Practica Rm 1_verano_2019_resolucion.docx

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

“UNIVERSIDAD NACIONAL “JORGE BASADRE GROHMANN” CENTRO PREUNIVERSITARIO LÓGICA PROPOSICIONAL CICLO VERANO 2019-III

LÓGICA PROPOSICIONAL

V F

Enunciado. - Es toda frase u oración que se utiliza en nuestro lenguaje Proposición. -Es todo enunciado, respecto de la cual se puede decir si es verdadera (V) o falsa (F)

2) CONJUNCIÓN ( ) Dadas dos proposiciones p y q, p  q (se lee "p y q") Tabla de verdad

CLASES DE PROPOSICIONES A) Proposición Simple o Atómicas.- Son aquellas proposiciones que constan de un solo enunciado proposicional . Por ejemplo, sea la proposición p: 4 + 7 = 11 B) Proposición Compuesta o molecular.- Son aquellas proposiciones que constan de dos o más proposiciones simples. Ejemplo: r: Pitágoras era griego y era geómetra p q Se encuentra dos enunciados. (p) afirma que Pitágoras era griego y (q) que Pitágoras era geómetra.

q

p  q

V V F F

V F V F

V F F F

Dadas dos proposiciones p y q p  q (se lee ”p o q“) Tabla de verdad p

q

p  q

V V F F

V F V F

V V V F

4) IMPLICACIÓN O CONDICIONAL (→) Dadas dos proposiciones p y q p → q (se lee p entonces q). La proposición p se llama antecedente, y la proposición q se llama consecuente Tabla de verdad

OPERACIONES PROPOSICIONALES NEGACIÓN ( ~ ) p : Jorge estudia matemática ~p : Jorge no estudia matemática Tabla de verdad: p

p

3) DISYUNCIÓN ()

I. CONECTIVOS LÓGICOS.Enlazan proposiciones simples A partir de proporciones simples es posible generar otras, simples o compuestas. Es decir que se puede operar con proposiciones, y para ello se utilizan ciertos símbolos llamados conectivos lógicos.

1)

F V

~p

1

p

q

p → q

V V F F

V F V F

V F V V

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

Práctica 01

5) DOBLE IMPLICACIÓN O BICONDICIONAL(↔) Dadas dos proposiciones p y q p ↔ q (se lee "p si y sólo si q") Tabla de verdad

pvF≡p p^F≡F pvV≡V p^V≡p Leyes de Complementación p v ~p ≡ V p ^ ~p ≡ F Leyes de Idempotencia pvp≡p p^p≡p Leyes Conmutativas pvq≡qvp p^q≡q^p Leyes Asociativas p v (q v r) ≡ (p v q) v r p ^ (q ^ r) ≡ (p ^ q) ^ r Leyes Distributivas p v (q ^ r) ≡ (p v q) ^ (p v r) p ^ (q v r) ≡ (p ^ q) v (p ^ r) Leyes de Morgan ~ (p v q) ≡ ~ p v ~ q ~ (p ^ q) ≡ ~ p ^ ~ q Ley de Involución ~~p≡p Leyes de Absorción p v (p ^ q) ≡ p p ^ (p v q) ≡ p Equivalencias del condicional p --> q ≡ ~ p v q p --> F ≡ ~p V--> q ≡ q p --> V ≡ V F --> q ≡ V p --> p ≡ V ~p --> p ≡ p p --> ~ p ≡ ~ p (p ^ q) --> r ≡ (p --> r) v (q --> r) (p v q) --> r ≡ (p --> r) ^ (q --> r) p --> (q ^ r) ≡ (p --> q) ^ (p --> r) p --> (q v r) ≡ (p --> q) v (p --> r)

p q p ↔ q V V V V F F F V F F F V 6) Diferencia Simétrica (∆) Dadas dos proposiciones p y q p ∆ q (se lee "p diferencia simétrica q ") Tabla de verdad p q p ∆ q V V F V F V F V V F F F II. TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA TAUTOLOGÍA Si al evaluar una fórmula lógica, resulta que todos los valores de verdad resultantes son siempre V para cualquier combinación de sus valores veritativos, decimos que dicha fórmula es una Tautología o Ley lógica. CONTRADICCIÓN Si al evaluar una fórmula lógica, resulta que todos los valores de verdad resultantes son siempre F para cualquier combinación de sus valores veritativos, decimos que dicha fórmula es una Tautología o Ley lógica. CONTINGENCIA: Se entiende por verdad contingente, o verdad de hecho, aquella proposición que puede ser verdadera o falsa, (combinación entre tautología y contradicción) según los valores de las proposiciones que la integran.

Equivalencias del Bicondicional p <--> q ≡ (p --> q) ^ (q --> p) p <--> V ≡ p p <--> F ≡ ~ p p <--> p ≡ V p <--> ~ p ≡ F

III. LEYES LÓGICAS Leyes de Identidad 2

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

Práctica 01

~ (p <--> q) ≡ ~ p <--> q ~ (p <--> q) ≡ p <--> ~ q

D) E)

CIRCUITOS LOGICOS SERIE :

p^q

4. Determine cuál de las equivalencias son correctas: a. 𝑝 → 𝑞 ≡∼ [(𝑝 ∨ 𝑞) ∧∼ 𝑞] b. 𝑝 → 𝑞 ≡ (𝑝 ∧ 𝑞) ∨∼ 𝑝 c. 𝑝 → 𝑞 ≡∼ 𝑞 →∼ 𝑝 A) Solo c B) Solo a y b C) Solo a y c D) Solo b y c E) a, b y c

PARALELO : p v q

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Si la proposición: [(~𝑝 ∨ 𝑠) ∧ (𝑞 →∼ 𝑟)] es verdadera, hallar respectivamente el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. ∼ (𝑞 ∧ 𝑟) ⟶ (𝑝 ∧∼ 𝑠) II. (𝑞 ∧ 𝑟) → [(𝑝 ∧ 𝑠) ∨∼ 𝑝] III. (𝑟 →∼ 𝑞) ∨ (𝑝 ∨ 𝑠) a) FFF b) FFV c) FVV d) VFF e) VVV

2. Se tiene que: 𝐹(𝑝) = {

«Inés no está bien de salud y sigue las indicaciones de su médico». «Inés sigue las indicaciones de su médico o está enferma». siguientes

5. Si se sabe que: r  s  t  (p  q)   r  t)  s qp) es verdadera, hallar el valor de verdad de: I. p  q  r   ( t  p )  r II.  (r  s)  t   (p  q) III.  (p  q)  ( t   ) a) VVV b) VFF c) VFV d) FVV e) VVF

1 𝑠𝑖 "p" 𝑒𝑠 𝑇 2 𝑠𝑖 "p" 𝑒𝑠 𝐹

Calcule el valor de 𝐹(𝑐) + 𝐹(𝑏) + 𝐹(𝑎), donde: 𝑐 =∼ 𝑞 → (∼ 𝑝 ∨∼ 𝑞) 𝑏 = [(𝑟 ∧∼ 𝑝) ∧ (𝑝 ∧ 𝑞)] → 𝑟 𝑎 = [𝑞 ↔ (𝑝 ∧ 𝑞)] ↔ (𝑞 ∧∼ 𝑝) a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

6. Simplificar: ~ { [ (~p) v (~q) ] v ~q } a) p b) ∼p d) p ∧ q e) p v q

c) q

7. Sabiendo que: 𝑟∆𝑠 ≡ 𝑉, simplificar: {[(𝑟 ∨ 𝑠) ∧ (∼ 𝑝 ∨ 𝑞)] ∧ [(𝑟 ∧ 𝑠) ∨∼ 𝑞]} ∨ (𝑟 ↔ 𝑠) a) ∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞 b) ∼ 𝑝 ∨ 𝑞 c) ∼ 𝑝 ∨∼ 𝑞 d) 𝑝 ∧∼ 𝑞 e) ∼ 𝑝 → 𝑞

3. La negación del enunciado «Si Inés está bien de salud, entonces ella sigue las indicaciones de su médico» es: A) «Inés está bien de salud y no sigue las indicaciones de su médico». B) «Inés está bien de salud y sigue las indicaciones de su médico». C) «Inés no está bien de salud y no sigue las indicaciones de su médico».

8. Si la proposición: (𝑝 →∼ 𝑞) ∨ (∼ 𝑟 → 𝑠) es falsa Deducir el valor de verdad de: (∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞) ∨∼ 𝑞 a. [(∼ 𝑟 ∨ 𝑞) ∧ 𝑞] ↔ [(∼ 𝑞 ∨ 𝑟) ∧ 𝑠] b. (𝑝 → 𝑟) → [(𝑝 ∨ 𝑞) ∧∼ 𝑞] c. a) FVV b) FFV c) VFV d) FFF e) VFF 3

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

Práctica 01 a) p b) q

9. Si se sabe que: r  s  t  (p  q)   r  t)  s qp) es verdadera, hallar el valor de verdad de: I. p  q  r   ( t  p )  r II.  (r  s)  t   (p  q) III.  (p  q)  ( t   ) a) VVV b) VFF c) VFV d) FVV e) VVF

c) p ∧q

d) p∨q

e) ~ p

14. Si la proposición compuesta (𝑝 ∨∼ 𝑞) ∨ [(𝑝 ∧ 𝑟) ∨ 𝑡] es falsa. Indique el valor de verdad de: I. (∼ 𝑝 → 𝑡) → (∼ 𝑞 → 𝑟) II. ∼ [∼ 𝑝 ∨∼ 𝑞] → (𝑟 ∨∼ 𝑡) III. ∼ (𝑞 ∨ 𝑟) ∨ [∼ 𝑡 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)] a) VFV b) VVF c) VVV d) FVV e) VFF 15. Simplificar la proposición que representa al circuito: ~s t ~t ~s t ~r

10. Si p y q son proposiciones y se define la operación representada por (↓) así: 𝑝 ↓ 𝑞 ≡∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞. Decir la tabla de verdad. I. (𝑝 ↓ 𝑝) ↓∼ 𝑝 es una contradicción. II. (𝑝 ↓ 𝑝) →∼ 𝑝 es una tautología. III. (𝑝 ↓ 𝑝) ↓ (𝑞 ↓ 𝑞) ≡∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞 a) VVV b) FVF c) FFV d) FVV e) FFF

r A) r B) s

11. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I.- Si: 12>30 entonces 5 + 4 = 9 II.- No es cierto que 5 + 6 = 7 si y solo si 9 + 4 = 11 III.- Tacna no es capital del Perú, entonces Lima es la capital de Tacna. IV.- Tacna está en el Perú o el Perú está en Tacna. a) VFFV b) VVFF c) FVFV d) VFVF e) FFFV 12. Si p $ q = VVFV Entonces p $( p $ q) equivale a: a) p v q b) p ∧ q c) p→ q d) p ∆ q e) p  q 13. Simplificar el circuito:

Señale el esquema correspondiente.

4

C) t

D)

E)