Practica 12

Lagrange En ingeniería es frecuente la interpolación de datos a través de la experimentación por lo que la interpolación y/o extrapolación facilitan dicha tarea. Para ello existen diferencias técnicas siendo la más usada para este propósito la de La Grange Interpolación de LaGrange El análisis numérico es el que interpola un conjunto de puntos dado en el que existe un único polinomio interpolador para dichos puntos y donde se tiene un conjunto 𝐾 + 1 es decir (𝑥0 , 𝑦0 ) … (𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 ) 𝑦 𝑙𝑜𝑠 𝑥𝑗 se asumen distintos y el polinomio interpolada en la forma de LaGrange es la combinación lineal 𝑘

𝐿(𝐾) = ∑ 𝑦𝑖 𝑙𝑖 (𝑘) 𝑦=0

de bases polinómicas de LaGrange 𝑙𝑗 (𝑥) =

𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥𝑗−1 𝑥 − 𝑥𝑗+1 𝑥 − 𝑥𝑘 … ∗ … 𝑥𝑗 − 𝑥0 𝑥𝑗 − 𝑥𝑗−1 𝑥𝑗 − 𝑥𝑗+1 𝑥𝑗 − 𝑥𝑘

Obtenga el polinomio de interpolación usando la fórmula de interpolación de Lagrange con la siguiente tabla de valores e interpole en el punto 𝑥 = −3 𝑋𝐾

𝑌𝐾

1

10

-4

10

-7

34

Solución Dados los puntos (𝑥0 , 𝑦0 ) = (1,10) (𝑥1 , 𝑦1 ) = (−4,10) (𝑥2 , 𝑦2 ) = (−7,34)

𝐿0 (𝑥) =

(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 ) (𝑥 + 4)(𝑥 + 7) 𝑥 2 + 11𝑥 + 28 = = (𝑥0 − 𝑥1 )(𝑥0 − 𝑥2 ) (1 + 4)(1 + 7) 40

𝐿1 (𝑥) =

(𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥2 ) (𝑥 − 1)(𝑥 + 7) 𝑥 2 + 6𝑥 − 7 = = (𝑥1 − 𝑥0 )(𝑥1 − 𝑥2 ) (−4 − 1)(−4 + 7) +15

𝐿2 (𝑥) =

(𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 ) (𝑥 − 1)(𝑥 + 4) 𝑥 2 + 3𝑥 − 4 = = (𝑥2 − 𝑥0 )(𝑥2 − 𝑥1 ) (−7 − 1)(−7 + 4) 24

polinomio resultante

𝑃(𝑥) = 𝐿0 (𝑥)𝑦0 + 𝐿1 (𝑥)𝑦1 + 𝐿2 (𝑥)𝑦2 evaluamos en 𝑥 = −3 𝑃(𝑥) =

(−3)2 + 11(−3) + 28 (−3)2 + 6(−3) − 7 (−3)2 + 3(−3) − 4 (10) + (10) + (34) 40 15 24 𝑃(𝑥) = 6

Derivación numérica mediante polinomio de Newton se establece en forma general que para un polinomio de grado n escrito en la forma: 𝑃𝑛 (𝑋) = 𝑎0 + 𝑎1 (𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑎2 (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 ) + ⋯ + 𝑎𝑛 (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 ) … (𝑥 − 𝑥𝑛 ) Que pasa por los puntos 0,1,2…n los coeficientes 𝑎0 , 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 𝑎0 = 𝑓[𝑥0 ] 𝑎1 = 𝑓[𝑥0, 𝑥1 ] 𝑎2 = 𝑓[𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 ] . . . 𝑎𝑛 = 𝑓[𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ] el polinomio de segundo grado a diferencias divididas queda

𝑃𝑛 (𝑋) = 𝑓[𝑥0 ] + 𝑓[𝑥0, 𝑥1 ](𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑓[𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 ](𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 ) Al derivar se queda 𝑑𝑃(𝑋) = 𝑓[𝑥0, 𝑥1 ] + (2𝑥 − 𝑥0 − 𝑥1 ) + (𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 ) 𝑑𝑥 𝑑2 𝑃(𝑋) = 2𝑓[𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 ] 𝑑𝑥 obtenga la primera y segunda derivada evaluada en 𝑥 = 1 para la siguiente función tabulada Puntos

0

1

2

3

4

X

-1

0

2

5

10

f(x)

11

3

23

143

583

𝑓´ =

𝑓´ =

𝑓(𝑥1 ) − 𝑓(𝑥0 ) 3 − 11 = =8 𝑥1 − 𝑥0 0+1

𝑓(𝑥2 ) − 𝑓(𝑥1 ) 23 − 3 = = 10 𝑥2 − 𝑥1 2−0

siguiendo el mismo algoritmo se llenó la siguiente tabla Puntos

X

f(x)

Diferencias Diferencias primeras

segundas

0

-1

11

-8

6

1

0

3

10

6

2

2

23

40

6

3

5

143

88

4

10

583

𝑃2 (𝑋) = 11 + (1 + 1)(8) + (1 + 1)(1)(6) = 39 𝑑𝑃(𝑋) = −8 + 2(1) + 1 + 0)(6) = 10 𝑑𝑥 𝑑2 𝑃(𝑋) = 2(6) = 12 𝑑𝑥

Ajuste los datos que se muestran en la tabla con segmentarias cubicas y calcule el valor de la función en X=5 puntos 0 1 2 3

x 3 4.5 7 9

f(x) 2.5 1 2.5 0.5

Solución: i=1 X0=3.0 X1=4.5 X2=7.0

i=2 f(x0)=2.5 f(x1)=1.0 f(x2)=2.5

X1=4.5 X2=7.0 X3=9.0

f(x1)=1.0 f(x2)=2.5 f(x3)=0.5

(8f´´(4.5)+f´´(7)=9.6)9 (2.5f´´(4.5)+9f´´(7)=-9.5)2.5

72f´´(4.5)+22.5f´´(7)=86.4 -6.25f´´(4.5)-22.5f´´(7)=24 f´´=110/65.75=1.6791 1.6791 −1.5331 1.6791 1.6791(7 − 4.5) 7.53 + ( ) (5 − 4.5)3 + ( − ) (5 − 4.5) = 1.06 6(7 − 4.5) 6(7 − 4.5) 7 − 4.5 6

Ajuste por mínimos cuadrados Ajustar a una recta por minimos cuadrados y estimar el valor de la función en X=1 X -1 f(x) 2 n 4

𝞢

0 0 Xi -1 0 3 7 9

3 4 f(xi) 2 0 4 7 13

7 7 Xi2 1 0 9 49 59

Xif(xi) -2 0 12 49 59

𝑛

𝑛

𝑎 ∙ 𝑛 + 𝑏 ∙ ∑ 𝑥𝑖 ∑ 𝑓𝑖 𝑖=1

𝑖=1

𝑎 ∙ 4 + 𝑏 ∙ 9 = 13 𝑎 ∙ 9 + 𝑏 ∙ 59 = 59 a=1.5225 b=0.7677 y=1.5225(1)+0.7677 y=2.2902 ajuste los siguientes datos por minimos cuadrados a una población y estime el valor de la final x=0y x=2 X f(x)

n 6

-3 14

-1 4

xi -3 -1 1 3 5 7 12

1 2

3 8

f(xi) 14 4 2 8 22 44 94

5 22

7 44

Xi2 9 1 1 9 25 49 94

f(xi)xi -24 -4 2 24 110 308 398

Xi3 -27 -1 1 27 125 343 468

6𝑎0 + 12𝑎1 + 94𝑎2 = 94

12𝑎0 + 94𝑎1 + 468𝑎2 = 398

94𝑎0 + 468𝑎1 + 3190𝑎2 = 2910 𝑃(0) = 2 + (−1)(0) + 1(0)2 = 2

𝑃(2) = 2 + (−1)(2) + 1(2)2 = 4

Xi4 81 1 1 81 625 2401 3190

Xi2 f(xi) 126 4 2 72 550 2156 2910

EJERCICIO: Los valores siguientes representan la cantidad S en gr de 𝑘2 𝐶𝑟2 𝑂7 disueltos en 10 partes de agua a la temperatura t indicada en grados centígrados, la relación entre estas variables es : T S

𝑙𝑜𝑔10 5 = 𝑎 + 𝑏𝑡 + 𝑐𝑡 2

0.0 10.0 27.4 42.1 61.5 62.1 63.3 70.3

Calcule los parámetros a, b y c por el método de minimos cuadrados utilizando los datos de la tabla n 4

Xi 0.0 10.0 27.4 42.1 79.5

f(xi) 61.5 62.1 63.3 70.3 257.2

Xi2 0 100.0 750.76 1772.41 2623.17

Xi3 0 1000 20570.8 74618.4 96189.2

Xi4 0 10000 563640.5 3141437.2 3715077.7

Xif(xi) 0 621 1734.4 2959.6 5315.05

Xi2f(xi) 0 6210 47523.1 124600.4 138335.5

4𝑎0 + 79.5𝑎1 + 2623.1𝑎2 = 257.2 79.5𝑎0 + 2623.1𝑎1 + 96189.2𝑎2 = 5315.05 2623.1𝑎0 + 96189.2𝑎1 + 3715077.7𝑎2 = 178.335.531 𝑎0 = 61.31 𝑎1 = 0.086 𝑎2 = 3.078 ∗ 10−3

𝑙𝑜𝑔10 5 = 61.32 + 0.086𝑡 + 3.078 ∗ 10−3 𝑡 2

En el análisis de actividad α de la encima polifenoloxilaza de muestras de aguacate se obtuvieron los siguientes datos los cuales están el función del tiempo de tratamiento 𝜭 y del tiempo de reacción 𝝆 en minutos. Calcule Tiempo de tratamiento 30 60 120 180 240

𝑑𝛼 𝑑𝜌

con un polinomio de lagrange para 𝝆=30 y𝜭=180

15

30

45

60

0.166 0.162 0.100 0.057 0.052

0.166 0.140 0.080 0.067 0.056

0.152 0.154 0.142 0.057 0.058

0.155 0.149 0.162 0.104 0.080

𝑑𝛼 (2(30 − 30 − 45))0.057 (2(30 − 15 − 45))0.067 2(30 − 15 − 30)0.057 = + + (45 − 15)(45 − 30) 𝑑𝜌 (15 − 30)(15 − 45) (30 − 15)(30 − 45)

𝑑𝛼 =0 𝑑𝜌 Ejercicio t(min) 0 2 4 6 8 10 X1 45 50 55

40 0.7 0.578 0.447 0.394 0.325 0.209

45 0.7 0.5 0.357 0.255 0.182 0.130 f(x) 0.2185 0.1405 0.093

50 0.7 0.427 0.261 0.184 0.097 0.054

55 0.7 0.382 0.208 0.113 0.073 0.034

60 0.7 0.360 0.184 0.096 0.049 0.026

f´ 9.5 ∗ 10−3 6.1 ∗ 10−4

𝑑𝑦 = 𝑓[−0.0156, −0.0095] + 2(53 − 45 − 55)( 6.1 ∗ 10−4 ) = −0.082 𝑑𝑥