Practica 1 Aislamientos Termicos.docx

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA IZTAPALAPA

AISLAMIENTOS TÈRMICOS REPORTE

EQUIPO 3 Integrantes: Arias Espinoza Alberto Javier Lievanos Carrasco Andrea Carolina Montes Olivares Cesar

Profesor: Cabello Robles Juan José UEA: Laboratorio de Fenómenos de Transporte Carrera: Ingeniería Química

11 de Abril de 2016

RESUMEN EJECUTIVO En el presente reporte se muestra la obtención del coeficiente de difusión de calor en un sistema de paredes compuestas análogo al desarrollo de mecanismo de aislamiento térmico. Además, se adjuntan graficas de curvas de potencia experimentalmente, así como los tiempos característicos de cada material. Con el fin de analizar el fenómeno de transporte se obtuvieron modelos matemáticos que ayudaron a comprender el mecanismo para la obtención del coeficiente de transferencia de calor. Los porcentajes de error que se obtuvieron fueron muy grandes.

ÌNDICE 1. OBJETIVOS .................................................................................................................................. 1 2. MOTIVACIÒN ............................................................................................................................ 1 3. FUNDAMENTOS TEÒRICOS ................................................................................................. 1 3.1 EL EQUIPO ............................................................................................................................. 1 3.2 MODELO FISICO SIMPLIFICADO ................................................................................. 2 3. 3 HIPÒTESIS............................................................................................................................ 2 3.4 MODELO MATEMÁTICO ................................................................................................. 3 4. DISEÑO DE LA PRÀCTICA..................................................................................................... 4 4.1 VARIABLES Y PARÀMETROS ......................................................................................... 4 4.2 ELECCIÒN DEL SISTEMA ................................................................................................. 4 4.3 HOJA DE DATOS ................................................................................................................. 4 5. EQUIPO Y MATERIALES ......................................................................................................... 6 6. REALIZACIÒN DE LA PRÀCTICA ........................................................................................ 6 6.1 DESARROLLO DE LA PRÀCTICA .................................................................................. 6 6.2 MEDICIONES ....................................................................................................................... 6 6.2.1 HOJA DE DATOS .............................................................................................................. 7 6.3. OBSERVACIONES .............................................................................................................. 9 7. ANÀLISIS DE DATOS Y RESULTADOS ............................................................................. 9 7.1 CÀLCULOS ............................................................................................................................ 9 7.2 GRÁFICAS ........................................................................................................................... 11 7.3 DISCUSIÒN ......................................................................................................................... 11 7.4 CONCLUSIONES ............................................................................................................... 12 7.5 SUGERENCIAS Y RECOMENDACIONES................................................................... 12 8. REFERENCIAS .......................................................................................................................... 12 9. APÈNDICE ................................................................................................................................. 12 A. DESARROLLO DEL MODELO MATEMÀTICO ......................................................... 12 B. . CÀLCULO DE TIEMPO CARACTERÍSTICO DEL PROCESO ................................ 14

1. OBJETIVOS   

Determinar un modelo matemático que permita calcular la conductividad de los aislantes térmicos. Determinar la conductividad térmica para diferentes materiales. Determinar los tiempos característicos para cada capa de aislamiento en el sistema de paredes compuestas.

2. MOTIVACIÒN La empresa Isover Saint-Gobain ha formado un nuevo equipo de trabajo con el fin de desarrollar una mejora del producto TECH Slab 2.0, el cual consiste en un aislamiento térmico y acústico para equipamientos industriales. El equipo consiste de un panel semirrígido de lana de vidrio, este material muestra un aislamiento ligero y de gran flexibilidad, con aplicaciones hacia aislamiento Térmico y Acústico para tanques, depósitos, cisternas y salas de máquinas. Se le pide al equipo de trabajo de ingeniería química que calculen la conductividad térmica de este aislante, para poder mejorar dicho producto y aumentar su eficiencia hacia el mercado.

3. FUNDAMENTOS TEÒRICOS 3.1 EL EQUIPO El equipo tubular de diferentes materiales representa el mecanismo de transferencia de calor de forma radial y está conformado por un tubo de cemento relleno de verniculita que actuará como aislante, posteriormente el tubo de vidrio en el centro del tubo de cemento con resistencia eléctrica, la cual se forrara de tela de asbesto, se adicionara un termopar en cada cara externa de los tubos, como se muestra la Figura 1 a continuación.

Figura 1. Tubo de aislante térmico. 1

3.2 MODELO FISICO SIMPLIFICADO Se investigó el comportamiento del fenómeno simplificado para encontrar la dirección del calor, el cual existe de forma radial, desde el interior donde se encuentra la resistencia hacia el tubo exterior (cemento), el sistema se consideró en coordenadas cilíndricas (r, θ, z) como se muestra en la Figura 2. Se realizarán 3 balances de energía uno entre el R1 y R2, el siguiente entre el R2 y R3 y por último se realizará el balance entre el R3 y R4. Se tomaran tres elementos diferenciales cada uno entre los radios anteriormente especificados. Por términos prácticos solo se especificará lo anterior y no se mostrará gráficamente.

Figura 2. Representación esquemática del comportamiento de trasferencia de calor con diferentes materiales en coordenadas cilíndricas (r, θ, z).

3. 3 HIPÒTESIS 





Geométricas 1. Se considera un tubo cilíndrico, el de cemento. 2. La verniculita se considera como un sólido uniforme. 3. La resistencia que calienta en la parte interior del tubo tiene una geometría cilíndrica. Condiciones iniciales y a la frontera 1. El sistema se considera como paredes compuestas delimitado por el diámetro interno y externo de cada material. Sobre las condiciones de operación 1. Los termopares irán en la cara interna y externa de cada pared.

2

2. Se aplicará un voltaje a la resistencia eléctrica hasta alcanzar el estado estacionario en todos los materiales.

3.4 MODELO MATEMÁTICO El desarrollo del modelo matemático para encontrar la ecuación de trabajo fue necesario realizar balances macroscópicos de transferencia de calor en cada capa. 𝑄𝐸𝑐𝑒𝑚 − 𝑄𝑆𝑐𝑒𝑚 = 0 (1) (𝑞𝐸𝑣 2𝜋𝑟𝐿∆𝑟)𝐼𝑟+∆𝑟 −(𝑞𝑆𝑣 2𝜋𝑟𝐿∆𝑟)𝐼𝑟 2𝜋𝑟𝐿∆𝑟

=0

(2)

=0

(3)

Posteriormente se toma el límite de la ecuación A.2 cuando ∆𝑟 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑎 0 :

𝑑(𝑟𝑞𝑣 ) ∆𝑟

Al integrar (A.3) se obtiene

𝑟𝑞𝑣 = 𝑟1 𝑞0 Donde r1 es el radio interno de la región 1-2 y q0 es la densidad de flujo de calor en esa región. 𝑆𝑒𝑟𝑜 𝐼2 𝑞0 = = 2 𝐾𝑒 𝑞0 = 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟

(4)

Al aplicar la ley de Fourier a las 3 regiones (1-2,2-3,3-4) se obtiene: 𝑑𝑇 𝑘 𝑑𝑟

(5)

= 𝑟0 𝑞0

(6)

𝑞= Región 1-2 Vidrio

−𝑟𝑘12

𝑑𝑇 𝑑𝑟

En esta región se consideró estado pseudo-estacionario para poder resolver el balance de energía. Región 2-3 Región 3-4

Vermiculita

−𝑟𝑘23 𝑑𝑟 = 𝑟0 𝑞0

𝑑𝑇

(7)

Cemento

−𝑟𝑘34 𝑑𝑟 = 𝑟0 𝑞0

𝑑𝑇

(8)

Si se supone que las conductividades térmicas en las tres regiones anulares son constantes, entonces cada una de las tres ecuaciones anteriores puede integrarse a través de su región para obtener:

(𝑇1 − 𝑇2 ) =

𝑟2 𝑟1

𝑆𝑒𝑟12 ln( )

(9)

2𝑘12

Despejando k12 obtenemos la siguiente ecuación. 𝑘12 =

𝑟2 𝑟1

𝑆𝑒𝑟12 ln( ) 2(𝑇1−𝑇2)

(10)

Lo mismo se puede hacer a las regiones restantes

(𝑇2 − 𝑇3 ) =

𝑟3 𝑟2

𝑆𝑒𝑟12 ln( ) 2𝑘12

𝑘23 =

3

𝑟3 𝑆𝑒𝑟12 ln( ) 𝑟2

2(𝑇2−𝑇3)

(11) (12)

(𝑇3 − 𝑇4 ) =

𝑟4 𝑟3

𝑆𝑒𝑟12 ln( ) 2𝑘12

𝑘34 =

𝑟4 𝑆𝑒𝑟12 ln( ) 𝑟3

2(𝑇3−𝑇4)

(13) (14)

Nomenclatura: K=Conductividad térmica. R=Radios [m]. T=Temperatura (℃) α=ρCp difusividad térmica =[m2/s] 𝑤 Se=Generación de calor [𝑚3 ] 𝑑𝑇 =Derivada 𝑑𝑡

de la temperatura con respecto del tiempo

4. DISEÑO DE LA PRÀCTICA 4.1 VARIABLES Y PARÀMETROS  1. 2. 3. 4.

Variables dependientes: 𝐾12 𝐾23 𝐾34 Temperatura=[℃]

 Variables independientes: 1. Tiempo=[𝑠]  1. 2. 3.

Parámetros Longitud [c𝑚] Voltaje [Ω] Radio [c𝑚]

4.2 ELECCIÒN DEL SISTEMA Para la realización del experimento se utilizó para la resistencia materiales que permitan calcular de manera fácil los coeficientes de conducción de calor, por ello se utilizara Tipo K (cromel/alumel): El cromel es una aleación de Ni-Cr, y el alumel es una aleación de Ni-Al. Tienen un rango de temperatura de –200 °C a +1372 °C , un grado de extensión de -60 a 200 ºC y una sensibilidad 41 µV/°C aproximadamente. Posee buena resistencia a la oxidación.

4.3 HOJA DE DATOS Aislamientos Térmicos EQUIPO 3 4

Arias Espinoza Alberto Lievanos Carrasco Andrea Carolina Montes Olivares Cesar Ecuaciones de trabajo: 𝑘12 = 𝑘23 =

𝑘34 =

 1. 2. 3. 4.

𝑟2 𝑟1

𝑆𝑒𝑟12 ln( )

(1)

2(𝑇1−𝑇2) 𝑟3 𝑟2

𝑆𝑒𝑟12 ln( )

(2)

2(𝑇2−𝑇3)

𝑟4 𝑟3

𝑆𝑒𝑟12 ln( )

(3)

2(𝑇3−𝑇4)

Variables dependientes: 𝐾12 𝐾23 𝐾34 Temperatura=[℃]

 Variables independientes: 1. Tiempo=[𝑠]  Parámetros 1. Longitud [c𝑚] 2. Voltaje [Ω] 3. Radio [c𝑚]

Tabla 1. Datos experimentales obtenidos durante el aislamiento térmico. Tiempos (s) 1

Termopar (ºC) 3

2

5

4

5. EQUIPO Y MATERIALES  Materiales: 1. Verniculita 2. Almbre de cromen -lumen 3. Cinta de asbesto  1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Sustancias: 1 flexometro 1 soporte universal 1 pinzas 1 tubo de vidrio 1 varilla de cobre 1 tubo de cemento 1 vernier

6. REALIZACIÒN DE LA PRÀCTICA 6.1 DESARROLLO DE LA PRÀCTICA 1. Se colocó la resistencia en la varilla metálica dentro del tubo de vidrio. 2. Se colocó los termopares en contacto con las superficies cuyas temperaturas habrán de medir, en la parte media de los tubos. 3. Se colocó el tubo con la resistencia en el centro del interior del tubo de concreto, con ayuda de las tapas y colocar el conjunto en posición vertical. 4. Se Vierte el aislante en el espacio anular hasta llenar la cavidad, sacudiendo para lograr un mejor empacamiento. Posteriormente se coloca la tapa superior y finalmente se sujeta con “masking tape”. Los cables de los termopares deben salir por una de las tapas. 5. Se Conecta la resistencia eléctrica al controlador de temperatura y el termopar 0 al termostato del mismo controlador. 6. Se fija una temperatura deseada e iniciar el calentamiento. (Se Inicia por las temperaturas más bajas para que el tiempo de espera sea menor.) 7. Una vez que se está operando a régimen estacionario, se toma las temperaturas del conjunto de termopares y posteriormente se aumenta la temperatura deseada. 8. Finalmente se repiten los pasos 6 y 7 para varias temperaturas.

6.2 MEDICIONES

6

6.2.1 HOJA DE DATOS Aislamientos Térmicos EQUIPO 3 Arias Espinoza Alberto Lievanos Carrasco Andrea Carolina Montes Olivares Cesar Ecuaciones de

trabajo: 𝑘12 = 𝑘23 =

𝑘34 =





𝑟2 𝑟1

𝑆𝑒𝑟12 ln( ) 2(𝑇1−𝑇2) 𝑟3 𝑟2

𝑆𝑒𝑟12 ln( ) 2(𝑇2−𝑇3)

𝑟4 𝑟3

𝑆𝑒𝑟12 ln( ) 2(𝑇3−𝑇4)

Variables dependientes: 5. 𝐾12 6. 𝐾23 7. 𝐾34 8. Temperatura=[℃] Variables independientes: 2. Tiempo=[𝑠]  Parámetros 4. Longitud [c𝑚] 5. Voltaje [Ω] 6. Radio [c𝑚]

Tabla 2. Datos experimentales obtenidos durante el aislamiento térmico. Termopares t(min) 1 2 3 4 0 23,8 23,6 24,3 23,1 2 24,4 23,7 24,3 23,1 4 32,6 24,8 24,4 23,1 7

(1)

(2)

(3)

4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10 10,5 11 11,5 12 13 16 19 23 25 28 30 33 35 37 39 41 42 43 44 46 47 48 49 51 53 54 56 59 60 61 62

34,5 37,5 39,5 41,7 43,7 45,6 47,7 49,4

25,4 26,1 26,5 27,5 28,3 29,1 29,8 30,6 51,2 53,3 54,5 57,4 59,2 62 63,8 65,3 67,8 70,4 72,7 75,2 77,4 80,4 82 83,7 85,5 87,8 89,2 91,2 92,6 94,2 95,6 97,1 98,4 99,7 100,1 102,2 104 105,3 107,9 110,4 112,2 113,3 114,2

31,5 32,5 33,1 34,6 35,5 36,9 37,9 38,7 40,2 41,8 43,3 44,9 46,1 48,1 49 50 51,2 52,5 53,5 54,7 55,7 56,7 57,6 58,6 59,4 60,3 61,4 61,9 62,8 63,4 64,6 65,5 67,3 69,1 70 8

24,5 24,8 25 25,4 25,7 26,2 26,6 27,1 27,7 28,2 28,7 29,6 30,2 31,3 31,9 32,6 33,7 34,9 35,9 37,1 38,2 39,5 40,4 41,2 42,2 43,4 44,1 45,1 45,9 46,8 47,5 48,3 49 49,6 50,6 51,2 52,1 52,9 54,3 51,2 51,9 53,1 53,8

23,1 23,1 23,1 23,1 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23,1 23,1 23,1 23,1 23,1 23,1 23,2 23,3 23,3 23,4 23,4 23,5 23,5 23,5 23,6 23,6 23,6 23,6 23,7 23,7 23,9 24 24,1 24,3 24,3

63 66 69 71 72 73

114,9 117 120,8 122,2 123,2 124,6

70,7 72,5 75,7 77,7 77,9 78,6

54,3 55,9 58,7 59,7 60,5 61

24,5 24,6 25 25,1 25,1 25,3

6.3. OBSERVACIONES 1. Se pudo notar que algunos termopares estaban en mal estado por ese motivo se tuvo que revisar cada uno de los termopares que se utilizaron para así poder comenzar el experimento.

2. El equipo a un rango muy elevado de corriente eléctrica (volts) no es recomendable usarlo, ya que forzaría la resistencia y crea un margen de error en los datos y accidentes en el experimento.

7. ANÀLISIS DE DATOS Y RESULTADOS 7.1 CÀLCULOS Antes de comenzar a realizar los cálculos correspondientes se muestran algunos datos conocidos posteriormente se procede a calcular los datos desconocidos dando una breve explicación. También se consideró el cálculo de los tiempos característicos de cada material como se muestra en el apéndice B. Medidas del sistema. Tabla 3. Datos experimentales de medidas del sistema Material Radio interno (m) Radio externo (m) Vidrio 0.0105 0.0116 Verniculita 0.0116 0.0493 Cemento 0.0493 0.0609 Tabla 4. Condiciones de operación del sistema. Voltaje 40 volts Resistividad 0.66 omh*mm Longitud de la resistencia 3.4 m Diámetro de la resistencia 0.1 mm Temperaturas Se tomaran promedios a partir de los 45 min. Tabla 5. Datos reportados de los materiales. Pared Pared Conductividad Cp Densidad Material interna externa k (w/mk) (kj/kg*k) (kg/m3) vidrio 110.5 70 1.047 0,84 2700 verniculita 70 55 0.08 0,837 150 albesto 55 24,5 0,2 1 2400 cemento 1,4 1 1900 9

Se Procede a calcular la conductividad. 1 1 𝑘𝑒 = = = 1515.15𝑜ℎ𝑚−1 ∗ 𝑚−1 −4 𝑅𝑒 0.66𝑥10 𝑜𝑚ℎ ∗ 𝑚 Donde Re es la resistividad. De la ley de Ohm.

𝑉 =𝑅∗𝐼 La resistencia se encuentra definida como:

𝑅 = 𝑅𝑒

𝑙 𝑆

Donde: 

Re es el coeficiente de proporcionalidad o la resistividad del material,



l es la longitud del cable



S el área de la sección transversal del mismo.

Sustituyendo los valores de la resistencia en la ley de ohm y sustituyendo el amperaje se obtiene

𝐼=

𝑉 𝑉 𝑉𝑆 𝑘𝑒 𝑉𝑆 = = = 𝑅 𝑅 𝑙 𝑅𝑒 𝑙 𝑙 𝑒𝑆

Con los datos obtenidos anteriormente procedemos a calcular 𝐼. 1515.15𝑂ℎ𝑚−1 𝑚−1 (40 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠)(2.0652𝑥10−8 𝑚2 ) 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠 𝐼= = 3.68𝑥10−4 3.4 𝑚 𝑂ℎ𝑚 Con el dato anterior calculamos la densidad del amperaje utilizando la siguiente ecuación.

𝐼𝑠 =

𝐼𝑠 =

𝐼 𝑘𝑒 𝑉𝑆 𝑘𝑒 𝑉 = = 𝑆 𝑙𝑆 𝑙

1515.15𝑂ℎ𝑚−1 𝑚−1 (40 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠) 3.4 𝑚

= 17825.294

𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠 𝑂ℎ𝑚 𝑚2

Y así poder conocer la generación Se. 𝐴𝑚𝑝𝑒𝑟𝑠2 𝑊𝑎𝑡𝑡𝑠 𝑚4 𝑆𝑒 = = = 209709.3398 𝑘𝑒 𝑚3 1515.152𝑜ℎ𝑚−1 ∗ 𝑚−1

𝐼𝑆2

317741106.2

10

Una vez obtenidos todos los datos sustituimos los valores en las ecuaciones de trabajo.

𝐾12 = 𝑘23 = 𝑘34 =

𝑟2 𝑆𝑒𝑟12 ln(𝑟1) 2|𝑇2 − 𝑇1 | 𝑟3 𝑟2

𝑆𝑒𝑟12 ln( ) 2|𝑇2−𝑇3| 𝑟4 𝑆𝑒𝑟12 ln( ) 𝑟3

2(𝑇3−𝑇4)

= =

𝑊𝑎𝑡𝑡𝑠 0.0116 ∗ (0.0105𝑚)2 ∗ ln ( ) 𝑊𝑎𝑡𝑡𝑠 0.0105 𝑚3 = 0.0255 𝑂 2 ∗ (121.6°𝐶 − 76.48°C) 𝑚 C

209709.3398 =

𝑊𝑎𝑡𝑡𝑠 0.0493 ∗(0.0105𝑚)2 ∗ln( ) 0.0116 𝑚3

209709.3398

2∗(76.48°𝐶−59.16 °𝐶) 𝑊𝑎𝑡𝑡𝑠 0.0609 209709.3398 3 ∗(0.0105𝑚)2 ∗ln( ) 0.0493 𝑚

2∗(59.16 °𝐶−25.02 °𝐶)

= 0.966

𝑊𝑎𝑡𝑡𝑠 𝑚𝑂 C

= 0.0715

Los resultados obtenidos fueron los siguientes. Tabla 6. Datos teóricos y experimentales. Datos Teóricos Calculados Conductividad k Conductividad k Material (w/mk) (w/mk) vidrio 0.8 0.0255 verniculita 0.08 0.966 asbesto 0,2 cemento 0.81 0.0715

𝑊𝑎𝑡𝑡𝑠 𝑚𝑂 C

Porcentaje de error 3037% 91.72% 1032.8%

7.2 GRÁFICAS

Temperatura vs tiempo 140 120

Axis Title

100 80

Termopar 1

60

Termopar 2

40

Termopar 3

20

Termopar 4

0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 Axis Title

Grafica 1. Representación esquemática del tiempo (min) con cada uno de los termopares.

7.3 DISCUSIÒN Con base a los resultados experimentales obtuvimos un conductividad térmica en el vidrio de 0.0255 W/m K y el valor teórico es de 0.8 W/m K en el cual podemos observar que tenemos un error de 3037% esto lo podemos explicar debido a que nuestro sistema no estaba perfectamente aislado por lo tanto teníamos flux radial y axial, otra de las explicaciones que podemos obtener en base a nuestro sistema es que la pared externa del vidrio estaba en contacto con la vermiculita la cual no es un sólido uniforme 11

por lo tanto dentro de la vermiculita podemos tener transporte de calor por convección y conducción y ese material absorbía parte del calor de la pared externa del vidrio por lo que se observó en el delta de temperaturas del vidrio y que no coincidían con los tiempos característicos que habíamos calculado anteriormente y debido a los problemas que tuvimos con el aislamiento del sistema no se pudo llegar a un estado estacionario por la perdidas de calor.

7.4 CONCLUSIONES Concluimos que gracias al cálculo de los tiempos característicos pudimos estimar el tiempo que nos tomaría llegar al estado estacionario, debido a los materiales con los que contamos no satisfacían al 100% el modelo matemático el cual solo consideraba la conducción de calor de forma radial y no consideraba la conducción axial y se tuvieron muchas pérdidas de calor en las tapas del sistema por lo tanto se ve reflejado en los porcentajes de error que se obtuvieron con los teóricos.

7.5 SUGERENCIAS Y RECOMENDACIONES 1. Se requiere que el equipo se encuentre en las condiciones óptimas para la realización de la práctica antes de experimentar. 2. Verificar a que corriente se encuentra la red eléctrica y cuanta resistencia se necesita para realizar el experimento y el sistema resista las condiciones de calor del experimento. 3. Se tiene que considerar un sistema más completo al agregar los efectos convectivos , es decir , considerar el transporte de la pared externa del tubo de asbesto hacia el aire.

8. REFERENCIAS 1. Bird, R.B., Stewart, W.E. y Ligthfoot, E.N. 1982. Fenómenos de Transporte, Reverte. 46

2. Incropera, F.P. y DeWitt, D.P. 1999 Fundamentos de Transferencia de Calor, Prentice Hall Hispanoamericana, México. 3. Pérez-Rincón, E. y Soria, A., 1982. Prácticas de Fenómenos de Transporte I, Universidad Autónoma Metropolitana- Iztapalapa. 4. http://www.isover.es/Aislamiento-Tecnico-Climatizacion-Industria-yMarina/Productos2/TECH-Slab-2.0#descripcion

9. APÈNDICE A. DESARROLLO DEL MODELO MATEMÀTICO El desarrollo del modelo matemático para encontrar la ecuación de trabajo fue necesario realizar balances macroscópicos de transferencia de calor en cada capa. 𝑄𝐸𝑐𝑒𝑚 − 𝑄𝑆𝑐𝑒𝑚 = 0 (A.1) (𝑞𝐸𝑣 2𝜋𝑟𝐿∆𝑟)𝐼𝑟+∆𝑟 −(𝑞𝑆𝑣 2𝜋𝑟𝐿∆𝑟)𝐼𝑟 2𝜋𝑟𝐿∆𝑟

=0

(A.2)

=0

(A.3)

Posteriormente se toma el límite de la ecuación A.2 cuando ∆𝑟 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑎 0 : 𝑑(𝑟𝑞𝑣 )

Al integrar (A.3) se obtiene

∆𝑟

𝑟𝑞𝑣 = 𝑟1 𝑞0 Donde r1 es el radio interno de la región 1-2 y q0 es la densidad de flujo de calor en esa región. 12

(A.4)

𝑆𝑒𝑟𝑜 𝐼2 = 2 𝐾𝑒 𝑞0 = 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟

𝑞0 =

Al aplicar la ley de Fourier a las 3 regiones (1-2,2-3,3-4) se obtiene: 𝑑𝑇 𝑞 = 𝑑𝑟 𝑘

(A.5)

𝑑𝑇

Región 1-2 Vidrio

(A.6)

−𝑟𝑘12 𝑑𝑟 = 𝑟0 𝑞0

En esta región se consideró estado pseudo-estacionario para poder resolver el balance de energía. Región 2-3 Región 3-4

Vermiculita

−𝑟𝑘23 𝑑𝑟 = 𝑟0 𝑞0

𝑑𝑇

(A.7)

Cemento

−𝑟𝑘34 𝑑𝑟 = 𝑟0 𝑞0

𝑑𝑇

(A.8)

Si se supone que las conductividades térmicas en las tres regiones anulares son constantes, entonces cada una de las tres ecuaciones anteriores puede integrarse a través de su región para obtener:

(𝑇1 − 𝑇2 ) =

𝑟2 𝑟1

𝑆𝑒𝑟12 ln( )

(A.9)

2𝑘12

Despejando k12 obtenemos la siguiente ecuación. 𝑘12 =

𝑟2 𝑟1

𝑆𝑒𝑟12 ln( ) 2(𝑇1−𝑇2)

(A.10)

Lo mismo se puede hacer a las regiones restantes

(𝑇2 − 𝑇3 ) =

𝑟3 𝑟2

𝑆𝑒𝑟12 ln( ) 2𝑘12

𝑘23 =

(𝑇3 − 𝑇4 ) =

K=Conductividad térmica. R=Radios [m]. T=Temperatura (℃) α=ρCp difusividad térmica =[m2/s] 𝑤 Se=Generación de calor [𝑚3 ] 𝑑𝑇 =Derivada 𝑑𝑡

de la temperatura con respecto del tiempo

13

2(𝑇2−𝑇3) 𝑟4 𝑟3

𝑆𝑒𝑟12 ln( ) 2𝑘12

𝑘34 =

Nomenclatura:

(A.11)

𝑟3 𝑆𝑒𝑟12 ln( ) 𝑟2

(A.12)

(A.13) 𝑟4 𝑟3

𝑆𝑒𝑟12 ln( ) 2(𝑇3−𝑇4)

(A.14)

B. . CÀLCULO DE TIEMPO CARACTERÍSTICO DEL PROCESO El tiempo característico del proceso difusivo (conducción de calor en la pared), denotado por 𝜏𝑠 , esta asociado al problema teórico de la transferencia de calor transitoria en un medio-semiinfinito, cuya solución es: 𝑇 𝑥,𝑡− 𝜏∞2 𝜏𝑜1 − 𝜏∞2

= 1 − 𝑓𝑒𝑟(2

𝑥

√𝛼𝑡

)

(B.1)

También se puede definir 𝜏𝑠 , como el tiempo requerido para que el cambio en la temperatura de la superficie exterior de la pared sea del orden del 1 % de la diferencia total 𝜏𝑜1 − 𝜏∞2 . Si se toma x como el espesor de la pared y se considera que la función error debe ser alrededor de 0.99 para tener el cambio requerido del 1 %, entonces se observa que fer 2 0.99 y se encuentra que []: 𝜏𝑠 =

(𝑟2 −𝑟1 )2

(B.2)

16𝛼

Por lo tanto, para encontrar las disfusividades térmicas se hizo necesarios de datos de la literatura y también fue necesario tomar la medida de los radios de cada uno de los tubos como se reporta en la tabla 8. para poder determinar los tiempos característicos. Tabla 7. Datos teóricos para el cálculo del tiempo característico de cada material. 𝑊 𝑚2 Material 𝛥r (m) k( ) α( ) 𝑚𝐾

Vidrio Verniculita suelta Cemento

𝑠

0.8 0.08 0.81

6.7x10 -7 0.637x10 -6 0.360 x10-6

1.1 x10-3 0.04065 0.01915

Un ejemplo de cálculo para el tiempo característico del proceso en el vidrio se muestra a continuación: ∆𝑟 2

𝜏𝑠 = 16𝛼 =

(1.1𝑥10−3 𝑚)2 16(6.7𝑥10−7

= 0.1128s

𝑚2 ) 𝑠

( B.3)

Así mismo como en la ecuación B.3 se realiza el cálculo para el cemento y verniculita. Posteriormente se obtienen los siguientes resultados de la Tabla 7 y se observa el régimen en que está ocurriend o el fenómeno de transporte. Tabla 8. Resultados de tiempos característicos de cada uno de los materiales. Material 𝜏𝑠 (s) Régimen Vidrio 0.1128 Estacionario Verniculita 162.129 Transitorio Cemento 63.66 Estacionario

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