Pr0yecto Final Mate Ii

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Capítulo I.

Planteamiento del Problema Antecedentes El Sistema Educativo Nacional (SIEN) en México está organizado en tres grandes niveles: educación básica, educación media superior, y educación superior, los cuáles se integran de la siguiente forma: Educación básica, comprende los servicios de preescolar, primaria y secundaria y concentra la matrícula más numerosa de todo el sistema educativo. También incluye los servicios de educación inicial, educación especial y educación para adultos. La Educación Secundaria constituye los tres últimos grados de la educación básica. Desde 1993 es obligatoria y se imparte a la población de entre 12 y 16 años de edad que concluyó la primaria. La Educación media superior está conformada por tres servicios: el bachillerato general, el bachillerato tecnológico y la educación profesional técnica. La mayor parte de estos servicios se imparte en tres años pero hay algunos con dos años de duración. Para cursar este nivel es indispensable haber concluido la educación secundaria y la mayoría de las escuelas exige la presentación de un examen de admisión. En la Educación superior, el objetivo es formar profesionales en las diversas áreas de la ciencia, la tecnología y la docencia. Para ello el nivel se divide en: educación universitaria, educación tecnológica y educación normal. En este rubro también se ubica el postgrado, que incluye los estudios de especialidad, maestría y doctorado. Dentro de este contexto, el problema principal que se pretende abordar en la futura investigación, es el impacto de algún software dinámico en la clase de cálculo, y el beneficio o perjuicio que aporte a los estudiantes en el nivel medio superior. Para apoyar este problema de investigación, se cita del trabajo de Barroso (2000) lo siguiente: “Según Orton (1990), no se puede esperar que los estudiantes aprendan a través de definiciones, siendo necesario utilizar ejemplos y contraejemplos para la definición de un concepto matemático […] Vinner (1991) Señala que el esquema conceptual es algo no 1

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verbal asociado con nuestra mente con el nombre de un concepto. Puede ser una representación visual del concepto en el caso que éste tenga representaciones visuales” Schleider (2005) en el reporte del panorama de la educación en México, menciona: “Los estudiantes con una capacidad para las matemáticas por debajo de nivel 2 en la escala de evaluación de PISA es probable que encuentren graves problemas al utilizar las matemáticas en su vida futura […] La proporción con capacidad insuficiente varía extensamente, de por abajo del 10% en Finlandia y Corea, a por arriba del 60% en México”

Justificación En la conferencia "Orientaciones conceptuales sobre la enseñanza de las Matemáticas" dictada en el ICME 8• por la doctora Alba Thompson de la Universidad de San Diego, ella afirmaba que en la clase de Matemáticas se hace excesivo Énfasis en el aspecto calculista, con una clara tendencia a ejecutar técnicas y procedimientos, subvalorando el contexto de los cálculos y con fuerte predisposición a encontrar soluciones numéricas. En efecto, cualquiera que haya asistido a una clase de Matemáticas puede comprobar como el profesor y el estudiante dedican la mayor parte de su atención a efectuar cálculos o repetir procedimientos y técnicas de forma automática, en detrimento de procesos más formativos como el análisis, la generalización, la deducción, y en especial, la relación entre conceptos y la generación de ideas. (Cuicas 2007)

Afortunadamente, todo parece indicar que, en el futuro, la enseñanza de las Matemáticas puede cambiar, al menos para aquellas instituciones que dispongan de la tecnología adecuada. El uso del computador y la calculadora gráfica van a revolucionar la enseñanza del Cálculo, el Algebra Lineal o la estadística. Para esto, es necesario, en primer lugar, que se entienda al computador como una herramienta de aprendizaje y un medio de comunicación entre el estudiante y el profesor.

Existen, no obstante, muchas dificultades por vencer, como por ejemplo, la actitud negativa de algunos profesores hacia la calculadora o el computador, reforzada en algunos casos por 2

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su uso inadecuado. Otro aspecto crucial, es una reforma curricular que elimine los tópicos obsoletos, incompatibles con la nueva tecnología. (Ramos 2006)

Objetivo General: Realizar una investigación en el aula basada en intervenciones didácticas, con el uso del software dinámico de álgebra y geometría, GeoGebra, con el fin de determinar si el uso del mismo en la clase de cálculo integral permite que los estudiantes conjeturen acerca de la solución de problemas y justifiquen lo observado en dicho software.

Preguntas de investigación

¿Se pueden aprehender eficientemente los conceptos básicos del cálculo integral con el uso de un software dinámico?

¿Qué valor tiene para los estudiantes la verificación de un resultado obtenido analíticamente con lápiz y papel con ayuda de un software dinámico?

¿Qué impacto tiene en los estudiantes el uso de un software dinámico que permita visualizar y modificar en tiempo real los parámetros de la gráfica de una función, contra las gráficas estáticas hechas en el aula tradicional con pizarrón con plumín?

¿Tiene sentido enseñar sofisticadas técnicas de integración, cuando actualmente existen programas como Derive que derivan e integran simbólicamente?

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Capítulo II.

Marco Teórico Las comparaciones internacionales más recientes de nivel de desempeño de los estudiantes de 15 años de edad son las que se obtuvieron en el 2003 en el Programa de la OCDE para la Evaluación Internacional del Estudiante (PISA), los resultados de esta evaluación se publicaron en diciembre del 2004. Schleider (2005) menciona: “ Dentro de los países de la OCDE, en matemáticas, Finlandia, Corea y los Países Bajos lograron puntuaciones promedio estadísticamente similares (entre 538 y 544 puntos) significativamente por arriba de la puntuación promedio de los otros países de la OCDE. Otros once países tienen puntuaciones medias que están por encima del promedio de OCDE, otros cuatro obtuvieron el nivel promedio, mientras que las once restantes tienen un desempeño significativamente por debajo del promedio de la OCDE. México obtuvo la puntuación media más baja en la escala de las matemáticas (385) […] En promedio de los estudiantes que concluyen la educación preparatoria, vocacional o su equivalente, en donde México continúa con la Tasa más baja de la OCDE, sólo un 25% de los mexicanos entre 25 y 34 años de edad tienen la educación vocacional o preparatoria, comparado con el promedio de 75% de la OCDE”. No es de extrañarse que tras la problemática detectada se aborde a nivel Latinoamérica el problema del aprendizaje de las matemáticas en la búsqueda de entenderlo mejor y poder atacar algunas de sus componentes. Tras una búsqueda exhaustiva de fuentes de información documental que abordan el problema del aprendizaje de las matemáticas, en Latinoamérica, España y en particular en México, se concluyó por observación directa, que son recientes, numerosas y amplias las investigaciones realizadas respecto al uso de software de geometría dinámica para mejorar el aprendizaje de las matemáticas, en particular de la geometría, las investigaciones mencionan que con la incorporación de estos programas al aula se pretende que los estudiantes desarrollen competencias matemáticas en lo que se refiere a la elaboración de 4

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conjeturas, identificación de patrones, argumentar/justificar algún comportamiento observado en una construcción, entre otros. Desde la perspectiva de la educación matemática, la incorporación de software especializado ofrece un impulso para ampliar y mejorar las estrategias heurísticas en la resolución de problemas. Un ejemplo viene dado por las posibilidades que brindan los programas basados en la "geometría dinámica", ya que la herramienta de arrastre posibilita la formulación/verificación de conjeturas o la construcción de contraejemplos que permiten el rechazo/modificación de las mismas.

Para Goldenberg y Cuoco (1998) los programas de geometría dinámica permiten a los usuarios, después de haber hecho una construcción (figura), mover ciertos elementos arrastrándolos libremente y observando cómo otros elementos responden dinámicamente al alterar las condiciones.

En un problema, como ocurre con las matemáticas y las ciencias en general, podemos distinguir dos momentos que son, el de exploración/descubrimiento, y el de la justificación/validación (García, 1982). En el primer momento, el resolutor utiliza todas aquellas estrategias heurísticas de que dispone para la elaboración de una conjetura que puede ser aceptada o rechazada, en este último caso puede proceder a modificarla. En el segundo momento, intenta buscar y dar argumentos para un razonamiento que la justifique. (Rechimont 2007)

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Capítulo III.

Metodología La investigación fue desarrollada con estudiantes de nivel medio superior de una escuela particular de la ciudad de Pachuca Hgo. Particularmente con el grupo de sexto semestre del propedéutico de ciencias exactas, que actualmente cursan y están por finalizar la asignatura de Cálculo Integral (4 estudiantes, dos hombres y dos mujeres con edades entre 16 y 19 años). Sus antecedentes muestran que son estudiantes promedio, uno de los hombres no ha reprobado la asignatura de matemáticas en su trayectoria escolar, sin embargo el semestre anterior obtuvo un promedio final de 6 en el curso de cálculo diferencial, el otro varón tiene un promedio de aprovechamiento más alto, pero con el antecedente de haber reprobado el curso de precálculo en cuarto semestre, hasta el momento la única asignatura reprobada en su trayectoria académica. En el caso de las mujeres, una de ellas tiene una trayectoria académica aceptable al no haber reprobado ninguna asignatura en la misma, promediando en matemáticas 8 de calificación, la otra tiene el antecedente de haber reprobado más de una asignatura en su historial, aunque cursos de matemáticas solo ha reprobado el de quinto semestre (cálculo diferencial) aprobando la regularización con 9 de promedio. Como antecedente a la intervención que se describe en este trabajo de investigación y en la cual se anexa una videograbación de la misma y el material que trabajaron los 4 estudiantes ya descritos, se debe tener en cuenta lo siguiente: 1) Durante el desarrollo del curso de cálculo integral, tuvieron su primer acercamiento a dos software dinámicos, según manifestaron ellos mismos, el primero fue Cabri Geometry, el cual se trabajó en contadas ocasiones, en particular se usó para retomar un problema de optimización de máximos y mínimos que ya se había abordado en el curso de cálculo diferencial solo con lápiz y papel. 6

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2) El programa que se les presentó después y con el que más se trabajó fue GeoGebra, trabajando 4 sesiones no consecutivas en forma presencial, es decir, el instructor explicó y manipuló mientras los estudiantes presenciaban los resultados con ayuda del cañón proyector. Una sesión previa (aproximadamente 3 semanas antes de la intervención), 3 de los estudiantes tuvieron acceso al laboratorio de informática para manipular por ellos mismos el software, con la limitación de que ahora no se contó con el cañón proyector para que a su vez el instructor los guiara en forma de demostración-ejecución. 3) Lo anterior tiene la siguiente explicación: la institución cuenta con un aula interactiva al servicio de los profesores, la cual cuenta con el cañón proyector, equipo de cómputo y pizarrón electrónico; se cuenta por otro lado con un salón de informática cuyo acceso es más restringido, y no se tiene un proyector portátil que se pueda transportar al mismo.

El diseño de la actividad implementada es por demás sencillo, y como se ya mencionó, se muestra en los anexos; con la misma se buscó reafirmar dos conceptos abordados de manera tradicional en el aula, por un lado el concepto de la Integral de una función como la antiderivada, por otro reafirmar el primer teorema fundamental del cálculo integral, al calcular el área de una función en un intervalo cerrado por medio de las reglas de integración indefinida. Se diseñaron previamente dos plantillas dinámicas en GeoGebra las cuales se explicaron al inicio de la sesión, esperando que los estudiantes las utilizaran durante sus actividades; la primera mostraba al arrastre de un punto, la gráfica de la integral de una función, se pretendía que la utilizaran para corroborar la solución en particular un problema como el siguiente:

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Si la derivada de

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, entonces f alcanza máximos

relativos solamente en: a) x=-1, x=3, x=6

b) x=-1, x=6

c) x=1, x=-6

d) x=1 , x=-3, x=-6

Los estudiantes tuvieron la oportunidad de utilizar la plantilla para graficar la derivada de la función y entonces obtener también la gráfica de f y así observar directamente los valores de x para los cuales f tiene máximos.

Figura 1: Vista de la plantilla dinámica que se les propuso usar a los estudiantes para conjeturar sobre la integral indefinida de una función

La segunda plantilla diseñada muestra la gráfica de dos funciones en el mismo sistema de referencia y la evaluación de su integral en el mismos intervalo cerrado, con la presentación de esta plantilla se pretendía que los estudiantes conjeturaran sobre la forma de calcular el área entre las dos curvas, puesto que en sesiones anteriores se había determinado como usar el teorema fundamental del cálculo integral para calcular la integral definida de una función. En particular se esperaba que los estudiantes pudieran apoyarse de la plantilla para resolver un problema como el siguiente:

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El área de la región encerrada entre las curvas a)

b) c)

d)

Figura 2: Plantilla dinámica diseñada para que los estudiantes conjeturaran cuál es la forma correcta de calcular el área comprendida entre dos curvas.

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Capítulo IV.

Análisis de la información Durante la sesión, tal como se puede consultar en la videograbación anexa, los estudiantes mostraron deficiencias en conocimientos previos, tal y como lo denota el hecho de que durante la etapa de la solución analítica, Joshua tiene duda en que la gráfica de la función y=4x sea una recta, pues afirma que para que sea una recta debe tener la forma y= mx + b; por otro lado la presentación de las plantillas dinámicas al inicio permite a Antonio conjeturar como se debe calcular el área entre la gráfica de dos funciones si se conoce el valor de la integral de cada una por separado en el mismo intervalo cerrado. En el momento en que la parte de solución con lápiz y papel se da por concluida y se les permite el uso del software para corroborar o refutar sus resultados, Shalom muestra deficiencias sobre el concepto de función matemática, en cuanto a la definición de variable dependiente e independiente, pues presenta serios problemas en dar la instrucción correcta en GeoGebra para graficar la función y=x3; pues define la función como f(y)=x3 , posteriormente vuelve a presentar dificultades al querer graficar en el sistema las funciones y=x3 e y=x ; pues escribe en la entrada algebraica del programa primero f(x)= x3 obteniendo la gráfica deseada, en ese momento duda que sea correcta, pues sigue teniendo confusión con el uso de la nomenclatura notación en y, cuando se convence y quiere graficar la otra función, ahora escribe f(x)= x, y para su sorpresa la gráfica anterior desaparece, se le sugiere que a una de las funciones le cambie el nombre porque a las dos las nombró igual, y ahora escribe f(x)=y3.

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Capítulo V.

Discusión y conclusiones Una limitación que en nuestro país se tiene para el uso de la tecnología en la clase de matemáticas es que al no estar incluido en el currículo, las instituciones no cuentan con instalaciones adecuadas, se puede suponer que cualquier institución de nivel medio superior, pública o privada (con mayor razón), cuenta con computadoras a disposición de los estudiantes para que buena parte de las sesiones puedan trabajar en ellas en caso de ser necesario, la realidad es que hay limitantes en cuanto a infraestructura, capacitación docente y disposición para cambiar la forma tradicional de trabajar en matemáticas.

Los resultados de las investigaciones muestran que efectivamente los estudiantes mejoran su rendimiento cuando la tecnología se incorpora a su actividad aulística, sin embargo docente de matemáticas se ve limitado por lo siguiente: ¿enseño el contenido programático o enseño a los estudiantes a utilizar un software? Se ha dicho que se debe enseñar con tecnología y no enseñar a usar la tecnología; sin embargo en este sencillo trabajo de investigación se observó que una limitante grande fue la manipulación restringida que tuvieron los estudiantes respecto al software. Por otro lado la falta o tergiversación de los conocimientos previos, limitó también a los estudiantes a poder explotar de mejor manera los recursos a su alcance.

Es evidente sin embargo, y los mismos estudiantes lo manifiestan, que la incorporación de un software como GeoGebra en la solución de problemas relacionados con el cálculo integral, les permite al menos visualizar fácilmente lo que no es posible o fácil con lápiz y papel.

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No está a discusión la importancia de incorporar a enseñanza del cálculo tanto programas de cálculo simbólico como Derive o dinámicos como Cabri y GeoGebra, esta investigación sin embargo no aporta nuevos datos o resultados a lo que ya se ha investigado y publicado previamente.

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Bibliografía

Álvarez, Q. D. “VISUALIZACIÓN DE LA RELACIÓN GEOMÉTRICA ENTRE LOS TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO CON GEOGEBRA” Este artículo surge de la tesis de maestría “El tratamiento didáctico dado a los teoremas fundamentales del cálculo, un análisis de texto” que se adelanta en la Universidad Pedagógica Nacional (Maestría en docencia de las Matemáticas) Universidad Pedagógica Nacional, Colegio Los Nogales

BUTTO, C. y ROJANO, T. “INTRODUCCIÓN TEMPRANA AL PENSAMIENTO ALGEBRAICO: ABORDAJE BASADO EN LA GEOMETRÍA” Educación Matemática Vol 16 Num 1 Abril 2004.

Cuicas, A. M. y otros. “EL SOFTWARE MATEMÁTICA COMO HERRAMIENTA PARE EL DESARROLLO DE HABILIDADES DEL PENSAMIENTO Y MEJORAMIENTO DEL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS” Revista Electrónica “Actualidades Investigativas en la Educación” Universidad de Costa Rica, ISSN (versión en línea) 1409-4703 Año 7 Vol. 2 Agosto 2007

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Ramos, R. E y Baquedano, J. S. “USO DE TECNOLOGÍA PARA LA ENSEÑANZA ACTUAL DE LA MATEMÁTICA” Revista Iberoamericana de educación matemática UNIÓN. Diciembre de 2006, Número 8, páginas 127-131 ISSN: 1815-0640

Rechimont, E. y otros “GeoGebra EN LA RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA” ITCR. Costa Rica. V Congreso sobre Enseñanza de la Matemática Asistida por Computadora. 5, 6, 7 Diciembre 2007

SCHLEICHER, A. “PANORAMA DE LA EDUCACIÓN 2005. BREVE NOTA SOBRE MÉXICO” Dirección de Educación, OCDE, Año 2005.

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Anexos SESIÓN DE CÁLCULO INTEGRAL CON EL USO DE LA TECNOLOGÍA HOJA DE INSTRUCCIONES Y REACTIVOS TIEMPO TOTAL DE LA ACTIVIDAD: 30 MINUTOS NOMBRE DE (L) (LOS) ALUMNO(s):_______________________________________________ EXAMINE CON CUIDADO LOS PROBLEMAS QUE SE PLANTEAN Y SELECCIONE SÓLO DOS DE ELLOS. TIENE 15 MINUTOS PARA RESOLVERLOS ANALÍTICAMENTE PASADO EL TIEMPO TRATE DE CORROBORAR O MODIFICAR SU RESPUESTA CON EL USO DEL SOFTWARE DINÁMICO GEOGEBRA SUGERENCIAS: DESPUÉS DE LEER Y COMPRENDER LO QUE SE LE SOLICITA SE SUGIERE: 1) 2) 3) 4)

HAGA UNA REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LO QUE SE LE SOLICITA. UTILICE LAS REGLAS DE CÁLCULO INTEGRAL QUE CONOCE. CONSULTE SUS NOTAS O FORMULARIOS. DISCUTA EN VOZ ALTA CON SU(S) COMPAÑERO(S) EN CASO DE ESTAR TRABAJANDO EN EQUIPO LAS IDEAS QUE TENGA PARA LA SOLUCIÓN. 5) ESCRIBA O COMENTE CUÁLES SON LOS ARGUMENTOS VÁLIDOS DE LO QUE PROPONE. 6) JUSTIFIQUE CLARAMENTE CADA PASO DE SU PROCEDIMIENTO DE SOLUCIÓN. 7) SI TIENE DUDAS ADICIONALES COMÉNTELAS CON EL INSTRUCTOR.

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

¿CUÁL FUE LA RAZÓN DE SU ELECCIÓN POR LOS DOS EJERCICIOS QUE RESOLVIÓ?



¿ESTÁ SEGURO DE QUE SUS PROCEDIMIENTOS Y SOLUCIONES PLANTEADOS ANALÍTICAMENTE SON CORRCETOS? ¿POR QUÉ?



¿EN QUÉ FORMA LE AYUDÓ EL SOFTWARE A CORROBORAR O MODIFICAR SU SOLUCIÓN?



¿CONSIDERA QUE EL USO DE LA TECNOLOGÍA LE PROPORCIONÓ MÁS ELEMENTOS PARA ENTENDER Y SOLUCIONAR LOS PROBLEMAS? ¿POR QUÉ?

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