Pre Proyecto Metodologia Ii

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLA0 FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA SECCION POSTGRADO MAESTRIA EN CIENCIAS DE LA ELECTRONICA CON MENCION EN CONTROL Y AUTOMATIZACION

Diseño de un Sistema de Control Optimo para un Péndulo Invertido Rotante

Pre Proyecto de Tesis elaborado por el Ingeniero Russell Córdova Ruiz Curso METODOLOGIA DE INVESTIGACION II Profesor Dr. Ing. Marcelo Damas Niño

CALLAO – PERU 2009

INFORMACION BASICA Facultad

: Ingeniería Eléctrica y Electrónica

Titulo

: Diseño de un Sistema de Control Optimo para un Péndulo Invertido Rotante

Ejecutor

: Ing. Russell Córdova Ruiz

Asesor

: M.Sc.Ing. Ricardo Bustinza

Lugar de Ejecución

: Universidad Nacional del Callao

Unidades de Análisis : Laboratorio de Control y Automatización de la FIEE-UNAC Tipo de Estudio

: Orientado al diseño de un sistema de control utilizando técnicas avanzadas de control

INTRODUCCION Este trabajo de investigación sintetiza el diseño de un sistema de control óptimo de un péndulo invertido rotante, usando para efectos de simulación MATLAB. Se usa como actuador un servomotor de corriente continua, cuyo encoder incremental permite sensar el ángulo del brazo rotatorio y un sensor magnético resistivo para el control del ángulo del péndulo. Conocido el sistema físico, lo modelamos matemáticamente, utilizando las ecuaciones de Lagrange-Euler. Una vez obtenido el modelo, procedemos al diseño del Control Optimo Proporcional Integral con Observador de Estados. El diseño de un observador de estados es útil para estimar aquellas variables que no podemos medir. Una vez diseñado el observador, las variables estimadas son tomadas por el controlador, obteniéndose el desempeño deseado, el cual es mantener el péndulo en posición vertical.. Se demostrará que el uso del Controlador Optimo Proporcional Integral es de alto rendimiento y precisión, según se puede observar en los resultados gráficos de la simulación, cuyos programas se adjuntan en el Apéndice.

El autor

PROBLEMA DE INVESTIGACION I. SELECCION 1.1 General: Los péndulos invertidos no solo ha sido objeto de muchas discusiones de control sin embargo, los

péndulos han sido usados como sistemas para modelos

matemáticos y teoría de cinemática. El problema a resolver, es controlar el brazo en una posición determinada. Aquí el problema de control clásico se dificulta dado que varilla rápidamente se puede caer. 1.2 Especifica El objetivo que vamos a tener en cuenta a la hora del diseño del controlador es minimizar el error de seguimiento a una referencia r y garantizar que cuando la referencia es constante, el error en el régimen permanente es nulo: Dado que nuestro actuador se trata de un motor de corriente continua, necesitamos que la acción de control se mantenga acotada. Suponiendo que la planta tiene incertidumbre en los parámetros del sistema, consideraremos los siguientes parámetros nominales: m=0.05

l=0.3

L=0.9

r=0.27

g=9.8

I=0.06

b=-0.3

R=3.36

K= 1.2

M=0.5

El sistema de control debe tener una respuesta rápida, que permita lograr el objetivo propuesto, por lo que el tiempo de asentamiento debe ser t s ≤ 1seg. II. DEFINICION El péndulo invertido rotante consiste en un brazo giratorio horizontal, el cual posee en su extremo una barra vertical la cual gira libremente alrededor de un eje paralelo al brazo, como podemos apreciar en la Figura 1.

III. JUSTIFICACION DEL ESTUDIO La ejecución del presente trabajo de investigación, se justifica por su: 3.1 Naturaleza Dado que nuestra Universidad no cuenta con un Péndulo Invertido Rotante, por su alto costo, nos propusimos en principio, hacer el diseño del sistema de control y la correspondiente simulación; para que en posteriores trabajos se logre su implementación. 3.2 Magnitud La magnitud de este problema será resuelto por estas nuevas técnicas avanzadas que ofrecen mejores prestaciones dado que en los momentos actuales existen dispositivos con alta velocidad de procesamiento de datos que ejecutan algoritmos con mucha precisión. 3.3 Vulnerabilidad El problema de investigación es vulnerable por que es posible diseñar sistemas de control avanzados para el control del péndulo invertido rotante. Una vez que ha sido posible demostrar los resultados de la utilización de los métodos avanzados de control, tendrá amplia generalización. 3.4 Práctica Los resultados de la investigación serán aplicados en beneficio de nuevos investigadores que tratan temas similares. Así mismo servirá a los estudiantes de pregrado de la UNAC y otras Universidades como medio de investigación hacia otros temas del área.

IV. AGENDA DE TRABAJO PROYECTO DE INVESTIGACION TITULO: Diseño de un Sistema de Control Optimo para un Péndulo Invertido Rotante Actividades Año Meses E F M A M J J A S 0 N D 2009 1. Planteamiento del problema. x 2. Elaboración del Marco Teórico y 2009 x conceptual de referencia. 3. Formulación y operacionalización

2009

de la hipótesis. 4. Modelo matemático de la planta y

2009

pruebas de estabilidad. 5. Controlabilidad y Observabilidad 6. Diseño del controlador optimo 7. Diseño del controlador deslizante 8. Diseño del controlador difuso 9. Constrastación de resultados 10. Edición del trabajo 11. Presentación de los resultados y

x

2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009

x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

sustentación

V. PLANTEAMIENTO 5.1

Implicancias. La ejecución del proyecto de investigación tendrá las

siguientes implicancias: 5.1.1

Económica. En cuanto a la bibliografía especializada y necesaria para el sustento teórico y práctico, es muy escasa asi como de difícil adquisición. Estos libros son costosos y de poco tiraje.

5.1.2

Sociopolítica. Como la Biblioteca especializada de la Universidad no cuenta con libros especializados; esto hace que el proceso de investigación o desarrollo de la Tesis de Maestría se vea afectado en el tiempo de elaboración. Por lo que el desarrollo del presente trabajo paliará esta dificultad presente.

5.1.3

Técnica. La técnica utilizada para diseñar sistemas de control optimo, pasara a formar parte de los conceptos teóricos de mecánica clásica y de sistemas de control no lineal.

5.1.4

Científica. La hipótesis demostrada y comprobada, originara la creación de nuevos planteamientos matemáticos con relación a la estabilización del sistema.

5.2

Limitantes.

El término limitantes no se refiere a los factores que

obstaculizan el desarrollo de la investigación, sino a parámetros establecidos por el investigador para la mejor ejecución del proyecto de investigación. Dichas limitantes son: 5.2.1

Teórica. Para la ejecución del presente proyecto de investigación, se aplicarán las teorías científicas que a continuación se indica:

a.

Mecánica para Ingenieros, Dinámica. De este libro se utilizara las

técnicas de plantear las ecuaciones de Lagrange-Euler para un sistema de partículas. b.

Vibraciones. De este libro se utilizara las consideraciones de las

ecuaciones de Lagrange-Euler para el movimiento considerando la energía cinética del sistema, la energía potencial del sistema, la función de disipación de Rayleigh y la fuerza generalizada que actúa sobre el elemento de inercia. Con esta teoría se encontrara las ecuaciones diferenciales del movimiento. c.

Control no lineal aplicado. De este libro se tomara las técnicas de control

por deslizamiento y controlabilidad de sistemas no lineales. d.

Sistemas de control óptimo lineal. De este libro se consideraran las

teorías para encontrar un controlador óptimo. 5.2.2

Temporal. El estudio tiene un cronograma de ejecución de 12 meses.

5.3

Interrogantes. Además de las limitantes establecidas, el planteamiento del problema se realiza a base de las siguientes interrogantes:

5.3.1

Generales:

¿Cuál es la planta a controlar? ¿Es el sistema no lineal? ¿Qué técnicas de control estabilizaran el proceso? 5.3.2

Especificas

¿Cuáles son las ecuaciones diferenciales del movimiento rotacional? ¿Cuáles son sus ecuaciones de estado? ¿Cuál es la respuesta a una entrada escalón? ¿Cuál es su controlabilidad del sistema? ¿Qué método de control escoger en el caso que el sistema sea no lineal? ¿Cómo determinar el controlador óptimo? 5.4

Objetivos.

5.4.1 Generales. Diseñar controladores utilizando técnicas avanzadas de control para la estabilización un péndulo invertido rotante. 5.4.2 Específicos.: a. Modelar la planta b. Observar su respuesta en el tiempo, ante una señal de prueba c. diseñar el controlador óptimo VI.

MARCO TEORICO CONCEPTUAL DE REFERENCIA

El péndulo invertido rotante contiene tres enlaces, el primer enlace lo maneja el motor DC, el segundo enlace es libre en su rotación y el tercer enlace libre para rotar es no modelado, tal como se muestra en la figura 1.1. Muchas Universidades poseen un péndulo invertido para demostrar resultados de control. Dado que nuestra Universidad no cuenta con un Péndulo Invertido Rotante, por su alto costo, entonces la propuesta del presente trabajo de tesis es el diseño de controladores avanzados utilizando las técnicas de control óptimo teniendo como planta un Péndulo Invertido Rotante que se muestra en la figura 1.1.

Figura 1.1: Esquema del péndulo invertido rotante 6.1 Situación actual Modelos actuales de trabajo con sistemas dinámicos para usar en clase dan tanto beneficio como

demostraciones visuales de sistemas de control, para la

verificación de modelos matemáticos derivados de teorías. Este trabajo propone un modelo de trabajo con el Péndulo Invertido como una ayuda para mejorar el interés en dinámicas y sistemas de control dinámico. Un diseño especial introducido constituye un reto a la aplicación de estas teorías.

Cursos de Dinámica usa el péndulo invertido clásico para ilustrar la cinemática. Luego de haber modelado el sistema, puede ser usado como un modelo de trabajo para verificar teorías con mediciones actuales y simulaciones. Cursos de control elemental pueden usar teoría clásica de control para diseñar un controlador para el modelo lineal, y para evaluarlo balanceando el péndulo en la posición recta. Cursos de control avanzado pueden usar el sistema con todos sus resaltantes rasgos , como su dinámica altamente no lineal y elementos no lineales fuertes, para aplicar la teoría de diseño de control avanzado. Robustez y rasgos de ejecución de diseños de control alternativos pueden ser verificados. Además de retos como llevar el péndulo a la posición vertical de posición baja de inicio, y balancear un doble péndulo invertido hay otras dos posibilidades para aplicar modelos dinámicos y teorías de diseño de control. 6.3 Hipótesis “Los controladores avanzados tales como el optimo, estabilizan al péndulo invertido rotante no lineal e inestable.” 6.4 Operacionalización En el caso del péndulo invertido rotante; es un sistema con dos grados de libertad. De acuerdo con el diagrama de cuerpo libre de la planta, las variables que actúan sobre el sistema serán: Variables independientes (variables de entrada): El torque rotacional del motor Variables dependientes (variables de salida):

θ1 = posición angular de la varilla 1 θ 2 = posición angular de la varilla 2 En la figura mostrada se observa la acción de otras fuerzas tales como: la fuerza gravitacional (peso) de cada varilla, las fuerzas de rozamiento viscoso; pero estas son funciones de la posición angular; es por ello que la fuerza de entra es el torque entregado por el motor y las salidas serán las posiciones angulares de las varillas. VII.

DISEÑO DE CONTROLADORES

Diseño del controlador optimo Diseño del Control Optimo Proporcional Integral con Observador de Estados

VIII. MATERIALES Y METODOS 8.1

De los materiales.

Los materiales que se emplearan en este trabajo de investigación son de consulta, ejecución e impresión. 8.1.1

De consulta.

Son los libros de Ingeniería aplicada de tipo básico y de tipo avanzado, revistas con aplicaciones al área de investigación y tesis relacionadas. 8.1.2

De ejecución.

Los materiales de ejecución son: - Computadora personal de última generación - Software de simulación: última versión de Matlab - Lenguaje de programación: última versión de C++. - Calculadora científica. 8.1.3

De impresión.

Para presentar los resultados de la investigación se utilizara el siguiente material: - Impresora Epson Stylus Photo R270 - Seis cartuchos de tinta a colores - Papel bond formato A4, 80gr. - Material de empaste - CD para registro de la información. 8.2

De los métodos

Los métodos a aplicar en el presente trabajo de investigación son de tipo generales y específicos. 8.2.1

Generales

Diseñar los controladores avanzados que estabilizaran a la planta 8.2.2

Específicos

a.

Simulación

Durante el proceso de investigación, en forma continua se realizara análisis de las respuestas que presenta el sistema a controlar. Las simulaciones se verificaran utilizando el Software Matlab. b.

Matematización

El modelado es el primer paso en el diseño de un lazo de control. Cuanto mayor es el conocimiento del proceso, mejores son los resultados que obtendremos, ya que el

diseño del control será basado en el modelo. Para conocer la dinámica del sistema, podemos deducir su comportamiento a partir de las leyes físicas que lo rigen, tales como: eléctricas, mecánicas, térmicas, etc.,o podemos utilizar técnicas de identificación de sistemas, que tiene que ver con el problema de construir el modelo matemático de sistemas dinámicos a partir de la observación de entradas y salidas del sistema Detallaremos la obtención del modelo matemático del péndulo invertido rotante a partir de las leyes físicas que lo gobiernan. Para obtener el modelo matemático utilizamos las ecuaciones de Lagrange-Euler, que proporcionan dos ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden no lineales, las que escribimos como cuatro funciones diferenciales de primer orden no lineales (ecuaciones de estado). Dado que el modelo obtenido es no lineal, linealizamos el sistema alrededor del punto de operación (equilibrio del sistema). IX.

PRESUPUESTO

Para la exposición lógica cuantificada de las necesidades económicas en la ejecución de la presente investigación se requiere del siguiente presupuesto:

DESCRIPCION

CANTIDAD

PRECIO

PARCIAL

SUBTOTAL

UNITARIO

S/.

S/.

S/.

9.1 Recursos humanos - Investigador responsable

1x12

1000.00

10000.0

- Apoyo secretarial

1x06

500.00

0

13000.00

3000.00 9.2 Materiales bibliográfico - Libros

05

200.00

1000.00

- Revistas 9.3 Útiles de escritorio

10

10.00

100.00

- Diskettes

1 caja

50.00

50.00

- Papel bond 80 gr.

04 paquetes

20.00

80.00

- Impresora

01

500.00

500.00

- Tinta

06 unidades

50.00

300.00

1100.00

930.00

9.4 Servicios - Internet

50 horas

2.00

100.00

- Fotocopiado

1000 hojas

0.10

100.00

- uso de computadora

200 horas

0.50

100.00

- Anillados 9.5 Viáticos

2 unidades

100.00

200.00

- Refrigerio investigador

S/. 20x12 meses

5.00

1200.00

- Refrigerio personal de apoyo

S/. 20x06 meses

5.00

600.00

- Movilidad

S/. 40x12 meses

5.00

X.

2400.00 TOTAL S/. Nota: En dólares americanos (cambio US$ 1.00 = S/. 3.00

500.00

4200.00 19730.00 6576.67

ESQUEMA DE INVESTIGACION

Se refiere a la estructura del índice o sumario de la Tesis de Maestría, cuya estructura es la siguiente:

INDICE - Dedicatoria - Agradecimiento - Resumen - Abstract - Índice General - Índice Analítico - Introducción CAPITULOS FUERA DE VARIABLES CAPÍTULO I MODELADO DEL SISTEMA Ecuaciones de movimiento del péndulo invertido Modelo matemático de un motor de corriente continua Modelo del Sistema en Espacio de Estado Linealización del sistema

Simulación de la Respuesta del Proceso en Lazo Abierto CAPÍTULO II DISCRETIZACION DEL PROCESO Modelo Discreto del sistema Simulación de la Respuesta del Modelo Discreto en Lazo Abierto CAPITULOS DENTRO DE VARIABLES CAPÍTULO III DISEÑO DEL OBSERVADOR DE ESTADOS Y DEL CONTROL OPTIMO CUADRATICO Introducción al Control Optimo cuadrático en Tiempo Discreto Diseño del Observador de Estados Diseño del Sistema de Control Optimo Proporcional Diseño del Sistema de Control Optimo Proporcional Integral Simulación del Sistema de Control Optimo Proporcional Integral con Observador de Estados CAPÍTULO IV PROPUESTA DE IMPLEMENTACION El Hardware del Sistema de Control El Software del Sistema de Control CAPÍTULO V CONCLUSIONES , RECOMENDACIONES Y APORTES Conclusiones Recomendaciones Aportes

BIBLIOGRAFÍA AGUADO BEHAR, ALBERTO, Identificación y Control Adaptivo, Prentice Hall, 2003. BALAKUMAR BALACHANDRAN, Vibraciones, Thomson, 2006 DOMINGUEZ, SERGIO, Control en el Espacio de Estado, Prentice Hall, 2002 FERNANDEZ, ANTONIO, Dinámica Clásica, Fondo de Cultura Económica, 2005. GREENWOOD, DONALD, Classic Dynamics, Prentice Hall, 1977. HIBBELER, R. C., Ingeniería Mecánica, Dinámica, Prentice Hall, 1996. HUANG, T.C., Mecánica para Ingenieros Dinámica, Fondo Educativo, 2000. KHALIL, HASSAN, Nonlinear System, Prentice Hall, 2002 KWAKERNAAK,

HUIBERT,

Linear

Optimal

Control

Systems,

Wiley

Interscience, 1972 MURRAY, R., Ecuaciones Diferenciales, Prentice Hall, 1983. ROSS, TIMOTHY, Fuzzy Logic with Engineering Applications, McGraw Hill 1995 SIRA RAMIREZ, HERBERTT, Control de Sistemas No Lineales, Prentice Hall, 2003. - APENDICES - ANEXOS XI. BIBLIOGRAFIA DOMINGUEZ, SERGIO, Control en el Espacio de Estado, Prentice Hall, 2002. FERNANDEZ, ANTONIO, Dinámica Clásica, Fondo de Cultura Económica, 2005. FRANKLIN, GENE, Control de Sistemas Dinámicos con Retroalimentación, Addison Wesley, 1991. GREENWOOD, DONALD, Classic Dynamics, Prentice Hall, 1977. HIBBELER, R. C., Ingeniería Mecánica, Dinámica, Prentice Hall, 1996. KHALIL, HASSAN, Nonlinear System, Prentice Hall, 2002 MURRAY, R., Ecuaciones Diferenciales, Prentice Hall, 1983. C-T CHEN. Linear System Theory and Design Oxford University Press”, 1999. KATSIUTO OGATA Control Moderno ,Ed. Prentice Hall,1998.

GRAHAM C. GOODWIN,STEFAN F. GRAEBE AND MARIO E. SALGADO Control System Design ,Ed. Prentice Hall International 2001. JOHN S. BAY Linear Space Systems Mc Graw Hill,1999 LENNART LJUNG System Identification:Theory for the User, Ed. Prentice Hall, 1997