Precalc. 4.4

Trig Functions for the Unit Circle: ­ Since r = 1:  sin θ simplifies to the y value of the order pair.      cos θ simplifies to the x value of the order pair.  sin θ =    y        

csc θ =   1        y

cos θ =   x        

sec θ =   1       x

tan θ =   y       x

cot θ =   x       y

1

Graphing of Sine and Cosine: Sinusoids sin θ = y

Domain: Range: Continuous: Increasing: Decreasing: Symmetric: Bounded: Local Extrema: Asymtotes: End Behavior:

sin x = y

lim sin(x) = x ­∞

lim sin(x) =  x ∞

2

cos θ = x

Domain: Range: Continuous: Increasing: Decreasing: Symmetric: Bounded: Local Extrema: Asymtotes: End Behavior:

cos x = y

lim cos(x) = x ­∞

lim cos(x) =  x ∞ 3

Sinusoid  ­ A translation of  f(x) = sin x   that can be written in the form

f(x) = a sin (bx + c) + d .

sin x = y

cos x = y

cos (x ­ π/2) = y

4

Amplitude ­ The hight and depth of a wave. for

f(x) = a sin (bx + c) + d f(x) = a cos (bx + c) + d

a    determines the Amplitude ­ If  a < 1  then vertical shrink ­ If a > 1  then vertical stretch

ex: a)  f(x) = 3 sin x

b)

f(x) = 1/2 cos x

c)

f(x) = 3/2 sin x

5

Period ­ Length of one full cycle of the trig function. for 

f(x) = a sin (bx + c) + d f(x) = a cos (bx + c) + d

ex: 

a)

sin 2x = y

b)

2 cos 1/3 x = y

2π  is the length of a cycle.  b

Frequency ­ Number cycles in one Unit Period. Frequency:

 b 2π

6

Phase Shift ­ A horizontal Shift of the function. for

f(x) = a sin (bx + c) + d f(x) = a cos (bx + c) + d

c    determines the Amplitude

­ If  c < 0  then horizontal shift to the right c units. ­ If  c > 0  then horizontal shift to the left c units.  ex: a)  f(x) = sin (x + 3π/2) + 2

b)

f(x) = cos (2x ­ 4π)

 

7