Ppg Ptvoty By Zero
This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA
Overview
Download & View Ppg Ptvoty By Zero as PDF for free.
More details
- Words: 2,915
- Pages: 5
LET BY GONE BE BYGONE !
WWW.MATHVN.COM
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ ________________________________________________________________________ A. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN : 1.
Phương trình :
2.
Phương trình :
⎧f (x) ≥ 0 (hoÆc g(x) ≥ 0) f (x) = g(x) ⇔ ⎨ ⎩ f (x) = g(x) ⎧ g(x) ≥ 0 f (x) = g(x) ⇔ ⎨ ⎩f (x) = g(x)
B. GIỚI THIỆU CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . Bài toán 1. Giải phương trình : 1.
Phương pháp biến đổi tương đương . Điều kiện xác định (ĐKXĐ) : x ≥ −3 Với ĐKXĐ phương trình (1)
⇔ 2x + 11 + 2
2.
3.
4.
x + 3 + x + 8 = 5 (1)
⎧ 7−x ≥ 0
( x + 3) (x + 8) = 25 ⇔ ( x + 3) (x + 8) = 7 − x ⇔ ⎪⎨ 2 ⎪⎩( x + 3) (x + 8) = ( 7 − x )
⎧x ≤ 7 ⇔⎨ ⇔ x = 1 . Vậy nghiệm của phương trình đã cho là : x = 1 ⎩x =1 Phương pháp biến đổi hệ quả . Với ĐKXĐ phương trình (1) ⇔ x + 3 = 5 − x + 8 ⇒ x + 8 = 3 ⇔ x = 1 Thử lại ta thấy x = 1 là nghiệm của phương trình đã cho. Phương pháp đặt ẩn phụ ( chuyển về hệ phương trình ). ⎧⎪ x + 3 = a ≥ 0 ⎧a + b = 5 ⎧a = 2 . Lúc đó ta có hệ phương trình : ⎨ 2 Đặt : ⎨ ⇔⎨ 2 ⎩a − b = −5 ⎩b = 3 ⎪⎩ x + 8 = b ≥ 0 Thay trở lại ta có : x + 3 = 2 ⇔ x = 1 . Vậy tập nghiệm của phương trình : T={1}. Phương pháp biến thiên hàm số . Xét hàm số : f (x) = x + 3 + x + 8 − 5 . Đạo hàm : 1
1
> 0, ∀x ∈ (3; +∞) ⇒ Hàm số đồng biến trên (3; + ∞ ) 2 x +3 2 x +8 Dễ thấy f ( 3) ≠ 0;f (1) = 0 . Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 1. f '(x) =
5.
6.
+
Phương pháp đámh giá trên toàn miền xác định. Dễ thấy x= 1 là một nghiệm của phương trình (1). • Với : x>1, ta thấy VT = x + 3 + x + 8 > 1 + 3 + 1 + 8 = 5 = VP . Suy ra phương trình không có nghiệm trên khoảng (1;+ ∞ ) • Với −3 ≤ x < 1 . Ta thấy : 5 < VT < 5 = VP . Suy ra phương trình không có nghiệm trên nửa khoảng : [3;1)
Do đó phương trình có nghiệm duy nhất : x=1. Phương pháp nhân liên hợp . Với ĐKXĐ phương trình (1) ⇔
(
) (
x+3−2 +
)
x +8−3 = 0 ⇔
x −1 x+3+2
+
x −1 x +8+3
=0
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 1 1 ⇔ ( x − 1) ⎜⎜ + + > 0 ⎟⎟ ⎟⎟ = 0 ⇔ x = 1⎜⎜ Do x +8+3⎠ x+3+2 x +8+3 ⎝ x+3+2 ⎝ ⎠ Vậy nghiệm của phương trình là : x =1.
Bài toán 2 (THTT. T4/327). Giải phương trình : 4x 2 − 4x − 10 = 8x 2 − 6x − 10 (2)
Created by ZE__ RO =
LET BY GONE BE BYGONE !
WWW.MATHVN.COM 7.
Phương pháp đặt ẩn phụ không toàn phần.
Đặt : a = 8x 2 − 6x − 10 ( a ≥ 0 ) . Phương trình (2) trở thành : 2
• •
2
⎡ a = 2x 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ ⎜ a − ⎟ = ⎜ 2x − ⎟ ⇒ ⎢ a = −2x + 1 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ ⎣ ⎧x ≥ 0 5 Với : a =2x, ta có : 8x 2 − 6x − 10 = 2x ⇔ ⎨ 2 ⇔x= 2 ⎩ 2x − 3x − 5 = 0 1 ⎧ 1− 3 5 ⎪x ≤ ⇔x= Với : a=-2x+1, ta có : 8x 2 − 6x − 10 = −2x + 1 ⇔ ⎨ 2 4 ⎪⎩4x 2 − 2x − 11 = 0
5 1− 3 5 và x = là các nghiệm của phương trình (2). 4 2 Nhận xét : Bài toán này giải bằng phương pháp nhân liên hợp cũng ngắn gọn.
Thử lại ta thấy : x =
pt(2) ⇔ 4x 2 − 6x − 10 =
(
8x 2 − 6x − 10 − 2x
)
Bài toán 3 (THTT. T4/314). Giải phương trình : x 2 − 2x + 3 = 2x 2 − x + 1 + 3x − 3x 2 (3) 8.
Phương pháp đánh giá bằng bất đẳng thức . ⎧ 2x 2 − x ≥ 0 ĐKXĐ : ⎨ 2 ⎩1 + 3x − 3x ≥ 0 Cauchy − Schwarz
2 + 12 ) ⎡ 2 − ( x − 1) ⎤ ≤ 2 . ⎣ ⎦ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 1
Ta có : VP = 2x 2 − x + 1 + 3x − 3x 2
≤
(1
2
VT = x 2 − 2x + 3 = ( x − 1) + 2 ≥ 2 2
9.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 1. ⎧ VP = 2 ⇔ x =1 Do đó phương trình (2) ⇔ ⎨ ⎩VT = 2 Phương pháp đặt ẩn phụ trên toàn phương trình. ⎧ x 2 − 2x + 3 = a ≥ 2 (1) ⎪⎪ 2x 2 − x = b ≥ 0 Đặt : ⎨ ⎪ 2 ⎪⎩ 1 + 3x − 3x = c ≥ 0
( b + c) ⎧b+c = a a2 Ta có hệ phương trình : ⎨ ⇒ a = 4 − ( b2 + c2 ) ≤ 4 − = 4− 2 2 2 2 ⎩a = 4 − b − c 2 ⇒ a + 2a − 8 ≤ 0 ⇔ −4 ≤ a ≤ 2 ( 2 ) 2
Từ (1) và (2) suy ra : a = 2 ⇒ x = 1 . Thử lại ta thấy x = 1 là nghiệm của phương trình đã cho. Nhận xét : Với bài toán này phương pháp đặt ẩn phụ trên toàn phương trình chưa mang lại nhiều vẻ đẹp. Ta sẽ nghiên cứu nó nhiều hơn với phần “PHÂN LOẠI CÁC DẠNG TOÁN”.
C. PHÂN LOẠI CÁC DẠNG TOÁN .
Created by ZE__ RO =
WWW.MATHVN.COM
LET BY GONE BE BYGONE !
DẠNG I. f (x) + g(x) = h(x) Dạng toán này có rất nhiều những dạng toán nhỏ trong đó, mỗi dạng toán đều chứa đựng những phương pháp giải riêng của nó… Có thể 1 bài toán tôi nêu ra nhiều cách giải. Bởi tôi chỉ chú trọng đến phương pháp giải toán. Dạng 1.
ax + b + cx + d = ex + f
Loại toán này có khá nhiều cách giải, như đã nói ở bài toán 1 thuộc phần : “GIỚI THIỆU CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN”…nhưng tôi sẽ đưa ra lời giải BT tổng quát bởi phương pháp “Đặt ẩn phụ trên toàn phương trình ” ⎧ ax + b = α ≥ 0 ⎪⎪ Đặt : ⎨ cx + d = β ≥ 0 ⎪ ⎪⎩ ex + f = γ ≥ 0 Rõ ràng ta có : α + β = γ Bây zờ ta chỉ cần tìm mối liên hệ cho : α 2 , β 2 , γ 2 . Giả sử : af − be ⎧ m= ⎪ a = mc + ne ⎧ ⎪ cf − de ⇒⎨ α 2 = m β 2 + n γ 2 ⇒ ax + b = ( mc + ne ) x + ( md + nf ) ⇒ ⎨ ( cf ≠ de ) cb ⎩ b = md + nf ⎪ n = − ad ⎪⎩ cf − de ⎧α +β =γ 2 ⇒ ( γ − β ) = mβ 2 + nγ 2 ( 2 ) Như vậy chỉ cần kiểm tra xem cf ≠ de ? là chúng ta có hệ : ⎨ 2 2 2 ⎩α = mβ + nγ từ pt(2) chúng ta có thể tìm được mối liên hệ giữa γ và β và thực hiện lời giải .
) Ví dụ 1. Giải phương trình : 12x+13 − 4x + 13 = x + 1 ⎧ 12x+13 = a ≥ 0 ⎪⎪ BG . Đặt : ⎨ 4x + 13 = b ≥ 0 , ta có hệ phương trình : ⎪ ⎪⎩ x + 1 = c ≥ 0 2b = 5c ⎧ a−b = c ⎡ 2 ⇒ 9 ( b + c ) = b 2 + 104c 2 ⇒ 8b 2 + 18bc − 95c 2 ⇒ ⎢ ⇒ 2b = 5c ⎨ 2 2 2 9a b 104c 4b = + = −19c (lo¹i) ⎩ ⎣ Thay trở lại ta có : 2 4x + 13 = 5 x + 1 ⇒ 9x = 27 ⇒ x = 3 Thử lại ta thấy x = 3 là nghiệm của phương trình đã cho. Nhận xét : Có thể chúng ta chưa thực sự hài lòng bởi dạng toán này dễ dàng khuất phục bởi vài bước biến đổi tương đương… nên chính khi tôi phát hiện ra phương pháp này cũng nghi ngờ về tính khả thi của nó.
) ) ) ) Dạng 2.
MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ ____________________________________ Giải các phương trình sau : 15x+13 − 4x + 13 = x + 1 12x+13 + 8x + 13 = x + 1 2x+11 − 4x + 6 = 7x + 1 5x-1 − 3x − 2 − x − 1 = 0
(α x + β )( ax + b ) + (α x + β )( cx + d ) = (α x + β )( ex + f )
Nếu chỉ thoáng nhìn qua chúng ta nghĩ rằng nó đơn giản như việc :
Created by ZE__ RO =
A.B + A.C = A.D ⇔ A
(
)
B− C− D =0
WWW.MATHVN.COM
LET BY GONE BE BYGONE !
⎪⎧ A. B, khi A ≥ 0 & B ≥ 0 A.B = ⎨ ⎪⎩ −A. −B, khi A & B ≤ 0 Trước hết chúng ta sẽ giải 1 phương trình ở dạng này bằng vài cách và đưa ra 1 lời giải tối ưu nhất !
Nhưng hãy cẩn thận :
)
Ví dụ 2. Giải phương trình :
x ( x − 2 ) + x ( x − 5 ) = x ( x + 3)
( *)
⎧x ( x − 2 ) ≥ 0 ⎡ x≥5 ⎪ ⎢ Cách giải 1. ĐKXĐ ⎨ x ( x − 5 ) ≥ 0 ⇔ ⎢ x = 0 ⎪ x ( x + 3) ≥ 0 ⎢⎣ x ≤ −3 ⎩
+) Rõ ràng x =0 là một nghiệm của phương trình .
⎡ x = 0 ( lo¹i ) +) Với x ≥ 5 , phương trình (*) ⇔ x ⎡⎣ x − 2 + x − 5 − x + 3 ⎤⎦ = 0 ⇔ ⎢ ⎣⎢ x − 2 + x − 5 = x + 3 (a) 10 Giải (a) ta được : x = 6 và x = − (loại ) 3
⎡ x = 0 ( lo¹i ) +) Với x ≤ −3 , phương trình (*) ⇔ − x ⎡⎣ − x + 2 + − x + 5 − − x − 3 ⎤⎦ = 0 ⇔ ⎢ ⎢⎣ − x + 2 + − x + 5 = − x − 3 (b) Giải (b) : vô nghiệm . Vậy phương trình đã cho có các nghiệm x=0 và x = 6 Cách giải 2 . Chúng ta xét các trường hợp x =0 ; x < 0 ; x > 0 sau đó giải bài toán bằng phương pháp biến đổi hệ quả. ⎧ x ( x − 2) = a ≥ 0 ⎪ ⎪ Cách giải 3. Đặt : ⎨ x ( x − 5 ) = b ≥ 0 , lúc đó ta có hệ : ⎪ ⎪⎩ x ( x + 3) = c ≥ 0 a = 2b ⎧ a+b =c ⎡ 2 ⇒ 8a 2 = 5b 2 + 3 ( a + b ) ⇒ 5a 2 − 6ab − 8b 2 = 0 ⇒ ⎢ ⎨ 2 2 2 ⎩8a = 5b + 3c ⎣5a = −4b(lo¹i) ⎡x = 6 . Thử lại ta thấy chỉ x = 6 và x =0 là các nghiệm của phương trình. Với a= 2b ⇒ x ( x − 2 ) = 2 x ( x − 5 ) ⇒ ⎢ ⎣x = 0 Nhận xét : Rõ ràng cách giải (1) rất dễ sai lầm, và khi biểu thức trong dấu căn thức không còn là bậc 2 nữa thì việc xét dấu trở nên khó khăn . Ví dụ phương trình :
( 4 − x ) ( x − 1) + ( 7 − x ) ( x − 1) = (12 − x ) ( x − 1) 2
2
2
Có thể nói cách 3 đang có 1 chút ưu thế. Với ví dụ trên ta sẽ xét sau, bây giờ khi đã thành công ở cách giải 2 với VD trên ta hoàn toàn có thể hy vọng, phương pháp này sẽ cho hiệu quả ở dạng tổng quát hơn : Dạng 3.
a1 x 2 + b1 x + c1 + a 2 x 2 + b 2 x + c 2 = a 3 x 2 + b3 x + c3
Chúng ta sẽ lại tiếp tục cuộc tìm kiếm : ⎧ a x2 + b x + c = α ≥ 0 1 1 ⎪ 1 ⎪ 2 Đặt : ⎨ a 2 x + b 2 x + c 2 = β ≥ 0 ⎪ 2 ⎪⎩ a 3 x + b3 x + c3 = γ ≥ 0 Lúc đó ta có : α + β = γ Bây zờ ta cũng đi tìm mối liên hệ cho : α 2 , β 2 , γ 2 . Giả sử :
α 2 = m β 2 + n γ 2 ⇒ a1 x 2 + b1 x + c1 = m ( a 2 x 2 + b 2 x + c 2 ) + n ( a 3 x 2 + b3 x + c3 ) , từ đó ta cũng có hệ :
Created by ZE__ RO =
LET BY GONE BE BYGONE !
WWW.MATHVN.COM ⎧ a1 = ma 2 + na 3 ⎪ ⎨b1 = mb 2 + nb3 ⎪ c = mc + nc 2 3 ⎩ 1 Nghĩa là nếu :
(Φ ) ⇒ m = aa bb −− ab ba 1 3
3 1
2
2 3
3
=
b1c3 − b3 c1 a b −a b b c −b c ; n = 2 1 1 2 = 2 1 1 2 ( a 2 b3 − b 2 a 3 ≠ 0; b 2 c3 − c2 b3 ≠ 0 ) b 2 c3 − c 2 b3 a 2 b 3 − b 2 a 3 b 2 c3 − c 2 b 3
a1b3 − a 3 b1 b c − b3 c1 a b −a b b c −b c và 2 1 1 2 = 2 1 1 2 thì dạng 3 có thể giải quyết được. = 1 3 a 2 b3 − b 2 a 3 b 2 c3 − c 2 b3 a 2 b 3 − b 2 a 3 b 2 c3 − c 2 b 3
Hiểu 1 cách bình dân là nếu hệ phương trình ( Φ ) có nghiệm. )
Ví dụ 3 (THTT). Giải phương trình :
x 2 + 2x + 2x − 1 = 3x 2 + 4x + 1
(*)
BG. Rõ ràng phương trình (*) là 1 phương trình khó, khi thực hiện các phương pháp giải khác không hề đơn giản . Bây zờ ta chứng minh tính sát thương của phương pháp trên : ⎧ x 2 + 2x = a ≥ 0 ⎪⎪ Đặt : ⎨ 2x − 1 = b ≥ 0 , ta có hệ : ⎪ 2 ⎪⎩ 3x + 4x + 1 = c ≥ 0
(
)
⎡ 2b = 5 − 1 a ⎧ a+b =c 2 2 2 2 2 ⎢ ⇒ + + = ⇒ + − = ⇒ b a b 3a b ab a 0 ( ) ⎨ 2 2 2 ⎢ + = b c 3a ⎩ 2b = − 5 − 1 a(lo¹i) ⎣⎢
(
Với 2b = Thử lại ta thấy x =
(
)
5 − 1 a , thay trở lại cho ta nghiệm : x =
1+ 5 là nghiệm của phương trình ! 2
….còn nữa….
Created by ZE__ RO =
1+ 5 2
)
WWW.MATHVN.COM
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ ________________________________________________________________________ A. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN : 1.
Phương trình :
2.
Phương trình :
⎧f (x) ≥ 0 (hoÆc g(x) ≥ 0) f (x) = g(x) ⇔ ⎨ ⎩ f (x) = g(x) ⎧ g(x) ≥ 0 f (x) = g(x) ⇔ ⎨ ⎩f (x) = g(x)
B. GIỚI THIỆU CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . Bài toán 1. Giải phương trình : 1.
Phương pháp biến đổi tương đương . Điều kiện xác định (ĐKXĐ) : x ≥ −3 Với ĐKXĐ phương trình (1)
⇔ 2x + 11 + 2
2.
3.
4.
x + 3 + x + 8 = 5 (1)
⎧ 7−x ≥ 0
( x + 3) (x + 8) = 25 ⇔ ( x + 3) (x + 8) = 7 − x ⇔ ⎪⎨ 2 ⎪⎩( x + 3) (x + 8) = ( 7 − x )
⎧x ≤ 7 ⇔⎨ ⇔ x = 1 . Vậy nghiệm của phương trình đã cho là : x = 1 ⎩x =1 Phương pháp biến đổi hệ quả . Với ĐKXĐ phương trình (1) ⇔ x + 3 = 5 − x + 8 ⇒ x + 8 = 3 ⇔ x = 1 Thử lại ta thấy x = 1 là nghiệm của phương trình đã cho. Phương pháp đặt ẩn phụ ( chuyển về hệ phương trình ). ⎧⎪ x + 3 = a ≥ 0 ⎧a + b = 5 ⎧a = 2 . Lúc đó ta có hệ phương trình : ⎨ 2 Đặt : ⎨ ⇔⎨ 2 ⎩a − b = −5 ⎩b = 3 ⎪⎩ x + 8 = b ≥ 0 Thay trở lại ta có : x + 3 = 2 ⇔ x = 1 . Vậy tập nghiệm của phương trình : T={1}. Phương pháp biến thiên hàm số . Xét hàm số : f (x) = x + 3 + x + 8 − 5 . Đạo hàm : 1
1
> 0, ∀x ∈ (3; +∞) ⇒ Hàm số đồng biến trên (3; + ∞ ) 2 x +3 2 x +8 Dễ thấy f ( 3) ≠ 0;f (1) = 0 . Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 1. f '(x) =
5.
6.
+
Phương pháp đámh giá trên toàn miền xác định. Dễ thấy x= 1 là một nghiệm của phương trình (1). • Với : x>1, ta thấy VT = x + 3 + x + 8 > 1 + 3 + 1 + 8 = 5 = VP . Suy ra phương trình không có nghiệm trên khoảng (1;+ ∞ ) • Với −3 ≤ x < 1 . Ta thấy : 5 < VT < 5 = VP . Suy ra phương trình không có nghiệm trên nửa khoảng : [3;1)
Do đó phương trình có nghiệm duy nhất : x=1. Phương pháp nhân liên hợp . Với ĐKXĐ phương trình (1) ⇔
(
) (
x+3−2 +
)
x +8−3 = 0 ⇔
x −1 x+3+2
+
x −1 x +8+3
=0
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 1 1 ⇔ ( x − 1) ⎜⎜ + + > 0 ⎟⎟ ⎟⎟ = 0 ⇔ x = 1⎜⎜ Do x +8+3⎠ x+3+2 x +8+3 ⎝ x+3+2 ⎝ ⎠ Vậy nghiệm của phương trình là : x =1.
Bài toán 2 (THTT. T4/327). Giải phương trình : 4x 2 − 4x − 10 = 8x 2 − 6x − 10 (2)
Created by ZE__ RO =
LET BY GONE BE BYGONE !
WWW.MATHVN.COM 7.
Phương pháp đặt ẩn phụ không toàn phần.
Đặt : a = 8x 2 − 6x − 10 ( a ≥ 0 ) . Phương trình (2) trở thành : 2
• •
2
⎡ a = 2x 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ ⎜ a − ⎟ = ⎜ 2x − ⎟ ⇒ ⎢ a = −2x + 1 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ ⎣ ⎧x ≥ 0 5 Với : a =2x, ta có : 8x 2 − 6x − 10 = 2x ⇔ ⎨ 2 ⇔x= 2 ⎩ 2x − 3x − 5 = 0 1 ⎧ 1− 3 5 ⎪x ≤ ⇔x= Với : a=-2x+1, ta có : 8x 2 − 6x − 10 = −2x + 1 ⇔ ⎨ 2 4 ⎪⎩4x 2 − 2x − 11 = 0
5 1− 3 5 và x = là các nghiệm của phương trình (2). 4 2 Nhận xét : Bài toán này giải bằng phương pháp nhân liên hợp cũng ngắn gọn.
Thử lại ta thấy : x =
pt(2) ⇔ 4x 2 − 6x − 10 =
(
8x 2 − 6x − 10 − 2x
)
Bài toán 3 (THTT. T4/314). Giải phương trình : x 2 − 2x + 3 = 2x 2 − x + 1 + 3x − 3x 2 (3) 8.
Phương pháp đánh giá bằng bất đẳng thức . ⎧ 2x 2 − x ≥ 0 ĐKXĐ : ⎨ 2 ⎩1 + 3x − 3x ≥ 0 Cauchy − Schwarz
2 + 12 ) ⎡ 2 − ( x − 1) ⎤ ≤ 2 . ⎣ ⎦ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 1
Ta có : VP = 2x 2 − x + 1 + 3x − 3x 2
≤
(1
2
VT = x 2 − 2x + 3 = ( x − 1) + 2 ≥ 2 2
9.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 1. ⎧ VP = 2 ⇔ x =1 Do đó phương trình (2) ⇔ ⎨ ⎩VT = 2 Phương pháp đặt ẩn phụ trên toàn phương trình. ⎧ x 2 − 2x + 3 = a ≥ 2 (1) ⎪⎪ 2x 2 − x = b ≥ 0 Đặt : ⎨ ⎪ 2 ⎪⎩ 1 + 3x − 3x = c ≥ 0
( b + c) ⎧b+c = a a2 Ta có hệ phương trình : ⎨ ⇒ a = 4 − ( b2 + c2 ) ≤ 4 − = 4− 2 2 2 2 ⎩a = 4 − b − c 2 ⇒ a + 2a − 8 ≤ 0 ⇔ −4 ≤ a ≤ 2 ( 2 ) 2
Từ (1) và (2) suy ra : a = 2 ⇒ x = 1 . Thử lại ta thấy x = 1 là nghiệm của phương trình đã cho. Nhận xét : Với bài toán này phương pháp đặt ẩn phụ trên toàn phương trình chưa mang lại nhiều vẻ đẹp. Ta sẽ nghiên cứu nó nhiều hơn với phần “PHÂN LOẠI CÁC DẠNG TOÁN”.
C. PHÂN LOẠI CÁC DẠNG TOÁN .
Created by ZE__ RO =
WWW.MATHVN.COM
LET BY GONE BE BYGONE !
DẠNG I. f (x) + g(x) = h(x) Dạng toán này có rất nhiều những dạng toán nhỏ trong đó, mỗi dạng toán đều chứa đựng những phương pháp giải riêng của nó… Có thể 1 bài toán tôi nêu ra nhiều cách giải. Bởi tôi chỉ chú trọng đến phương pháp giải toán. Dạng 1.
ax + b + cx + d = ex + f
Loại toán này có khá nhiều cách giải, như đã nói ở bài toán 1 thuộc phần : “GIỚI THIỆU CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN”…nhưng tôi sẽ đưa ra lời giải BT tổng quát bởi phương pháp “Đặt ẩn phụ trên toàn phương trình ” ⎧ ax + b = α ≥ 0 ⎪⎪ Đặt : ⎨ cx + d = β ≥ 0 ⎪ ⎪⎩ ex + f = γ ≥ 0 Rõ ràng ta có : α + β = γ Bây zờ ta chỉ cần tìm mối liên hệ cho : α 2 , β 2 , γ 2 . Giả sử : af − be ⎧ m= ⎪ a = mc + ne ⎧ ⎪ cf − de ⇒⎨ α 2 = m β 2 + n γ 2 ⇒ ax + b = ( mc + ne ) x + ( md + nf ) ⇒ ⎨ ( cf ≠ de ) cb ⎩ b = md + nf ⎪ n = − ad ⎪⎩ cf − de ⎧α +β =γ 2 ⇒ ( γ − β ) = mβ 2 + nγ 2 ( 2 ) Như vậy chỉ cần kiểm tra xem cf ≠ de ? là chúng ta có hệ : ⎨ 2 2 2 ⎩α = mβ + nγ từ pt(2) chúng ta có thể tìm được mối liên hệ giữa γ và β và thực hiện lời giải .
) Ví dụ 1. Giải phương trình : 12x+13 − 4x + 13 = x + 1 ⎧ 12x+13 = a ≥ 0 ⎪⎪ BG . Đặt : ⎨ 4x + 13 = b ≥ 0 , ta có hệ phương trình : ⎪ ⎪⎩ x + 1 = c ≥ 0 2b = 5c ⎧ a−b = c ⎡ 2 ⇒ 9 ( b + c ) = b 2 + 104c 2 ⇒ 8b 2 + 18bc − 95c 2 ⇒ ⎢ ⇒ 2b = 5c ⎨ 2 2 2 9a b 104c 4b = + = −19c (lo¹i) ⎩ ⎣ Thay trở lại ta có : 2 4x + 13 = 5 x + 1 ⇒ 9x = 27 ⇒ x = 3 Thử lại ta thấy x = 3 là nghiệm của phương trình đã cho. Nhận xét : Có thể chúng ta chưa thực sự hài lòng bởi dạng toán này dễ dàng khuất phục bởi vài bước biến đổi tương đương… nên chính khi tôi phát hiện ra phương pháp này cũng nghi ngờ về tính khả thi của nó.
) ) ) ) Dạng 2.
MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ ____________________________________ Giải các phương trình sau : 15x+13 − 4x + 13 = x + 1 12x+13 + 8x + 13 = x + 1 2x+11 − 4x + 6 = 7x + 1 5x-1 − 3x − 2 − x − 1 = 0
(α x + β )( ax + b ) + (α x + β )( cx + d ) = (α x + β )( ex + f )
Nếu chỉ thoáng nhìn qua chúng ta nghĩ rằng nó đơn giản như việc :
Created by ZE__ RO =
A.B + A.C = A.D ⇔ A
(
)
B− C− D =0
WWW.MATHVN.COM
LET BY GONE BE BYGONE !
⎪⎧ A. B, khi A ≥ 0 & B ≥ 0 A.B = ⎨ ⎪⎩ −A. −B, khi A & B ≤ 0 Trước hết chúng ta sẽ giải 1 phương trình ở dạng này bằng vài cách và đưa ra 1 lời giải tối ưu nhất !
Nhưng hãy cẩn thận :
)
Ví dụ 2. Giải phương trình :
x ( x − 2 ) + x ( x − 5 ) = x ( x + 3)
( *)
⎧x ( x − 2 ) ≥ 0 ⎡ x≥5 ⎪ ⎢ Cách giải 1. ĐKXĐ ⎨ x ( x − 5 ) ≥ 0 ⇔ ⎢ x = 0 ⎪ x ( x + 3) ≥ 0 ⎢⎣ x ≤ −3 ⎩
+) Rõ ràng x =0 là một nghiệm của phương trình .
⎡ x = 0 ( lo¹i ) +) Với x ≥ 5 , phương trình (*) ⇔ x ⎡⎣ x − 2 + x − 5 − x + 3 ⎤⎦ = 0 ⇔ ⎢ ⎣⎢ x − 2 + x − 5 = x + 3 (a) 10 Giải (a) ta được : x = 6 và x = − (loại ) 3
⎡ x = 0 ( lo¹i ) +) Với x ≤ −3 , phương trình (*) ⇔ − x ⎡⎣ − x + 2 + − x + 5 − − x − 3 ⎤⎦ = 0 ⇔ ⎢ ⎢⎣ − x + 2 + − x + 5 = − x − 3 (b) Giải (b) : vô nghiệm . Vậy phương trình đã cho có các nghiệm x=0 và x = 6 Cách giải 2 . Chúng ta xét các trường hợp x =0 ; x < 0 ; x > 0 sau đó giải bài toán bằng phương pháp biến đổi hệ quả. ⎧ x ( x − 2) = a ≥ 0 ⎪ ⎪ Cách giải 3. Đặt : ⎨ x ( x − 5 ) = b ≥ 0 , lúc đó ta có hệ : ⎪ ⎪⎩ x ( x + 3) = c ≥ 0 a = 2b ⎧ a+b =c ⎡ 2 ⇒ 8a 2 = 5b 2 + 3 ( a + b ) ⇒ 5a 2 − 6ab − 8b 2 = 0 ⇒ ⎢ ⎨ 2 2 2 ⎩8a = 5b + 3c ⎣5a = −4b(lo¹i) ⎡x = 6 . Thử lại ta thấy chỉ x = 6 và x =0 là các nghiệm của phương trình. Với a= 2b ⇒ x ( x − 2 ) = 2 x ( x − 5 ) ⇒ ⎢ ⎣x = 0 Nhận xét : Rõ ràng cách giải (1) rất dễ sai lầm, và khi biểu thức trong dấu căn thức không còn là bậc 2 nữa thì việc xét dấu trở nên khó khăn . Ví dụ phương trình :
( 4 − x ) ( x − 1) + ( 7 − x ) ( x − 1) = (12 − x ) ( x − 1) 2
2
2
Có thể nói cách 3 đang có 1 chút ưu thế. Với ví dụ trên ta sẽ xét sau, bây giờ khi đã thành công ở cách giải 2 với VD trên ta hoàn toàn có thể hy vọng, phương pháp này sẽ cho hiệu quả ở dạng tổng quát hơn : Dạng 3.
a1 x 2 + b1 x + c1 + a 2 x 2 + b 2 x + c 2 = a 3 x 2 + b3 x + c3
Chúng ta sẽ lại tiếp tục cuộc tìm kiếm : ⎧ a x2 + b x + c = α ≥ 0 1 1 ⎪ 1 ⎪ 2 Đặt : ⎨ a 2 x + b 2 x + c 2 = β ≥ 0 ⎪ 2 ⎪⎩ a 3 x + b3 x + c3 = γ ≥ 0 Lúc đó ta có : α + β = γ Bây zờ ta cũng đi tìm mối liên hệ cho : α 2 , β 2 , γ 2 . Giả sử :
α 2 = m β 2 + n γ 2 ⇒ a1 x 2 + b1 x + c1 = m ( a 2 x 2 + b 2 x + c 2 ) + n ( a 3 x 2 + b3 x + c3 ) , từ đó ta cũng có hệ :
Created by ZE__ RO =
LET BY GONE BE BYGONE !
WWW.MATHVN.COM ⎧ a1 = ma 2 + na 3 ⎪ ⎨b1 = mb 2 + nb3 ⎪ c = mc + nc 2 3 ⎩ 1 Nghĩa là nếu :
(Φ ) ⇒ m = aa bb −− ab ba 1 3
3 1
2
2 3
3
=
b1c3 − b3 c1 a b −a b b c −b c ; n = 2 1 1 2 = 2 1 1 2 ( a 2 b3 − b 2 a 3 ≠ 0; b 2 c3 − c2 b3 ≠ 0 ) b 2 c3 − c 2 b3 a 2 b 3 − b 2 a 3 b 2 c3 − c 2 b 3
a1b3 − a 3 b1 b c − b3 c1 a b −a b b c −b c và 2 1 1 2 = 2 1 1 2 thì dạng 3 có thể giải quyết được. = 1 3 a 2 b3 − b 2 a 3 b 2 c3 − c 2 b3 a 2 b 3 − b 2 a 3 b 2 c3 − c 2 b 3
Hiểu 1 cách bình dân là nếu hệ phương trình ( Φ ) có nghiệm. )
Ví dụ 3 (THTT). Giải phương trình :
x 2 + 2x + 2x − 1 = 3x 2 + 4x + 1
(*)
BG. Rõ ràng phương trình (*) là 1 phương trình khó, khi thực hiện các phương pháp giải khác không hề đơn giản . Bây zờ ta chứng minh tính sát thương của phương pháp trên : ⎧ x 2 + 2x = a ≥ 0 ⎪⎪ Đặt : ⎨ 2x − 1 = b ≥ 0 , ta có hệ : ⎪ 2 ⎪⎩ 3x + 4x + 1 = c ≥ 0
(
)
⎡ 2b = 5 − 1 a ⎧ a+b =c 2 2 2 2 2 ⎢ ⇒ + + = ⇒ + − = ⇒ b a b 3a b ab a 0 ( ) ⎨ 2 2 2 ⎢ + = b c 3a ⎩ 2b = − 5 − 1 a(lo¹i) ⎣⎢
(
Với 2b = Thử lại ta thấy x =
(
)
5 − 1 a , thay trở lại cho ta nghiệm : x =
1+ 5 là nghiệm của phương trình ! 2
….còn nữa….
Created by ZE__ RO =
1+ 5 2
)
Related Documents
Ppg Ptvoty By Zero
May 2020 3
Zero In Zero Out
April 2020 26
Zero Mission By Mazhar Kaleem
July 2020 5
Album Ppg
June 2020 13
Performance Ppg
May 2020 5