Practica4

´ Algebra Ciencias - 2005 Modalidad Semi-intensiva Pr´actica 4: Producto cartesiano, Gr´aficas.

Producto cartesiano Problema 1 Sean los conjuntos A={3,e}, B={2}, C=∅, D={3,7} y U =A∪B∪C. Determine cada uno de los siguientes conjuntos. a) A x B b) B x C c) C x D d) (A - D) x B e) (A - B) x D

f)U x D g)(A∩ D) x B h)(B c ∪ D) x A i)(C x B c ) - (A x B c ) j)(B ∪ Dc ) x B - (Ac x D)

Problema 2 Dados los elementos a y b, se define en teor´ıa de conjuntos el par ordenado (a,b) como el conjunto {{a},{a,b}}. Utilice esta definici´on para determinar cuales de los siguientes conjuntos son pares ordenados a) {{perro},{perro,gato}} b) {q,{p,q}} c) {{5,4},{5}} d) {{φ, α},{α},{α}} e) {{∅},{∅,@}}

f){{1,2,∅},{1,2}} g){{1},{2,2}} h){{3,3,2},{3}} i){{1,3}} j){{a}}

Problema 3 Con esta definici´on de par ordenado demostrar que: Si (a, b) = (c, d) ⇒ a = c ∧ b = d Problema 4 Demostrar las siguientes igualdades. a) X × Y 6= ∅ ∧ X × Y ⊂ Z × W ⇔ X ⊂ Z ∧ Y ⊂ W b) (X × Y ) ∪ (X × W ) = X × (Y ∪ W ) c) (X × Y )c = (X c × Y c ) ∪ (X c ∪ Y ) ∪ (X × Y c ) Problema 5 Analizar cundo (X × Y ) ∩ (Y × X) = ∅ Problema 6 Probar que (A × B) ∪ (C × D) ⊂ (A ∪ C) × (B ∪ D). Vale la igualdad?. Justifique. Problema 7 Demostrar (A × B) = (A × C) ∧ A 6= ∅ ⇒ B = C Problema 8 Probar que en general A × (B × C) 6= (A × B) × C Problema 9 a)Generalizar la formula dada en el ejercicio 4c a tres conjuntos A, B, C. b)Generalizar la formula 4c a n conjuntos A1 , A2 , ..., An .

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Gr´aficas problema 10 Hallar las proyecciones de las siguientes gr´aficas a) G = {(x, y) : x ∈ N ∧ y ∈ {2, 3, 9}} b) G = {(X, x) : X ⊂ E ∧ x ∈ X}, E un conjunto cualquiera. a) G = {(a, b) : |a| ≤ 3 ∧ y ≤ 3, x ∈ R, y ∈ N} Problema 11 Decir si las siguientes gr´aficas son funcionales. a) G = {(1, −1), (2, 0), (1, 0), (2, 3), (3, −1)} b) G = {(a, b), (b, c), (c, d), (m, c)} Justifique Problema 12 Hallar las gr´aficas inversas del ejercicio 11. Problema 13 Sea G una gr´afica. demostrar que: a) pr1 G−1 = pr2 G b) pr2 G−1 = pr1 G Problema 14 Sean G1 y G2 dos gr´aficas. a) Demostrar que: pri (G1 ∩ G2 ) ⊂ (pri G1 ) ∩ (pri G2 ), para i = 1, 2. b) Demostrar que: pri (G1 ∪ G2 ) = (pri G1 ) ∪ (pri G2 ), para i = 1, 2. c) Dar un ejemplo del punto a, en el que la proyecci´on de la intersecci´on coincida con la intersecci´on de las proyecciones, y otro en el que la proyecci´on de la intersecci´on est´e contenida propiamente en la intersecci´on de las proyecciones. Problema 15 Hallar G2 ◦ G1 y G1 ◦ G2 en los siguientes casos: a)G1 G2

= =

{(1, 2), (3, 4), (4, 5), (0, 1), (1, 0)} {(2, 5), (0, 3), (7, 0), (4, 2)}

b)G1 G2

= =

{(x, y) : x es real, y = 3x} {(a, b) : a es real, b = a5 }

c)G1 G2

= =

{(x, y) : x es natural, y = x2 + 2} {(x, y) : x es natural, y = 3x + 2}

Problema 16 Demostrar: a) G ⊂ (pr1 G) × (pr2 G) b)

pr1 G = ∅ ∨ pr2 G = ∅ ⇒ G = ∅

Problema 17 Demostrar: Si G1 ⊂ G2 ∧ G3 ⊂ G4 ⇒ G1 ◦ G3 ⊂ G2 ◦ G4

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Problema 18 Demostrar algunas de las siguientes formulas: a)

pr1 (G2 ◦ G1 ) ⊂ pr1 G1

b)

pr2 (G2 ◦ G1 ) ⊂ pr2 G2

c)

G3 ◦ (G2 ◦ G1 ) = (G3 ◦ G2 ) ◦ G1

d)

−1 −1 (G3 ◦ G2 ◦ G1 )−1 = G−1 1 ◦ G2 ◦ G3

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