Practica Ciclo 18-2 (2).docx

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS

CÁLCULO DIFERENCIAL

AUTOR: MG. ING. VÁSQUEZ DOMÍNGUEZ RIQUELMER APOLINAR

LIMA-PERÚ

2018

RIQUELMER APOLINAR VÁZQUEZ DOMÍNGUEZ

CÁLCULO DIFERENCIAL

ÍNDICE

1. Lógica proposicional, conectivos lógicos, conjuntos, propiedades de conjuntos ......................................................................................................... 3 2. Números reales, desigualdades, máximo entero, funciones valor absoluto, funciones máximo entero ............................................................................. 10 3. Números reales, funciones (dominio y rango, funciones valor absoluto, composición de funciones) ...................................................................... …25 4. Límites y asíntotas……………………………………………………………..34 5. Funciones, valores de cambio, derivadas. ................................................... 44 6. Funciones, límites, derivadas, razón de cambio, L’ Hospital ........................ 51 7. Aplicaciones de la derivada .......................................................................... 58

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RIQUELMER APOLINAR VÁZQUEZ DOMÍNGUEZ

CÁLCULO DIFERENCIAL

11PC

TEMAS: Lógica proposicional, conectivos lógicos, conjuntos, propiedades de conjuntos

1. a) Determine si la proposición es tautología {~𝒑 ∨ ~𝒒 ∨ ~𝒓} ∨ ~{[𝒓 → 𝒑] → ~[(𝒑 → 𝒒) ∧ (𝒒 → 𝒓)]}

b) Analice la veracidad del enunciado Si (𝑨 ∩ 𝑩) ∩ [𝑨 ∩ (𝑩 ∩ 𝑪)] = ∅ entonces 𝑨 ⊂ 𝑪′ c) Use elementos para demostrar 𝑩 ⊂ [(𝑩 − 𝑨) ∪ 𝑨]

2. Dados los conjuntos 𝑴 = [(𝑨 ∪ 𝑩’) ∩ (𝑨’ 𝑼 𝑩’)] ∪ [𝑨 ∩ (𝑨 ∪ 𝑩’)] 𝑵 = [(𝑨 ∪ 𝑩 ∪ 𝑪) – (𝑨 ∩ 𝑩 ∩ 𝑪)] ∩ [(𝑨 ∆ 𝑩) 𝑼 (𝑩 ∆ 𝑪)]’ Simplificar el conjunto 𝑴 ∪ 𝑵 ∪ 𝑩

3. Dadas las proposiciones 𝒎 = [~(~𝒑 → ~𝒒) ↔ ~(𝒑 ∨ 𝒒)] ∨ [𝒑 → (~𝒑 ∧ 𝒒 ∧ 𝒓)] 𝒏 = [(𝒑 △ 𝒒) → 𝒓] ∧ [(𝒑 △ ~𝒒) → ~𝒓)] 𝒕 = 𝒑 ↔ ~𝒒 Simplificar la proposición: 𝒎 ↔ (𝒏 ↔ 𝒕)

3

RIQUELMER APOLINAR VÁZQUEZ DOMÍNGUEZ

CÁLCULO DIFERENCIAL

SOLUCIONARIO

1.

a) Determine si la proposición es tautológica {~𝒑 ∨ ~𝒒 ∨ ~𝒓} ∨ ~{[𝒓 → 𝒑] → ~[(𝒑 → 𝒒) ∧ (𝒒 → 𝒓)]} Recordar:    

𝑝 → 𝑞 ≡ ~𝑝 ∨ 𝑞 𝑝 ∨ ~𝑝 ≡ V 𝑝∨V ≡ V 𝑝 ∧V ≡𝑝

Resolución: Antes recordaremos algunas propiedades:    

𝑝 → 𝑞 ≡ ~𝑝 ∨ 𝑞 𝑝 ∨ ~𝑝 ≡ V 𝑝∨V ≡ V 𝑝 ∧V ≡𝑝

{~𝑝 ∨ ~𝑞 ∨ ~𝑟} ∨ ~{[𝑟 → 𝑝] → ~[(𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑞 → 𝑟)]}

(𝐷𝑎𝑡𝑜) (Aplicando propiedad de la condicional)

~𝑝 ∨ ~𝑞 ∨ ~𝑟 ∨ ~{~(~𝑟 ∨ 𝑝) ∨ ~[(~𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (~𝑞 ∨ 𝑟)]} ~𝑝 ∨ ~𝑞 ∨ ~𝑟 ∨ {(~𝑟 ∨ 𝑝) ∧ (~𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (~𝑞 ∨ 𝑟)} ~𝑝 ∨ ~𝑞 ∨ {(~𝑟 ∨ ~𝑟 ∨ 𝑝) ∧ (~𝑟 ∨ ~𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (~𝑞 ∨ 𝑟 ∨ ~𝑟)} ~𝑝 ∨ ~𝑞 ∨ {(~𝑟 ∨ 𝑝) ∧ (~𝑟 ∨ ~𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (~𝑞 ∨ V)} ~𝑝 ∨ ~𝑞 ∨ {(~𝑟 ∨ 𝑝) ∧ (~𝑟 ∨ ~𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑉} ~𝑝 ∨ ~𝑞 ∨ {(~𝑟 ∨ 𝑝) ∧ (~𝑟 ∨ ~𝑝 ∨ 𝑞)} ~𝑝 ∨ {(~𝑟 ∨ 𝑝 ∨ ~𝑞) ∧ (~𝑟 ∨ ~𝑝 ∨ 𝑞 ∨ ~𝑞)} ~𝑝 ∨ {(~𝑟 ∨ 𝑝 ∨ ~𝑞) ∧ (~𝑟 ∨ ~𝑝 ∨ V)} ~𝑝 ∨ {(~𝑟 ∨ 𝑝 ∨ ~𝑞) ∧ (~𝑟 ∨ V)} ~𝑝 ∨ {(~𝑟 ∨ 𝑝 ∨ ~𝑞) ∧ V} ~𝑝 ∨ {(~𝑟 ∨ 𝑝 ∨ ~𝑞)} ~𝑝 ∨ ~𝑟 ∨ 𝑝 ∨ ~𝑞 ~𝑝 ∨ 𝑝 ∨ ~𝑟 ∨ 𝑞 V ∨ ~𝑟 ∨ 𝑞 V∨𝑞 ∴ 𝐸𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎 V Rpta.

(Aplicando Morgan) (Por distributiva) (Def. de disyuncion) (Def. de disyuncion) (Def. de disyuncion) (Distributiva) (Def. de disyuncion) (Def. de disyuncion) (Def. de disyuncion) (Def. de disyuncion) (Distributiva) (Conmutativa) (Def. de disyuncion) (Def. de disyuncion) (Def. de disyuncion)

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1.

CÁLCULO DIFERENCIAL

b) Analice la veracidad del enunciado Si (𝑨 ∩ 𝑩) ∩ [𝑨 ∩ (𝑩 ∩ 𝑪)] = ∅ entonces 𝑨 ⊂ 𝑪′ Resolución: Antes recordaremos algunas propiedades  𝐴∩𝐴 ≡ 𝐴  𝐴 − 𝐵 ≡ 𝐴 ∩ 𝐵′  𝐴 ∩ 𝐵′ → 𝐴 ⊂ 𝐵 (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ [𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)] = ∅ 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ [𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶] = ∅ 𝐴∩𝐵∩𝐴∩𝐵∩𝐶 = ∅ 𝐴∩𝐴∩𝐵∩𝐵∩𝐶 = ∅ 𝐴∩𝐵∩𝐶 = ∅ 𝐴∩𝐶 =∅ 𝐴 ∩ (𝐶 ′ )′ = ∅ 𝐴 ⊂ 𝐶′ ∴ 𝐿𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟

1.

Rpta.

c) Use elementos para demostrar que 𝑩 ⊂ [(𝑩 − 𝑨) ∪ 𝑨] Demostración: 𝐵 ⊂ [(𝐵 − 𝐴) ∪ 𝐴] 𝑥 ∈ 𝐵 ⊂ 𝑥 ∈ (𝐵 − 𝐴) ∨ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵 ⊂ 𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴′ ) ∨ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵 ⊂ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴′) ∨ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵 ⊂ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∉ 𝐴) ∨ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵 ⊂ (𝑥 ∈ 𝐵 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ( 𝑥 ∉ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴) 𝑥 ∈ 𝐵 ⊂ (𝑥 ∈ (𝐵 ∪ 𝐴)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐴′ )) 𝑥 ∈ 𝐵 ⊂ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝕌 𝑥 ∈ 𝐵 ⊂ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) 𝐵 ⊂ (𝐴 ∪ 𝐵)…………………….l.q.q.d

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2.

CÁLCULO DIFERENCIAL

Dados los conjuntos 𝑴 = [(𝑨 ∪ 𝑩’) ∩ (𝑨’ 𝑼 𝑩’)] ∪ [𝑨 ∩ (𝑨 ∪ 𝑩’)] 𝑵 = [(𝑨 ∪ 𝑩 ∪ 𝑪) – (𝑨 ∩ 𝑩 ∩ 𝑪)] ∩ [(𝑨 ∆ 𝑩) 𝑼 (𝑩 ∆ 𝑪)]’ Simplificar el conjunto 𝑴 ∪ 𝑵 ∪ 𝑩

Resolución: Antes recordaremos algunas propiedades 

𝐴 ∪ 𝐴′ = 𝕌



𝐴 ∩ 𝐴′ = ∅



𝐴∪𝐴 =𝐴



𝐴∩𝐴 =∅



𝐴∪ 𝕌=𝕌

𝑀 = [(𝐴 𝑈 𝐵′ ) ∩ (𝐴′ ∪ 𝐵′ )] ∪ [𝐴 ∩ (𝐴 ∪ 𝐵)′ ]

(Conmutativa, distributiva)

= {[𝐴 ∩ (𝐴′ ∪ 𝐵′)] ∪ [𝐵′ ∩ (𝐴′ ∪ 𝐵′)]} 𝑈 [𝐴 ∩ (𝐴′ ∩ 𝐵′)] (Distributiva) = {[(𝐴 ∩ 𝐴′ ) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵′ )] ∪ [(𝐵′ ∩ 𝐴′ ) ∪ (𝐵′ ∩ 𝐵′ )]} ∪ [𝐴 ∩ 𝐴′ ∩ 𝐵′ ] (Por propiedad) = {[ ∅ ∪ (𝐴 ∪ 𝐵′ )] ∪ [(𝐵′ ∩ 𝐴′ ) ∪ 𝐵′ ]} ∪ [ ∅ ∩ 𝐵 ]

(Por propiedad, absorción)

= {(𝐴 ∪ 𝐵′ ) ∪ 𝐵′} ∪ ∅

(Absorción)

= {𝐵′ } ∪ ∅

(Por propiedad)

= 𝐵′

𝑁 = [(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) – (𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)] ∩ [(𝐴 𝛥 𝐵) ∪ (𝐵 𝛥 𝐶)]′ II

I

De I: [(𝐴 𝛥 𝐵) ∪ (𝐵 𝛥 𝐶)]′

(Dato)

(Aplicando propiedad de diferencia simétrica) = {[(𝐴 – 𝐵) ∪ (𝐵 – 𝐴)] ∪ [(𝐵 – 𝐶) ∪ (𝐶 – 𝐵)]}′ ′)

′ )]

= {[(𝐴 ∩ 𝐵 ∪ (𝐵 ∩ 𝐴 = ({[(𝐴 ∩

𝐵′ )

∪ 𝐵] ∩ [(𝐴 ∩

′)

(Diferencia)

∪ [(𝐵 ∩ 𝐶 ∪ (𝐶 ∩ 𝐵 𝐵′ )

∪

𝐴′ ]} ∪

{[(𝐵 ∩

𝐶 ′)

′ )]}′

(Distributiva)

∪ 𝐶] ∩ [(𝐵 ∩ 𝐶 ′ ) ∪ 𝐵′ ]})′ (Semiabsorción)

= {[(𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴′ ∪ 𝐵′ )] ∪ [(𝐵 ∪ 𝐶) ∩ (𝐵′ ∪ 𝐶 ′ )]}′ (Distributiva) = ({[(𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴′ ∪ 𝐵′)] ∪ (𝐵 ∪ 𝐶)} ∩ {[(𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴′ ∪ 𝐵′)] ∪ (𝐵′ ∪ 𝐶′)]})′ (Distributiva) = ({[(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴′ ∪ 𝐵′ ∪ 𝐵)] ∪ 𝐶} ∩ {[(𝐴 ∪ 𝐵′ ∪ 𝐵′ ) ∩ (𝐴′ ∪ 𝐵′ ∪ 𝐵′ )] ∪ 𝐶})′ (Por propiedad) = ({[(𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴′ ∪ 𝕌)] ∪ 𝐶} ∩ {[(𝐴 ∪ 𝕌) ∩ (𝐴′ ∪ 𝐵′ )] ∪ 𝐶})′

(Por propiedad)

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CÁLCULO DIFERENCIAL

= ({(𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝕌] ∪ 𝐶} ∩ {[𝕌 ∩ (𝐴′ ∪ 𝐵′ )] ∪ 𝐶})′ = [(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) ∩

(𝐴′

′

∪ 𝐵 ∪ 𝐶

′ )]′

(Por propiedad)

(Complemento)

= [(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)′ ]′ (Complemento) = [(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) – (𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)]′

⇒ I = II' ⇒ 𝐷 = [(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) – (𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)] 𝑁 = 𝐷 ∩ 𝐷′ = ∅

⇒𝑀 ∪ 𝑁 ∪ ∅ = 𝐵′ ∪ ∅ ∪ 𝐵 = (𝐵′ ∪ 𝐵) ∪ ∅

(Por propiedad)

=𝕌 ∪ ∅

(Por propiedad)

= 𝕌

3.

(Asociativa)

Rpta.

Dadas las proposiciones 𝒎 = [~(~𝒑 → ~𝒒) ↔ ~(𝒑 ∨ 𝒒)] ∨ [𝒑 → (~𝒑 ∧ 𝒒 ∧ 𝒓)] 𝒏 = [(𝒑 △ 𝒒) → 𝒓] ∧ [(𝒑 △ ~𝒒) → ~𝒓)] 𝒕 = 𝒑 ↔ ~𝒒 Simplificar la proposición: 𝒎 ↔ (𝒏 ↔ 𝒕)

Resolución: Antes recordamos algunas propiedades: 

𝑝↔𝑝=V

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CÁLCULO DIFERENCIAL

I) 𝑚 = [~(~𝑝 → ~𝑞) ↔ ~(𝑝 ∨ 𝑞)] ∨ [𝑝 → (~𝑝 ∧ 𝑞 ∧ 𝑟)] Sea 𝑖 = [~(~𝑝 → ~𝑞) ↔ ~(𝑝 ∨ 𝑞)] y 𝑖𝑖 = [𝑝 → (~𝑝 ∧ 𝑞 ∧ 𝑟)]

𝑖 = [~(𝑝 ∨ ~𝑞) ↔ ~(𝑝 ∨ 𝑞)]

(Dato) (Por bicondicional)

𝑖 = [~(𝑝 ∨ ~𝑞) → ~(𝑝 ∨ 𝑞)] ∧ [∼ (𝑝 ∨ 𝑞) → ~(𝑝 ∨∼ 𝑞)]

(Condicional)

𝑖 = [(𝑝 ∨ ~𝑞) ∨ ~(𝑝 ∨ 𝑞)] ∧ [(𝑝 ∨ 𝑞) ∨ ~(𝑝 ∨∼ 𝑞)]

(Distributiva, negacion)

𝑖 = {(𝑝 ∨ ~𝑞) ∨ (~𝑝 ∧∼ 𝑞)} ∧ {[(𝑝 ∨ 𝑞) ∨∼ 𝑝] ∧ [(𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑞]}

(Def. de disyuncion)

𝑖 = {[(𝑝 ∨ ~𝑞) ∨ ~𝑝] ∧ [(𝑝 ∨ ∼ 𝑞) ∨∼ 𝑞]} ∧ {[𝑉] ∧ [(𝑝 ∨ 𝑞)]}

(Def. de disyuncion)

𝑖 = {[𝑉] ∧ [(𝑝 ∨ ∼ 𝑞)]} ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)

(Def. de conjuncion)

𝑖 = (𝑝 ∨∼ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)

(Ditributiva)

𝑖 = [(𝑝 ∨∼ 𝑞) ∧ 𝑝] ∨ [(𝑝 ∨∼ 𝑞) ∧ 𝑞] 𝑖 = [𝑝] ∨ [(𝑝 ∧ 𝑞)]

(Absorción, semiabsorcion) (Absorción)

𝑖= 𝑝

𝑖𝑖 = [∼ 𝑝 ∨ (~𝑝 ∧ 𝑞 ∧ 𝑟)]

(Dato) (Absorción)

𝑖𝑖 = ∼ 𝑝

De 𝑖 y 𝑖𝑖 : 𝑚 = 𝑝 ∨∼ 𝑝

(Def. de disyunción)

𝑚=𝑉

II) 𝑛 = [(𝑝 △∼ 𝑞) → 𝑟] ∧ [(𝑝 △∼ 𝑞) →∼ 𝑟]

(Dato) (Disyuncion excluyente)

𝑛 = [∼ (𝑝 ↔∼ 𝑞) → 𝑟] ∧ [∼ (𝑝 ↔∼ 𝑞) →∼ 𝑟]

(Bicondicional)

𝑛 = [(𝑝 ↔∼ 𝑞) ∨ 𝑟] ∧ [(𝑝 ↔∼ 𝑞) ∨∼ 𝑟]

(Distribución inversa)

𝑛 = (𝑝 ↔∼ 𝑞) ∨ (𝑟 ∧∼ 𝑟)

(Def. de conjuncion)

𝑛 = {(𝑝 ↔∼ 𝑞)} ∨ 𝐹

(Def. de disyuncion)

𝑛 = 𝑝 ↔ ~𝑞

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III)

CÁLCULO DIFERENCIAL

𝑡 = 𝑝 ↔ ~𝑞 →𝑛=𝑡

∴ 𝑚 ↔ (𝑛 ↔ 𝑡) 𝑉 ↔ (𝑛 ↔ 𝑛)

(Por propiedad)

𝑉 ↔ (𝑉)

(Por propiedad)

𝑉

Rpta.

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CÁLCULO DIFERENCIAL

22PC - PAR CIAL

TEMAS: Números reales, desigualdades, máximo entero, funciones valor absoluto, funciones máximo entero

1. a) Supongamos que 𝒏 ∈ ℤ+ y 𝟎 < 𝒙 < 𝒚, demuestre que 𝒏𝟐 𝟏 𝒏−𝟏 < + 𝒙 + (𝒏 − 𝟏)𝒚 𝒙 𝒚

b) Resolver las siguientes igualdades: (|𝒙| − 𝟏)(𝒙 − 𝟑)(⟦𝒙⟧ − 𝟐) (𝟐√|𝒙| − √|𝒙| − 𝟐) > 𝟎

c) Sean a,b,c,x,y,z numero positivos distintos tales que: 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 = 𝟏 y 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝟏, demuestre que: 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 < 𝟏

2. Dados los conjuntos: 𝒙𝟐 −𝟐𝒙+𝟏𝟐+√𝒙𝟐 −𝟔𝒙+𝟏𝟔 𝒙−|𝒙𝟐 +𝟔𝒙+𝟖|+𝟒

𝑨 = { 𝒙 ∈ 𝑹/√ 𝑩 = {𝒙 ∈ 𝑹/ ⟦

√(𝒙−𝟏)−𝟏 ⟧ |𝒙|−𝟏

≥ 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟖}

≥ 𝟐}

a) Hallar 𝑨 y 𝑩 en forma de intervalos b) Halle 𝑨 ∩ 𝑩𝑪

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CÁLCULO DIFERENCIAL

3. a) Determine analíticamente el rango de 𝒇 definida mediante 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 ⟦

𝒙+𝟑 𝟓𝒙 − 𝟏𝟓 ⟧ + 𝟐𝒙 ⟦ ⟧ , 𝒙 ∈ ⟨𝟏, 𝟐] 𝒙+𝟐 𝒙−𝟒

b) Determine el dominio, rango y grafica de la función 𝒇 que tiene por regla de correspondencia 𝒇(𝒙) = ⟦

𝒙𝟐

𝟒 ⟧ − 𝟐𝒙 + 𝟐

4. a) Si 𝒙, 𝒚, 𝒛 ∈ ℝ+ , tal que √𝒙 + √𝒚 + √𝒛 = 𝟐 √𝒙𝟑

√𝒚𝟑

√𝒛𝟑

√

√

√𝒙𝒛+𝒛

Demostrar: 𝒙+

+ 𝒚+ 𝒙𝒚+𝒚

+ 𝒙+ 𝒚𝒛+𝒛

𝟑

≥𝟐

b) Determine el conjunto solución de la siguiente inecuación (⟦𝒙⟧ − 𝟐)(√|𝒙| − √𝟑|𝒙| − 𝟏)(𝟏 − √𝟑 − 𝒙) ≥ 𝟎

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CÁLCULO DIFERENCIAL

SOLUCIONARIO

1. a) Supongamos que n ∈ ℤ+ − {𝟏} y 𝟎 < 𝒙 < 𝒚 Demuestre que: 𝒏𝟐 𝟏 𝒏−𝟏 < + 𝒙 + (𝒏 − 𝟏)𝒚 𝒙 𝒚

Resolución:



𝑥 2 + 𝑦 2 > 2𝑥𝑦



𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑥𝑦 > 𝑥𝑦



𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑛𝑥𝑦 − 𝑥𝑦 > 𝑛𝑥𝑦 + 𝑥𝑦



𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥𝑦(𝑛 − 1) > 𝑥𝑦(𝑛 + 1)

(∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ 𝑦 𝑥 ≠ 𝑦)

Multiplicando por [𝑛 − 1 > 0]



(𝑥 2 + 𝑦 2 )(𝑛 − 1) + (𝑛 − 1)2 𝑥𝑦 > (𝑛2 − 1)𝑥𝑦



(𝑥 2 + 𝑦 2 )(𝑛 − 1) + (𝑛 − 1)2 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 > 𝑛2 𝑥𝑦



[𝑥 + 𝑦(𝑛 − 1)][𝑦 + 𝑥(𝑛 − 1)] > 𝑛2 𝑥𝑦



𝑦+𝑥(𝑛−1) 𝑥𝑦



1 𝑥

+

𝑛−1 𝑦

>

>

𝑛2 𝑥+(𝑛−1)𝑦

𝑛2 𝑥+(𝑛−1)𝑦

………………………………… l.q.q.d.

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1.

CÁLCULO DIFERENCIAL

b) Resolver las siguientes desigualdades: (|𝒙| − 𝟏)(𝒙 − 𝟑)(⟦𝒙⟧ − 𝟐) (𝟐√|𝒙| − √|𝒙| − 𝟐) > 𝟎

Resolución:

Por C.V.A.: (|𝑥| ≥ 0) ⋀ (|𝑥| − 2 ≥ 0) ⇒ |𝑥| ≥ 2 ⇒ 𝑥 ≤ −2 ∨ 𝑥 ≥ 2 𝑎



𝑎

Si 𝒙 ≤ −𝟐 < 𝟎 (|𝑥| − 1)(𝑥 − 3)(⟦𝑥⟧ − 2) (2√|𝑥| − √|𝑥| − 2) > 0 →

≥0

2√−𝑥 − √−𝑥 − 2 > 0

<0

<0

(𝑎𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜)

4|−𝑥| > |−𝑥 − 2| 4(−𝑥) > (−𝑥 − 2) … (𝑉)

2 > 3𝑥 ⇒ 𝒂



𝒙 ≤ −𝟐 … (𝜶)

Si 𝒙 ≥ 𝟐 > 𝟎 (|𝑥| − 1)(𝑥 − 3)(⟦𝑥⟧ − 2) (2√|𝑥| − √|𝑥| − 2) > 0 (𝑥 − 1)(𝑥 − 3)(⟦𝑥⟧ − 2)(2√𝑥 − √𝑥 − 2) > 0 𝑥 ≥2 ⇒ 𝑥−1≥1 𝑎

𝑥 ≥ 2 ⇒ 3𝑥 ≥ 6 > −2 ⇒ 3𝑥 > −2 𝑎

𝑎

4𝑥 ≥ 𝑥 − 2 ⇒ 2√𝑥 > √𝑥 − 2 ⇒ 2√𝑥 − √𝑥 − 2 > 0 𝑎

𝑎

(𝑥 − 3)(⟦𝑥⟧ − 2) > 0

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(𝑥 − 3 > 0 ⋀ ⟦𝑥⟧ − 2 > 0) (𝑥 > 3 ⋀ ⟦𝑥⟧ > 2) (𝑥 > 3)

∨ (𝑥 < 2)

( 𝑥 ≥ 2) ⋀ [(𝑥 > 3)

⇒

𝒙 > 𝟑 … (𝜷)

𝒂

∨ (𝑥 − 3 < 0 ⋀ ⟦𝑥⟧ − 2 < 0 )

∨ (𝑥 < 3 ⋀ ⟦𝑥⟧ < 2 )

⇒ 𝑎

CÁLCULO DIFERENCIAL

∨ (𝑥 < 2)]

De (𝜶) 𝒚 (𝜷): 𝑪. 𝑺. : 𝒙 ∈ ⟨−∞; −𝟐] ∪ ⟨𝟑; +∞]

1.

Rpta.

c) Sean 𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝝐 ℝ+ , distintos tale que: i)

𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 = 𝟏

ii)

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝟏

Demostrar que: 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 < 𝟏

Resolución: 

De la desigualdad Cauchy – Schwarz: 𝑛

𝑛 2

𝑛

2

2

∑(𝑎𝑖 ) . ∑(𝑏𝑖 ) ≥ [∑ 𝑎𝑖 𝑏𝑖 ] 𝑖=0

𝑖=0

𝑖=0



Este es un caso cuando n = 2:



Por lo tanto, sea el conjunto {𝑎𝑦, 𝑏𝑥, 𝑎𝑧, 𝑐𝑥, 𝑏𝑧, 𝑐𝑦} ∈ ℝ+ distintos entre sí.



Sabemos que: (𝑎𝑦)2 + (𝑏𝑥)2 > 2(𝑎𝑦)(𝑏𝑥) … (𝛼) (𝑎𝑧)2 + (𝑐𝑥)2 > 2(𝑎𝑧)(𝑐𝑥) … (𝛽) (𝑏𝑧)2 + (𝑐𝑦)2 > 2(𝑏𝑧)(𝑐𝑦) … (𝜃)

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

CÁLCULO DIFERENCIAL

De ((𝛼) + (𝛽) + (𝜃)) + (𝑎2 𝑥 2 + 𝑏 2 𝑦 2 + 𝑐 2 𝑧 2 ): 𝑎2 𝑦 2 + 𝑎2 𝑧 2 + 𝑏 2 𝑥 2 + 𝑏 2 𝑧 2 + 𝑐 2 𝑥 2 + 𝑐 2 𝑦 2 + (𝑎2 𝑥 2 + 𝑏 2 𝑦 2 + 𝑐 2 𝑧 2 ) > (𝑎2 𝑥 2 + 𝑏 2 𝑦 2 + 𝑐 2 𝑧 2 ) + 2(𝑎𝑦)(𝑏𝑥) + 2(𝑎𝑧)(𝑐𝑥) + 2(𝑏𝑧)(𝑐𝑦) 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎2 𝑦 2 + 𝑎2 𝑧 2 + 𝑏 2 𝑥 2 + 𝑏 2 𝑦 2 + 𝑏 2 𝑧 2 + 𝑐 2 𝑥 2 + 𝑐 2 𝑦 2 + 𝑐 2 𝑧 2 > (𝑎𝑥)2 + (𝑏𝑦)2 + (𝑐𝑧)2 + 2(𝑎𝑦)(𝑏𝑥) + 2(𝑎𝑧)(𝑐𝑥) + 2(𝑏𝑧)(𝑐𝑦)



Operando tenemos lo siguiente: 𝑎2 (𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ) + 𝑏(𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ) + 𝑐 2 (𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ) > (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧)2 (𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )(𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 ) > (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧)2 1 ⇒

(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧)2 < 1

∴

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 < 1 ………………..l.q.q.d

𝑎

2.

1

Dados los conjuntos: 𝒙𝟐 −𝟐𝒙+𝟏𝟐+√𝒙𝟐 −𝟔𝒙+𝟏𝟔 𝒙−|𝒙𝟐 +𝟔𝒙+𝟖|+𝟒

𝑨 = { 𝒙 ∈ 𝑹/√ 𝑩 = {𝒙 ∈ 𝑹/ ⟦

√(𝒙−𝟏)−𝟏 ⟧ |𝒙|−𝟏

≥ 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟖}

≥ 𝟐}

a) Hallar A y B en forma de intervalo. b) Hallar A ∩ 𝑩𝑪

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CÁLCULO DIFERENCIAL

Resolución: a) Calculando el CVA En A 𝑥 2 − 2𝑥 + 12 ∆= (−2)2 − 4(12)(1) ∆= −44 < 0 𝑥 2 − 2𝑥 + 12 > 0

𝑥 − |𝑥 2 + 6𝑥 + 8| + 4 > 0 𝑥 + 4 > |𝑥 2 + 6𝑥 + 8| 𝑥 2 + 6𝑥 + 8 < 𝑥 + 4

^

𝑥 2 + 6𝑥 + 8 > −(𝑥 + 4)

𝑥 2 + 5𝑥 + 4 < 0

^

𝑥 2 + 7𝑥 + 12 > 0

(𝑥 + 4)(𝑥 + 1) < 0

^

(𝑥 + 4)(𝑥 + 3) > 0

𝑥 ∈ < −4, −1 >

^

𝑥 < −4 ˅ 𝑥 > −3

→ 𝑥 2 + 4𝑥 − 8 = (𝑥 + 2)2 − 12 < 0 𝑥 ∈ 〈−3; −1〉 → A = 〈−3; −1〉 En B ⟦

√(𝑥−1)−1 ⟧ |𝑥|−1

2≤

≥2

√(𝑥−1)−1 |𝑥|−1

√𝑥 − 1 → (𝑥 − 1) ≥ 0 𝑥≥1

^

|𝑥| − 1 ≠ 0

^ 𝑥≠1

^ 𝑥≠1

→𝑥>1  ⟦

√(𝑥−1)−1 ⟧ |𝑥|−1

√(𝑥−1)−1 |𝑥|−1

≥2

≥2

Como 𝑥 > 1 → |𝑥| = 𝑥

√(𝑥−1)−1 𝑥−1

≥2

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CÁLCULO DIFERENCIAL

2(𝑥 − 1) ≤ √𝑥 − 1 − 1 2𝑥 − 1 ≤ √𝑥 − 1 (2𝑥 − 1)2 ≤ √(𝑥 − 1)2 4𝑥 2 − 4𝑥 + 1 ≤ 𝑥 − 1 4𝑥 2 − 5𝑥 + 1 ≤ 0

…①

∆ = (−5)2 − 4(2)(4) ∆= −7 < 0 → 4𝑥 2 − 5𝑥 + 2 > 0 ... ② De ① y ② B = ①∩② = ∅

b) Piden: A∩BC 〈−3; −1〉 ∩ (∅)𝐶 〈−3; −1〉 ∩ 𝕌 〈−3; −1〉

3.

Rpta.

a) Determine analíticamente el rango 𝒇 definida mediante 𝒙+𝟑

𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 ⟦𝒙+𝟐⟧ + 𝟐𝒙 ⟦

𝟓𝒙−𝟏𝟓 ⟧ 𝒙−𝟒

, 𝒙 ∈ ⟨−𝟏; 𝟐 ]

Resolución:  ⟦

Analizando el primer máximo entero: 𝑥+3 1 + 1⟧ ⟧ → ⟦ 𝑥+2 𝑥+2

−1 < 𝑥 ≤ 2 1<𝑥+2≤4 5 1 ≤ +1<2 4 𝑥+2

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⟦



⟦

CÁLCULO DIFERENCIAL

1 + 1⟧ = {1} … (∗) 𝑥+2

Analizando el segundo máximo entero: 5𝑥 − 15 5 + 5⟧ ⟧ → ⟦ 𝑥−4 𝑥−4

−1 < 𝑥 ≤ −2 −5 < 𝑥 − 4 ≤ −2 1 1 1 − ≤ <− 2 𝑥−4 5 5 5 − ≤ < −1 2 𝑥−4 5 5 ≤ +5<4 2 𝑥−4 ⟦



5 + 5⟧ = {2 ; 3} … (∗∗) 𝑥−4

De (*) y (**) en la ecuación principal:

𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 4𝑥 (𝑥 + 2)2 − 4 −1 < 𝑥 ≤ 2 1<𝑥+2≤4

𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 6𝑥

∨ ∨ ∨

(𝑥 + 3)2 − 9 −1 < 𝑥 ≤ 2

∨

1 < (𝑥 + 2)2 ≤ 16

2<𝑥+3≤5 ∨ 4 < (𝑥 + 3)2 ≤ 25

−3 < (𝑥 + 2)2 − 4 ≤ 12

Por lo tanto:

∨ −5 < (𝑥 + 3)2 − 9 ≤ 16

𝑅𝑎𝑛 𝑓(𝑥) = < −5 ; 16]

Rpta.

18

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CÁLCULO DIFERENCIAL

3. b) Determine el dominio, rango y grafica de la función 𝒇 que tiene por regla de correspondencia 𝟒

𝒇(𝒙) = ⟦𝒙𝟐−𝟐𝒙+𝟐⟧ ∀ 𝒙 ∈ 𝑫𝒐𝒎 𝒇 ∧ 𝒙 ∈ ℝ → 𝑫𝒐𝒎 𝒇 = ℝ

Resolución: 𝑓(𝑥) = ⟦

4 ⟧ (𝑥 − 1)2 + 1

Se sabe que: (𝑥 − 1)2 ≥ 0 (𝑥 − 1)2 + 1 ≥ 1 0<

1 ≤1 (𝑥 − 1)2 + 1

0<

4 ≤4 (𝑥 − 1)2 + 1

⟦

1 ⟧ = {0; 1; 2; 3; 4} (𝑥 − 1)2 + 1

𝑅𝑎𝑛 𝑓 = {0; 1 ; 2 ; 3 ; 4}

Por lo tanto:

Analizando para un determinado dominio:



Si 𝑓(𝑥) = 0 4 <1 (𝑥 − 1)2 + 1 1 1 0< < 2 (𝑥 − 1) + 1 4 0<

(𝑥 − 1)2 + 1 > 4 (𝑥 − 1)2 > 3 𝑥 < 1 − √3

∨

𝑥 > 1 + √3

19

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

CÁLCULO DIFERENCIAL

Si 𝑓(𝑥) = 1 4 <2 (𝑥 − 1)2 + 1 1 1 1 ≤ < 2 4 (𝑥 − 1) + 1 2 1≤

2 < (𝑥 − 1)2 + 1 ≤ 4 1 < (𝑥 − 1)2 ≤ 3 −√3 ≤ 𝑥 − 1 < −1 ∨ 1 < 𝑥 − 1 ≤ √3 −√3 + 1 ≤ 𝑥 < 0 ∨ 2 < 𝑥 ≤ √3 + 1



Si 𝑓(𝑥) = 2 4 <3 (𝑥 − 1)2 + 1 1 1 3 ≤ < 2 2 (𝑥 − 1) + 1 4 2≤

4 < (𝑥 − 1)2 + 1 ≤ 2 3 1 < (𝑥 − 1)2 ≤ 1 3 √3 √3 −1 ≤ 𝑥 − 1 < − ∨ <𝑥−1≤1 3 3 0≤𝑥<



3 − √3 √3 + 3 ∨ <𝑥≤2 3 3

Si 𝑓(𝑥) = 3 4 <4 (𝑥 − 1)2 + 1 3 1 ≤ <1 4 (𝑥 − 1)2 + 1 3≤

1 < (𝑥 − 1)2 + 1 ≤ 0 < (𝑥 − 1)2 ≤

4 3

1 3 20

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−

√3 √3 ≤𝑥−1<0 ∨ 0<𝑥−1≤ 3 3

3 − √3 ≤𝑥<1 3



CÁLCULO DIFERENCIAL

∨

1<𝑥≤

√3 + 3 3

Si 𝑓(𝑥) = 4 4 =4 (𝑥 − 1)2 + 1 𝑥=1

Gráfica:

4.

a) Si 𝒙, 𝒚, 𝒛 ∈ ℝ+ ,tal que √𝒙 + √𝒚 + √𝒛 = 𝟐 Demostrar: 𝒙+

√𝒙 𝟑 √𝒙𝒚+𝒚

√𝒚𝟑

+ 𝒚+

√𝒛𝟑

√𝒚𝒛+𝒛

+ 𝒙+

√𝒙𝒛+𝒛

𝟑

≥𝟐

Resolución: 

Primero demostraremos que para todo {a , b} ⊂ ℝ+ 𝑎3 + 𝑎2 𝑏+𝑎𝑏2 + 𝑏3 𝑎2 +𝑎𝑏+ 𝑏2

≥

2 3

(𝑎 + 𝑏)

21

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CÁLCULO DIFERENCIAL

Partimos de: 𝑥 + 𝑦 ≥ 2√𝑥𝑦 ≥ 0 3(𝑥 + 𝑦) ≥ 2 ( 𝑥 + √𝑥𝑦 + 𝑦 ) ≥ 0 𝑥+𝑦 𝑥+√𝑥𝑦+𝑦

≥

2 3

(𝑥+𝑦)(√𝑥+√𝑦)

2

≥ 3 (√𝑥 + √𝑦)

𝑥+√𝑥𝑦+𝑦

𝑥√𝑥+𝑥√𝑦+𝑦√𝑥+𝑦√𝑦 𝑥+√𝑥𝑦+𝑦

2

𝑥√𝑥+𝑥√𝑦+𝑦√𝑥+𝑦√𝑦

2

𝑥√𝑥

√𝑥

≥

3

2√𝑥 3

2

- √𝑦 ≥ 3 √𝑥 + 3 √𝑦 - √𝑦

𝑥+√𝑥𝑦+𝑦

𝑥+√𝑥𝑦+𝑦

2

≥ √𝑥 + √𝑦 3 3

𝑦

-√

3

2

1

≥ √𝑥 − √𝑦 ………………………………… (𝛼) 𝑥𝑦+𝑦 3 3

𝑥+√

Análogamente se obtiene: 3

√𝑦 𝑦+√𝑦𝑧+𝑧 √𝑧

2

1

≥ √𝑦 − √𝑧 …………………………………….. (𝛽) 3 3

3

2

𝑥+√𝑥𝑧+𝑧

1

≥ √𝑧 − √𝑥 ……………………………………… (𝜃) 3 3

Sumando (𝛼), (𝛽), (𝜃) se obtiene: √𝑥

3

3

𝑥+√𝑥𝑦+𝑦

+

√𝑦 𝑦+√𝑦𝑧+𝑧

+

√𝑧

3

𝑥+√𝑥𝑧+𝑧

≥

√𝑥+√𝑦+√𝑧 3

2

= … l.q.q.d. 3

4. b) Determine el conjunto solución de la siguiente inecuación ⟦𝒙⟧ − 𝟐)(√|𝒙| − √𝟑|𝒙| − 𝟏)(𝟏 − √𝟑 − 𝒙) ≥ 𝟎

Resolución:

(⟦𝑥⟧ − √|𝑥| − 1) (1 ⏟ − 2) (√|𝑥| ⏟ − √3 − 𝑥) ≥ 0 ⏟ 𝑎

𝑏

𝑐

22

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CÁLCULO DIFERENCIAL

1° Restricciones *En 𝑏 : |𝑥| ≥ 0

∧

3|𝑥| − 1 ≥ 0 |𝑥| ≥

𝑥∈𝑅

*En 𝑐 : 3 − 𝑥 ≥ 0

1 3

𝑥≤3

1

1

𝑥 ≥ 3 ∪ 𝑥 ≤ −3

Intersectando restricciones:

1

1

𝑥 ∈< −∞; − 3] ∪ [3 ; 3]

2° Evaluando: * Si 𝑎 ≥ 0 → ⟦𝑥⟧ − 2 ≥ 0

⇒

𝑥≥2

* Si 𝑏 ≥ 0 → √|𝑥| − √3|𝑥| − 1 ≥ 0

⇒

* Si 𝑐 ≥ 0 → 1 − √3 − 𝑥 ≥ 0

𝑥≥0

⇒

−

1 2

1

≤𝑥≤2

3° Analizando: 1

* Si 𝑥 ⏟∈< −∞; − 3] → 𝑎 < 0 ; 𝑐 < 0 ; 𝑏 > 0 (1’) 1 2

Por lo tanto: − ⏟ ≤𝑥≤

1 2

(2’)

Intersectando (1’) y (2’): 1 1 𝑥 ∈ [− ; − ] … . (1) 2 3

1

*Si 𝑥 ⏟∈ [ 3 ; 2 > → 𝑎 < 0 ; 𝑐 < 0 ; 𝑏 > 0 (1’’) 1 2

Por lo tanto: − ⏟ ≤𝑥≤

1 2

(2’’)

1 1

Intersectando (1’’) y (2’’): 𝑥 ∈ [3 ; 2] … . (2)

*Si 𝑥 ∈< 2; 3] → 𝑎 > 0 ; 𝑐 > 0 ; 𝑏 < 0 No cumple: 𝜙

23

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CÁLCULO DIFERENCIAL

Por lo tanto: 𝑥 ∉< 2; 3] … . (3)

*Si 𝑥 = 2 → 𝑎 = 0 ; 𝑐 < 0 ; 𝑏 > 0 Si cumple ⟹ 𝑥 = 2 … . (4)

1

1

1 1

∴ Uniendo: (1); (2); (3); (4) 𝑥 ∈ [− ; − ] ∪ [ ; ] ∪ {2} 2 3 3 2

Rpta.

24

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CÁLCULO DIFERENCIAL

PARCIAL

TEMAS: Números reales, funciones (dominio y rango, funciones valor absoluto, composición de funciones)

1.

Analice la veracidad de los enunciados justificando su respuesta a) Sean 𝑨, 𝑩 subconjuntos del dominio de 𝒇, entonces 𝒇(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝒇(𝑨) ∩ 𝒇(𝑩) b) Para 𝒇 definida mediante 𝒙−𝟐 ),𝒙 𝟑𝒙−𝟏

𝒇(𝒙) = 𝒙⟦|𝒙 − 𝟐|⟧ − 𝟐𝒔𝒈𝒏 (

c) Sea 𝒌 ∈ 〈𝟎, 𝟏〉, 𝒚 = 𝒇(𝒙) =

2.

∈ 〈𝟐, 𝟒〉 entonces 𝒇([𝟑, 𝟒⟩) = [𝟏, 𝟐⟩

𝒙𝟐 +𝟐𝒙+𝒌 entonces 𝒙𝟐 +𝟒𝒙+𝟑𝒌

𝑹𝒂𝒏 𝒇 = ℝ

Dada la función 𝒇, definida por 𝒇(𝒙) = |

𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 − 𝟏| + | + 𝟏| 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙

Determine el periodo mínimo de 𝒇, rango y grafica de 𝒇

3.

Dada la función 𝒇, definida por 𝒇(𝒙) =

𝟐𝒙−𝟕 𝒙𝟐 −𝟏𝟐

Determine la inversa de la función 𝒇 si existe

25

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CÁLCULO DIFERENCIAL

SOLUCIONARIO

1.

a) Sean 𝑨, 𝑩 subconjuntos del cominio de 𝒇, entonces 𝒇(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝒇(𝑨) ∩ 𝒇(𝑩)

Resolución: 

Por contra ejemplo: 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 ∀𝑥 ∈ ℝ 𝐴 ∈ 〈0, +∞〉 ⇒ 𝑓(𝐴) ∈ 〈0, +∞〉 𝐵 ∈ 〈−∞, 0〉 ⇒ 𝑓(𝐵) ∈ 〈0, +∞〉 → 𝑓(𝐴) ∩ 𝑓(𝐵) = 〈0, +∞〉 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ ⇒ 𝑓(𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ 𝑓(𝐴 ∩ 𝐵) ≠ 𝑓(𝐴) ∩ 𝑓(𝐵)



Por gráfica:

𝑓(𝐴)

𝑓(𝐵)

𝐴

𝐵

𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ ⇒ 𝑓(𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ 𝑓(𝐴) = 𝑓(𝐵) ⇒ 𝑓(𝐴) ∩ 𝑓(𝐵) = 𝑓(𝐴) → 𝑓(𝐴) ≠ ∅ → 𝑓(𝐴) ∩ 𝑓(𝐵) ≠ 𝑓(𝐴 ∩ 𝐵)

26

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1.

CÁLCULO DIFERENCIAL

b) Para 𝒇 definida mediante 𝒙−𝟐

𝒇(𝒙) = 𝒙⟦|𝒙 − 𝟐|⟧ − 𝟐𝒔𝒈𝒏 (𝟑𝒙−𝟏) , 𝒙 ∈ 〈𝟐, 𝟒〉 entonces 𝒇([𝟑, 𝟒⟩) = [𝟏, 𝟐⟩ Resolución: 𝑥−2 𝑓(𝑥) = 𝑥⟦|𝑥 − 2|⟧ − 2𝑠𝑔𝑛 ( ) 3𝑥 − 1 



3≤𝑥<4 1≤𝑥−2<2 ⟦|𝑥 − 2|⟧ = 1 𝑥−2 3𝑥−1

=

1 3

−

5 3(3𝑥−1)

→3≤𝑥 <4 1 1 1 < ≤ 33 3(3𝑥 − 1) 24 5 −5 5 − ≤ <− 24 3(3𝑥 − 1) 33 8 ≤ 3𝑥 − 1 < 11 ⇒

1 5 1 5 1 5 − ≤ − < − 3 24 3 3(3𝑥 − 1) 3 33 1 1 5 3 ≤ − < 8 3 3(3𝑥 − 1) 11

⇒

𝑥−2

∴ 𝑠𝑔𝑛 (3𝑥−1) = 1 

𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2, 𝑥 ∈ [3,4⟩ 3≤𝑥 <4⇒1≤𝑥−2<2 → 𝑓([3,4⟩) = [1,2⟩……………………………..l.q.q.d

1.

𝒙𝟐 +𝟐𝒙+𝒌

c) Sea 𝒌 ∈ 〈𝟎, 𝟏〉, 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐+𝟒𝒙+𝟑𝒌 entonces 𝑹𝒂𝒏 𝒇 = ℝ

Resolución:  Del rango se deduce que 𝑦 debe tomar todo ℝ 𝑦𝑥 2 4𝑥𝑦 + 3𝑦 = 𝑥 2 + 2𝑥 + 𝑘 𝑥 2 (𝑦 − 1) + 2𝑥(2𝑦 − 1) + 𝑘(3𝑦 − 1) = 0 27

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

CÁLCULO DIFERENCIAL

Para que 𝑥 tenga valores reales → ∆≥ 0 4(2𝑦 − 1)2 − 4𝑘(3𝑦 − 1)(𝑦 − 1) ≥ 0 (4𝑦 2 − 4𝑦 + 1) − 𝑘(3𝑦 2 − 4𝑦 + 1) ≥ 0 𝑦 2 (4 − 3𝑘) + 4𝑦(𝑘 − 1) + (1 − 𝑘) ≥ 0



Para que esta inecuación se amplié ∀𝑦 ∈ ℝ aplicamos el teorema del trinomio positivo Como 𝑘 ∈ 〈0,1〉, además su ∆ debe ser negativo o cero 1 < 4 − 3𝑘 < 4 → 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 (+) → ∆≤ 0 16(𝑘 − 1)2 − 4(1 − 𝑘)(4 − 3𝑘) ≤ 0 4(𝑘 2 − 2𝑘 + 1) − (4 − 7𝑘 + 3𝑘 2 ) ≤ 0 𝑘2 − 𝑘 ≤ 0 𝑘(𝑘 − 1) ≤ 0 𝑘 ∈ [0,1] Por dato: 𝑘 ∈ 〈0,1〉 ∧ 〈0,1〉 ⊂ [0,1] ∴𝑦∈ℝ

2.

Dada la función f definida por: 𝒇(𝒙) = |

𝐬𝐞𝐧 𝟑𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝒙 − 𝟏| + | + 𝟏| 𝐬𝐞𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙

Determine el periodo mínimo de 𝒇, rango y gráfica de 𝒇.

Resolución:

I) Restricciones:  sen 𝑥 ≠ 0  𝑥 ≠ 𝜋𝑘 28

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CÁLCULO DIFERENCIAL

 cos 𝑥 ≠ 0 𝑥≠

𝜋𝑘 2

II) Reduciendo la expresión: 𝑓(𝑥) = | 𝑓(𝑥) = |

sen 3𝑥 − sen 𝑥 cos 3𝑥 + cos 𝑥 |+| | sen 𝑥 cos 𝑥

2sen 𝑥 cos 2𝑥 2cos 2𝑥 cos 𝑥 | + | cos 𝑥 | sen 𝑥

𝑓(𝑥) = |2 cos 2𝑥| + |2 cos 2𝑥| 𝑓(𝑥) = 2|cos 2𝑥| + 2|cos 2𝑥| 𝑓(𝑥) = 4|cos 2𝑥|

III) Hallando el periodo mínimo: 𝑓(𝑥 + 𝑇) = 𝑓(𝑥) 4|cos(2𝑥 + 2𝑇)| = 4|cos 2𝑥| |cos(2𝑥 + 2𝑇)| = |cos 2𝑥| cos(2𝑥 + 2𝑇) = cos 2𝑥

v

cos(2𝑥 + 2𝑇) = −cos 2𝑥

cos(2𝑥 + 2𝑇) − cos 2𝑥 = 0

v

cos(2𝑥 + 2𝑇) + cos 2𝑥 = 0

2 sen(2𝑥 + 𝑇) sen 𝑇 = 0

v

2 cos(2𝑥 + 𝑇) cos 𝑇 = 0

sen(2𝑥 + 𝑇) = 0 v sen 𝑇 = 0

v

cos(2𝑥 + 𝑇) = 0 v cos 𝑇 = 0

T1 = 0

T3 =

𝜋 2

T2 = 𝜋

T4 =

3𝜋 2

⋮

⋮

𝜋

∴ T = 2 Es el periodo mínimo.

IV) Hallando el rango: 𝑓(𝑥) = 4|cos 2𝑥| −1 < cos 2𝑥 0 ≤ |cos 2𝑥| < 1 0 ≤ 4|cos 2𝑥| < 4 29

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CÁLCULO DIFERENCIAL

0 ≤ 𝑓(𝑥) < 4 ∴ Ran f = [0,4⟩

V) Hallando su gráfica: 𝑓(𝑥) = 4|cos 2𝑥| 𝑥≠

𝜋𝑘 2

→ Técnica de traficación:



𝑓(𝑥) = cos 𝑥



𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 2𝑥



𝑓(𝑥) = |cos 2𝑥|

30

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

CÁLCULO DIFERENCIAL

𝑓(𝑥) = 4|cos 2𝑥|

⟦𝑥⟧ = 8 ,

√𝑥 ∈ [√8, 3⟩ → ⟦√𝑥⟧ = 2, 𝐵9 =

√8 + 2 𝑥+1

9 ≤ 𝑥 + 1 < 10 1 1 1 ≥ > 9 𝑥 + 1 10

3.

Dada la función 𝒇, definida por 𝟐𝒙−𝟕

𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 −𝟏𝟐

𝟐<𝒙<𝟑 ∧ 𝒚>𝟎

Determine la inversa de la función 𝒇 si existe

Resolución: 

Demostrando que es univalente 𝑓(𝑥1 ) = 𝑓(𝑥2 ) 𝑥1 = 𝑥2 2𝑥1 −7 𝑥12 −12

=

2𝑥2 −7 𝑥22 −12

2𝑥1 (𝑥2 )2 − 7(𝑥2 )2 − 24𝑥1 + 84 = 2𝑥2 (𝑥1 )2 − 7(𝑥1 )2 − 24𝑥2 + 84 2𝑥1 𝑥2 (𝑥2 − 𝑥1 ) − 7(𝑥2 − 𝑥1 )(𝑥2 + 𝑥1 ) + 24(𝑥2 − 𝑥1 ) = 0

31

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CÁLCULO DIFERENCIAL

Suponiendo que 𝑥1 ≠ 𝑥2 2𝑥1 𝑥2 − 7(𝑥2 + 𝑥1 ) + 24 = 0 2𝑥1 𝑥2 − 7𝑥2 − 7𝑥1 + 24 = 0 7

1

𝑥2 (2𝑥2 − 7) − 2 (2𝑥1 − 7) − 2 = 0 (2𝑥2 −7)(2𝑥1 −7) 2

1

−2=0

2 < 𝑥1 < 3

2 < 𝑥2 < 3

4 < 2𝑥1 < 6

4 < 2𝑥2 < 6

−3 < 2𝑥1 − 7 < −1

−3 < 2𝑥2 − 7 < −1

1 < (2𝑥1 − 7)(2𝑥2 − 7) < 9 0 < (2𝑥1 − 7)(2𝑥2 − 7) − 1 < 8 (2𝑥1 −7)(2𝑥2 −7)−1

0<⏟

<4

2 =0

Entonces 𝑥1 ≠ 𝑥2 no cumple Por lo tanto 𝑥1 = 𝑥2 , entonces: La función 𝑓(𝑥) es univalente……………………..l.q.q.d



Hallando la inversa 2𝑥−7

𝑦 = 𝑥 2 −12 𝑦𝑥 2 − 12𝑦 = 2𝑥 − 7 𝑦𝑥 2 − 2𝑥 − 12𝑦 + 7 𝑦 (𝑥 2 −

2𝑥 𝑦

1

1

+ 𝑦 2 ) − 𝑦 − 12𝑦 + 7 = 0

1 2

1

𝑦 (x − 𝑦) = 12𝑦 + 𝑦 − 7 1 2

(x − 𝑦) = 1

𝑥−𝑦 =±

12𝑦 2 −7𝑦+1 𝑦2

√12𝑦 2 −7𝑦+1 𝑦

32

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𝑥=

CÁLCULO DIFERENCIAL

1±√12𝑦 2 −7𝑦+1 𝑦

𝑓 −1 =

1±√12𝑥 2 −7𝑥+1 𝑥

Como y > 0 entonces usaremos el + 𝑓 −1 =

1+√12𝑥 2 −7𝑥+1 𝑥

Rpta.

33

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CÁLCULO DIFERENCIAL

3PC

Temas: Límites y asíntotas.

1.

Use la definición de límites para demostrar:

𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟑

2.

𝒙 √𝟒 − 𝒙

=𝟑

Calcular si existen los siguientes límites: 𝟏 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬(𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙) (𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝒙) 𝐜𝐨𝐬 (𝒙) 𝐚) 𝐥𝐢𝐦 ( + ) 𝟒𝒙𝟒 𝐭𝐚𝐧 𝒙 𝒙→𝟎

𝟑

𝐛) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→+∞

𝟑

√𝒙𝟑 + 𝟑 − √𝒙𝟑 + 𝟒 𝟒

√𝒙𝟐 + 𝟐 − 𝟒√𝒙𝟐 − 𝟑

𝟑

𝟑

𝒄) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟔

√𝒙 + 𝟐 − √𝟓𝒙 − 𝟑 + 𝟏 √𝒙 + 𝟑 − 𝟑

𝟑

√|𝒙| − 𝟑⟦𝒙⟧ + √𝟑 − 𝒙 𝟑 𝟐 𝒅) 𝐥𝐢𝐦− 𝒙→𝟑 √𝟗𝒔𝒈𝒏(𝒙 − 𝟏) − 𝒙𝟐

3.

Hallar, si existe, las asíntotas de 𝒇 y bosqueje su grafica √𝒙 + 𝒙𝟐 − 𝒙, 𝒙 ≤ −𝟗 𝒙𝟐 − 𝟖𝟏 , −𝟗 < 𝒙 < 𝟎 𝒇(𝒙) 𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 𝒙𝟐 + 𝟑 , 𝒙 ≥ 𝟎 { √𝒙𝟐 + 𝟏

34

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CÁLCULO DIFERENCIAL

SOLUCIONARIO

1.

Use la definición de límite para demostrar

𝐥𝐢𝐦

𝒙

𝒙→𝟑 √𝟒−𝒙

=𝟑

Resolución: →Por definición de límites:

𝑥 [𝑥 ∈ 〈−∞; 4〉 ˄ 0 ˂|𝑥 − 3| ˂ 𝛿] → | − 3| ˂ 𝜀 √4 − 𝑥 De: 𝑥 − 3√4 − 𝑥 𝑥 − 3√4 − 𝑥 (𝑥 + 3√4 − 𝑥) | |=| | = (𝑥 + 3√4 − 𝑥) √4 − 𝑥 √4 − 𝑥 |

𝑥 2 + 9𝑥 − 36 (√4 − 𝑥)(𝑥 + 3√4 − 𝑥) |𝑥 + 12||𝑥 − 3|

(√4 − 𝑥)(𝑥 + 3√4 − 𝑥)

1

|=|

˂

1

(𝑥 + 12)(𝑥 − 3) (√4 − 𝑥)(𝑥 + 3√4 − 𝑥)

|𝑥 + 12||𝑥 − 3| (√4 − 𝑥)(𝑥)

1

|=

… (∗)

1

Sea: 𝛿1 = 2 ∶ |𝑥 − 3| ˂ 2 → − 2 ˂𝑥 − 3˂ 2 →

5 7 2 1 2 ˂ 𝑥 ˂ → ˂ ˂ … (1) 2 2 5 𝑥 7

→

5 7 29 31 ˂𝑥˂ → ˂ |𝑥 + 12| ˂ … (2) 2 2 2 2

→

5 7 1 3 √2 1 ˂𝑥˂ → ˂4−𝑥˂ → ˂ ˂ √2 … (3) 2 2 2 2 √3 √4 − 𝑥

35

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

CÁLCULO DIFERENCIAL

(1)x(2)x(3)x|𝑥 − 3| ˂ 𝛿 : |𝑥 + 12||𝑥 − 3| 31√2 ˂ 𝛿 5 (√4 − 𝑥)(𝑥)

En (∗) ∶ |𝑥 + 12||𝑥 − 3| (√4 − 𝑥)(𝑥 + 3√4 − 𝑥) 𝛿=

𝛿2 =

5 31√2

˂

|𝑥 + 12||𝑥 − 3| (√4 − 𝑥)(𝑥)

˂

31√2 𝛿= 𝜀 5

𝜀

5√2 𝜀 62

1 5√2 𝛿 = 𝑚𝑖𝑛 { ; 𝜀} 2 62

2.

Calcular si existen los siguientes límites: 𝟏 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬(𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙) (𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝒙) 𝐜𝐨𝐬 (𝒙) 𝐚) 𝐥𝐢𝐦 ( + ) 𝟒𝒙𝟒 𝐭𝐚𝐧 𝒙 𝒙→𝟎 Resolución: Antes recordaremos algunas propiedades ∗ ∗

𝑠𝑒𝑛 𝑥 =1 𝑥→0 𝑥 lim lim

𝑥→0

1 − cos 𝑥 =0 𝑥

∗

1 − cos 𝑥 1 = 𝑥→0 𝑥2 2

∗

2𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 1 − cos 2𝑥

lim

36

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CÁLCULO DIFERENCIAL

Si: 𝑎=



1−cos(1−cos 2𝑥) 4𝑥 4

˄ 𝑏=

1 𝑥

(1−cos 𝑥) cos( ) tan 𝑥

Para 𝑎: 1 − cos(2sen2 𝑥) 𝑥→0 4𝑥 4

lim 𝑎 = lim

𝑥→0

2 sen2(sen2 𝑥) 𝑥→0 4𝑥 4

⇒ lim

1 sen2 (sen2 𝑥) sen4 𝑥 ⇒ ( )( 4 ) 2 sen4 𝑥 𝑥 2

1 sen(sen2 𝑥) sen 𝑥 4 1 ⇒ lim ( ( ) = ) 2 𝑥→0 sen2 𝑥 𝑥 2



Para 𝑏: Demostrando con el Teorema del Sándwich

lim 𝑏 = lim

𝑥→0

1 (1 − cos 𝑥) cos (𝑥 ) (𝑥 2 ) tan 𝑥 (𝑥 2 )

𝑥→0

1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 1 (𝑥)(cos𝑥) ⇒ lim ( ) ( ) cos ( ) 𝑥→0 𝑥2 sen 𝑥 𝑥

1 1 ⇒ lim (𝑥)(cos𝑥) cos ( ) 2 𝑥→0 𝑥

Analizando: 1

−1 ≤ cos (𝑥) ≤ 1 ……………………………....(cos 𝑥) 1

−(cos𝑥) ≤ cos (𝑥) (cos𝑥) ≤ (cos𝑥) ……………(𝑥) 1 −(cos𝑥)(𝑥) ≤ cos ( ) (cos𝑥)(𝑥) ≤ (cos𝑥)(𝑥) 𝑥

Tomando límite: 1 lim (𝑥)(cos𝑥) cos ( ) = 0 𝑥→0 𝑥

37

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CÁLCULO DIFERENCIAL

Entonces:

lim (

1−cos(1−cos 2𝑥) 4𝑥 4

𝑥→0

𝟑

𝐛) 𝐥𝐢𝐦

+

1 𝑥

(1−cos 𝑥) cos( ) tan 𝑥

1

1

)=2+0=2

Rpta.

𝟑

√𝒙𝟑 + 𝟑 − √𝒙𝟑 + 𝟒

𝒙→+∞ 𝟒√𝒙𝟐

𝟒

+ 𝟐 − √𝒙𝟐 − 𝟑

Resolución:

Antes recordaremos algunas propiedades  𝑎3 − 𝑏 3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) ⇒ 𝑎 − 𝑏 =  𝑎2 − 𝑏 2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) ⇒ 𝑎 − 𝑏 =

𝑎 3 −𝑏3 𝑎 2 +𝑎𝑏+𝑏2

𝑎 2 −𝑏2 𝑎+𝑏

Resolución: 2

3

lim

4 2 𝑥→+∞ (√𝑥

lim

2

4

2

3 3 + 2 + 3√(𝑥 3 + 2)(𝑥 3 + 3) + 3√𝑥 3 + 3 ) + 2 − √𝑥 2 − 3) (√𝑥

2

2

4

(−1)(√𝑥 2 + 2 + √𝑥 2 − 3)

4

4

4

2

(√𝑥 2 + 2 + √𝑥 2 − 3)

2

3 2 2 3 (√𝑥 3 + 2 + √(𝑥 3 + 2)(𝑥 3 + 3) + √𝑥 3 + 3 ) (√𝑥 2 + 2 − √𝑥 2 − 3) (√𝑥 + 2 + √𝑥 − 3)

𝑥→+∞ 3

4

4

lim

4

(√𝑥 2 + 2 + √𝑥 2 − 3)

3 4 4 2 2 3 (√𝑥 3 + 2 + √(𝑥 3 + 2)(𝑥 3 + 3) + √𝑥 3 + 3 ) (√𝑥 2 + 2 − √𝑥 2 − 3) (√𝑥 + 2 + √𝑥 − 3) 4

𝑥→+∞

2

(𝑥 3 + 3) − (𝑥 3 + 4)

𝑥→+∞ 3

lim

3

3

3 3 3 3 3 3 (√𝑥 3 + 3 − √𝑥 3 + 4) (√𝑥 + 2 + √(𝑥 + 2)(𝑥 + 3) + √𝑥 + 3 )

(−1)(√𝑥 2 + 2 + √𝑥 2 − 3)(√𝑥 2 + 2 + √𝑥 2 − 3) 3

2

3

3

2

[(𝑥 2 + 2) − (𝑥 2 − 3)] (√𝑥 3 + 2 + √(𝑥 3 + 2)(𝑥 3 + 3) + √𝑥 3 + 3 )

38

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CÁLCULO DIFERENCIAL

Entonces: 3

3

4

4

√𝑥 3 + 3 − √𝑥 3 + 4

(−1) (√𝑥 2 + 2 + √𝑥 2 − 3)(√𝑥 2 + 2 + √𝑥 2 − 3) lim 4 ⇒ lim 2 2 3 3 3 𝑥→+∞ √𝑥 2 + 2 − 4√𝑥 2 − 3 𝑛→∞ (5) (√𝑥 3 + 2 + √(𝑥 3 + 2)(𝑥 3 + 3) + √𝑥 3 + 3 )

Todo dividido entre 𝑥: 1

lim

(−1)

𝑥→+∞ (5)

2

(

3

2 √1+ 3 𝑥

4

3

4

2

3

2

3

3 2 3 3 + √(1+ 3 )(1+ 3 )+ √1+ 3 𝑥 𝑥 𝑥

2

⇒

)

(−1) (0+0)(0+0) (5)

(1+1+1)

=0

Rpta.

𝟑

𝟑

𝒄) 𝐥𝐢𝐦

1

(√ 2 + 4 +√ 2 − 4 )( √1+ 2 + √1− 2 ) 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥

√𝒙 + 𝟐 − √𝟓𝒙 − 𝟑 + 𝟏 √𝒙 + 𝟑 − 𝟑

𝒙→𝟔

Resolución:

3

3

lim

√𝑥 + 2 − √5𝑥 − 3 + 1

𝑥→6

√𝑥 + 3 − 3

3

3

√𝑥+2− 2−( √5𝑥−3−3) √𝑥+3−3

= 𝑘

3

√𝑥+2 − 2 √𝑥+3 − 3

=

Ecuación I

3

3

3

−

( √5𝑥−3 − 3) √𝑥+3 − 3

Ecuación II

3

√𝑥+2 − 2 [( √𝑥+2)2 + 2 √𝑥+2 + 4](√𝑥+3 + 3) 2 √𝑥+3 − 3 (√𝑥+3 + 3)[( 3√𝑥+2) + 2 3√𝑥+2 + 4]

Ecuación I:

=

=

(𝑥−6)(√𝑥+3 +3) 2

(𝑥+3−9)[( 3√𝑥+2) + 2 3√𝑥+2 + 4]

(√𝑥+3 + 3) 3

2

3

[( √𝑥+2) + 2 √𝑥+2 + 4]

39

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3

CÁLCULO DIFERENCIAL

3

3

( √5𝑥−3 − 3) [( √5𝑥−3)2 + 3 √5𝑥−3 + 9](√𝑥+3 + 3) 2 √𝑥+3 − 3 (√𝑥+3 + 3)[( 3√5𝑥−3) + 3 3√5𝑥−3 + 9]

Ecuación II:

5(𝑥−6)(√𝑥+3 + 3)

=

2

3

=

3

(𝑥−6)[( √5𝑥−3) + 3 √5𝑥−3 + 9]

=

(5𝑥−3−27)(√𝑥+3 +3) 2

(𝑥−6)[( 3√5𝑥−3) + 3 3√5𝑥−3 + 9]

5(√𝑥+3 + 3) 3

2

3

[( √5𝑥−3) + 3 √5𝑥−3 + 9]

5(√𝑥 + 3 + 3) (√𝑥 + 3 + 3) lim − lim + 3) (√𝑥+3 2 2 3 3 𝑥→6 3 𝑥→6 3 ∴ k = lim 2 2)3 + 2 √𝑥 + 2 + 4] + [(√5𝑥 − 3 + 3√5𝑥 − 3 + 9] ) 3 𝑥→6 [([(√𝑥 𝑥+2) + 2 𝑥+2 + 4] √

K=

6 4+4+4

−

√

5.6 9+9+9

=

1 2

−

30 27

11

= − 18

Rpta.

𝟑 √|𝒙| − 𝟑⟦𝒙⟧ + √𝟑 − 𝒙 𝟑 𝟐 𝒅) 𝐥𝐢𝐦− 𝒙→𝟑 √𝟗𝒔𝒈𝒏(𝒙 − 𝟏) − 𝒙𝟐

Resolución:

3

√|𝑥| − 3⟦𝑥⟧ + √3 − 𝑥 3 2 lim =𝑛 𝑥→3− √9𝑠𝑔𝑛(𝑥 − 1) − 𝑥 2

1.

Analizamos como 𝑥 → 3−

- 2<𝑥<3 → 0<𝑥

− 1<𝑥−1<2

⟦𝑥⟧ = 2

𝑠𝑔𝑛(𝑥 − 1) = 1

3

2.

Reemplazando lim− 𝑥→3

√𝑥 − 3 + √3−𝑥 3

√9 − 𝑥 2

= 𝑛

Ecuacion 𝛼

40

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CÁLCULO DIFERENCIAL

Reducimos 𝛼: 3

3

√𝑥 – 3 + √3−𝑥 3

√9 – 𝑥 2

𝛼 =

1 . 3

=

𝑥 3 (√ 3 + 3) √𝑥 – 3 3

𝑥3 (√ 3

+ 3)

(𝑥−3)(𝑥 2 +3𝑥+9) 𝑥3 (√ 3

–

√9 – 𝑥 2

+

+ 3)(√3 – 𝑥)(√3 + 𝑥)

√3−𝑥 √9 – 𝑥 2

1 3 √ +𝑥

=

=

1 . 3

𝑥3 3 𝑥3 (√ 3

–9

+

+ 3)(√9 – 𝑥 2 )

√3−𝑥 (√3 – 𝑥)(√3 + 𝑥)

2

−(√3 – 𝑥) (𝑥 2 +3𝑥+9) 𝑥3 (√ 3

+ 3)(√3 – 𝑥)(√3 + 𝑥)

+

1 3 √ +𝑥

Al final queda:

1 N = lim− . 𝑥→3 3 [

2

−(√3 – 𝑥) (𝑥 2 + 3𝑥 + 9) 𝑥3 (√ 3 + 3) (√3 – 𝑥)(√3 + 𝑥)

Reemplazando:

3.

N=0+

1 √6

=

√6 6

+

1 √3 + 𝑥 ]

Rpta.

Hallar si existe las asíntotas de 𝒇 y bosquejar su grafica √𝒙 + 𝒙𝟐 − 𝒙, 𝒙 ≤ −𝟗 𝒙𝟐 − 𝟖𝟏 , −𝟗 < 𝒙 < 𝟎 𝒇(𝒙) 𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 𝒙𝟐 + 𝟑 , 𝒙 ≥ 𝟎 { √𝒙𝟐 + 𝟏

Resolución: (I) √𝑥 + 𝑥 2 - x, x≤ - 9  No hay asíntota horizontal ni vertical  Hallando la asíntota oblicua (y=mx + b) 𝑓(𝑥) 𝑚 = lim , 𝑏 = lim 𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥 𝑥→±∞ 𝑥 𝑥→±∞ 1 |𝑥|√𝑥 + − 𝑥 −𝑥√1 + 0 − x −𝑥 − 𝑥 √𝑥 + 𝑥 2 − x 𝑥 𝑚 = lim = lim = lim = = −2 𝑥→−∞ 𝑥→−∞ 𝑥→−∞ 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥

41

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CÁLCULO DIFERENCIAL

1

b= lim √𝑥 + 𝑥 2 - x + 2x = lim − 𝑥√𝑥 + 𝑋 – x = lim − 𝑥(1) + 𝑥 = 0 𝑥→−∞

𝑥→−∞

𝑥→−∞

→ 𝑦 = −2𝑥 (A. Oblicua)

(II)

𝑥 2 −81 , 𝑥 2 −9𝑥

-9<x<0

 Por el intervalo, solo hallaremos la asíntota vertical 𝑙𝑚 =

(III)

𝑥 2 −81 (𝑥+9)(𝑥−9) lim− 𝑥 2 −9𝑥 = lim− 𝑥(𝑥−9) 𝑥→0 𝑥→0

𝑥 2 +3 √𝑥 2 +1

= lim−

1+

𝑥→0

1

9 𝑥

=−∞

, x≥0

 No hay asíntota horizontal ni vertical  Hallando la asíntota oblicua 𝑥 2 +3

L𝑚= lim

𝑥→+∞ 𝑥

L𝑏= lim

√𝑥 2 +1

𝑥 2 +3

𝑥→+∞ √𝑥 2 +1

= lim

𝑥 2 +3

𝑥→+∞ 𝑥.|𝑥| √1+ 1

= lim

𝑥2

− 𝑥= lim

𝑥→+∞

𝑥→+∞ 𝑥 2 √1+ 1

𝑥 2 +3−𝑥√1+𝑥 2 √𝑥 2 +1

𝑥 2 +3 𝑥2

= lim

𝑥→+∞

𝑥 2 +3 = lim 𝑥→+∞ 𝑥 2 𝑥→+∞

= lim

3 𝑥

𝑥+ −√1+𝑥 2 1

√ 2 +1 𝑥

3

1 + 𝑥 2 =1

= lim 𝑥 − √1 + 𝑥 2 𝑥→+∞

1

lim 𝑥 − |𝑥|√𝑥2 + 1 = x-x=0

𝑥→+∞

𝐿

𝑦 = 𝑥 (A. Oblicua)

42

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CÁLCULO DIFERENCIAL

Gráfica:

𝒚 = −𝟐𝒙

𝒚

𝒚=𝒙

−9

𝒙

43

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CÁLCULO DIFERENCIAL

4PC

TEMAS: Funciones, valores de cambio y Derivadas.

1. a) Sean

𝟓 𝒈(𝒙)𝒔𝒆𝒏 ( ), 𝒙 ≠ 𝟎 𝒇(𝒙) { 𝟑𝒙 𝟎 , 𝒙=𝟎 Donde 𝒈(𝟎) = 𝒈′ (𝟎) = 𝟎, calcule 𝒇′(𝟎) ¿Podemos afirmar que g es continua en 𝒙 = 𝟎? Justifique.

b) Para las funciones 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 + |𝒙|, 𝒈(𝒙) =

𝟑𝒙 𝟒

−

|𝒙| 𝟒

Calcule (𝒇 ∘ 𝒈)’(0) ¿Se concluye que 𝒇 es derivable en 𝒙 = 𝟎?

c) Demostrar que si 𝒇 es derivable en 𝒙𝟎 entonces se puede escribir 𝒇(𝒙𝟎 + 𝒉) = 𝒇(𝒙𝟎 ) + 𝒉𝒇′ (𝒙𝟎 ) + 𝒉𝒈(𝒉), donde 𝐥𝐢𝐦 𝒈(𝒉) = 𝟎 𝒉→𝟎

2. Si 𝐠: 〈𝟎, +∞〉 → ℝ es una función tal que 𝐠(𝒙𝒚) = 𝐠(𝒙) + 𝐠(𝒚), ∀𝒙, 𝒚 > 𝟎. Demostrar que 𝐠 es diferenciable en 〈𝟎, +∞〉 ↔ 𝐠 es diferenciable en 1 y 𝐠(𝒙) > 𝟎, 𝐠’(𝒙)=

𝐠′(𝟏) 𝒙

3. Si 𝒇(𝒙) = |𝒙 − 𝟖|(𝒙 − 𝟖)𝟐 Determine los puntos donde 𝒇 es diferenciable.

44

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CÁLCULO DIFERENCIAL

SOLUCIONARIO

1.

a) Sean

𝟓 𝒇(𝒙) {𝒈(𝒙)𝒔𝒆𝒏 (𝟑𝒙) , 𝒙 ≠ 𝟎 𝟎 , 𝒙=𝟎

Donde 𝒈(𝟎) = 𝒈′ (𝟎) = 𝟎, calcule 𝒇′(𝟎) ¿Podemos afirmar que g es continua en 𝒙 = 𝟎? Justifique.

Resolución: 5

Sea ℎ(𝑥) = sen(3𝑥) ; h es continua debido a que la función seno es continua en todo su dominio.

→ 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)ℎ(𝑥)

Derivando: 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑔′ (𝑥)ℎ(𝑥) + 𝑔(𝑥)ℎ′(𝑥) 𝑥 = 0: 𝑓 ′ (0) = 𝑔′ (0)ℎ(0) + 𝑔(0)ℎ′(0) 𝑓 ′ (0) = 0. ℎ(0) + 0. ℎ′(0) 𝑓 ′ (0) = 0

 f es diferenciable, por lo tanto, es continua.  h es continua, entonces para que f sea continua necesariamente g también debe ser continua.

45

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CÁLCULO DIFERENCIAL

1. b) Para las funciones 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 + |𝒙|, 𝒈(𝒙) =

𝟑𝒙 𝟒

−

|𝒙| 𝟒

Calcule (𝒇 ∘ 𝒈)’(0) ¿Se concluye que 𝒇 es derivable en 𝒙 = 𝟎?

Resolución: 𝑓(0) = 0 , 𝑔(0) = 0

 Determinando la continuidad para 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 = 0 lim+ 𝑓(𝑥) = lim+ 3𝑥 + |𝑥| = lim+ 3𝑥 + 𝑥 = lim+ 4𝑥 = 0 𝑥→0

𝑥→0

𝑥→0

𝑥→0

lim− 𝑓(𝑥) = lim− 3𝑥 + |𝑥| = lim− 3𝑥 − 𝑥 = lim+ 2𝑥 = 0

𝑥→0

𝑥→0

𝑥→0

𝑥→0

lim 𝑓(𝑥) = lim− 𝑓(𝑥) = lim 𝑓(𝑥) = 0

𝑥→0+

𝑥→0

𝑥→0

→ Si es continua en 𝑥 = 0

 Verificando si es diferenciable en 𝑥 = 0 𝑓(ℎ + 0) − 𝑓(0) 𝑓(ℎ) − 𝑓(0) 𝑓(ℎ) 𝑓 ′ (0) = lim = lim = lim ℎ→0 ℎ→0 ℎ→0 ℎ ℎ ℎ 𝑓(ℎ) 3ℎ + |ℎ| 3ℎ + ℎ 4ℎ lim = lim+ = lim+ = lim+ =4 ℎ→0+ ℎ ℎ→0 ℎ→0 ℎ→0 ℎ ℎ ℎ 𝑓(ℎ) 3ℎ + |ℎ| 3ℎ − ℎ 2ℎ lim− = lim− = lim− = lim− =2 ℎ→0 ℎ→0 ℎ→0 ℎ→0 ℎ ℎ ℎ ℎ lim

ℎ→0+

𝑓(ℎ) 𝑓(ℎ) ≠ lim− ℎ→0 ℎ ℎ

→No es diferenciable en 𝑥 = 0

 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓 (

3𝑥 4

−

|𝑥| 4

3𝑥 4

) = 3(

−

|𝑥| 4

)−|

3𝑥 4

−

|𝑥| 4

| ⇒ 𝑓(𝑔(0)) = 0

 Piden: (𝑓 ∘ 𝑔)’(0) (𝑓 ∘ 𝑔)(ℎ + 0) − (𝑓 ∘ 𝑔)(0) 𝑓(𝑔(ℎ)) = lim ℎ→0 ℎ→0 ℎ ℎ

→ (𝑓 ∘ 𝑔)’(0) = lim

3ℎ |ℎ| 3ℎ |ℎ| 3ℎ ℎ 3( 4 − 4 ) + | 4 − 4 | + 𝑓(𝑔(ℎ)) 4 lim+ = lim+ = lim+ 2 2 = = 2 ℎ→0 ℎ→0 ℎ→0 ℎ ℎ ℎ 2 3ℎ |ℎ| 3ℎ |ℎ| 3( − ) + | − | 𝑓(𝑔(ℎ)) 3ℎ − ℎ 4 4 4 4 lim− = lim− = lim− =2 ℎ→0 ℎ→0 ℎ→0 ℎ ℎ ℎ 46

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lim+

ℎ→0

CÁLCULO DIFERENCIAL

𝑓(𝑔(ℎ)) 𝑓(𝑔(ℎ)) 𝑓(𝑔(ℎ)) = lim− ⇒ lim =2 ℎ→0 ℎ→0 ℎ ℎ ℎ

(𝑓 ∘ 𝑔)’(0) = 2

Rpta.

1. c) Demostrar que si 𝒇 es derivable en 𝒙𝟎 entonces se puede escribir 𝒈(𝒉) = 𝟎 𝒇(𝒙𝟎 + 𝒉) = 𝒇(𝒙𝟎 ) + 𝒉𝒇′ (𝒙𝟎 ) + 𝒉𝒈(𝒉), donde 𝐥𝐢𝐦 𝒉→𝟎

Resolución:

𝑓(𝑥0 + ℎ) = 𝑓(𝑥0 ) + ℎ𝑓 ′ (𝑥0 ) + ℎ𝑔(ℎ)

Si 𝑓 es derivable en 𝑥0

𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 ) ℎ→0 ℎ

→ 𝑓 ′ (𝑥0 ) = lim

Pero: 𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 ) = ℎ𝑓 ′ (𝑥0 ) + ℎ𝑔(ℎ) ℎ𝑓 ′ (𝑥0 ) + ℎ𝑔(ℎ) ℎ→0 ℎ

𝑓´(𝑥0 ) = lim

𝑓´(𝑥0 ) = lim 𝑓 ′ (𝑥0 ) + 𝑔(ℎ) ℎ→0

𝑓´(𝑥0 ) = lim 𝑓 ′ (𝑥0 ) + lim 𝑔(ℎ) ℎ→0

ℎ→0

𝑓´(𝑥0 ) = 𝑓´(𝑥0 ) + 0 𝑓´(𝑥0 ) = 𝑓´(𝑥0 )…………………………..l.q.q.d

47

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CÁLCULO DIFERENCIAL

2. Si 𝐠: 〈𝟎, +∞〉 → ℝ es una función tal que 𝐠(𝐱𝐲) = 𝐠(𝐱) + 𝐠(𝐲), ∀𝐱, 𝐲 > 𝟎.

Demostrar que 𝐠 es diferenciable en 〈𝟎, +∞〉 ↔ 𝐠 es diferenciable en 1 y 𝐠(𝒙) > 𝟎, 𝐠’(𝒙)=

𝐠′(𝟏) 𝒙

Resolución:

g(𝑥𝑦) = g(𝑥) + g(𝑦) … (*) Sea: 𝑥𝑦 = 𝑡 → 𝑦 = 𝑡/𝑥

g(𝑡) = g(𝑥) + g(𝑡/𝑥) … (1)

Por definición de la derivada: 𝑔(𝑥+ℎ)−𝑔(ℎ)

g(𝑥 + ℎ) − g(ℎ) … (2) g´(x) = limlim ℎ→0ℎ→0 ℎℎ De (1): g(𝑡) = g(𝑥) + g(𝑡/𝑥) Sea: 𝑡 = 𝑥 + ℎ

g(𝑥 + ℎ) = g(𝑥) + g(1 + ℎ/𝑥) g(𝑥 + ℎ) − g(𝑥) = g(1 + ℎ/𝑥) … (3)

Hacemos: (3) en (2)

g´(𝑥) = lim

ℎ→0

ℎ g(1 + 𝑥 ) ℎ

ℎ g(1 + 𝑥 ) g´(𝑥) = lim 𝑥 ℎ→0 𝑥ℎ ℎ g(1 + 𝑥 ) 1 g´(𝑥) = lim … (4) ℎ 𝑥 ℎ→0 𝑥

48

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CÁLCULO DIFERENCIAL

Luego:

ℎ g (1 + 𝑥 ) − g(1) g(1 + ℎ) − 𝑔(1) g´ (1) = lim = lim ℎ ℎ ℎ→0 ℎ →0 𝑥 𝑥

De (*): g(𝑥𝑦) = g(𝑥) + g(𝑦)

Sea 𝑦 = 1 g(𝑥) = g(𝑥) + g(1) g(1) = 0

Entonces:

ℎ g (1 + 𝑥 ) − g(1) lim … (5) ℎ ℎ →0 𝑥 𝑥

Finalmente (5) en (4):

g´(𝑥) =

g´(1) 𝑥

3. Si 𝒇(𝒙) = |𝒙 − 𝟖|(𝒙 − 𝟖)𝟐 Determine los puntos donde 𝒇 es diferenciable.

Resolución: Redefiniendo la función: (𝑥 − 8)3 , 𝑥 > 8 , 𝑥=8 𝑓(𝑥) { 0 3 −(𝑥 − 8) , 𝑥 < 8

49

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CÁLCULO DIFERENCIAL

Denotando que 𝑓(𝑥) es continua en 𝑥 = 8 es derivable en todo su dominio

𝑓

′ (8)

|8 + ℎ − 8|(8 + ℎ − 8)2 − |8 − 8|(8 − 8)2 𝑓(8 + ℎ) − 𝑓(8) = lim = lim ℎ→0 ℎ→0 ℎ ℎ |ℎ|(ℎ)2 − 0 |ℎ|ℎ2 = lim = lim ℎ|ℎ| = 0 ℎ→0 ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ

𝑓 ′ (8) = lim

∴ 𝑦 es derivable en todo su dominio

50

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CÁLCULO DIFERENCIAL

4PC - FIN AL

TEMAS: Limites, Gráfica de funciones, Derivadas y razón de cambio.

1. Dada la función 𝒇, definida por 𝒇(𝒙) =

𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟒 √𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟐

Para que valores de 𝒙 𝝐 𝑫𝒐𝒎 𝒇 , 𝒇(𝒙) > 0 y 𝒇′′ (𝒙) < 𝟎

𝒙𝟐

2. La base inferior de un trapecio isósceles es el eje mayor de una elipse 𝒂𝟐 + 𝒚𝟐 𝒃𝟐

= 𝟏 (𝒂 > 𝒃) los extremos de la base superior son puntos de la elipse.

Demostrar que en el trapecio de este tipo de área máxima, la longitud de la base superior es la mitad de la base inferior.

3. a) 𝑺ea 𝒇 una función continua en [𝒂 − 𝒉, 𝒂 + 𝒉] y diferenciable en 〈𝒂 − 𝒉, 𝒂 + 𝒉〉, 𝒉 > 𝟎 . Si 𝐠(𝒉) =

𝒇(𝒂+𝒉)−𝟐𝒇(𝒂)+𝒇(𝒂−𝒉) 𝒉𝟐

y si 𝒇′′(𝒙) existe.

b) Calcule

𝟏 𝟏 − 𝒙→𝟎 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝒙𝟐

𝐥𝐢𝐦

51

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CÁLCULO DIFERENCIAL

SOLUCIONARIO

1. Dada la función 𝒇 , definida por 𝒇(𝒙) =

𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟒 √𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟐

Para que valores de 𝒙 𝝐 𝑫𝒐𝒎 𝒇 , 𝒇(𝒙) > 0 y 𝒇′′ (𝒙) < 𝟎

Resolución:



Primera derivada de 𝑓(𝑥) 1

𝑓 ´ (𝑥) = 𝑓

´ (𝑥)

=

𝑓 ´ (𝑥) = 𝑓 ´ (𝑥) = 𝑓 ´ (𝑥) =



⁄ −1 1 (2𝑥−2)(𝑥 2 −2𝑥+2) 2 − (𝑥 2 −2𝑥+4)( )(𝑥 2 −2𝑥+2) ⁄2 (2𝑥−2) 2

𝑥 2 −2𝑥+2 −1⁄ 2 [(2𝑥−2)(𝑥 2 −2𝑥+2)

(𝑥 2 −2𝑥+2)

−

(𝑥2 −2𝑥+4)(2𝑥−2) ] 2

𝑥 2 −2𝑥+2 2𝑥 3 −6𝑥 2 +8𝑥−4−(𝑥 3 −3𝑥 2 +6𝑥−4) 3 (𝑥 2 −2𝑥+2) ⁄2

𝑥 3 −6𝑥 2 +8𝑥−4+3𝑥 2 −6𝑥+4 3 (𝑥 2 −2𝑥+2) ⁄2

𝑥 3 −3𝑥 2 +2𝑥 3 (𝑥 2 −2𝑥+2) ⁄2

Segunda derivada de 𝑓(𝑥)

𝑓 " (𝑥) =

3 3 (𝑥 3 −3𝑥 2 +2𝑥)′ (𝑥 2 −2𝑥+2) ⁄2 −(𝑥 3 −3𝑥 2 +2𝑥)[(𝑥 2 −2𝑥+2) ⁄2 ]′ (𝑥 2 −2𝑥+2)3

3⁄ 2

𝑓 " (𝑥) = (3𝑥 2 − 6𝑥 + 2)(𝑥 2 − 2𝑥 + 2) 1⁄ 2 [(3𝑥 2

𝑓 " (𝑥) = (𝑥 2 − 2𝑥 + 2)

3

− (𝑥 3 − 3𝑥 2 + 2𝑥) ((𝑥 2 − 2𝑥 + 2) 2

1⁄ 2 (2𝑥

− 2) < 0

− 6𝑥 + 2)(𝑥 2 − 2𝑥 + 2) − 3(𝑥 3 − 3𝑥 2 + 2𝑥)(𝑥 − 1)] < 0

𝑓 " (𝑥) = (3𝑥 4 − 6𝑥 3 + 6𝑥 2 − 6𝑥 3 + 12𝑥 + 2𝑥 2 − 4𝑥 + 4) − 3(𝑥 4 − 3𝑥 3 + 3𝑥 2 + 2𝑥 2 − 2𝑥) <0 𝑓 " (𝑥) = 5𝑥 2 − 10𝑥 + 4 < 0

52

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𝑓 " (𝑥) < 0 en 〈

𝑓 ´ (𝑥) =

CÁLCULO DIFERENCIAL

10−√20 10+√20 10

,

10

〉

1 1 (𝑥 2 −2𝑥+4)′(𝑥 2 −2𝑥+2) ⁄2 −(𝑥 2 −2𝑥+4)[(𝑥 2 −2𝑥+2) ⁄2 ]′ 2 𝑥 −2𝑥+2

1⁄ 2

𝑓 ´ (𝑥) = (2𝑥 − 2)[ (𝑥 2 − 2𝑥 + 2)

−

1⁄ 2

𝑓 ´ (𝑥) = (2𝑥 − 2) [ 2(𝑥 2 − 2𝑥 + 2)

𝑓 ´ (𝑥) = 2(𝑥 − 1)[2√𝑥 2 − 2𝑥 + 2 −

>0

(𝑥 2 −2𝑥+4)(𝑥 2 −2𝑥+2) 2

−1⁄ 2

]>0 −1⁄ 2

− (𝑥 2 − 2𝑥 + 4)(𝑥 2 − 2𝑥 + 2)

(𝑥 2 −2𝑥+4) √𝑥 2 −2𝑥+2

] >0

]> 0

→ √𝑥 2 − 2𝑥 + 2 > 0

𝑓 ´ (𝑥) = 2(𝑥 − 1)[2(𝑥 2 − 2𝑥 + 2) − (𝑥 2 − 2𝑥 + 4)] > 0 𝑓 ´ (𝑥) = 2(𝑥 − 1)(𝑥 2 − 2𝑥) > 0 𝑓 ´ (𝑥) = (𝑥 − 1)𝑥(𝑥 − 2) > 0

𝑓 ´ (𝑥) > 0 en 〈0,1〉 ∪ 〈2, +∞〉

53

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CÁLCULO DIFERENCIAL

𝒙𝟐

La base inferior de un trapecio isósceles es el eje mayor de una elipse 𝒂𝟐 +

2.

𝒚𝟐 𝒃𝟐

= 𝟏 (𝒂 > 𝒃) los extremos de la base superior son puntos de la elipse.

Demostrar que en el trapecio de este tipo de área máxima, la longitud de la base superior es la mitad de la base inferior.

Resolución:

x2

y2

a

b2

+ 2

=1

En este caso y > 0 x2

y2

a

b2

+ 2

=1

Despejando y ∶ y2 b2

=1−

x2 a2

y 2 a2 − x 2 = b2 a2

y2 =

b2 a2

(a2 − x 2 )

b

y = a √a2 − x 2

54

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CÁLCULO DIFERENCIAL

Por condición b

y = − a √a2 − x 2

d = |A − B| d = 2x a>x

S(x) = (

2a + 2x b 2 ) √a − x 2 2 a b

S(x) = (a + x) a √a2 − x 2 b

S(x) = a (a + x)√a2 − x 2

Derivando para hallar el Área máxima S´(x) = 0 b

Smáx = a [(a + x)´√a2 − x 2 + (√a2 − x 2 )´(a + x)] b

1

−2x

Smáx = a [1. √a2 − x 2 + 2 (√a2

−x2

) (a + x)]

b (a2 −x2 )+(−x)(a+x)

Smáx = a [

2√a2 −x2

]=0

b 1 −2x Smáx = [1. √a2 − x 2 + ( ) (a + x)] a 2 √a2 − x 2 b (a2 − x 2 ) + (−x)(a + x) Smáx = [ ]=0 a 2√a2 − x 2 Smáx

b a2 − x 2 − xa − x 2 = [ ]=0 a 2√a2 − x 2

→ a2 − 2x 2 − ax = 0 … (α) → a ≠ x ∨ a ≠ −x 55

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CÁLCULO DIFERENCIAL

De la ecuación α : a2 − 2x 2 − ax = 0 a2 − x 2 − x 2 − ax = 0 (a + x)(a − x) − x(a + x) = 0 (a + x)(a − 2x) = 0 ≠0 a = 2x

3. a) Sea 𝒇 una función continua en [𝒂 − 𝒉, 𝒂 + 𝒉] y diferenciable en 〈𝒂 − 𝒉, 𝒂 + 𝒉〉, 𝒉 > 𝟎. Si 𝐠(𝒉) =

𝒇(𝒂+𝒉)−𝟐𝒇(𝒂)+𝒇(𝒂−𝒉) 𝒉𝟐

y si 𝒇′′(𝒙) existe.

Resolución:

𝑓(𝑎 + ℎ) − 2𝑓(𝑎) + 𝑓(ℎ) ℎ→0 ℎ2

lim 𝑔(ℎ) = lim

ℎ→0

Aplicando L’Hospital

𝑓 ′ (𝑎 + ℎ) − 𝑓 ′ (𝑎) + 𝑓 ′ (𝑎) − 𝑓′(𝑎 − ℎ) 𝑓 ′ (𝑎 + ℎ) − 𝑓′(𝑎 − ℎ) lim = lim ℎ→0 ℎ→0 2ℎ 2ℎ 𝑓 ′ (𝑎 + ℎ) − 𝑓 ′ (𝑎) + 𝑓 ′ (𝑎) − 𝑓 ′ (𝑎 − ℎ) 𝑓 ′ (𝑎 + ℎ) − 𝑓′(𝑎) = lim ℎ→0 ℎ→0 2ℎ 2ℎ 𝑓 ′ (𝑎) − 𝑓′(𝑎 − ℎ) + lim ℎ→0 2ℎ lim

⇒

1 𝑓 ′ (𝑎 + ℎ) − 𝑓 ′ (𝑎) 1 𝑓 ′ (𝑎 + ℎ) − 𝑓 ′ (𝑎) 𝑓′′(𝑎) 𝑓′′(𝑎) lim + lim = + = 𝑓′′(𝑎) 2 ℎ→0 2ℎ 2 ℎ→0 2ℎ 2 2

lim 𝑔(ℎ) = 𝑓 ′′ (𝑎)

ℎ→0

Rpta.

56

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3.

CÁLCULO DIFERENCIAL

b) Calcule

𝟏 𝟏 − 𝟐 𝟐 𝒙→𝟎 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒙

𝐥𝐢𝐦

Resolución: 1 1 𝑥 2 − 𝑆𝑒𝑛2 (𝑥) 𝑥 − 𝑆𝑒𝑛(𝑥) 𝑥 + 𝑆𝑒𝑛(𝑥) − 2 = lim = lim 2 lim 2 𝑥→0 𝑆𝑒𝑛(𝑥) 𝑥→0 𝑥→0 𝑥 𝑆𝑒𝑛(𝑥) 𝑥→0 𝑆𝑒𝑛(𝑥) 𝑥 𝑆𝑒𝑛 (𝑥) lim

0

Ambos son indeterminación 0 Aplico L’Hospital en ambos

1 − 𝐶𝑜𝑠(𝑥) 1 + 𝐶𝑜𝑠(𝑥) lim 2 𝑥→0 2𝑥𝑆𝑒𝑛(𝑥)+𝑥 𝐶𝑜𝑠(𝑥) 𝑥→0 𝐶𝑜𝑠(𝑥) lim

1 − 𝐶𝑜𝑠(𝑥) 𝑥2 lim (2) 𝑥→0 2𝑆𝑒𝑛𝑥(𝑥) + 𝐶𝑜𝑠(𝑥) 𝑥

1 2 2+1

.2 =

1 3

Rpta.

57

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CÁLCULO DIFERENCIAL

FINAL

Tema: Aplicaciones de la derivada

1. Sea 𝒇 definida mediante 𝟏

(𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏) ⁄𝟐 , 𝒙 < 𝟏 𝒇(𝒙) = { −𝟏 𝒙(𝒙𝟐 − 𝟏) ⁄𝟑 , 𝒙 > 𝟏 Determine las asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad. Bosqueje la gráfica de 𝒇.

2. Un cohete es lanzado en dirección vertical y rastreado por una estación de radar situada en el suelo a 𝟒 millas de la rampa de lanzamiento ¿Cuál es la velocidad del cohete cuando está a 𝟓 millas de la estación de radar y su distancia aumenta a razón de 𝟑 𝟔𝟎𝟎 𝒎𝒊𝒍𝒍𝒂𝒔/𝒉?

3. Un tren 𝑨 salir de una estación en cierto momento y viaja hacia el norte a 𝟓𝟎𝒌𝒎/𝒉. Un tren 𝑩 sale hacia el este de la misma estación 𝟐 horas después y va a 𝟔𝟎𝒌𝒎/𝒉. Hallar la razón a la cual los dos trenes se separan, 𝟏. 𝟓 horas después de que el segundo tren deja la estación.

58

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CÁLCULO DIFERENCIAL

SOLUCIONARIO

1.

Sea 𝒇 definida mediante 𝟏

(𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏) ⁄𝟐 , 𝒙 < 𝟏 𝒇(𝒙) = { −𝟏 𝒙(𝒙𝟐 − 𝟏) ⁄𝟑 , 𝒙 > 𝟏 Determine las asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad. Bosqueje la gráfica de 𝒇.

Resolución:

𝑓(𝑥) = {

1⁄ 2

(4𝑥 2 + 2𝑥 + 1) 𝑥(𝑥

2

−1 − 1) ⁄3

; 𝑥 < 1 … (𝐼)

; 𝑥 > 1 … (𝐼𝐼)

Calculo de las Asíntotas:

𝐸𝑛 (𝐼): 1⁄ 2

𝑓(𝑥) = (4𝑥 2 + 2𝑥 + 1)

- Asíntota Horizontal Izquierda: lim 𝑓(𝑥) = 𝑘

𝑥→−∞

1⁄ 2

lim (4𝑥 2 + 2𝑥 + 1)

𝑥→−∞

=∞

No tiene A.H.I.

- Asíntota Vertical: No posee ya que no hay un lim (𝑎), ya que: 𝑥→−𝑎

→ lim (𝑎) = −∞ 𝑥→−𝑎

→ lim (𝑎) = +∞ 𝑥→+𝑎

𝐸𝑛 (𝐼𝐼): 𝑓(𝑥) =

𝑥 3

√𝑥 2

−1 59

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CÁLCULO DIFERENCIAL

- Asíntota Horizontal Derecha: → lim 𝑓(𝑥) = 𝑘 𝑥→+∞

→ lim

𝑥→+∞

𝑥 3

√𝑥 2 − 1

=𝑘

1 𝑥 =𝑘 𝑥→+∞ |𝑥| 3 1 1 √ − 3 𝑥 𝑥

→ lim

→ lim

1

𝑥→+∞ 3

√1 − 13 𝑥 𝑥

, 𝑥 > 0 → |𝑥| = 𝑥

= +∞

No tiene A.H.D.

- Asíntota Vertical Derecha: 𝑥 1 → lim+ 3 = lim+ = +∞ 𝑥→1 √𝑥 2 − 1 𝑥→1 3 1 1 √ − 3 𝑥 𝑥 Posee A.V.S.D en 𝑥 =1

- Asíntota Vertical Izquierda: → lim−𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎− ) 𝑥→1

1 𝑥 𝑥→1 |𝑥| 3 1 √ − 13 𝑥 𝑥 1 → lim− = −∞ 𝑥→1 3 1 1 √ − 3 𝑥 𝑥 → lim−

Posee A.V.S.I en 𝑥 =1

- Asíntota Oblicua: 𝑓(𝑥) =𝑚 𝑥→−∞ 𝑥

→ lim

2 1 |𝑥|√4 + + 2 2 1 √4𝑥 2 + 2𝑥 + 1 𝑥 𝑥 lim = lim = lim −√4 + + 2 = − 2 𝑥→−∞ 𝑥→−∞ 𝑥→−∞ 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥

60

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CÁLCULO DIFERENCIAL

→ lim 𝑓(𝑥) − 𝑚 𝑥 = 𝑏 𝑥→−∞

lim √4𝑥 2 + 2𝑥 + 1 + 2𝑥 = lim

𝑥→−∞

(√4𝑥 2 + 2𝑥 + 1 − 2𝑥)

𝑥→−∞

2𝑥 + 1

lim

𝑥→−∞ (√4𝑥 2

+ 2𝑥 + 1 − 2𝑥)

1 𝑥 (2 + 𝑥 )

lim

𝑥→−∞

(√4𝑥 2 + 2𝑥 + 1 + 2𝑥)(√4𝑥 2 + 2𝑥 + 1 − 2𝑥)

−𝑥√4 +

2 1 + − 2𝑥 𝑥 𝑥2

= lim

𝑥→−∞

1 𝑥 (2 + 𝑥 ) 2 1 |𝑥|√4 + + 2 − 2𝑥 𝑥 𝑥

1 (2 + 𝑥 )

= lim

𝑥→−∞

− √4 +

2 1 + −2 𝑥 𝑥2

=

=

=−

1 2

Ecuación de la Asíntota Oblicua: 𝑦 = −2𝑥 −

1 2

1 (8𝑥 + 2) ; 𝑥<1 2 √4𝑥 2 + 2𝑥 + 1 𝑓 ′ (𝑥) = 1 −1⁄ −4 2 3 − (2𝑥)(𝑥)(𝑥 2 − 1) ⁄3 ; 𝑥 > 1 {(𝑥 − 1) 3

4𝑥 + 1

𝑓

′ (𝑥)

; 𝑥 < 1 … (𝐼𝐼𝐼) √4𝑥 2 + 2𝑥 + 1 = 𝑥2 − 3 ; 𝑥 > 1 … (𝐼𝑉) 3 2 4 { √(𝑥 − 1)

Punto de Crecimiento y Decrecimiento:

Puntos críticos: (𝐼𝐼𝐼) 𝑥 < 1

−∞

1

−4

1

61

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CÁLCULO DIFERENCIAL

(𝐼𝑉) 𝑥 > 1

1

√3

3

; 𝑥 < 1 … (𝑉) 2 + 2𝑥 + 1)3 √(4𝑥 𝑓 ′′ (𝑥) = 2 𝑥(9 − 𝑥 2 ) ; 𝑥 > 1 … (𝑉𝐼) 3 { 3 √(𝑥 2 − 1)7

Puntos de Concavidad:

Puntos críticos: (𝑉) 𝑥 < 1 3 √(4𝑥 2

+ 2𝑥 + 1)3

>0

Es cóncavo hacia arriba en todo su dominio

(𝑉𝐼) 𝑥 > 1

1 Cóncavo hacia arriba

3 Cóncavo hacia abajo

62

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CÁLCULO DIFERENCIAL

Gráfica:

2.

Un cohete es lanzado en dirección vertical y rastreado por una estación de radar situada en el suelo a 𝟒 millas de la rampa de lanzamiento ¿Cuál es la velocidad del cohete cuando está a 𝟓 millas de la estación de radar y su distancia aumenta a razón de 𝟑 𝟔𝟎𝟎 𝒎𝒊𝒍𝒍𝒂𝒔/𝒉?

Resolución:

63

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CÁLCULO DIFERENCIAL

c2 + b2 = a2

𝑑𝑐 2c 𝑑𝑡

= 2a

𝑑𝑎

𝑑𝑏 + 2b 𝑑𝑡 𝑑𝑡

2(5)(3600) = 2(4)(0) + 2(3) Por lo tanto:

3.

𝑑𝑏 𝑑𝑡

𝑑𝑏 𝑑𝑡

= 6000 millas/h

Rpta.

Un tren 𝑨 salir de una estación en cierto momento y viaja hacia el norte a 𝟓𝟎𝒌𝒎/𝒉. Un tren 𝑩 sale hacia el este de la misma estación 𝟐 horas después y va a 𝟔𝟎𝒌𝒎/𝒉. Hallar la razón a la cual los dos trenes se separan, 𝟏. 𝟓 horas después de que el segundo tren deja la estación.

Resolución:

2 horas después

N A 100

O

Estación

E

S

64

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CÁLCULO DIFERENCIAL

1.5 horas después N A D= 5√1549 100 + x = 175 B

O Estación

E

R

S

En general:

N A D

100 + x O Estación

B

E

R

S

65

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𝑑(100+𝑥) 𝑑𝑡 𝑑𝑅 𝑑𝑡

=

𝑑𝑥

CÁLCULO DIFERENCIAL

= 50

𝑑𝑡

= 60

(100 + 𝑥)2 + 𝑅 2 = 𝐷 2 𝑑(100+𝑥)2 𝑑𝑡

2

+

𝑑(100+𝑥) 𝑑𝑡

𝑑𝑅2 𝑑𝑡

=

𝑑𝑅

𝑑𝐷 2 𝑑𝑡 𝑑𝐷

+ 2 𝑑𝑡 = 2 𝑑𝑡

𝑑𝐷

175(50) + 60(90) = 5√1549 𝑑𝑡 𝑑𝐷 𝑑𝑡

2830

= √1549

Rpta.

66