2. Een fietswiel rolt voorbij. Welke baan beschrijft het fietsventiel? Oefening 3. Waar of vals? Indien vals, geef een tegenvoorbeeld. (a) Elke periodieke functie heeft een periode. (b) Geen enkele veeltermfunctie is periodiek. (c) Geen enkele rationale functie is periodiek. (d) Geen enkele irrationale functie is periodiek.

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

(e) Geen enkele exponenti¨ele functie is periodiek.

(f) Geen enkele logaritmische functie is periodiek.

Oefening 4. Schets een periodieke functie met periode 3.

Oefeningen bij §7.2

Oefening 5. Welke transformaties moet je uitvoeren op de sinusfunctie om de volgende functies te bekomen? Wees volledig. (a) f (x) = 3 sin (2x − 5) − 8 (b) f (x) = cos x

Oefening 6. Geef telkens de amplitude, periode, faseverschil, verticale verschuiving, nulpunten en evenwichtsas.    x 1 (c) y = sin 10π x + (a) y = 3 sin +3 2π 2    2 2 π (b) f (x) = sin x− − 11 (d) y = −2 sin(2 − 3x) + 1 3 3 4

c

8π , amplitude 1, 75; evenwichtslijn Oefening 7. Bepaal een voorschrift van een algemene sinusfunctie met periode 5 3π y = −2, 23 en faseverschil . 5 Oefening 8. De volgende grafieken stellen de grafiek van een algemene sinusfunctie y = f (x) voor. Bepaal telkens een mogelijk functievoorschrift (enkel roosterpunten gebruiken). (a) (b) y

y

O

y = f (x)

6

6

5

5

4

4

3

3

y = f (x)

2

2

1

1

π 2

− π2

π

x

π 2

− π2

−1

−1

−2

−2

110

π

x

Oefening 9. De volgende grafieken stellen de grafiek van een algemene sinusfunctie y = f (x) voor. Bepaal telkens een mogelijk functievoorschrift (enkel roosterpunten gebruiken). (a)

(b) y

y

2

1

1

1

−1

2

3

x

π 2

− π2

π

x

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

−2

2

−1

−1

y = f (x)

−2

y = f (x)

−2

Oefening 10. Van een fietser merkt men in het donker enkel de zijwaardse reflectoren van de pedalen op. Voor het linkerpedaal wordt de beweging beschreven door h(t) = 11 sin (πt) + 38

met h de hoogte (in cm) en t de tijd (in seconden).

(a) Bepaal een voorschrift van de functie die de beweging van het rechterpedaal beschrijft. (b) Bij elke omwenteling legt de fietser 10 m af. Hoe snel rijdt de fietser? Zet om in kilometer per uur.

c

Oefening 11. Herleid de volgende functies tot een algemene sinusfunctie. Bepaal op deze manier de amplitude, periode, faseverschil en evenwichtsas. √ 3 (a) y = sin x + cos x (d) y = sin(2x) + cos(2x) 3 (b) y = −3 cos(5x) (e) y = 5 cos(3x) + 12 sin(3x) + 1 (c) y = −2 sin(6 − 2x) + 3 (f) y = sin(2 − x) Oefening 12. Een draaimolen op de kermis maakt horizontale en verticale bewegingen. De hoogte (in meter) van de vloer van de attractie in functie van de tijd t (in seconden) is   π h(t) = 1, 8 sin (t − 3) + 2, 3 3 (a) Hoe hoog bevindt de vloer zich bij de start?

O

(b) Plot de grafiek van h(t) met behulp van je grafisch rekenmachine. Noteer de vensterinstellingen waarvoor de grafiek duidelijk op je grafisch rekenmachine verschijnt, en neem een schets over op je blad. (c) Een toeschouwer laat zijn tas (met hoogte 20 cm) vallen. Dreigt de tas verpletterd te worden? Los algebra¨ısch op.

(d) Hoe lang bevindt de vloer zich hoger dan 3 m per draaibeweging? Los op met behulp van je grafisch rekenmachine. Oefening 13. Het tijverschil (verschil tussen hoogste en laagste waterstand) aan de Belgische kust bedraagt 3, 90 meter. De getijdenbeweging te Oostende wordt benaderd door h(t) = 1, 95 sin(0, 52 t) met h de hoogte (in meter) ten opzichte van de gemiddelde waterstand en t de tijd (in uur). (a) Wat is de minimale en maximale waterhoogte ten opzichte van de gemiddelde waterstand? (b) Bepaal algebra¨ısch hoeveel uur er verstrijkt er tussen twee ebstanden?

111

Oefening 14. De tijd die verloopt tussen zonsopgang en zonsondergang noemt men daglengte. Voor de daglengte in 2007 hebben we 6 datum

dag van het jaar

daglengte

10 10 10 10 10 10

191 222 253 283 314 344

16u29 15u01 13u02 11u02 9u05 7u50

juli augustus september oktober november december

(a) Bepaal met behulp van je grafisch rekenmachine de best passende algemene sinusfunctie (daglengte in functie van de tijd) waarvan de grafiek door deze punten gaat.

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

(b) Bepaal, uitgaande van de algemene sinusfunctie in (a), de periode. (c) Valt resultaat (b) binnen de verwachtingen? Waarom (niet)? Aanwijzing bij (a).

∗ Invoeren van de gegevens in een lijst:

2ND

EDIT

STAT PLOT

O

∗ Berekenen van de algemene sinusfunctie door de punten:

∗ Plotten van de algemene sinusfunctie:

6 Te

Y=

1:Edit

1:Plot1

c

∗ Plotten van de gegevens:

STAT

VARS

wijzigen, daarna

STAT

CALC

5:Statistics. . .

EQ

GRAPH

C:SinReg

2:a

etc.

Uithoorn (Nederland), gegevens beschikbaar op http://www.weerstationuithoorn.nl/Weer/Daglengte.htm

112

Oefening 15. Een volwassene ademt gemiddeld 12 keer per minuut. De luchtstroomsnelheid L (in liter per seconde) is positief bij het inademen, negatief bij het uitademen. De luchtstroomsnelheid in functie van de tijd t (in seconden) wordt gegeven door de volgende grafiek. y 1

−2

y = L(t) 1

−1

2

3

4

5

6

t

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

−1

Bij een grote inspanning wordt de periode van de ademhaling gedeeld door drie en wordt de luchtstroom vier keer zo groot. Geef een functievoorschrift van beide functies. Controleer met je grafisch rekenmachine. Enkel roosterpunten gebruiken!

Oefeningen bij §7.3

Oefening 16. Ga na of de volgende functies periodiek zijn. Zoja, bepaal indien mogelijk de periode.   5πx + cos (2πx) (d) y = sin x · cos x (a) y = sin 2   1 1 (b) y = sin x + cos(2x) + tan(3x) (e) y = − tan πx − 2 5   √ 7 (c) y = 3 sin(12x − 5) − 2 tan(18x − 7) (f) y = −8 cot 5x + 6

?Oefening 17. In §7.1 hebben we reeds opgemerkt dat er periodieke functies bestaan zonder periode, bijvoorbeeld een constante functie. Er bestaan 7 echter ook niet-constante periodieke functies zonder periode. Beschouw bijvoorbeeld de Dirichlet functie 8 f :R→R



1 0

c

x 7→ f (x) =

als x ∈ Q als x ∈ 6 Q

Toon aan dat voor elke q ∈ Q geldt

∀x ∈ R : f (x − q) = f (x) = f (x + q)

Hieruit volgt dat f een periodieke functie zonder periode is (waarom?).

Oefeningen bij §7.4

O

Oefening 18. Vereenvoudig algebra¨ısch (tussenstappen opschrijven en exacte waarde noteren).  √  √  Arcsin − 23 + Arctan 33 √ Arctan(− 3) − Arccos 0 Oefening 19. Bepaal zonder grafisch rekenmachine. √ ! 3 (a) Arccos − 2    1 (b) tan Arccos − 2 √ !  3 (c) sin Arctan 3 7 Het

(d) (e) (f)

   1 sin 2 Arctan 2    3 cos 2 Arcsin 5 Arccos (sin(Arctan(−1)))

is wel zo dat de enige continue periodieke functies zonder periode de constante functies zijn. 1829. Het is een voorbeeld van een functie die nergens continu is, zie Deel Calculus.

8 Dirichlet

113

Oefening 20. Bepaal het domein van de volgende functies. (a) f (x) = Arccos(x2 − 3)   1 (b) f (x) = Arcsin x (c)

f (x) = Arctan(x3 + 1)

Oefening 21. Bewijs

π 2 Aanwijzing. Gebruik de meetkundige betekenis van boogsinus en boogcosinus. ∀y ∈ [−1, 1] : Arcsin y + Arccos y =

Oefening 22. Bewijs

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

Arctan 1 + Arctan 2 + Arctan 3 = π

Aanwijzing. Maak gebruik van onderstaande figuur.

E

A

B

C

D

Oefening 23. Bewijs de volgende eigenschappen

Arcsin x

c

sin

cos

tan

x

√

Arccos x √ 1 − x2

1 − x2

√ x 1−x2

1−x2 x

(d)

(e) (f)

√ x 1+x2 √ 1 1+x2

x

     28 56 sin Arccos + Arctan 53 33       80 80 sin − Arccos + cos − Arcsin 89 89     1 tan Arcsin √ − Arctan(−3) 5

O

Oefening 24. Bereken zonder grafisch rekenmachine.      3 4 (a) cos Arctan + Arcsin 4 5      12 5 + Arcsin (b) sin Arctan 12 13      8 8 (c) tan Arcsin − Arctan 17 15

x

√

Arctan x

Oefeningen bij §7.5

Oefening 25. Bepaal algebra¨ısch de oplossingsverzameling van de volgende cyclometrische vergelijkingen. Controleer je oplossingen nadien met je grafisch rekenmachine.       1 1 3 π + 2 Arctan (d) Arcsin x + Arcsin = (a) Arctan x = Arccos 2 3 5 2 √       8 π x+1 x−1 3 13 (b) Arcsin x + Arcsin = (e) Arctan − Arctan = Arccos 17 6 x+2 x−2 13 x π  √  π √
(c) Arctan x + Arctan = (f) Arccos 2 − x + Arcsin 2x 7 = 2 4 2

114

Oefening 26 (Toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Universiteit Gent 1985). Los de volgende vergelijking op in R x π Arcsin − Arcsin (2x) = 2 6 Oefening 27 (Toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Katholieke Universiteit Leuven). Bereken x uit de vergelijking     1 1 4 Arctan − Arctan = Arctan x 5 239 ?Oefening 28. De beperkte cotangensfunctie f (x) = Cot x is de functie die men bekomt door de cotangensfunctie te beperken tot het interval [0, π]. De boogcotangensfunctie (of arccotangensfunctie) is dan de inverse functie van de beperkte cotangensfunctie. Je gaat eenvoudig na dat x ∈]0, π[, y ∈ R

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

cot x = y ⇔ x = Arccot y (a) Bewijs dat

∀y ∈ R : Arccot y = Arccos

!

y

p 1 + y2

Op deze manier kun je toch de boogcotangensfunctie plotten met behulp van je grafisch rekenmachine

Opmerking. Alhoewel cot y =

1 is tan y

Arccot x 6=

1 Arctan y

(b) Bewijs dat

∀y ∈ R : Arctan y + Arccot y =

π 2

c

Oefening 29. Bewijs voor elke x ∈ R+ 0       1 1 1 Arctan = Arctan + Arctan x 1+x 1 + x + x2

Oefening 30. In een Amerikaanse staat snijden de wegen Highway 20 en Highway 32 elkaar loodrecht. In het landschap ligt een boerderij, op 256 voet van Highway 20 en 108 voet van Highway 32. Men wil nu een nieuwe (rechte) weg aanleggen die Highway 20 en Highway 32 met elkaar verbindt, en die de boerderij bereikt. Voor welke hoek α is de lengte van de nieuwe weg het kortst? Maak gebruik van je grafisch rekenmachine.

Highway 20

O

?

108 voet

boerderij

α Highway 32 256 voet

115

Herhalingsoefeningen

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

Herhalingsoefeningen bij Hoofdstuk 0 Oefening 1 (Symmetrie-as van de grafiek van een functie). Zij f een functie. Een rechte x = a is een symmetrie-as van de grafiek van f indien ∀x ∈ R : f (a − x) = f (a + x)

Toon aan dat de rechte x = −1 een symmetrie-as is van de grafiek van de functie f (x) =

x(x + 2) (x + 1)4

en maak een schets van de grafiek van f op je blad waarop je de betekenis van de symmetrie-as aanduidt.

Oefening 2 (Symmetrie-middelpunt van de grafiek van een functie). Zij f een functie. Een punt S(a, b) is een symmetrie-middelpunt van de grafiek van f indien ∀x ∈ R :

f (a − x) + f (a + x) =b 2

Toon aan dat het punt S(5, 0) een symmetrie-middelpunt is van de grafiek van de functie f (x) = x5 − (10 − x)5

en maak een schets van de grafiek van f op je blad waarop je de betekenis van het symmetrie-middelpunt aanduidt.

c

Herhalingsoefeningen bij Hoofdstuk 1

Oefening 1. Welke van de volgende veeltermfuncties zijn even, oneven of geen van beide? Ga algebra¨ısch na. (a) x3 − 5x

(b)

x4 − 5x2 + 1

Oefening 2. Schrijf de functie f (x) = 5x5 − 3x4 + x2 − 8x + 6 als de som van een even functie met een oneven functie. Oefening 3. Bepaal van de volgende functies algebra¨ısch de nulwaarden en de tekentabel.

(6) f (x) = 12x5 − 26x4 + 2x3 + 4x2

(2) f (x) = 2x3 + x2 − 13x + 6

(7) f (x) = 2x3 + 2x

(3) f (x) = −6x3 − 17x2 + 4x + 3

(8)

(4) f (x) = x(2 − x)(1 + x)2

(9) f (x) = 16x4 − 1

(5) f (x) = 9x4 + 9x3 − 19x2 − x + 2

(10) f (x) = (3x − 1)(4 − x)2

O

(1) f (x) = 2x3 + 6x2 + 4x

f (x) = x4 + 2x3 − 8x2

Oefening 4. Bepaal telkens algebra¨ısch de oplossingenverzameling van de ongelijkheid. (a) x4 + x3 + 24 ≤ 10x2 + 4x

(d)

− 2(−3x − 1)(4x2 − x − 3) ≥ 0

(b)

x3 − 2x ≤ 2x2 + 3

(e) (x + 2)3 ≥ 0

(c)

(x2 − 4)(−2x2 + 5x − 2) > 0

(f)

(x2 + x + 1)3 ≤ 0

Oefening 5. Gegeven is de veeltermfunctie f (x) = 2x3 + ax2 + bx + 15

waarbij a, b ∈ R

Bepaal de waarde(n) voor a, b ∈ R zodat −5 een nulwaarde van f is en f (x) deelbaar is door x − 3. 116

Oefening 6. Gegeven is de veeltermfunctie f (x) = x3 − 8ax + 2

waarbij a ∈ R

Bepaal de waarde(n) voor a ∈ R zodat de rest bij deling van f (x) door x + 1 gelijk is aan 2. ?

Oefening 7. Gegeven is de functie f (x) = x2 + 2mx + n

waarbij m, n ∈ R

Bepaal de waarde(n) voor m, n ∈ R waarvoor • de grafiek van f twee nulwaarden p en q heeft zodat de afstand tussen p en q gelijk is aan 2, en

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

• de top van de grafiek van f op de grafiek van de functie g(x) = −x2 ligt. Oefening 8. Gegeven is de grafiek van een veeltermfunctie. Welk functievoorschrift hoort bij deze grafiek? Los op zonder gebruik te maken van je grafisch rekenmachine. (A) f1 (x) = x(x + 2)(x − 1)(x − 3)

(B) f3 (x) = −(x + 2)2 (x − 1)(x − 3)2

(C) f2 (x) = (x − 2)3 (x + 1)(x + 3)

(D) f4 (x) = (x + 2)2 (x − 1)(x − 3)3

y

−1

1

2

3

x

c

−2

Oefening 9 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009 eerste ronde). De vergelijking a2 x2 + ax + 2 = 0 heeft voor elk re¨eel getal a

0 re¨ele oplossingen 1 re¨ele oplossing 2 re¨ele oplossingen oneindig veel re¨ele oplossingen een aantal re¨ele oplossingen dat afhangt van a

O

(A) (B) (C) (D) (E)

Oefening 10 (Toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven). We beschouwen twee parabolen met vergelijkingen y = −3x2 + x + 5 en y = 2x2 − 3x + 2. Hoeveel punten hebben deze twee gemeenschappelijk? (A) 0 (B) 1

(C) 2 (D) 4

Oefening 11 (Toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven). Beschouw de veelterm f (x) = x4 − 3x3 + px2 + qx + r. Deze veelterm is deelbaar door x + 1 en x2 − 2x + 2. Dan is (p + q) · r gelijk aan (A) (C)

− 16 −4

(B) 0 (D) 16 117

Herhalingsoefeningen bij Hoofdstuk 2 Oefening 1. Bepaal algebra¨ısch de oplossingen van de volgende rationale ongelijkheden. (a) (b) (c) ?

x2 − 2x − 3 <0 x+1 x2 + 9 1 ≤ 3 x + 12x2 + 11x x 13 >0 (5x + 1)2

(d) (e) (f)

2x − 2 2x < +x x−3 x−3 x 20 ≥ x−1 (x − 1)2 x3 − 6x2 − x + 6 >0 x2 − 4x + 4

Oefening 2. Bepaal algebra¨ısch de oplossingen van de volgende rationale vergelijking (waarbij a ∈ R)

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

x−a 2 2a − 2 − =0 (x − 2a)2 x − 5ax + 6a2 3a − x

Oefening 3. Gegeven is de functie

f (x) =

2x2 + 12x + 10 −3x2 + 9x + 12

(a) Bepaal algebra¨ısch het domein, alle nulpunten en polen van de functie f .

(b) Bepaal algebra¨ısch de x-waarden waarvoor de grafiek van f boven de x-as ligt.

(c) Beschrijf de eventuele asymptoten en perforaties aan de grafiek van f , gebruik de correcte notaties. Oefening 4. Gegeven is de functie

f (x) =

x3 − 8 + 4x − 3

4x2

(a) Bepaal algebra¨ısch het domein, alle nulpunten en polen van de functie f .

(b) Bepaal algebra¨ısch de x-waarden waarvoor de grafiek van f onder de x-as ligt.

(c) Beschrijf de eventuele asymptoten en perforaties aan de grafiek van f , gebruik de correcte notaties. Oefening 5. Gegeven is de functie

f (x) =

x2 − 1 (x3 − 1)(x + 1)3

(a) Bepaal algebra¨ısch het domein, alle nulpunten en polen van de functie f .

c

(b) Bepaal algebra¨ısch de x-waarden waarvoor de grafiek van f onder de x-as ligt.

(c) Beschrijf de eventuele asymptoten en perforaties aan de grafiek van f , gebruik de correcte notaties.

Oefening 6. Bepaal telkens het domein, de nulpunten, de tekentabel en het eventueel even oneven zijn van de gegeven functie. x3 + x2 − 6x x x4 − 13x2 + 36 (b) f (x) = x2 + 1 4 x − 121 (c) f (x) = −x2 − 2x + 8

x2 − 18x + 77 x3 − 5x2 + 3x − 15 −x3 + 3x2 − x + 3 (e) f (x) = x 3 x (f) f (x) = −x2 + 1 (d)

f (x) =

O

(a) f (x) =

Oefening 7. In de leraarskamer staat een koffiezetapparaat. Voor dat apparaat moet de school 100 euro huur betalen per maand. Per kop koffie bedragen de materiaalkosten 20 eurocent. (a) Schrijf de kosten K van een kop koffie in functie van het aantal maandelijks gedronken koppen koffie x.

(b) Ten tijde van de financi¨ele crisis overweegt de directie om 30 eurocent per kop koffie te vragen. Hoeveel koppen koffie moeten er dan minstens gedronken worden per maand opdat de school geen verlies maakt? 1 Oefening 8. Bepaal welke transformaties je moet uitvoeren op de functie y = om x −4x + 6 de functie y = te bekomen. Wees volledig. 3x + 2 118

1 Oefening 9. Bepaal het voorschrift van de homografische functie f zodat f (−1) = −8, de waarde een nulwaarde 3 is en de rechte y = 2 een asymptoot is. Oefening 10. Gegeven is een homografische functie f (x) =

ax + b cx + d

waarbij a, b, c, d ∈ R met c 6= 0 en ad 6= bc


Toon aan dat het punt S − dc , ac een symmetrie-middelpunt is van de grafiek van f . Oefening 11. Bepaal het symmetrie-middelpunt van de grafiek van de functie 3x − 5 2x − 1

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

f (x) =

Oefening 12. Bepaal het voorschrift van de homografische functie waarvoor de grafiek als symmetrie-middelpunt √ S( 3, −6) heeft en waarvoor de grafiek het punt P (5, −8) bevat. Oefening 13. Gegeven is de rationale functie f (x) =

ax2 + bx + 4 x−2

waarbij a, b ∈ R

Bepaal de waarde(n) voor a, b ∈ R waarvoor de rechte y = 5x + 4 een asymptoot is aan de grafiek van f . Oefening 14 (Toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven). 7x2 − 5x + 2 De rationale functie f (x) = heeft 2x + 1 (A) een schuine asymptoot

(B) een verticale asymptoot

(C) een schuine en een verticale asymptoot (D) geen van beide

Oefening 15 (Toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven). 2x2 + 2x − 24 Wat heeft de rationale functie f (x) = niet? 3x2 − x + 7 (A) Een horizontale asymptoot

c

(B) Een verticale asymptoot

(C) Een positief nulpunt

(D) Een negatief nulpunt

Oefening 16. Een fabrikant van conservenblikken maakt cilindervormige blikjes (met straal r en hoogte h) met een inhoud van 1 dm3 . Het materiaal van de onder-en bovenkant kost 0, 20 euro per dm2 en het materiaal van de cilindermantel kost 0, 10 euro per dm2 . Voor welke afmetingen zijn de materiaalkosten minimaal? Los op met behulp van je grafisch rekenmachine, afronden op 1 mm nauwkeurig.

O

?

Campbell’s Soup Cans Andy Warhol 1962

119

Herhalingsoefeningen bij Hoofdstuk 3 Oefening 1. Los de volgende irrationale vergelijkingen algebra¨ısch op. √ √ (1) x + 12 = x (6) 5x − 1 + x − 5 = 0 √ √ √ √ 3 − 3x − 5 + 2x = 2 (7) 1+x= 1−x (2) √ √ √ √ √ √ (3) 2x + 5 − 4x + 3 = 2x + 2 (8) 3x + 1 − x − 4 = x + 1 p p √ √ (4) x2 − 16 = 59 − 2x2 (9) x+2+ x+7=5 p √ √ (5) 5 − x2 + 16 = 0 (10) 2 x + 2 = 3 + 4x − 7

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

Oefening 2. Bepaal telkens algebra¨ısch de snijpunten van de grafiek van f met de grafiek van g. p (a) f (x) = 1 + 5 − x2 en g(x) = x √ √ (b) f (x) = 2x + 8 − 1 en g(x) = x + 5 p (c) f (x) = 2x2 − 2x + 4 − 3x + 1 en g(x) = 1 − x

Oefening 3. Bepaal algebra¨ısch het domein van de volgende functies. Maak telkens een schets van de grafiek op je blad. p p 3 (a) f (x) = x2 − 9 (c) f (x) = x2 − 9 1 1 (b) f (x) = √ (d) f (x) = √ 3 2 2 x −9 x −9 Oefening 4. Onderzoek algebra¨ısch of f en g gelijke functies zijn. r √ x−2 x−2 (a) f (x) = en g(x) = √ x+1 x+1 r √ 2 x − 4x + 3 x2 − 4x + 3 √ (b) f (x) = en g(x) = 2 x −9 x2 − 9

O

c

Oefening 5. Gegeven is de grafiek van een irrationale functie. Welk functievoorschrift hoort bij deze grafiek? Los op zonder gebruik te maken van je grafisch rekenmachine. s √ √ x2 − 7x + 12 x2 − 2x − 3 − 5 (A) f1 (x) = (C) f3 (x) = (x + 1)(x − 4) x2 − 4x √ √ √ x2 − 2x − 3 x2 − 2x − 3 − 5 (D) f4 (x) = (B) f2 (x) = x2 − 1 (x + 1)(x − 4) y

−4

−3

−2

−1

1

2

120

3

4

5

x

Oefening 6. Bepaal welke van de volgende functies gelijk zijn aan de functie f (x) = |x − 2|. p (A) f1 (x) = x2 − 4x + 4 r (x − 2)3 (B) f2 (x) = x−2 2 |x − 2| (C) f3 (x) = |x − 2| |12 − 6x| (D) f4 (x) = 2 6 x + x − 6 (E) f5 (x) = x+3

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

Oefening 7. Waar of vals? Beoordeel de volgende uitspraken. Verklaar telkens algebra¨ısch je antwoord. √ (a) De grafiek van f met voorschrift f (x) = x + 2 − −x2 − 5x − 6 heeft twee snijpunten met de x-as. r √ 2−x 2−x (b) De functies f (x) = en g(x) = √ zijn gelijk. x+2 x+2 r √ x−2 x−2 (c) De functies f (x) = zijn gelijk. en g(x) = √ x+2 x+2 r x Oefening 8. Een punt P ligt op de grafiek van de functie f (x) = 3 − . De punten P en O(0, 0) zijn de hoekpunten 2 van een vierkant met de assen als zijden. Bereken de co¨ordinaten van P . Oefening 9 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009 eerste ronde). De oplossingenverzameling in R van |x + 3| < |3 − x| is (A) ]−3, 0[

(B) ]−∞, −3[

(C) R

(D) ]−∞, 0[

(E) ]0, +∞[

Herhalingsoefeningen bij Interludium

c

Oefening 1. Bereken zonder grafisch rekenmachine. Exacte waarde noteren. q p √ 3 2 248 (a) p √ 5 16 3 32 !2 3 81− 4 + 3−4 (b) 3 3 · 9− 2 − 27−1 q q √ √ 4 4 17 − 33 · 17 + 33 (c)

Oefening 2. Bereken met behulp van je grafisch rekenmachine r r q q q √ √ √ 3 3 2+ 3 · 2− 2+ 3 · 2+ 2+ 3

O

Oefening 3 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009 eerste ronde). 1 Voor elk natuurlijk getal n is gelijk aan n 2( 50 ) (A) 0, 50,02 n

(B) 0, 50,002 n

50 (D) 2( n )

(C) 20,02 n

(E) 2−( n ) 50

Oefening 4 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009 eerste ronde). Als je van de vier getallen a = 2666 , b = 3444 , c = 5333 , d = 6222 het grootste en het kleinste weglaat, dan blijven de volgende twee getallen over: (A) a en b

(B) a en c

Oefening 5. Gegeven zijn de functies f (x) = functie f ◦ g.

(C) a en d √

(D) b en c

1 − x en g(x) =

121

√

(E) b en d

x2 − 1. Bepaal algebra¨ısch het domein van de

Oefening 6. Beschouw de functie f met als domein [−3, 2] waarvoor  als −3≤x<0  2 als 0 ≤ x < 1 f (x) = x   2 − x als 1 ≤ x < 2 (a) Schets de grafiek van f . (b) Bepaal het bereik van f . (c) Hoeveel oplossingen zijn er voor de vergelijking f (x) = 0? En voor de vergelijking f (x) = 1? En voor de vergelijking f (x) = 2?

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

Oefening 7. Ga telkens na of de functie inverteerbaar is. Zo ja, bepaal het functievoorschrift van de inverse functie. √ (a) f (x) = 3x + 5 (b) (c)

f (x) = 1 − 2x2 ax + b f (x) = cx + d

waarbij x ≤ 0

waarbij a, b, c, d ∈ R met c 6= 0 en ad 6= bc

Oefening 8 (Toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven). p 2 Wat is het domein van de functie f (x) = 7 − 3 x − 12x + 35? (A) R (B) {}

(C) [5; 7] (D) R \ [5; 7]

Oefening 9 (Toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven). √ Welke uitspraak over de functie f (x) = 5 + 2 −x2 − 4x + 10 klopt? (A) f is nergens gedefinieerd.

(B) Het domein van f is niet leeg, maar f heeft geen nulpunten. (C) f heeft 1 nulpunt.

(D) f heeft twee nulpunten.

Herhalingsoefeningen bij Hoofdstuk 4

c

Oefening 1. Een zeester groeit exponenti¨eel. Bij een eerste meting (31 juli) heeft het een diameter van 2 cm. Vervolgens wordt het tot en met 70 dagen later (9 oktober) iedere tien dagen zo’n 25% groter. (a) Bepaal de groeifactor van de zeester per dag.

(b) Bereken de afmetingen van de zeester op 9 oktober.

Oefening 2. Het aantal inwoners van stad A is vanaf 1995 elk jaar met 420 inwoners toegenomen. Op 1 januari 1995 telde deze stad 32154 inwoners. Het aantal inwoners van stad B is vanaf 1995 elk jaar met 4% inwoners toegenomen. Op 1 januari 1995 telde deze stad 24380 inwoners.

O

(a) Vul de volgende tabel aan

aantal jaar na 1995

0

1

2

3

4

5

stad A

...

...

...

...

...

...

stad B

...

...

...

...

...

...

(b) Met welke soort groei hebben we te maken in stad A? En in stad B? (c) Geef het voorschrift voor het aantal inwoners f (x) van stad A en het aantal inwoners g(x) van stad B, waarbij x het aantal jaar na 1995 voorstelt. (d) Wat was het aantal inwoners van beide steden op 1 januari van dit jaar? (e) Schets de grafieken van f en g in ´e´en assenstelsel. In welk jaar hebben stad A en stad B evenveel inwoners? 122

Oefening 3. Thijs koopt een veulen van 50kg dat volgens hem 10% per 14 dagen (dus per halve maand) groeit. Groeit dit veulen even snel als dat van Jonathan, dat 20% per maand groeit? Oefening 4 (Toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven). Een populatiegrootte wordt aangeduid met n en ze varieert in de tijd volgens het voorschrift N (t) = 70 − 25 e−0,1 t . Wat gebeurt er op lange termijn met deze populatie? (A) De populatie daalt naar de evenwichtswaarde 70. (B) De populatie stijgt naar de evenwichtswaarde 70. (C) De populatie sterft uit.

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

(D) De populatie groeit onbegrensd.

Herhalingsoefeningen bij Hoofdstuk 5 Oefening 1. Bereken 653502 .

Oefening 2. Bereken algebra¨ısch

72·

7

log 3

1

· 3 log 3 33

Oefening 3. De sterkte van het geluid dat we horen, noemen we het geluidsniveau N . Dit wordt uitgedrukt in 9 decibel dB. Om het geluidsniveau te bepalen wordt de geluidsintensiteit I gemeten in Watt per vierkante meter W/m2 . Het geluidsniveau N kan je berekenen met de formule N = 120 + 10 log I

Van het geluid op een rustige dag buiten is de intensiteit ongeveer

(a) Bij de gehoordrempel is de geluidsintensiteit ongeveer I = 10−12 W/m2 . Hoeveel decibel is dat? (b) De pijngrens ligt bij ongeveer I = 100W/m2 . Hoeveel decibel is dat?

(c) Bij 180dB treedt er onherstelbare gehoorschade op. Wat is de intensiteit I dan? Oefening 4. De (gemiddelde) atmosferische druk p (in hectopascal hPa) is afhankelijk van de hoogte h boven de zeespiegel (in meter). Het verband wordt gegeven door   1013 h = 18400 log p

c

(a) Als de (gemiddelde) luchtdruk p = 1013hPa is, op welke hoogte bevinden we ons dan?

Mount Everest

(b) Als de (gemiddelde) luchtdruk p = 500hPa is, op welke hoogte bevinden we ons dan?

(c) Wat is de gemiddelde luchtdruk op het topje van de Mount Everest, op een hoogte van 8848m? Oefening 5 (Toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven).
Als je weet dat log 2 ≈ 0, 301 en log 3 ≈ 0, 477, hoeveel is dan log 11 + 14 ongeveer? (C) 1, 051 (D) 0, 934

O

(A) 1, 395 (B) 1, 147

Herhalingsoefeningen bij Hoofdstuk 6

Oefening 1. Los algebra¨ısch de volgende exponenti¨ele en logaritmische vergelijkingen op. 1

(a)

4 2x+1 = 32x+3

(d)

(b)

2−x+2 − 2−2x + 5 = 0
2 log 7 log x = −1

(e)

(c) 9 E´ en

(f)

√
2
3 3 log x − 3 log 10 = 3 log x6 − 9 log 3 √
2 3 3 log x − 10 = 6 · 3 log x − 32· log 3 3

4

x

log 3

− 4 = 16

decibel is ´ e´ en tiende van een bel, genoemd naar Alexander Graham Bell (1847-1922).

123

x

log

√ 4

3

+2

x

log (3x)

Oefening 2. Los algebra¨ısch de volgende exponenti¨ele en logaritmische ongelijkheden op.  x−2   1 1 (a) 2x − 5 < 3 · (c) x log ≥2 2 3  8x 1 >6 (d) xlog x−2· log 0,4 > 23·(2−log 2) (b) 3 Oefening 3 (Toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven). Wat zijn de oplossingen van de vergelijking 6 log (x − 3) + 6 log (x + 2) − 6 log 6 = 0? (A) Er zijn geen oplossingen. (B) x = 4

LV A, Ko ww sc en h D w. oo e ko lja N a en a e r g de h 2 00 el na 9eg he 20 l.b 10 e

(C) x = 4 en x = −3 (D) x = −4 en x = −3

Herhalingsoefeningen bij Hoofdstuk 7

Oefening 1. Bepaal het voorschrift van een algemene sinusfunctie f met als periode 8π/5, amplitude 1, 75, evenwichtslijn de rechte y = −2, 23 en waarvoor P (3π/5; −2, 23) een punt is op de grafiek van f . Oefening 2 (Toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven). Bij een volwassene in rust pompt het bloed in de grote bloedsomloop. De bloedstroomsnelheid kan benaderd worden door het positieve deel van een sinuso¨ıde: (zie figuur) Bloedstroomsnelheid (in m/s)

200

c

100

0.5

1.0

1.5

t (in sec)

Bij inspanning verdubbeld de frequentie van de cyclus en wordt de bloedstroomsnelheid vier keer zo groot. Bij welke van de volgende sinuso¨ıden is het positieve deel de beste benadering van de bloedstroomsnelheid bij inspanning? (A) 1000 sin(2πt) (B) 1000 sin(4πt) (C) 1000 sin(8πt)

O

(D) 2000 sin(πt)

Oefening 3. Bewijs (a) (b) (c) (d)

Arccos(−x) = π − Arccos(x) voor elke x ∈ [−1, 1] Arctan(−x) = − Arctan x voor elke x ∈ R

1 − a2 cos(2 Arctan a) = voor elke a ∈ R 1 + a2       1 1 1 Arctan = Arctan + Arctan a a+1 a2 + a + 1

voor elke a ∈ R+ 0

Oefening 4. Bereken zonder grafisch rekenmachine      8 12 cos Arccos − − Arctan 17 35 124