Prapun - Ofdm

Introduction to OFDM and its PAPR Drawback  Dr. Prapun Suksompong 

หลักการเบื้องตนของ OFDM OFDM ซึ่งยอมาจาก Orthogonal Frequency Division Multiplexing เปนระบบที่มีการวิจัยอยางแพรหลายในปจจุบัน มีการนําไป ประยุกตใชกับการสื่อสารไรสายหลายประเภท ขอดีเบื้องตนของระบบ OFDM คือ เปนระบบที่สามารถสงผานขอมูลดวยอัตรา ความเร็วสูงเมื่อเทียบกับระบบอื่นๆ อีกทั้งยังใชยานความถี่ที่มีอยูอยางมีประสิทธิภาพซึ่งจะไดกลาวถึงในสวนตอไป ในสวนนี้ เราจะอธิบายหลักการทํางานเบื้องตนของ OFDM โดยเริ่มจากระบบที่ไมซับซอนเพื่อใหเขาใจไดงาย หลังจากนั้นเราจะชี้ใหเห็น ถึงปญหาและการแกปญหาโดยการเพิ่มเติมคุณลักษณะของ OFDM ลงไปในระบบ การสงขอมูลโดยใชคลื่นพาหเดียว (Single Carrier Transmission) เทคนิคการสงสัญญาณแบบ OFDM เปนรูปแบบของการสงขอมูลแบบขนานโดยอาศัยหลายคลื่นพาห (Multi-Carrier Transmission) ซึ่งเราจะนําเสนอโดยเปรียบเทียบกับการสงขอมูลโดยใชคลื่นพาหเดียว (Single Carrier Transmission) ในการสง ขอมูลโดยใชคลื่นพาหเดียวนั้น การสงชุดขอมูล (block of symbols) ที่ประกอบดวย s1 , s2 ,…, sN สามารถทําไดโดยการสง pulse p ( t ) ที่เปลี่ยนขนาดไปตาม s1 , s2 ,…, sN เรียงกันไปตามลําดับ โดยสามารถเขียนเปนสมการไดดังนี้ N −1

s ( t ) = ∑ sk p ( t − kT ) k =0

โดย T เปนเวลาที่ใชในการสงแตละสัญลักษณขอมูล (symbol interval) ตัวอยางของ pulse p ( t ) ที่งายที่สุดก็คือ pulse รูป สี่เหลี่ยม (rectangular pulse) ซึ่งเขียนสมการไดเปน ⎧1, t ∈ [ 0, T ) p ( t ) = 1[0,T ) ( t ) = ⎨ ⎩0, otherwise. เราจะเห็นวาขอมูล s1 นั้นเมื่อนําไปคูณกับ pulse p ( t ) แลวจะอยูระหวางเวลา t ∈ [ 0, T ) ในแกนเวลา สวนขอมูล s2 นั้นจะ

อยูระหวางเวลา t ∈ [T , 2T ) ดังนั้น เมื่อใช pulse รูปสี่เหลี่ยมขางตนสัญญาณที่ไดจะไมมีการซอนทับกันในแกนเวลา รูปที่ 1a แสดงตัวอยางของสัญญาณ s ( t ) สําหรับขอมูล ( s1 , s2 ,… , s8 ) = (1,0,1,1,0,1,0,1)

1|P a g e

(a)

1.2

(b)

1 1

0.8 0.6

0.8 0.4 0.6

0.2

0.4

-0.2

0

-0.4 0.2 -0.6 -0.8

0

-1 -0.2 -1

0

1

2

3

4 Time

5

6

7

8

9

-1

0

1

2

3

4 Time

5

6

7

8

9

รูปที่ 1: (a) ตัวอยางของสัญญาณ s (t ) เมื่อขอมูลเปน ( s1 , s2 ,… , s8 ) = (1,0,1,1,0,1,0,1) (b) ตัวอยางของสัญญาณ x(t ) ที่เกิดจากการ modulate สัญญาณ s (t ) กอนที่สัญญาณ s ( t ) ดังกลาวจะถูกสงออกไปจากเครื่องสง สัญญาณจะถูกแปลงความถี่ดวยสัญญาณพาหโดยกระบวนการที่ เรียกวา modulation ถาเราวิเคราะหสัญญาณในแกนความถี่ (frequency domain) ผลของการ modulation ก็คือสัญญาณจะยายแถบ ความถี่ของตัวเองจากรอบ ๆ ความถี่ศูนยไปยังรอบ ๆ ความถี่ของสัญญาณพาห ดังนั้นเราจึงเรียกสัญญาณที่ถูก modulate แลววา สัญญาณแบนดพาส (bandpass signal) สําหรับสัญญาณที่ยังไมไดผานการ modulation เราจะเรียกวาสัญญาณเบสแบนด (baseband signal) เราสามารถเขียนสมการของสัญญาณแบนดพาสไดดังตอไปนี้

{

x ( t ) = Re s ( t ) e j 2π fc t

}

โดยที่ f c เปนความถี่ของคลื่นพาห ถาเราให S ( f ) เปน spectrum ของสัญญาณเบสแบนด s ( t ) ผลของการ modulation ใน แกนความถี่ก็คือ spectrum X ( f ) ของสัญญาณ bandpass x ( t ) สามารถเขียนไดเปน X(f)=

1 ( S ( f − fc ) + S * ( − f − fc )) 2

จะเห็นไดวา spectrum S ( f ) ของ s ( t ) ไดยายไปอยูที่ ± fc นอกจากนี้ถาสัญญาณเบสแบนด s ( t ) เปนจํานวนจริงเสมอ สมการของสัญญาณแบนดพาสขางตนจะเหลือเพียง x ( t ) = s ( t ) cos ( 2π f ct )

สวน spectrum X ( f ) ก็จะเปน 1 ( S ( f − fc ) + S ( f + fc )) 2 รูปที่ 1b แสดงตัวอยางของสัญญาณ bandpass ที่ไดจากสัญญาณ baseband ในรูปที่ 1a X(f)=

สัญญาณที่ถูก modulate แลวจะถูกสงผานไปยังชองสัญญาณ (Channel) ในสวนถัดไปเราจะอธิบายลักษณะของ ชองสัญญาณสําหรับการสื่อสารแบบไรสาย

2|P a g e

การสื่อสารไรสายและการจางหายแบบหลายเสนทาง (Wireless communication and Multipath fading) การสื่อสารแบบไรสายไดกลายเปนสวนสําคัญในการดํารงชีวิตประจําวัน ในขณะเดียวกัน ความตองการสงขอมูลเปนปริมาณ มากในเวลารวดเร็วไดเพิ่มสูงขึ้นเรื่อย ๆ อยางไรก็ตาม การสื่อสารผานชองสัญญาณแบบไรสายนั้นมีขอจํากัดมากมาย คุณลักษณะของชองสัญญาณสามารถเปลี่ยนแปลงตามองคประกอบตาง ๆ ได เชน สิ่งแวดลอมทางกายภาพ ความเร็วในการ เคลื่อนที่ของอุปกรณภาครับหรือสง และ อุณหภูมิ เปนตน นอกจากนั้นยังมีสัญญาณรบกวน (noise) ซึ่งเราควมคุมไดยาก ใน สวนนี้เราจะกลาวถึง การจางหายแบบหลายเสนทางของชองสัญญาณ ในการสื่อสารแบบไรสาย สัญญาณที่ถูกสงออกมาจะกระจายออกเปนหลายทิศทาง ดังนั้นจึงมีการสูญเสียของสัญญาณ สูง เมื่อคลื่นสัญญาณเดินทางผานตัวกลางก็จะมีการลดทอน (Attenuation) ของสัญญาณเกิดขึ้น นอกจากนี้สัญญาณที่กระจาย ออกนอกเสนทางยังสามารถสะทอนกลับมายังเครื่องรับไดอีกดังรูปที่ 2 สัญญาณที่สะทอนกลับมาเหลานี้เดินทางมาถึงเครื่องรับ ลาชากวาสัญญาณที่มาจากเสนทางตรงเพราะระยะทางที่เพิ่มขึ้น เราจะเรียกเวลาการเดินทางที่เพิ่มขึ้นนี้วา คาหนวงเวลา (excess delay) โดยปกติแลวสัญญาณสะทอนจะมีมากกวาหนึ่งสัญญาณ โดย ขนาด และ คาหนวงเวลาของแตละสัญญาณ ก็จะแตกตาง กันไป เราเรียกการเดินทางของสัญญาณแบบหลายเสนทางนี้วา multipath propagation และเรียกสัญญาณเหลานี้วา multipath waves

รูปที่ 2: Multipath propagation เมื่อเกิด multipath propagation สัญญาณที่เครื่องรับไดรับก็จะมีการผิดเพี้ยน (smearing) ไปจากสัญญาณที่ถูกสงออกมา จากเครื่องสงดังแสดงในรูปที่ 3 ปญหานี้เราเรียกวา การจางหายแบบหลายเสนทาง หรือ multipath fading สังเกตวาพลังงาน บางสวนของสัญลักษณแรกซึ่งควรจะถูกจํากัดอยูระหวางเวลา 0 ถึง T ไดล้ําเขาไปอยูในสวนของสัญลักษณที่สอง ปญหานี้ เรียกวา การสอดแทรกระหวางสัญลักษณ (Inter-symbol Interference:ISI)

3|P a g e

(a)

(b)

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0

-0.2

-0.2

-0.4

-0.4

-0.6

-0.6

-0.8

-0.8

-1

-1

-1

0

1

2

3

4 Time

5

6

7

8

9

0

2

4

6 Time

8

10

12

รูปที่ 3: (a) Multipath fading เมื่อ T (symbol interval) มีขนาดใหญเมื่อเทียบกับคาหนวงเวลา จะเห็นไดวาสัญญาณไมได เปลี่ยนไปมากนักจากสัญญาณ x (t ) ในรูปที่ 1 (b) Multipath fading เมื่อ T (symbol interval) มีขนาดใกลเคียงกับคาหนวงเวลา จะเห็นไดวาสัญญาณนั้นแตกตางไปจาก สัญญาณ x (t ) ในรูปที่ 1 อยางมาก เราสามารถจําลองลักษณะของชองสัญญาณที่มี multipath fading ไดดวยสมการทางคณิตศาสตรที่อธิบายผลตอบสนอง อิมพัลสของชองสัญญาณ (channel impulse response) ดังตอไปนี้ v

h ( t ) = ∑ βiδ ( t − τ i ) i =0

เมื่อสัญญาณ x ( t ) เดินทางผานชองสัญญาณ สัญญาณ r ( t ) ที่ปรากฏที่เครื่องรับจะเปน v

x ( t ) ∗ h ( t ) + n ( t ) = ∑ βi x ( t − τ i ) + n ( t ) i =0

โดยที่ n ( t ) คือสัญญาณรบกวน และ เครื่องหมาย * แสดงถึงการประสาน (convolution) ของสัญญาณ x ( t ) กับ h ( t ) เมื่อ เราวิเคราะหสมการดังกลาว เราจะเห็นวามีการรวมของสัญญาณ βi x ( t − τ i ) ซึ่งก็คือ สัญญาณ x ( t ) ที่มีคาหนวงเวลา τ i และขนาดถูกลดทอนไปเปน βi นั่นเอง ใน รูปที่ 3a เราใช h ( t ) = 0.5δ ( t ) + 0.2δ ( t − 0.2T ) + 0.3δ ( t − 0.3T ) + 0.1δ ( t − 0.5T )

สวนในรูปที่ 3b เราใช h ( t ) = 0.5δ ( t ) + 0.2δ ( t − 0.7T ) + 0.3δ ( t − 1.5T ) + 0.1δ ( t − 2.3T )

ขอสังเกตอีกอยางจากรูปที่ 3 ก็คือปญหา multipath fading จะมีนอยมากถา symbol interval T มีขนาดใหญเมื่อเทียบ กับคาหนวงเวลา อยางไรก็ตาม ความตองการสงขอมูลอยางรวดเร็วทําใหไมสามารถเพิ่มขนาดของ T ไดโดยตรงเพราะจะทําให อัตราการสงขอมูลลดลง การแกปญหา multipath fading นี้สามารถทําไดโดยการใชการปรับแตงชองสัญญาณ (Equalization) ซึ่ง ยุงยากและซับซอน อีกวิธีหนึ่งที่สามารถหลีกเลี่ยงปญหา multipath fading และเปนหลักการพื้นฐานที่ถูกนํามาใชใน OFDM ก็ คือการสงขอมูลโดยแบงขอมูลไปยังหลายแถบความถี่ซึ่งจะไดกลาวถึงในสวนถัดไป 4|P a g e

Multi-carrier transmission ดังที่ไดอธิบายในสวนที่แลว ปญหา multipath fading นั้นจะมีผลกระทบนอยมากถาเราสงสัญญาณดวยคา T ที่มีขนาดใหญ แต ความตองการสงขอมูลอยางรวดเร็วทําใหไมสามารถลดคา T ไดโดยตรงเพราะจะทําใหอัตราการสงขอมูลลดลงตามไปดวย การ สงขอมูลโดยใชหลายคลื่นพาหเปนเทคนิคหนึ่งซึ่งหลีกเลี่ยงปญหา multipath fading ได โดยใชหลักการพื้นฐานที่ไมไดแตกตาง ไปจากหลักการในการสงขอมูลโดยใชคลื่นพาหเดียวที่กลาวมาขางตนเลย หากแตมีการแบงขอมูลออกเปนหลาย ๆ สวนขนาน กันไป (parallel data stream) โดยแตละสวนยอย ถูกสงออกไปดวยคลื่นพาหยอย (subcarrier, SC) ที่มีความถี่ตางกัน เมื่อขอมูล ถูกแบงเปนหลายสวน แตละสวนจึงไมจําเปนตองมีอัตราการสงที่สูง ดังนั้นจึงสามารถใช T ที่มีขนาดใหญได ยิ่งเพิ่มจํานวนของ สัญญาณพาหยอยมากขึ้นเทาใดก็ยิ่งสงขอมูลไดมากขึ้นโดยไมกระทบตอ T วิธีนี้เรียกวา การมัลติเพล็กซโดยการแบงความถี่ (Frequency Division Multiplexing: FDM) การสงขอมูลแบบ FDM นั้นมีขอจํากัดหลายประการ ประการแรก เนื่องจากมีการใชคลื่นพาหหลายความถี่ เครื่องรับ สัญญาณจะตองทําการแยกสัญญาณที่ถูกสงมากับแตละคลื่นพาหโดยการกรองสัญญาณ ดังนั้นเราจะตองจัดใหความถี่ของ คลื่นพาหอยูหางกันมากพอสมควรเพื่อลดการทับซอนของสัญญาณในแกนความถี่ทําใหไมสามารถใชยานความถี่ที่มีอยูอยาง เต็มที่ อีกปญหาของ FDM เปนเรื่องของความซับซอนของระบบ นั่นคือ ยิ่งเราแบงขอมูลออกมากสวนเทาใด ความซับซอนของ เครื่องสงและรับสัญญาณก็ยิ่งมากขึ้นตามไปดวยเพราะจะตองรองรับการทํางานภายใตจํานวนความถี่ของคลื่นพาหที่มากขึ้น เครื่องสงสัญญาก็จะตองมีวงจรกําเนิดความถี่ (oscillator) ที่หลากหลาย ปญหาทั้งสองประการเปนอุปสรรคที่สําคัญของระบบ แบบ FDM ในสวนถัดไป เราจะกลาวถึงการปรับปรุงประสิทธิภาพของ FDM ดวยการสงสัญญาณที่ตั้งฉากซึ่งกันและกัน การตั้งฉาก (Orthogonality) ในสวนนี้จะกลาวถึงการสงสัญญาณที่ตั้งฉาก (orthogonal) ซึ่งกันและกัน สังเกตวาอักษร O ในคํายอ OFDM นั้นมาจากคําวา orthogonality ซึ่งก็คือ การตั้งฉากที่เราจะกลาวถึงในสวนนี้เอง สมมติวาเราตองการสงขอมูล s1 , s2 ,…, sN เราสามารถทําไดโดยการสง pulse p ( t ) ในแกนเวลาที่เปลี่ยนขนาดไป ตาม s1 , s2 ,…, sN เรียงกันไปตามลําดับ N −1

s ( t ) = ∑ sk p ( t − kT ) k =0

โดยแตละ pulse ใชเวลา T หนวยดังที่เราไดอธิบายไปแลวในสวนของการสงขอมูลโดยใชคลื่นพาหเดียว สําหรับการสงขอมูล แบบ FDM นั้นในแตละชองเวลาที่มีขนาด T เราจะสงขอมูล s1 , s2 ,…, sN ไปพรอม ๆ กันโดยใชหลายแถบความถี่ ซึ่งสามารถ สรุปเปนสมการในแกนความถี่ไดวา N −1

S ( f ) = ∑ sk p ( f − k Δf ) k =0

โดยที่ Δf

เปนระยะหางระหวาง spectrum ของสัญญาณยอย สําหรับในการสงสัญญาณที่ตั้งฉากกันนั้น สัญญาณ p ( f − k Δf ) จะตองตั้งฉากซึ่งกันและกันดวย นั่นคือ สําหรับจํานวนเต็ม k และ j ที่แตกตางกัน เราตองการให

∫ p ( f − k Δf ) p ( f − jΔf )df = 0 ∗

5|P a g e

เห็นไดชัดวา ถา p ( f − k Δf ) ไมซอนทับกับ p ( f − jΔf ) ในแกนความถี่ ผลของการคูณกันจะไดศูนยเสมอ สงผลให คาที่ไดจากการ integrate เปนศูนยไปดวย นั่นคือสัญญาณทั้งสองก็จะตั้งฉากกันตามนิยามขางตนและไมรบกวนกัน นี่เปน หลักการพื้นฐานของ FDM อยางไรก็ตาม การที่จะแยกสงสัญญาณใหอยูในแถบความถี่ที่ไมซอนทับกันโดยสิ้นเชิงนั้นทําไดยาก ในทางปฏิบัติ และเปนสาเหตุใหระบบแบบ FDM ตองวาง spectrum ของสัญญาณยอยบนแกนความถี่ใหหางกันมาก อีกทั้งยังมี การเพิ่มแถบปองกัน (guard band) ระหวาง spectrum ของสัญญาณยอยอีก ทั้งหมดนี้นํามาซึ่งการสิ้นเปลืองยานความถี่ ที่จริงแลวการที่สัญญาณจะตั้งฉากกันนั้น ไมจําเปนที่จะตองหลีกเลี่ยงการทับซอนกันในแกนความถี่ ตัวอยางของชุด สัญญาณที่ตั้งฉากกันแบบนี้ก็คือสัญญาณในรูปของ ฟงกชัน sinc ซึ่งใช p( f ) =

⎛ f ⎞ 1 sinc ⎜ π ⎟ Δf ⎝ Δf ⎠

ดังแสดงในรูปที่ 4 จะเห็นวา spectrum ของสัญญาณยอยนั้นซอนทับกัน แตจุดสูงสุด (peak value) ของแตละ spectrum ของ สัญญาณยอยหนึ่งจะเปนจุดที่ spectrum ของสัญญาณยอยอื่น ๆ มีคาเปนศูนยทําใหไมมีการซอนทับกันที่จุดสูงสุดเหลานี้ สรุป แลว OFDM ก็เปน FDM แบบหนึ่งนั่นเองหากแตมีการจัดวางคลื่นพาหยอยใหอยูใกลกันที่สุดโดยยังคงความตั้งฉากกันอยู OFDM

FDM

f

รูปที่ 4: Spectrum ของ OFDM และ spectrum ของ FDM ถาเราวิเคราะหสัญญาณในแกนเวลาโดยใช inverse Fourier transform เราจะเห็นวาสัญญาณที่เปนฟงกชัน sinc ในแกน ความถี่นั้นเทียบเทากับสัญญาณรูปสี่เหลี่ยมในแกนเวลา การที่ peak ของสัญญาณ sinc นั้นถูกวางไวที่ความถี่ k Δf นั้นเทียบเทา กับการคูณดวย e j 2π k Δft ดังแสดงในสมการตอไปนี้ p ( f − k Δf ) ⎯F⎯⎯ →1⎡ −1

T T⎤ ⎢− 2 , 2 ⎥ ⎣ ⎦

( t ) e + j 2π k Δft

ดังนั้นสัญญาณขางตนจะถูกจํากัดอยูระหวางเวลา t ∈ ⎡⎢ − , ⎤⎥ โดยที่ T = เมื่อนําเอาสัญญาณยอยมารวมกันเราจะได Δf ⎣ 2 2⎦ T T

1

N −1

s ( t ) = ∑ sk e+ j 2π k Δft k =0

⎡ ⎤ สําหรับเวลา t ∈ ⎢− , ⎥ แตถาเราใช pulse p ( f ) อื่นที่ไมใช ฟงกชัน sync สัญญาณรวมก็จะเปน ⎣ 2 2⎦ T T

6|P a g e

N −1

s ( t ) = ∑ sk P ( t ) e+ j 2π k Δft k =0

โดย P ( t ) คือ inverse Fourier transform ของ p ( f ) ขอสังเกต: สัญญาณ s ( t ) ไมจําเปนตองเริ่มจากเวลา − T 2 หากเราตองการใหสัญญาณถูกจํากัดอยูในชวงเวลา [t0 , t0 + T ] ก็สามารถทําไดโดยใชสัญญาณ ⎛ ⎛ T ⎞⎞ s ⎜ t − ⎜ t0 − ⎟ ⎟ 2 ⎠⎠ ⎝ ⎝

แทน สัญญาณ s ( t ) ในสวนของเครื่องรับสัญญาณนั้น ถาเราใชฟงชัน sinc เปน pulse p ( f ) ดังที่ยกตัวอยางขางตน และไมเกิดการ รบกวนภายในชองสัญญาณ นั่นคือ ถาสัญญาณ r ( t ) ที่ไดรับนั้นเปนสัญญาณ s ( t ) โดยตรง เมื่อเราตองการดึงเอาขอมูล s1 , s2 ,…, sN ออกมาจาก r ( t ) ก็สามารถทําไดโดยการแปลง r ( t ) ใหอยูในแกนความถี่ R ( f ) ดวย Fourier transform แลวชักสัญญาณ (sample) ที่ความถี่ f = mΔf โดย m = 0,1,… , N − 1

เราจะได N −1

N −1

k =0

k =0

R ( mΔf ) = ∑ sk p ( ( m − k ) Δf ) = ∑ sk

1 s sinc (π ( m − k ) ) = m Δf Δf

ซึ่งเทียบเทากับการรูคาของ sm เพราะเรารูคาของ Δf อยูกอนแลว จะเห็นไดวา การที่เราสามารถดึงเอาคา s1 , s2 ,…, sN ออกมาไดอยางงายดายก็เพราะจุด peak ของแตละฟงกชัน sync นั้น อยูตรงจุดที่ฟงกชัน sinc อื่นเปน 0 ทั้งสิ้น การนํา IDFT และ DFT มาใชใน OFDM การใช orthogonality ในสวนที่แลวนั้นทําให OFDM สามารถใชยานความถี่ไดอยางมีประสิทธิภาพเพิ่มขึ้นเกือบเทาตัว เมื่อเทียบกับ FDM แบบธรรมดา แตปญหาใหญอีกประการของ FDM ก็คือการที่เครื่องสงตองผลิตสัญญาณพาหที่มีความถี่ได หลากหลาย ซึ่งหาก N มีคามากก็เปนเรื่องที่ทําไดยาก ในสวนนี้เราจะอธิบายถึงที่มาของการประมวลสัญญาณดวย IDFT (inverse discrete Fourier transform) และ DFT (discrete Fourier transform) ใน OFDM ซึ่งทําใหสามารถสงสัญญาณทั้ง N ความถี่ไดใน เวลาเดียวกัน กอนอื่น เราจะลอง sample สัญญาณ s (t ) ที่เวลา t = nT =

n โดย n = 0,1,…, N − 1 Δf

ซึ่งผลที่ไดก็คือ N −1

s [ n ] = s ( nT ) = ∑ sk e+ j 2π kn k =0

จะเห็นไดวา 7|P a g e

( s [ n ])

N −1 n=0

{

= IDFT ( sk )k = 0

N −1

}

ดังนั้น หากไมเกิดการผิดเพี้ยนของสัญญาณในชองสัญญาณ เราจะได r [ n ] = r ( nT ) = s [ n ]

และสามารถดึงเอาขอมูลกลับมาไดโดยการใช DFT สรุปวาในการสงขอมูลแบบ OFDM นั้น เราจะแปลงขอมูลจากแบบอนุกรม ซึ่งก็คือขอมูลที่เรียงกันมาตามลําดับเปนขอมูลแบบขนาน แลวทําการประมวลขอมูลทั้งชุดในเวลาเดียวกันดวย IDFT จากนั้นจึง สงออกไปในชองสัญญาณ ที่เครื่องรับก็จะประมวลผลสัญญาณโดยใช DFT เพื่อใหไดขอมูลกลับคืนมาดังสรุปดวยแผนผัง ตอไปนี้

( sk )k = 0 → N −1

IDFT → ( s [ n ])n = 0

N −1

→ ( r [ n ])n = 0 → DFT → ( Rk )k = 0 = ( Sk )k = 0 N −1

N −1

N −1

นอกจากนี้ เพราะขอมูลผานการ IDFT กอนที่จะถูกสงออกไป เราจึงเรียกขอมูลเหลานี้วาสัญลักษณในแกนความถี่ (frequencydomain symbol) 1 1 เปน factor อยูดวย ดวยเหตุนี้จึงไมมี factor ใน IDFT เราสามารถนิยาม N N 1 DFT ใหมเพื่อใหการแปลงของ DFT และ IDFT คลายกันมากขึ้น ซึ่งทําไดโดยการใช factor ทั้งในสูตรของ DFT และ N 1 IDFT นิยามทั้งสองแบบนี้เทียบเทากัน หากเราเลือกที่จะใชนิยามใหมก็สามารถทําไดโดยการสง s ( t ) แทน s (t ) . N

ขอสังเกต: นิยามของ DFT ที่เราใชขางตนนั้นมี

เมื่อเราใช IDFT แลวก็ไมมีความจําเปนที่จะตองมี oscillator สําหรับแตละคลื่นพาหยอย เทคนิคการใช DFT/IDFT รวมกับ OFDM นี้เรียกวา Discrete Multi-Tone (DMT) [Weinstein71] นอกจากนี้สิ่งที่ลดปญหาความยุงยากของเครื่องรับสง แบบ OFDM ก็คือ การนําเอา IFFT หรือ Inverse Fast Fourier Transform มาแทน IDFT โดย IFFT นั้นสามารถประมวลผลได อยางรวดเร็วเมื่อเทียบกับ IDFT ในทํานองเดียวกัน สวน DFT ของ OFDM ก็ถูกแทนที่โดย FFT (fast Fourier transform) การ ประมวลผลโดย FFT สามารถลดจํานวนการคูณในการแปลงแบบ DFT จาก N 2 เปน N log N สําหรับขอมูลที่มีขนาด N นอกจากการนี้ยังมีการเพิ่มชวงเวลาปองกัน (guard time) เพื่อปองกันผลกระทบที่เกิดจาก multipath fading ที่เรา กลาวถึงขางตน โดยมีการเสริมสัญญาณดวย cyclic prefix ซึ่งเปนการคัดลอกเอาสัญลักษณสวนทายของแตละ block ขอมูลมา สอดไวกอน block ขอมูลนั้น ปญหาของ OFDM: อัตราสวนกําลังงานสูงสุดตอกําลังงานเฉลี่ย ปญหาที่สําคัญมากของระบบ OFDM ก็คือการที่สัญญาณมีอัตราสวนกําลังงานสูงสุดตอกําลังงานเฉลี่ย (Peak-to-Average Power Ratio, PAPR) ที่สูง เมื่อสัญญาณที่มีคา PAPR สูงเขาสูวงจรขยาย (amplifier) ของเครื่องสง วงจรขยายจะตองทํางานในชวงอิ่มตัว และทํางานแบบไมเปนเชิงเสน (non-linear) จึงเกิดการผิดเพี้ยนของสัญญาณ เปนผลใหอัตราความผิดพลาดบิตขอมูล (Bit Error Rate: BER) เพิ่มสูงขึ้น นอกจากนี้ยังทําให spectrum ของสัญญาณล้ําออกนอกแถบความถี่ของชองสัญญาณไปรบกวน ชองสัญญาณอื่น หากตองการการขยายสัญญาณเชิงเสน ก็จะมีผลตอประสิทธิภาพทางกําลังของ amplifier ที่ใชงาน ทําใหตองใช amplifier ที่มีราคาแพง 8|P a g e

ในสวนนี้เราจะใชทฤษฎีความนาจะเปนมาอธิบายวาเหตุใดคา PAPR จึงสูงตามคา N กอนอื่น ถาเรายอนกลับวิเคราะห สัญญาณของ OFDM หลังจากผาน IFFT จะเห็นวาสัญญาณมีคาดังนี้ s [ n] =

1 N

N −1

∑s e k =0

+ jωk

โดย ωk = 2π k

k

n และ n = 0,1,… , N − 1 N

ซึ่งโดยปกติแลว sk จะเปนจํานวนเชิงซอน หากมีการใชคลื่นพาหยอยจํานวนมาก (N มีคาสูง) ก็มีโอกาสสูงที่ s [ n] จะมีคา มาก เพราะเปนผลของการรวมกันของสัญญาณขอมูลหลังการทํา IFFT ในที่นี้ถาเราสมมติให s0 , s1,…, sN −1 เปนตัวแปรสุม เชิงซอน (complex random variable) ซึ่งหมายความวาแตละตัวแปรสุม sk จะสามารถแบงเปนสวนจริงคือ Re{sk } และ สวน เชิงซอนคือ Im{sk } โดยทั้งสองสวนเชื่อมกันดวยความสัมพันธ sk = Re {sk } + j Im {sk }

ดังนั้นเราจึงมีตัวแปรสุม 2N ตัวแปร ดังนี้ Re {s0 } , Im {s0 } , Re {s0 } , Im {s0 } ,…, Re {sN −1} , Im {sN −1}

โดยตัวแปรสุมทั้งหมดเปนจํานวนจริง ในสวนนี้เราจะใหตัวแปรสุมทั้งหมดมีลักษณะเปน iid (independent and identically distributed) โดย 2 2 Re{sk } = Im {sk } = 0 และ E ⎡( Re {sk } ) ⎤ = E ⎡( Im {sk } ) ⎤ = σ 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ซึ่งผลที่ตามมาก็คือ 1) E [ sk ] = 0 2 2 2 2) E ⎡⎣ sk ⎤⎦ = E ⎡( Re {sk } ) ⎤ + E ⎡( Im {sk } ) ⎤ = 2σ 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3) E ⎡⎣( Re {sk } ) ( Im {si } ) ⎤⎦ = 0

4) ถาคา i ≠ k แลว a) E ⎡⎣( Re {sk } ) ( Re {si } ) ⎤⎦ = 0

b) E ⎡⎣( Im {sk } ) ( Im {si } ) ⎤⎦ = 0 c) E ⎡⎣ si sk* ⎤⎦ จะเปน 0 เพราะ si กับ sk นั้นเปนอิสระ (independent) จากกัน สงผลให E ⎡⎣ si sk* ⎤⎦ = E [ si ] E ⎡⎣ sk* ⎤⎦ = 0 × 0 = 0 ( iid )

ดังนั้นเราสามารถหาคาคาดหมายของคากําลังงานเฉลี่ยไดเปน 2 1 N −1 N −1 2 E ⎡ s [ n] ⎤ = E ⎡⎣ s [ n] s* [ n]⎤⎦ = ∑∑ E ⎡⎣ si sk* ⎤⎦ e+ jωi e− jωk = E ⎡ sk ⎤ = 2σ 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ N k =0 i =0 นอกจากนี้เรายังสามารถกระจาย s [ n] ออกเปนสวนจริงและสวนเชิงซอน โดยที่

Re {s [ n ]} =

1 N 1 Im {s [ n ]} = N

N −1

∑ ( Re {s } cos (ω ) − Im {s } sin (ω ) ) k =0

k

k

k

k

N −1

∑ ( Re {s } sin (ω ) + Im {s } cos (ω ) ) k =0

k

k

k

k

9|P a g e

หาก N นั้นมีคามาก เราสามารถใชทฤษฎีเซ็นทรัลลิมิตของ Lyapunov (Lyapunov Central Limit Theorem) ประมาณคาความ หนาแนนเชิงความนาจะเปน (probability density) ของตัวแปรสุมทั้งสองดวย ตัวแปรสุมแบบ Gaussian ที่มีคาคาดหมายและคา ความเบี่ยงเบนเดียวกันกับตัวแปรสุมทั้งสอง ในที่นี้เรารูแลววา E [ sk ] = 0 สําหรับคาความเบี่ยงเบนนั้น เพราะคาคาดหมาย เปน 0 เราจึงสามารถหาคาความเบี่ยงเบนจาก ⎡ 2 Var ⎡⎣ Re {s [ n ]}⎤⎦ = E ⎢ Re {s [ n ]} − E ⎡⎣ Re {s [ n ]}⎤⎦ ⎢ ⎢⎣ 0

⎤ ⎥ = E ⎡ Re {s [ n ]} 2 ⎤ ⎥ ⎣⎢ ⎦⎥ ⎥⎦ 2 ซึ่งถาเราแทนคา Re{s [ n ]} ดวยสมการที่ประกอบดวยพจนที่มี cosine และ sine ขางตน คาของ E ⎡⎢ Re {s [ n ]} ⎤⎥ จะเปน ⎣ ⎦ N −1 N −1 ⎡1 ⎤ E ⎢ ∑∑ ( Re{si } cos (ωk ) − Im {si } sin (ωk ) ) ( Re {sk } cos (ωk ) − Im {sk } sin (ωk ) ) ⎥ ⎣ N k =0 i =0 ⎦ หลังจากกระจายผลคูณออกมา เราสามารถกําจัดพจนที่มี Im {si } Re{sk } และ Re{si } Im {sk } ไดเพราะมีคาคาดหมาย

) (

(

)

(

2

)

(

)

เปน 0 นอกจากนี้เมื่อ i ≠ k เรายังสามารถกําจัดพจนที่มี Re{si } Re{sk } และ Im {si } Im {sk } ได ดังนั้นสิ่งที่เหลืออยู คือ

(

2 2 2 1 N −1 E ⎡ Re{s [ n ]} ⎤ = ∑ E ⎡( Re{sk } ) ⎤ cos 2 (ωk ) + E ⎡( Im {sk } ) ⎤ sin 2 (ωk ) ⎦ ⎣ ⎦ ⎣⎢ ⎦⎥ N k = 0 ⎣ 2 2 เมื่อแทนคา E ⎡( Re {sk } ) ⎤ = E ⎡( Im {sk } ) ⎤ = σ 2 เราจะได ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 E ⎡ Re {s [ n ]} ⎤ = σ 2 ⎣⎢ ⎦⎥

(

)

(

)

)

เราสามารถใชวิธีการเดียวกันหาคาอื่น ๆ ดังตอไปนี้ 2 1) E ⎡( Im {sk } ) ⎤ = σ 2

2)

⎣ ⎦ E ⎡ Re {s [ n ]} Im {s [ m ]} ⎤ = 0 ⎣ ⎦

(

)(

)

3) สําหรับ n ≠ m E ⎣⎡( Re {s [ n ]}) ( Re {s [ m ]}) ⎦⎤ = E ⎣⎡( Im {s [ n ]}) ( Im {s [ m ]}) ⎦⎤ = 0 ดังนั้นเราจึงสรุปไดวา เมื่อ N มีคามาก เราสามารถประมาณตัวแปรสุม Re {s [ 0]} , Im {s [ 0]} ,… , Re {s [ N − 1]} , Im {s [ N − 1]}

ดวยตัวแปรสุมแบบ Gaussian N ( 0,σ 2 ) ที่เปนอิสระจากกัน ดังนั้นตัวแปรสุม s [ 0] , s [1] ,…, s [ N − 1] 2

2

2

จึงมีลักษณะเปน iid โดยมีการกระจายแบบ exponential เพราะ

(

) (

s [ n ] = Re {s [ n ]} + Im {s [ n ]} 2

2

)

2

เปนการรวมกันแบบ Euclidean ของตัวแปรสุม Gaussian สองตัวแปรที่มีการแจกแจงแบบ iid โดยมีฟงกชันความหนาแนน (pdf) 2 เปนแบบเลขชี้กําลัง (exponential) ที่มีคาคาดหมายเปน E ⎡ s [ n ] ⎤ = 2σ 2

⎣

⎦

10 | P a g e

เราจะนิยามคา PAPR โดยสมการตอไปนี้ Γ=

max s [ n ]

0 ≤ k ≤ N −1

2 E ⎡ s [ n] ⎤ ⎣ ⎦

2

=

max s [ n ]

0 ≤ k ≤ N −1

2σ 2

2

= max

0 ≤ k ≤ N −1

s [n]

2

2σ 2

จะเห็นไดจากนิยามของ PAPR วาคาเศษเปนคากําลังงานสูงสุดและคาสวนเปนคากําลังงานเฉลี่ย ดังที่ไดอธิบายไปแลวขางตน เมื่อ N มีคามาก s [ n] จะมีการแจกแจงแบบ exponential เพราะฉะนั้น ตัวแปรสุม s [ n] 2σ 2 จึงมีการแจกแจงแบบ 2

2

exponential ดวย และมีคาคาดหมายเปน 1 เพราะ 2 ⎡ s [ n ] 2 ⎤ E ⎡ s [ n ] ⎤ 2σ 2 ⎥= ⎣ 2 ⎦ = E⎢ =1 2 2σ 2σ 2 ⎢ 2σ ⎥ ⎣ ⎦

เมื่อเปนเชนนี้ ตัวแปรสุม Γ จึงเปนการหาคาสูงสุดของตัวแปรสุมที่แจกแจงแบบ iid exponential จํานวน N ตัวแปร เราจึง สามารถหาความนาจะเปนที่ตัวแปรสุม Γ จะมีคาเกินจํานวนจริง γ ไดเปน P [ Γ > γ ] = 1 − (1 − e −γ )

N

เราจะสังเกตไดวาคาความนาจะเปนนี้เพิ่มสูงขึ้นเมื่อ N ซึ่งก็คือจํานวนของคลื่นพาหยอยมีคามากขึ้น มีงานวิจัยจํานวนมากที่นําเสนอวิธีการลด PAPR (PAPR reduction schemes) วิธีที่เราจะกลาวถึงก็คือ Signal distortion technique ซึ่งใชการบิดเบือนบริเวณสวน peak ของสัญญาณแบบไมเปนเชิงเสนตรง เพื่อไมใหสัญญาณมีคามากเกินไป โดยวิธีที่ งายที่สุดก็คือการ clip สัญญาณที่ระดับ γ ที่ตั้งไวกอน [2, 3] ซึ่งเทียบไดกับการคูณสัญญาณที่มีดวย ฟงกชันรูปสี่เหลี่ยมซึ่งเรา จะเรียกวา rectangular window ที่มีความสูงเทากับ γ หากเราใชวิธีนี้ แนนอนวาจะไมมีสัญญาณที่มีขนาดสูงกวา γ ออกมาจาก เครื่องสง อยางไรก็ตาม เมื่อสัญญาณถูก clip ไปก็จะมีรูปรางไมเหมือนเดิมซึ่งทําใหอัตราความผิดพลาดบิต (BER) ที่เครื่องรับ สูงขึ้นไปดวย นอกจากนี้ spectrum ของสัญญาณจะขยายขึ้น เพราะการคูณดวย Rectangular window ในแกนเวลาเทียบเทากับ การประสาน (convolve) สัญญาณดวยฟงกชัน sinc เมื่อ spectrum ของสัญญาณขยายขึ้นสัญญาณก็จะไปรบกวนสัญญาณในยาน ความถี่อื่น ดังนั้นเพื่อลดการไปรบกวนสัญญาณนอกแถบความถี่ จึงไดมีการเปลี่ยนเปน window แบบอื่นที่มี spectrum ที่ดีกวา เชน การใช window แบบ Gaussian [7], cosince, Kaiser, หรือ Hamming วิธีการลด PAPR นั้นยังมีอีกหลายวิธี ตัวอยางเชน การ ใชเทคนิค peak cancellation [8, 9] อีกวิธีหนึ่งก็คือการเขารหัสขอมูลกอนที่จะสงสัญญาณเพื่อกําจัดกลุมสัญลักษณที่มีคา PAPR สูงเกินไป [1, 10] ที่จริงแลว การพยายามลดคา PAPR ใหไดมากที่สุดนั้น อาจไมใชสิ่งที่ถูกตองนัก เพราะจุดมุงหมายที่แทจริงของการ สื่อสารก็คือการนําขอมูลสงไปใหถึงปลายทางอยางถูกตอง ดังนั้นนักวิจัยบางกลุมจึงใหความสนใจกับการหา efficient PAPR ซึ่ง ก็คือ PAPR ที่ดีที่สุดภายใตเกณฑที่นักวิจัยสรางขึ้น [11]

Reference [1] S. J. Shepherd, P. W. J. Van Eetvelt, C. W. Wyatt-Millington, and S. K. Barton, “Simple coding scheme to reduce peak factor in QPSK multicarrier modulation,” Electron. Lett., vol. 31, no. 14, pp. 1131–1132, July 1995. 11 | P a g e

[2] D.Wulich, “Peak factor in orthogonal multicarrier modulation with variable levels,” Electron. Lett., vol. 32, no. 20, pp. 1859–1860, Sept. 1996. [3] X. Li and L. J. Cimini Jr., “Effects of clipping and filtering on the performance of OFDM,” IEEE Commun. Lett., vol. 2, pp. 131–133, May 1998. [4] A. Papoulis, Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, 1984. [5] D. Wulich, N. Dinur, and A. Gilinowiecki, “Level clipped high order OFDM,” IEEE Trans. Commun., vol. 48, pp. 928930, June 2000. [6] Weinstein, S.B., Ebert P.M. Data Transmission By Frequency Division Multiplexing Using the Discrete Fourier Transform. IEEE Trans. Commun., Oct 1971; COM-19; 5: 628-634. [7] Pauli, M., and H. P. Kuchenbecker, “Minimization of the Intermodulation Distortion of a Nonlinearly Amplified OFDM Signal,” Wireless Personal Communications, Vol. 4, No. 1, January 1997, pp. 93–101. [8] De Wild, A., “The Peak-to-Average Power Ratio of OFDM,” M.Sc. thesis, Delft University of Technology, Delft, the Netherlands, September 1997. [9] May, T., and H. Rohling, “Reducing the Peak-to-Average Power Ratio in OFDM Radio Transmission Systems,” Proceedings of IEEE VTC’98, Ottawa, Canada, May 18–21, 1998, pp. 2774–2778. [10] Wilkinson, T. A., and A. E. Jones, “Minimization of the Peak-to-Mean Envelope Power Ratio of Multicarrier Transmission Schemes by Block Coding,” Proc. of IEEE Vehicular Technology Conference, Chicago, IL, July 1995, pp. 825–829. [11] Wulich, D., "Definition of efficient PAPR in OFDM," Communications Letters, IEEE , vol.9, no.9, pp. 832-834, Sep 2005

12 | P a g e