Practico2

Práctico 2:Diferenciación 1. La siguiente función refleja la posición de un automóvil que se desplaza sobre una recta  si 0 ≤ t ≤ 1  100t 100 si 1 ≤ t ≤ 1.25 x = f (t) =  350 (t − 1.25) + 100 si 1.25 ≤ t ≤ 2.75 3

(a) Halle la razón de cambio de x respecto de t en los intervalos [0, 1] , [0.75, 1.10] , [1, 2] y [2, 2.5]

(b) ¿En qué intervalos se mantuvo quieta la aguja del velocímetro y en qué valor? 2. Compute la razón de cambio para la función y = x2 en el intervalo [x, x + ∆x]. ¿A qué valor (dependiente de x) se aproxima esa razón de cambio cuando ∆x se torna más pequeño, acercándose a 0? 3. Para cualquier función y = f (x), considere los puntos P = (x0 , f (x0 )) y Q = (x0 + ∆x, f (x0 + ∆x)) , ambos pertenecientes al gráfico Gr (f ). Demuestre que la ∆y razón de cambio ∆x correspondiente al intervalo [x0 , x0 + ∆x] coincide con la pendiente de la recta que pasa por P y Q. ¿Qué fórmula define la función afín (S (x) = mx + b) que coicide con f en los puntos x0 y x0 + ∆x? 4. Utilizar simplificaciones algebraicas para evaluar los siguientes límites, en caso de existir a) limx→0

x2 +x 3x

b) limx→2

x2 −4 x−2

c) limx→2

x4 −16 x2 −3x+2

d) limk→4

k√2 −16 k−2

e) limx→1

x2√ −3x+2 x−1

f) limx→3

2x3 −6x2 +x−3 x−3

h) limx→0

√ √ 1+x2 − 1−x2 x

i) limx→1+

g) limx→25

√ x−5 x−25

√ √ x+3− 3x+1 √ x−1

5. Demostrar que las siguientes proposiciones son equivalentes: (2) limx→a (f (x) − l) = 0 (4) limh→0 (f (a + h) − l) = 0.

(1) limx→a f (x) = l (3) limh→0 f (a + h) = l

El paso de (1) a (3) se conoce como "cambio de variable". Poniendo x = a + h, resulta h = x − a, que tenderá hacia 0 cuando x tienda hacia a. La conversión se justifica usando la propiedad 7. La primera fila se puede pensar como un cambio en la variable y. y → l si y sólo si z = y − l → 0. Se justifica en la propiedad 2 (con - en vez de +). Estas conversiones son parte del lenguaje y su uso simplifica drásticamente muchos razonamientos.

1

6. Calcular:

sin x . x→0 2 + cos π x lim

7. Hallar las pendientes de las siguientes curvas en los puntos indicados. En todos los casos obtener la ecuación de la recta tangente y trazar las gráficas aproximadas de ambas (a) (b) (c) (d)

y y y y

= 2x2 en el punto (1, 2) = 2x − 7 en el punto (2, −3) ¡ ¢ = x1 en el punto 2, 12 = x2 en el punto (2, 4)

8. Determinar si las siguientes funciones son diferenciables en 0. Si es así hallar la razón de cambio puntual. Hacer las gráficas e interpretar los resultados obtenidos a) y = |x|

b) y = x |x| ½ 2x si x ≤ 0 d) f (x) = x2 si x > 0

c) y = x2 |x|

9. Una partícula se mueve sobre una línea recta en la que se fija un sistema de coordenadas. s(t) = 4t2 + 3t representa la posición de la partícula en el instante t respecto de ese sistema. El tiempo t está medido en segundos y la distancia al origen de coordenadas, |s(t)|, en centímetros. (a) Calcular la velocidad media de la particula en los siguientes intervalos de tiempo: [1, 1.2] ,

[1, 1.1] ,

[1, 1.01] ,

[1, 1.001] .

(b) Calcular la velocidad de la partícula en el instante t = 1. (c) Determinar los intervalos de tiempo en los que la partícula se mueve en sentido positivo. (d) Idem en sentido negativo. 10. Calcular f 0 (a): 1) f (x) =

√ x

3) f (x) = 8 − x2

2) f (x) =

1 x

4) f (x) =

x x+1

11. Calcular las derivadas de las siguientes funciones: 1

1) 3x − 2x3

2) 4x5 − 7x3 + x2 − 2

3) 25x−1 + x 2

4) 2x3 + 5x7

5) 4x4 − 7x3 + x − 12

6)

7) 3x4 − 2x2 + x − 11

8) πx7 − 8x5 + x + 1 ¢ ¡ 11) (2x + 3) x12 + x1

9) (x3 + x) (x − 1)

10) (2x2 − 1) (x4 + 1)

2

3 2 x 5

− 2x8

12. Calcular las derivadas de las siguientes funciones: a) sin x cos x

b)

1 sin x+cos x

tan x x2 +3x

d)

sin √x x

c)

13. Hallar las derivadas de las funciones siguientes: 1

1) (x + 1)8

2) (2x − 5) 2 3) (sen x)3 ¡√ ¢ x+1 5) sen x + x1 6) sen 2x £ ¤ 8) cos (sen 5x) 9) sen (2x + 5)2

4) sen 2x 3

7) (2x2 + 3)

10) sen [cos (x + 1)] 13)

1 (sen 2x)2

11)

1 (3x−1)4

12)

14)

1 sen 3x

15) (sen x) (cos x)

1 sen x+cos x

18)

x2 −1 2x+3

21) sen (x2 + 5x)

16) (x3 + 2x) (sen 3x) 17) 19)

x3 +1 x−1

20)

1 (4x)3

x+1 cos 2x

14. Dar la ecuación de la recta tangente a las curvas siguientes en el punto indicado. 1. y = sin x, x =

π 2

2. y = cos x, x = π 4

3. y = tan 3x, x = 5. y = tan x2 , x = 7. y = sin πx, x =

15. Hallar

dy dx

4. y =

π 2

1 ,x tan x

=

π 6 π 4

6. y = cos πx ,x = 1 3

1 2

en términos de x y y en las siguientes ecuaciones. a)

x2 + xy = 2

c)

y 2 + 2x2 y + x = 0 d)

b)

(x − 3)2 + (y + 1)2 = 37 x2 y 2 = x2 + y 2

16. Hallar la recta tangente a las siguientes curvas en los puntos indicados. (a) x2 y 2 = 9, en (−1, 3) . (b) 2x2 − y 3 + 4xy − 2x = 0, en (1, −2) . 3

Algunas fórmulas útiles Volumen de una bola de radio r: 43 πr3 Area de una esfera de radio r: 4πr2 Volumen de un cono de altura h y radio de la base r: Area de un disco de radio r: πr2 Longitud de una circunferencia de radio r: 2πr

1 πr2 h 3

17. En el triángulo rectángulo de la figura, suponer que θ está decreciendo a razón de 1 rad/seg. Hallar cada una de las derivadas indicadas: 30

z y

θ x (a)

dy , dt

cuando θ =

π 3

(b)

dz , dt dx , dt

cuando θ =

π 4

(c)

si x es constante, x = 12 √ si y es constante, y = 10 2

cuando x = 1 si x e y están cambiando, pero z es constante, z = 2

18. Un cubo se expande de manera que su lado está cambiando a razón de 5cm/seg. Hallar la razón de cambio de su volumen cuando la arista mide 4cm. 19. Hay un farol en lo alto de un poste a 6.10m del suelo. Una mujer de 1.53m de altura camina alejándose del poste. Hallar la razón a la que cambia su sombra si ella camina a razón de 1.22m/seg. 20. Un depósito tiene forma de cono con el vértice hacia abajo, de 3.3m de altura y con la boca, circular, de 1.22m de radio. Se vierte agua en el depósito a razón de 0.15m3 / min. ¿Con qué rapidez está subiendo el nivel del agua cuando la profundidad es de 1.5m? 21. Calcular el vector tangente a la curva dada en el punto indicado ½ ½ ³√ √ ´ ³√ √ ´ x = cos t x = cos 2t 2 2 2 1) en 2) en , 2 , 22 2 2 y = sin t y = sin 2t ½ ½ x = 5t x = cos 2t 3) en t = 0 y en t = 1 4) en t = 3π 2 2 y = −5t + 5t y = sin t 22. Calcular las siguientes derivadas de orden superior: 4

5

(a) segunda derivada de (x2 + 1) . (b) séptima de x7 + 5x − 1. (c)

d3 dx3

(x3 + 2x − 5) .

(d) cuarta derivada de cos x (e) f (7) (x), para f (x) =sen x. 23. Sea n un entero no negativo. Calcular dk xn dxk

y

para k ∈ Z, 0 ≤ k < n, k = n y k > n

¯ dk xn ¯¯ , dxk ¯x=0

24. Una partícula se mueve de modo que en el instante t su posición está dada por s(t) = t3 − 2t ¿En qué instantes es la aceleración iguala a a)

b)

1

0

c)

−5

25. Un objeto viaja sobre una recta con una velocidad dada por la función v(t) = 4t5 . Hallar la aceleración en el instante t = 2. 26. Dado un polinomio p (x) = a0 + a1 x + ... + an xn ,

(1)

encontrar una función f tal que f 0 (x) = p (x) . 27. Dado un polinomio como en (1) y un número real b encontrar una función f que resuelva el problema de valores iniciales (PVI) ½ 0 f (x) = p (x) f (0) = b 28. En el instante t = 0, un objeto pasa hacia arriba por una plateforma a 10m de altura, con una velocidad de 2m/seg. Sólo actúa sobre él la fuerza de la gravedad, que le imprime una aceleración de 9.8m/seg 2 . ¿Cuándo llegará al suelo?

Ejercicios complementarios 29. Probar que limx→a f (x) = 0 si y sólo si limx→a |f (x)| = 0 Hint. |y| = sg (y) · y con sg una función acotada. 30. Si limx→a f (x) = 0, dado ε > 0 en cualquier entorno reducido de a existe x tal que |f (x)| < ε. Hint. Usar la propiedad 4 con las funciones |f | y ε. 5

31. Una escalera de 5.20m de largo está apoyade en una pared vertical. Si el extremo inferior de la escalera se está alejando a razón de 0.92m/seg, ¿con qué rapidez desciende la parte superior cuando el extremo inferior se encuentra a 2.45m de la pared? 32. Una rueda de feria de 15m de diámetro efectúa una revolución cada 2min. Si el centro de la rueda está a 9mts del suelo, con qué rapidez se mueve verticalmente un pasajero cuando la rueda está a 13mts sobre el suelo?. 33. Un globo se está elevando desde el punto P . Un observador O, situado a 91m de ese punto, dirige su mirada hacia el globo, y el ángulo θ que forma con el globo crece a razón de 0, 3 rad/seg. Hallar la razón con la que está creciendo la distancia del globo al suelo cuando: 1. θ =

π 4

2. θ =

π 3

4. sin θ = 0.3

3. cos θ = 0.2 5. tan θ = 4

34. Una escalera de 9m de largo está apoyada sobre una pared. Suponiendo que la parte inferior de la escalera se desliza alejándose de la pared a razón de 0.9m/s, Con qué rapidez está cambiando el ángulo entre la escalera y el suelo cuando la parte inferior está a 4.5m de la pared?. 35. Hallar (a) f 0 (x), la pendiente de la gráfica de f en el punto de absisa 2 y la recta tangente en ese punto.para f (x) = x2 + 1. (c)

d(2x3 ) dx d ( 2 ). dx x+1

(d)

dc , dx

(b)

donde c es una constante cualquiera

36. Consideremos el polinomio de primer grado T definido en (??) . Observar que T (a) = f (a) y T 0 (a) = f 0 (a) . ¿Puede haber otro polinomio de primer grado distinto con estas dos propiedades? 37. Otra manera de mirar la aproximación de f por T : Probar que si f es diferenciable en el punto a, entonces existe una función (x) tal que: 1.- limx→a (x) = 0 2.- (f − T ) (x) = (x) (x − a). Deducir de allí que, en este caso, f (x) − f (a) = [f 0 (a) + (x)] (x − a)

(2)

38. Seguir estas instrucciones para completar una demostración de la regla de la cadena: 6

(a) Aplicando (2) a f en a y a g en b, se tendrán dos funciones , η con limx→a (x) = limy→b η (y) = 0, tales que, además de (2), también vale g (y) − g (b) = [g 0 (b) + η (y)] (y − b) .

(3)

(b) Con estos elementos se puede hacer una buena evaluación del incremento de la composición: g ◦ f (x) − g ◦ f (a) = g (f (x)) − g (b) = [g 0 (b) + η (f (x))] [f (x) − f (a)] = [g 0 (b) + η (f (x))] [f 0 (a) + (x)] (x − a) , y, a fortiori, del cociente incremental g ◦ f (x) − g ◦ f (a) = [g 0 (b) + η (f (x))] [f 0 (a) + (x)] . x−a (c) Para terminar, sólo habrá que dejar que x → a, observando que, por diferenciable, f es continua y limx→a f (x) = b. 39. Comprobar que las funciones u (t) = cos ωt u (t) = sin ωt son soluciones de la ecuación diferencial (ED) d2 u + ω2 u = 0 2 dt

(4)

Comprobar que cualquier combinación lineal u (t) = A cos ωt + B sin ωt es también solución de (4) 40. Encontrar una solución del PVI   

d2 u + ω2u = dt2 ¯ du ¯ =A dt t=0

0

u (0) = B

41. Un resorte (ideal) suspendido del techo se estira 1cm cuando se le cuelga una pesa de 1din. Lo descolgamos y trabaja ahora horizontalmente y sin rozamiento, con una masa de 1gr en su extremo libre. En el instante t = 0 está comprimido 1cm y se sigue cm . Suponiendo que el origen de coordenadas (lineales) comprimiendo a razón de 0.1 seg está puesto en el punto de equilibrio del resorte, el cual se comprime hacia la izquierda y se estira hacia la derecha, calcular la función posición x = x(t). Recordar que 1 dina es la fuerza que provoca a una masa de 1 gramo una aceleración de 1 cm/seg2 y que la aceleración de la gravedad es aproximadamente 1000cm/seg2 .

7

42. Consideramos el polinomio de (1) y sus n primeras derivadas en el origen: p0 (0) , p00 (0) , ..., p(n) (0) . Encontrar relaciones entre p(j) (0) y aj , j = 0, 1, ..., n (p(0) (x) := p (x)). Deducir que un polinomio de grado no mayor que n queda determinado por los valores de sus derivadas de orden 0 hasta n en el origen (n + 1 números). Esto es, dados n + 1 números c0 , ..., cn existe un único polinomio P con grP ≤ n tal que P (k) (0) = ck , k = 0, 1, ..., n.

8