Practica Semana 7.pdf

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA

PRACTICA DE INGENIERIA DE CONTROL: REDUCCION DE SISTEMAS 1. INTRODUCCION Los siubsistemas de un sistema de control pueden están unidos mediante diagramas de bloques. Estos bloques son subsistemas que pueden estar unidos: en serie, en paralelo, por retroalimentación y o cualquier otra combinación. El objetivo es determinar la resultante de la combinación de estos bloques o buscar otra a combinación de bloques equivalente al sistema. En el matlab existen comandos que permiten hacer la reducción de los sistemas. Estos comandos son: serie, parallel y feedback. help serie --- help for series --SERIES

Series connection of two input/output models. +------+ v2 --->| | +------+ | M2 |-----> y2 | |------->| | u1 ----->| |y1 u2 +------+ | M1 | | |---> z1 +------+

M = SERIES(M1,M2,OUTPUTS1,INPUTS2) connects the input/ouput models M1 and M2 in series. The vectors of indices OUTPUTS1 and INPUTS2 specify which outputs of M1 and which inputs of M2 are connected together. The resulting model M maps u1 to y2. If OUTPUTS1 and INPUTS2 are omitted, SERIES connects M1 and M2 in cascade and returns M = M2 * M1. If M1 and M2 are arrays of models, SERIES returns a model array M of the same size where M(:,:,k) = SERIES(M1(:,:,k),M2(:,:,k),OUTPUTS1,INPUTS2) . For dynamic systems SYS1 and SYS2, SYS = SERIES(SYS1,SYS2,'name') connects SYS1 and SYS2 by matching their I/O names. The output names of SYS1 and input names of SYS2 should be fully defined. See also APPEND, PARALLEL, FEEDBACK, INPUTOUTPUTMODEL, DYNAMICSYSTEM. Reference page in Doc Center doc series Other functions named series

InputOutputModel/series

sym/series

help parallel Parallel Algorithms Distributed Array Functions distributed - construct from local data isdistributed - return true for distributed arrays gather - retrieve data from the labs to the client classUnderlying - return the class of the elements isaUnderlying - return true if elements are of a given class distributed.cell distributed.colon distributed.eye distributed.false distributed.inf distributed.linspace spaced values distributed.logspace equally spaced values distributed.nan distributed.ones distributed.rand distributed.randi distributed.randn distributed.spalloc distributed.speye distributed.sprand rand distributed.sprandn randn distributed.true distributed.zeros

-

dload objects

- Load distributed arrays and composite

dsave composite

build build build build build build

distributed distributed distributed distributed distributed distributed

cell array vector of form a:[d:]b identity matrix array containing 'false' array containing 'Inf' vector of linearly equally

- build distributed vector of logarithmically -

build build build build build build build build

distributed array containing 'NaN' distributed array containing ones distributed array containing rand distributed array containing randi distributed array containing randn empty sparse distributed array sparse distributed identity matrix sparse distributed array containing

- build sparse distributed array containing - build distributed array containing 'true' - build distributed array containing zeros%

from disk - Save workspace distributed arrays and objects to disk

Codistributed Array Functions codistributed - Create a codistributed array from replicated data codistributed/build - Create a codistributed array from local parts that can be different on each lab codistributed/gather - Convert a codistributed array into a replicated or variant array codistributed/getLocalPart - Local portion of a codistributed array codistributed/globalIndices - Global indices of local part of a codistributed array codistributed/redistribute - Redistribute a codistributed array with another codistributor codistributor1d partitions

- Distribution scheme that

array in a single specified dimension codistributor1d/Dimension - Distributed dimension of codistributor codistributor1d/Partition - Partition of a 1d codistributor codistributor1d/defaultPartition - Default partition in 1d for a codistributed array General Parallel Functions gop labs gcat labs gplus spmd allows

- Apply a global operation across all - Apply global concatenation across all - Apply global addition across all labs - Single Program Multiple Data block more control over distributed arrays

by providing access to them as codistributed arrays within the block - Return the ID for this lab - Return the number of labs operating

labindex numlabs in mapreduce MapReduce framework.

parallel - Solve out-of-memory problems with the

Parallel Communication Functions labSend - Send data to another lab labReceive - Receive data from another lab labSendReceive - Simultaneously send to and receive from other labs labBroadcast - Send data to all labs labBarrier - Block until all labs have entered the barrier labProbe - Test to see if messages are ready to labReceive mpiLibConf - Location of MPI implementation mpiSettings - Set various options for MPI communication See also DISTCOMP, DISTRIBUTED, SPMD, CODISTRIBUTED, CODISTRIBUTOR1D, MAPREDUCE. parallel is both a directory and a function. PARALLEL Parallel connection of two input/output models. +------+ v1 ---------->| |----------> z1 | M1 | u1 +-->| |---+ y1 | +------+ | u ------>+ O------> y | +------+ | u2 +-->| |---+ y2 | M2 | v2 ---------->| |----------> z2 +------+

M = PARALLEL(M1,M2,IN1,IN2,OUT1,OUT2) connects the input/output models M1 and M2 in parallel. The inputs specified by IN1 and IN2 are connected and the outputs specified by OUT1 and OUT2 are summed. The resulting model M maps [v1;u;v2] to [z1;y;z2]. The vectors IN1 and IN2 contain indices into the input vectors of M1 and M2, respectively, and define the input channels u1 and u2 in the diagram. Similarly, the vectors OUT1 and OUT2 contain indexes into the outputs of M1 and M2. If IN1,IN2,OUT1,OUT2 are jointly omitted, PARALLEL forms the standard parallel interconnection of M1 and M2 and returns M = M1 + M2. If M1 and M2 are arrays of models, PARALLEL returns a model array M of the same size where M(:,:,k) = PARALLEL(M1(:,:,k),M2(:,:,k),IN1,...) . For dynamic systems SYS1 and SYS2, SYS = PARALLEL(SYS1,SYS2,'name') connects SYS1 and SYS2 by matching their I/O names. All I/O names of SYS1 and SYS2 must be defined and the matching names appear in SYS in the same order as in SYS1. See also APPEND, SERIES, FEEDBACK, INPUTOUTPUTMODEL, DYNAMICSYSTEM. Reference page in Doc Center doc parallel Other functions named parallel InputOutputModel/parallel help feedback FEEDBACK

Feedback connection of two input/output systems.

M = FEEDBACK(M1,M2) computes a closed-loop model M for the feedback loop: u --->O---->[ M1 ]----+---> y | | +-----[ M2 ]<---+

y = M * u

Negative feedback is assumed and the model M maps u to y. To apply positive feedback, use the syntax M = FEEDBACK(M1,M2,+1). M = FEEDBACK(M1,M2,FEEDIN,FEEDOUT,SIGN) builds the more general feedback interconnection: +------+ v --------->| |--------> z | M1 | u --->O---->| |----+---> y | +------+ |

| +-----[

M2

| ]<---+

The vector FEEDIN contains indices into the input vector of M1 specifies which inputs u are involved in the feedback loop. Similarly, FEEDOUT specifies which outputs y of M1 are used for feedback. SIGN=1 then positive feedback is used. If SIGN=-1 or SIGN is omitted, negative feedback is used. In all cases, the resulting model M the same inputs and outputs as M1 (with their order preserved).

and If then has

If M1 and M2 are arrays of models, FEEDBACK returns a model array M of the same dimensions where M(:,:,k) = FEEDBACK(M1(:,:,k),M2(:,:,k)) . For dynamic systems SYS1 and SYS2, SYS = FEEDBACK(SYS1,SYS2,'name') connects SYS1 and SYS2 by matching their I/O names. The I/O names of SYS1 and SYS2 must be fully defined. See also LFT, PARALLEL, SERIES, CONNECT, INPUTOUTPUTMODEL, DYNAMICSYSTEM. Reference page in Doc Center doc feedback Other functions named feedback iddata/feedback

InputOutputModel/feedback

Ejemplo 1: (Segunda Practica 2016-II): Encontrar una retroalimentación unitaria equivalente, reduciendo el sistema siguiente:

Ejemplo 2: Encontrar una retroalimentación unitaria equivalente, reduciendo el sistema siguiente:

Ejemplo 3: Encontrar una retroalimentación unitaria equivalente, reduciendo9el sistema siguiente:

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PRACTICA DE INGENIERIA DE CONTROL: ESTABILIDAD DE SISTEMAS 1. INTRODUCCION: Definición de estabilidad: Un sistema es estable si a una entrada limitada el sistema también responde con una salida limitada. Anteriormente se demostró que un sistema lineal, cuando esta expresado en forma de función de transferencia H(s), es estable cuando la parte real de sus polos son negativos. Si el sistema esta expresado en la forma de ecuación de estado, el sistema es estable, cuando la parte real de sus autovalores de la Matriz son negativos. En este laboratorio se muestra las características de las respuestas de los sistemas lineales de primer orden y de segundo orden a entradas notables como las funciones impulso unitario y escalón unitario, También se muestran las características de estabilidad de los sistemas de orden general n, a las entradas notables mencionadas anteriormente. Estas respuestas de los sistemas dinámicos tienen características notables que son descritas en función de los parámetros del sistema dinámico.

2. RESPUESTA DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN 2.1. RESPUESTA IMPULSO UNITARIO

Fig. 01: Sistemas de primer orden

Sea la función de transferencia del sistema de primer orden: Ejemplo1: Determinación de la respuesta al impulso unitario de una función de primer orden: G=tf(2,[1 2]) G = 1 ----s + 2 Continuous-time transfer function.

Su respuesta al impulso unitario viene dada por: impulse(G)

Fig. 02: Respuesta al impulso unitario del ejemplo 1

2.2. RESPUESTA AL ESCALON UNITARIO

Fig. 03: Características geométricas de la respuesta al escalón unitario de un sistema dinámico de primer orden.

Los parámetros Tr y Ts, son determinados mediante las relaciones

2

Ejemplo 2: Considere el sistema de transferencia G(s): 𝐺(𝑠) = 𝑠+2 Determine los parámetros: Tr y Tp, correspondientes a la entrada al escalón unitario correspondiente a este sistema de primer orden: G=tf(2,[1 2]) G = 2 ----s + 2 Continuous-time transfer function.

su respuesta al Escalón unitario se obtiene:

Fig. 04: Respuesta al escalón unitario del sistema de primer orden del ejemplo 2

Se puede determinar los parámetros Tr y Ts, de G(s), a partir de la función de transferencia, entonces: a=2;

entonces Ta, y Tr vienen dados por :: Ts=4/a Tr=2.2/a Ts = 2 Tr = 1.1000

Estos valores pueden ser observados en el grafico de la respuesta al Escalón unitario (ver fig. 04):

3. RESPUESTA AL ESCALON UNITARIO DE SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN La forma general de un sistema de segundo orden tiene la forma siguiente:

Fig. 05: Sistema dinámico de segundo orden

La función de transferencia G(s), puede ser expresada en la forma siguiente:

Con: Estos parámetros caracterizan a un sistema de segundo orden: ωn, es la frecuencia natural, ς, es la relación de amortiguamiento: Donde:

Dependiendo del valor de ς, el sistema puede tenerse cuatro tipis de sistemas de segundo orden. Estas son:  periódico, cuando ς=0,  subamortiguado, cuando 0<ς<0, periódico  críticamente amortiguado, ς=1,  sobreamortiguado, cuando 1<ς.

3.1. RESPUESTA IMPULSO UNITARIO La respuesta al impulso unitario cuando el sistema es subamortiguado con ς=0.1, y con wn=2, es mostrado en el siguiente ejemplo: Ejemplo 3:

si=0.1; wn=2; H=tf(wn^2, [1 2*si*wn wn^2]) impulse(H,12) H = 4 --------------s^2 + 0.8 s + 4 Continuous-time transfer function.

La caracteristica de la respuesta al impulso unitario de este sistema de segundo orden es mostrado:

Fig. 06: Respuesta al impulso unitario del sistema de segundo orden del ejemplo 3

Las respuestas al impulso unitario para valores diferentes de ς, se muestran a continuación:

Ejemplo 4: La respuesta al impulso unitario de los sistemas de segundo orden para diferentes valores de ς:=[0 0.1 0.4 1 1.4]; si=[0 0.1 0.4 H=tf(wn^2, [1 H=tf(wn^2, [1 H=tf(wn^2, [1 H=tf(wn^2, [1 H=tf(wn^2, [1

1 1.4]; 2*si(1)*wn 2*si(2)*wn 2*si(3)*wn 2*si(4)*wn 2*si(5)*wn

wn.^2]);impulse(H,12); grid; hold on; wn.^2]);impulse(H,12); wn.^2]);impulse(H,12); wn.^2]);impulse(H,12); wn.^2]);impulse(H,12);

Fig. 06: Respuesta al impulso unitario de sistemas de primer orden para diferentes valores de elación de amortiguamiento, del ejemplo 4

3.2. RESPUESTA AL ESCALON UNITARIO DE UN SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN ESTABLE La respuesta característica de un sistema de segundo orden para un sistema de segundo orden subamortiguado con ς=0.1 es mostrado a continuación: Ejemplo 5: La respuesta al escalón unitario de un sistema de segundo orden subamortiguado con ς:= 0.1 tiene las características siguientes: si=0.1; wn=2;H=tf(wn^2, [1 2*si*wn wn^2]); step(H,20); grid

Fig. 07: Respuesta al escalón unitario de sistemas de segundo orden , del ejemplo 5-

los sistemas de segundo orden para diferentes valores de ς:=[0 0.1 0.4 1 1.4], se observan en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 6: La respuesta al impulso unitario de los sistemas de segundo orden para diferentes valores de ς:=[0 0.1 0.4 1 1.4]; si=[0 0.1 0.4 H=tf(wn^2, [1 H=tf(wn^2, [1 H=tf(wn^2, [1 H=tf(wn^2, [1 H=tf(wn^2, [1

1 1.4];wn=2; 2*si(1)*wn wn.^2]);step(H,20); grid; hold on; 2*si(2)*wn wn.^2]);step(H,20); 2*si(3)*wn wn.^2]);step(H,20); 2*si(4)*wn wn.^2]);step(H,20); 2*si(5)*wn wn.^2]);step(H,20);

Fig. 08: Respuesta al escalón unitario de sistemas de segundo orden , del ejemplo 6

Esto es resumido en la tabla siguiente:

Fig. 09: Características de las Respuesta al escalón unitario de sistemas de segundo orden , para casos los casos indicados.

Las características geométricas de la respuesta de un sistema de segundo orden, es mostrado a continuación:

Fig. 10: Características de la Respuesta al escalón unitario de sistemas de segundo orden,

En estas relaciones se demuestran

También se puede mostrar la relación entre la relación de amortiguamiento y el Ts

Fig. 11: Relación entre Tr y la relación de amortiguamiento

Ejemplo 7: Determinar las respuestas al escalón unitario del sistema de segundo orden H(s) y los parámetros de esta respuesta al escalón unitario. 𝐻(𝑠) = N=1; D=[1 1 1]; H=tf(N,D) H =

𝑠2

1 +𝑠+1

1 ----------s^2 + s + 1 Continuous-time transfer function.

Los parámetros del sistema son obtenidos a partir de la función de transferencia H(s). Estas son: wn=sqrt(D(3)) si=D(3)/(2*wn) wn = 1 si = 0.5000

La respuesta al Escalón unitario, viene dado por step(H)

Fig. 12: Respuesta al escalón unitario de sistemas de segundo orden del ejemplo 7.

Cuantitativamente, Los parámetros de la respuesta al escalón unitario de esta función de transferencia se determinan a partir de las relaciones definidas anteriormente. rsi=sqrt(1-si*si); Tp=pi/(wn*rsi) Tp = 3.6276

porcsobrepico=100*exp(-si*pi/rsi) porcsobrepico = 16.3034

Asi sucesivamente se puede determinar todos los parámetros indicados en las formulas anteriores:

4. RESPUESTA DE SISTEMAS DE CUALQUIER ORDEN "n" Para el caso de una función general de orden n, que sea estable se puede determinar una función de transferencia equivalente a una función de segundo orden: Ejemplo 8: Dado el sistema de tercer orden 𝐻(𝑠) =

700 (𝑠 + 15)(𝑠 2 + 4𝑠 + 100)

Determinar una función de transferencia de segundo orden equivalente: n=700;d=conv([1 15], [1 4 100]); H=tf(n,d) H = 700 --------------------------s^3 + 19 s^2 + 160 s + 1500 Continuous-time transfer function.

Su respuesta al escalón unitario viene dada por: step(H); grid on;

Fig.13: Respuesta al escalón unitario de sistemas de segundo orden del ejemplo 78

Determinando la función de transferencia de segundo orden equivalente: De la figura de la respuesta al escalón unitario: cmax=0.6646; cfinal=0.4667;

De la formula

se determina el porcentaje de sobrepico: porcOS=(cmax-cfinal)*100/cfinal porcOS = 42.4041

La relación de amortiguamiento, viene dado por la fórmula:

Asi: a=log(porcOS/100);b=sqrt(pi^2+a^2); si=-a/b si = 0.2634

Tp=0.3868; wn=pi/(Tp*sqrt(1-si^2)) wn = 8.4194

Por tanto, la función de segundo orden equivalente será: n1=wn^2; d1=[1 2*si*wn wn^2]; H1=tf(n1,d1) H1 = 70.89 --------------------s^2 + 4.436 s + 70.89 Continuous-time transfer function.

Ejemplo 9: Dado el sistema de tercer orden, con polos: p1=-1; p2=-2+i; p3=-2-i : 𝐻(𝑠) =

𝑠−1 𝑠 3 + 5𝑠 2 + 9𝑠 + 4

Determinar una función de transferencia de segundo orden equivalente: polos=[ -1 -2+i -2-i];zeros=1; H1=zpk(zeros,polos,1) H1 = (s-1) -------------------(s+1) (s^2 + 4s + 5) Continuous-time zero/pole/gain model.

La función de transferencia correspondiente a este sistema de tercer orden, con los polos indicados son: step(H1)

Fig. 14: Respuesta al escalón unitario de sistemas de segundo orden del ejemplo 9.

A partir de esta respuesta del sistema de tercer orden (o cualquier sistema) se puede determinar un sistema de segundo orden equivalente. En la figura anterior se puede determinar: Cmax =0.05 Tp=0.75 Cmax = 0.0500 Tp = 0.7500

Similarmente, con estos valores se puede determinar una función de transferencia de segundo orden equivalente. En algunos casos no puede existir una función de transferencia de segundo orden equivalente.