Practico1

Práctico 1: Precálculo 1. Representar en la recta real los siguientes números: 1 − . 3

1 , 2

0.7, 1.45 − 0, 3, 2. Ordenar las siguientes series de números. 1 3

1 2

2 . 5

(a)

0.45 ; − 1.3 ;

(b)

3.141592 ; 3.141593 ; 3, 141592666... ; π ; −

; 0.33 ; − 1.2999... ; −

;

√ 2 ; − 1.41 ; −

142 . 100

3. Demostrar las siguientes proposiciones: (a) a < b ⇔ −b < −a

(b) a < b ∧ c < d ⇒ a + c < b + d (c) a < b ∧ c < 0 ⇒ ac > bc

(d) ab > 0 ⇔ (a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0) (e) a, b, c, d > 0 ∧ a < b ∧ c < d ⇒ ac < bd √ √ (f) a, b > 0 ∧ a < b ⇒ a2 < b2 ∧ a < b

(g) 0 < 1

4. Graficar los intervalos I1 = Hallar I1 ∩ I2

£√ ¢ ¡ ¢ 2, π ; I2 = 75 , 3.5

5. Consideremos los intervalos I1 = (−∞, −1) , I2 = (−1, 0) , I3 = (0, 1) , I4 = (1, ∞). Dado un número a en uno de estos intervalos Ii encuentre a cuál intervalo Ij pertenecerá a1 . 6. Resolver las siguientes inecuaciones: 1) 3x − 1 < 4

2) 2 − 3x > 6

3) (x + 1)(x − 2) < 0

4) (x − 1)(x + 1) > 0

5) (x − 5)4 (x + 10) ≤ 0 7. Resolver las siguientes inecuaciones 1) 1 + 3)

2 x−1

1 x

2)

>0 4)

<3 1

x2 −5 x−2

x2 −4x+3 (x−2)2

≤4 <0

8. Escribir expresiones equivalentes sin usar valor absoluto 1) |4 − 8|

2) |4| + | − 8|

3) | 12 − 0.5|

4) |5 − x|, donde x > 5

5) |3 − π|

6) |a − b|, donde a < b

9. Para las siguientes afirmaciones, pruebe las verdaderas y dé contraejemplos de las falsas. 1) a < b ⇒ |a| < |b|

2) |a + b| = |a| + |b|

3) |ab| = |a| |b|

4) |an | = |a|n 5) − |a| ≤ a ≤ |a|

10. Resolver las siguientes inecuaciones. 1) |2x + 1| ≤ 1

2) |x − 5| > 2

3) | − 3x + 8| ≥ 5

4) | − 3x + 8| < 5

11. Resolver las siguientes inecuaciones 1) |x − 1| ≤ 12 x + 2

2) |x − 40| < |x − 50|

Nota: En 1), observe que 12 x + 2 no puede ser negativo. Y si es no negativo, es de aplicación el teorema 1. En 2), considerando r = |x − 50|, otra vez el teorma 1 convierte la inecuación en dos del tipo de la primera parte. Pero nótese también que una adecuada interpretación geométrica resuelve el problema de manera trivial: La inecuación 2) dice que x está más cerca de 40 que de 50. Cabe de paso recordar a aquella ingeniosa señora que, bien pasados los 50 años, decía, sin mentir, que ella estaba más cerca de los 50 que de los 40. 12. Sea g(x) = |x| − x. Calcule g(1), g(−1), g(−54) 13. ¿Para qué números se podría definir una función f mediante la formula f (x) = x21−2 ? ¿Cúal es el valor de esta función para x = 5? √ 14. ¿Para qué números se podría definir f mediante la formula f (x) = 3 x? ¿Cuánto vale f (27)? √ 15. ¿Para qué números se podría definir una función f mediante la fórmula f (x) = 4 x? ¿Cuánto vale f (16)?

2

16. La relación entre la temperatura del aire T (en o F ) y la altitud h (altura en pies sobre el nivel del mar) es aproximadamente lineal. Cuando la temperatura a nivel del mar es de 60o , un incremento de 5000 pies en la altitud disminuye aproximadamente en 18o la temperatura. 1. Expresar T en terminos de h. 2. Calcular la temperatura del aire a una altitud de 1500 pies. 17. La ley de Boyle dice ”la presión de un gas en un recipiente es inversamente proporcional a su volumen”. Escriba esta ley expresando a la temperatura como una funcioón del volumen. 18. Determinar el dominio de definición de la función f en cada caso: (a) f (x) =

1 x−4

√ (b) f (x) = 2 − x √ (c) f (x) = 4 − x 19. Se dice que una función es par si f (x) = f (−x) para todo x. Se dice que es una función impar si f (x) = −f (−x) para todo x. Determinar si las funciones siguientes son impares, pares o ni una cosa ni la otra 1) f (x) = x

2) f (x) = x2

3) f (x) = x3

4) f (x) =

1 x

5) f (x) = x + x2

6) f (x) =

2 x−3

si x 6= 0 y f (0) = 0.

20. Calcular f + g, f − g, fg y fg para las siguientes funciones. En todos los casos calcular el dominio de la nueva función. √ √ b) f (x) = x − 2, g (x) = x − 4 a) f (x) = x + 2, g (t) = t2 − 4 21. En los siguientes casos calcular f ◦ g, composiciones. √ a) f (x) = x − 1, g (x) = x2

g◦f

y los dominios de f, g y ambas

b) f (x) =

√ 1 , 1−x2

g (x) =

√ x2 −1 x

22. Escribir la función f (x) = |2x2 − 3| + 1 como composición de dos, de tres y de cuatro funciones. 23. Localizar los puntos siguientes: (−1, 1); (0, 5); (−5, −2); (1, 0). 24. Localizar los puntos siguientes ( 12 , 3); (− 13 , − 12 ); ( 43 , 2); (− 14 , 12 ). (a) Sean (x, y) las coordenadasde un punto en el segundo cuadrante. ¿ Es x positivo o negativo ? ¿Es y positivo, o negativo? 3

(b) Sean (x, y) las coordenadas de un punto en el tercer cuadrante.¿Es x positivo, o negativo? ¿Es y positivo, o negativo? (a) Localizar los puntos (1.2, −2.3); (1.7, 3) y calcular su distancia

(b) Localizar los puntos (−2.5, 13 ); (−3.5, 54 ) y calcular su distancia. ³ √ ´ ³ ´ (c) Localizar los puntos − 2, √12 , 0, − √12 y calcular su distancia.

25. Trazar las gráficas de las funciones siguientes: 1. f (x) = −3x + 2

2. g (x) = x3 3. h (x) =

1 x+2

26. Esbozar la gráfica de la función f (x) definida por las condiciones: 1. f (x) = 0 si x ≤ 0. f (x) = 1 si x > 0.

2. f (x) = x2 si x < 0. f (x) = x si x ≥ 0

3. f (x) = |x| + x si −1 ≤ x ≤ 1. f (x) = 3 si x > 1[f (x) no está definida para otros valores de x.] 4. f (x) = x3 si x ≤ 0. f (x) = 1 si 0 < x < 2.f (x) = x2 si x ≥ 2.

5. f (x) = x si 0 < x ≤ 1. f (x) = x − 1 si 1 < x ≤ 2. ¿Cómo expresaría la idea de continuar definiendo f de manera similar en los siguientes intervalos 2 < x ≤ 3, 3 < x ≤ 4...etc.? 1

27. Trazar las gráficas de y = xn y de y = x n para n = 1, 2, 3, 4, .... 28. Hallar y graficar T2→ (1, 3) ↑ T−3

³

1 3 2, 2

T−→1 2

´

¢ , −2 2

¡3

¡ ¢ T 1↑ 1, − 23 3

29. Sea C el cuadrado de vértices (1, 1) , (3, 1) , (3, 3) y (1, 3). Hallar los vértices y graficar ↑ [T1→ (C)] . los cuadrados T1→ (C) y T−2

30. Hallar y graficar S2→ (C) y S ↑1 [S2→ (C)] para el cuadrado C de vértices (2, −2) , (2, 1) , (1, 1 2 y (1, −2) (a) Hallar el punto simétrico de (−1, −2) respecto de (0, 0) .

(b) Hallar el punto simétrico de (−1, −2) respecto de (1, 0) . (c) Hallar el centro de simetría de los puntos (1, 5) y (3, 1) .

(d) Hallar el centro de simetría de los puntos (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ) . (e) ¿Respecto de qué recta son simétricos los puntos (1, 5) y (3, 1)? 4

(f) Hallar y graficar el simétrico respecto de la diagonal d del triángulo de vértices (4, −1) , (6, 1) y (1, 2) .

√ 31. Dadas las funciones f (x) = x1 y f (x) = x. trazar para cada una de ellas la gráfica de: a) f (x − 1), b) f (x + 3), c) f (x) − 2, d) 3f (x), e) 12 f (x), f) f (2x) g) |f (x)|, h)−2f (x), i) f (−x) ¡ ¢ 32. Hallar la ecuación de un círculo con centro en − 12 , 3 y radio 9.25. ¿Pertenece el origen de coordenadas a ese círculo? 33. Trazar la gráfica de la elipse (x + 3)2 (y − 1)2 + = 1. 9 4 Dar las coordenadas de los cuatro vérices. 34. Trazar la gráfica de la siguiente ecuación: x2 +

(y − 1)2 = 4. 4

35. Graficar las siguientes curvas paramétricas: ½ ½ x = 2t x = 10t 1) 2) ,0 ≤ t ≤ 2 2 ,0 ≤ t ≤ 2 y =4−t y = −5t2 + 2t 36. Dar una parametrización del segmento que une los puntos (2, 1) y (4, −2) 37. Completar la siguiente tabla de valores exactos (sin calculadora) θ

π 4

0

π 2

3π 4

cosθ

0

sinθ

1

π

5π 4

3π 2

7π 4

38. Probar que para ángulos del primer cuadrante (0 ≤ θ ≤ π2 ), sin θ = cos 39. Calcular sin y cos de

π 6

y de

π 3

40. Hallar los siguientes valores 1. sin 2π 3

2. sin(π − π6 )

3. cos(π + π6 )

4. cos(2π − π6 )

5. cos 5π 4

6. cos(π +

5

2π ) 6

¡π 2

−θ

¢

41. Las coordenadas de Gob. Ing. Virasoro, en la provincia de Corrientes, son 28o S, 54o W . La localidad Los Amores, en la provincia de Santa Fe, se ubica también en los 28o S de latitud, pero a 60o W de longitud. Si el radio de la tierra es de 6375 km, calcular la distancia entre ambas localidades medida sobre la superficie de la tierra. 42. Probar las siguientes identidades de las funciones trigonométricas: 1) cos (−x) = cos x

2) sin (−x) = − sin x

3) tan (−x) = − tan x

4) sin (x + π) = − sin x

5) cos (x + π) = − cos x

6) tan(x + π) = tan x

43. Hallar los valores siguientes: 1). tan π4

2). tan 2π 6

3). tan 5π 4

4). tan(2π − π4 )

5). sin 7π 6

6). cos 7π 6

7). cos 2π 3

8). cos −π 6

9). cos −5π 6

10). cos −π 3 44. Trazar las gráficas de las siguientes funciones 1). y = sin 2x

2). y = cos 3x

3). y = sin(x + π4 )

4). y = sin x2

5). cos(x − π6 )

6). y = −2 + cos(x − 1)

45. Trazar las gráficas de las funciones 1 1 1 y = sin , y = x sin , y = x2 sin . x x x 46. Trazar las siguientes curvas definidas paramétricamente: ½ ½ x = cos t x = 2 cos 2t 1) , 0 ≤ t ≤ 2π 2) ,0 ≤ t ≤ π y = sin t y = 2 sin 2t 3)

½

x = 3 cos t , 0 ≤ t ≤ 2π y = 2 sin t

6

4)

½

x = 12 cos t , 0 ≤ t ≤ 2π y = 3 sin t

47. Probar las siguientes identidades 2. cos 2x = cos2 x − sin2 x

1. sin 2x = 2 sin x cos x 3. cos2 x =

4. sin2 x =

1+cos 2x 2

5. tan(x + y) =

1−cos 2x 2

tan x+tan y 1−tan x tan y

6. sin nx cos mx = 12 [sin (n + m) x + sin (n − m) x] 7. cos nx cos mx = 12 [cos (n + m) x + cos (n − m) x] 8. sin nx sin mx = 12 [cos (n − m) x − cos (n + m) x] 48. Hallar una fórmula para sin 3x en términos de sin x y cos x. Análogamente para cos 3x. 49. Probar las siguientes identidades: 1) sin α =

√ tan α 1+tan2 α

2) cos α =

√ 1 1+tan2 α

(Es suficiente una demostración geométrica para 0 ≤ α ≤ π2 )

Ejercicios complementarios 53. Muchas veces queremos decir "todos los puntos entre a y b". Sabemos que se trata de un intervalo, (a, b) o (b, a), según cuál sea el mayor. En estos casos, cuando ignoremos cuál es el mayor, escribiremos (a, b)∗ . Esto es, ½ (a, b) si a < b ∗ (a, b) = , (b, a) si b < a y lo mismo para intervalos cerrados o mixtos. Probar que si I es un intervalo y x, y ∈ I, entonces [x, y]∗ ⊂ I 54. Resuelva la desigualdad y exprese en términos de interevalos. 1) |3 − 11x| ≥ 41

2) | − 4x + 1| ≤ 7

3) | 3+2x |>2 5

4) | 7−3x |>1 2

3 5) | x−9 |>2

6) | 2+4x | ≤ 10 x+5

55. Encuentre f (a), f (−a), −f (a), f (a + h), f (a) + f (h) cuando (a) f (x) = 3x2 + x − 2 7

(b) f (x) =

1 x2 +1

56. Desde un punto P que se encuentra a distancia h de una circunferencia de radio r, se traza una tangente a la circunferencia. Sea y la distancia del punto P al punto de tangencia T. (a) Exprese y como función de h (Si C es el centro de la circunferencia, entonces P T es perpendicular a CT.) (b) Suponiendo que el radio de la tierra es de 3960 millas, calcule la distancia al horizonte desde un trasbordador que gira a una altura de 200 millas. 57. Un globo esférico se infla con helio. El radio del globo aumenta a razón de 1.5cm/seg, expresar el volumen V como una función del tiempo t (en segundos). 58. Determine el dominio de definición de las funciones siguientes. √ √ 2) f (x) = 3 2x − 5 1) f (x) = 3x − 2 3) f (x) =

√ x2 − 9

4) f (x) = 5) f (x) =

1 7x+9

x+1 x3 −9x

59. Calcular la superficie de un cono sin tapa en función del radio r de la base y de la altura h. Sugerencia: Desarrollado en el plano, el cono es un sector circular cuyo radio coincide con la directriz d de aquél.

r

d h

d

60. Se sabe que el ángulo γ de inclinación del eje de la Tierra respecto de la perpendicular al plano en que vive su órbita es de 23,45o . Conocida la latitud λ de una ciudad, se pide calcular la duración de la noche más larga del año en ella. Como ayuda se dispone

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de los dos croquis siguientes:

γ

θ

h

R

λ l

r r

h

Croquis no 2 Croquis no 1 La vertical en el croquis 1 es el eje de la tierra. La recta que forma con ella un ángulo γ es la perpendicular al plano orbital. Uno puede imaginar que a su izquierda es de día y a su derecha es de noche. Las líneas horizontales en este croquis son el ecuador y la órbita de la ciudad. R es el radio de la Tierra y r el radio de la órbita, que es función de R y de la latitud λ. Si uno calcula h, se traslada al segundo croquis, donde el círculo representa la órbita de la ciudad, y puede determinar θ. El sector de esa órbita que queda sumido en la noche, corresponde a un ángulo central de 180o +2θ. Algunos ejemplos de latitudes: Buenos Aires Bahía Blanca San Luis Paris Ushuaia

34o 36’ 38o 43’ 33o 18’ 48o 51’ 54o 48’

61. Desde una altura de 2m se lanza horizontalmente un proyectil con una velocidad de 2m/seg. Dar una descripción paramétrica de la trayectoria. Suponer que la aceleración de la gravedad es de 10m/seg 2 y recordar que la distancia recorrida en un movimiento uniformemente acelerado viene dada por la fórmula s (t) = s0 + v0 t + 12 at2 . Suponer que no hay aire. o 62. En √ el vacío, se dispara un proyectil con un ángulo de 45 . La velocidad inicial es de 5 2m/seg. Dar una descripción paramétrica de la trayectoria, bajo las condiciones adicionales del ejercicio anterior.

63. Un hombre dispone de 20m de malla de alambre para cercar un jardín rectangular. Sólo debe cercar tres lados porque el cuarto se apoyará contra un muro suficientemente largo. Exprese el área en función del ancho x del jardín y utilice su gráfica para determinar el area máxima que puede proteger. 9

64. El tiempo total empleado en detener un automóvil desde el momento en que el conductor se da cuenta de un peligro, se compone del tiempo de reacción (tiempo transcurrido desde el apercibimiento hasta que se acciona el pedal de freno) y del tiempo del frenado (tiempo que tarda el coche en detenerse desde que se presiona el pedal correspondiente). La tabla que figura a continuación relaciona la distancia d(metros)que recorre hasta detenerse un automóvil que marcha a una velocidad V (Km/h)en el instante en que se da cuenta del peligro. Representar gráficamente d en función de V. Velocidad V (km/h) 30 45 60 75 90 105 Distancia d(m) 18 30 48 68 97 132 65. Las ciudades de San Luis y Buenos Aires se encuentran a latitud similar, pero sus longitudes son: Buenos Aires 58o 22’20” W y San Luis 66o 20’12” W. Se quiere calcular la diferencia horaria (solar) entre ambas ciudades. *66. Se trata de completar la demostración del teorema 3 en la sección 1.4. De modo que sólo se puede usar de ese teorema lo que se probó efectivamente: que para 0 < β < α < 2π, cos (α − β) = cos α cos β + sin α sin β.

(1)

(a) La extensión de la fórmula (1) para cualesquiera valores reales de α y β, se demuestra usando la definición de las funcions trigonométricas para números fuera del intervalo [0, 2π) y los resultados del ejercicio 45. Es un trabajo que no vale la pena. (b) Probar que cos (α + β) = cos α cos β − sin α sin β. Sugerencia α + β = α − (−β) . ¡ ¢ ¡ ¢ (c) Probar que cos π2 − α = sin α y que sin π2 − α = cos α. (La primera sigue de (1) y la segunda de la primera). (d) Probar que sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β. (usar (c)).

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