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Universidad “Antonio José de Sucre” Vicerrectorado “Luis Caballero Mejías” Núcleo Guarenas. Laboratorio de física I Práctica N° 3 Péndulo Simple Objetivos: 1. Analizar el movimiento de oscilación de un péndulo simple. 2. Determinación de la aceleración de gravedad. Teoría: El péndulo simple es un modelo idealizado y consiste de una esfera de pequeñas dimensiones suspendida por una cuerda inextensible, cuyo peso es despreciable en comparación con el peso de la esfera y de longitud mucho más grande que el radio de la esfera. (Ver Fig. 1) Fig. 1 Péndulo simple.

Cuando dicho péndulo se encuentra en reposo la cuerda está en forma vertical, pero al ser desplazado de dicha posición de equilibrio en forma lateral, él se moverá en un plano en torno a tal posición con un movimiento llamado oscilatorio. 1

Considerando que el péndulo oscila libremente (sin roce), se puede demostrar que su movimiento es un movimiento armónico simple, siempre y cuando la amplitud de oscilación sea pequeña. La característica fundamental de un movimiento armónico simple es que: la aceleración en cada punto de la trayectoria es proporcional al desplazamiento angular (θ) correspondiente a dicho punto. Lo anterior puede ser demostrado considerando las fuerzas que actúan sobre la masa m, como puede verse en la fig. N°2, dichas fuerzas son: a) El peso de la esfera, b) La tensión T de la cuerda sobre la esfera.

Fig. 2 Descomposición de fuerzas en el péndulo simple.

Al descomponer la fuerza peso en sus dos componentes (ver Fig. 2), una en la dirección de la cuerda y la otra en la dirección de la tangente al arco de circunferencia descrito por la esfera, se logra comprender que la causa del movimiento en estudio es una fuerza restauradora f dirigida hacia la posición de equilibrio. En la Fig. tenemos: 𝑇 − 𝑚𝑔 cos 𝜃 = 𝑚𝑎𝑐

(1)

𝑓 = − 𝑚𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃

(2)

Donde ac es la aceleración centrípeta 2

Se tiene, f= mat, donde at es la aceleración tangencial, entonces: -mgsenθ = mat

(3)

Considerando que en el movimiento circular la aceleración tangencial está dado por: at= Rα

(4)

Donde R es el radio de la trayectoria circular descrita por el cuerpo y α la aceleración angular. Para el caso del péndulo simple R= L, por lo tanto: at = Lα

at = L

𝑑2ɵ 𝜃

(5)

𝑑𝑡 2

Reemplazando en la ecuación (3): 𝑚𝐿 𝑑2 𝜃ɵ 𝑑𝑡 2

𝑑2ɵ 𝜃 𝑑𝑡 2

= - 𝑚𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝑔

=𝐿 𝑠𝑒𝑛 𝜃

(6)

Cuando se tiene desplazamientos angulares pequeños de la posición de equilibrio, senθ= θ (θ medido en radianes), por lo tanto nos queda: 𝑑2 𝜃ɵ 𝑑𝑡 2

𝑔

= 𝐿 ɵ𝜃

(7)

Esta es la ecuación que rige el movimiento del péndulo simple y nos dice que el movimiento de dicho péndulo es armónico simple. La solución de la ecuación (7) es de la forma: θ=θ0cos(ωt)

(8)

Al introducir la solución (8) y su segunda derivada en la ecuación (7), se obtiene que la frecuencia angular de oscilación del péndulo está dada por: ω2 =

𝑔 𝐿

como,

ω=

Entonces, el periodo de oscilación del péndulo es: 3

2𝜋 𝑇

𝐿

T= 2π√𝑔

(9)

Como se puede observar el periodo de oscilación del péndulo simple no sólo es independiente de la oscilaciones iníciales y amplitud, sino que además es independiente de la masa. Depende sólo de la longitud L y de la aceleración de gravedad del lugar. Material a utilizar en la práctica: 

Péndulo simple



Transportador



Regla



Cronómetro



Juego de masas

Método o procedimiento experimental Se va analizar en esta práctica la dependencia del periodo de oscilación del péndulo simple con los siguientes parámetros: masa, desplazamiento angular inicial y longitud. 

Para estudiar la dependencia de la masa se fija el largo del péndulo y un desplazamiento angular pequeño (ver tabla N° 1), entonces se determina el periodo de oscilación para esferas de diferentes masas. La medida de tiempo son de 10 oscilaciones, al menos dos veces.



Para estudiar la dependencia de la amplitud angular se fija el largo del péndulo y la masa de la esfera y luego se determina el periodo de oscilación para diferentes desplazamientos angulares, como se señaló antes.



En el estudio de la dependencia con la longitud del péndulo se fija la masa (más pequeña) y la amplitud angular pequeña y se varía el largo del péndulo, determinando el periodo de oscilación para cada longitud.

4

Tabla N°1 Valores de θ, senθ para ángulos pequeños. θ(°)

θ(rad)

Senθ

2

0,0349

0,0349

5

0,0873

0,0872

8

0,1392

0,1392

10

0,1745

0,1713

15

0,2618

0,2588

20

0,3490

0,3420

Trabajo práctico: 1. Realice las medidas según el método descrito antes. 2. Hacer los gráficos del periodo de oscilación en función de la masa, amplitud angular y longitud en papel milimetrado. 3. Resuma los resultados de las tres experiencias anteriores en una sola afirmación relativa a los efectos de los tres factores que usted pudo controlar durante su experiencia. 4. Determine el valor de la aceleración de la gravedad, mediante el análisis de un gráfico adecuado de la ecuación (9) 5. En cada gráfica realizada debe estar presente su respectivo error absoluto. 6. Para un punto experimental en la gráfica realizada en el paso 4, determine el error absoluto de la gravedad utilizando propagación de errores. Nota: Tome en cuenta el error de reacción del cronómetro. Preguntas de evaluación 1. Si la amplitud de un péndulo simple aumenta ¿Debe aumentar o disminuir su periodo? Explique. 2. Diga que debe usted hacer a la longitud del hilo de un péndulo simple para: a) Duplicar su frecuencia; b) Duplicar su periodo. 3. ¿En qué punto del movimiento de un péndulo simple es máxima la tensión en el hilo?, ¿Y mínima? Explique. 5

4. Defina periodo y frecuencia de oscilación indicando unidades de medida y la relación entre ambas magnitudes. 5. Explique cómo influye la amplitud en la fuerza restauradora. 6. ¿En qué parte de la trayectoria de la velocidad del péndulo es mayor?, ¿En qué parte la aceleración tangencial es mayor?.

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