Pp Tim Max & Min

Taøi lieäu oân thi Ñaïi hoïc moân Toaùn GV: Nguyeãn Vaên Quang. Tröôøng THPT Phan Boäi Chaâu. Bình Ñònh MOÄT SOÁ PHÖÔNG PHAÙP TÌM GTLN , GTNN CUÛA HAØM SOÁ . *Ñònh nghóa GTLN ,GTNN cuûa haøm soá y=f(x): Soá m vaø M theo thöù töï ñöôïc goïi laø GTNN vaø GTLN cuûa haøm soá y=f(x) xaùc ñònh treân taäp D neáu m ≤ f ( x ) ≤ M vaø toàn taïi x0,x1 ∈ D sao cho f(x0)=m vaø f(x1)=M. A-PP öôùc löôïng giaù trò haøm soá : PP naøy ta söû duïng moät soá bñt cô baûn vaø bñt quen thuoäc (nhö bñt Coâ-si) ñeå öôùc löôïng giaù trò cuûa haøm soá y=f(x) , töø ñoù söû duïng ñònh nghóa cuûa GTNN vaø GTLN suy ra kq caàn tìm x  π π Ví duï : (ÑH KTQD -2000) Tìm ø GTLN cuûa haøm soá f(x) = + sin 2 x treân  − ;  . 2

x π x π  π π HD : x ∈  − ;  ⇒ ≤ ,sin 2 x ≤ 1 ⇒ f ( x) = + sin 2 x ≤ + 1 . Daáu “=” xaûy ra 2 4 2 4  2 2 x π π  =

 2 2

⇔ 2 4 ⇔ x = 2 sin 2 x = 1 

π π + 1 taïi x= . 4 2 B-PP xaùc ñònh mieàn giaù trò : Cho haøm soá y=f(x) xaùc ñònh treân taäp X . Ñeå tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá y=f(x) ta tìm mieàn giaù trò cuûa haøm soá y , töùc laø tìm ñieàu kieän cuûa tham soá y ñeå pt f(x) = y (aån x) coù nghieäm treân taäp X . π  Ví duï :Tìm GTLN,GTNN cuûa haøm soá y = 3sin2x+6sinxcosx-5cos2x+ 2 sin  2 x +  + 2 . 4  HD:Thu goïn haøm soá ñaõ cho ta ñöôïc y = 4sin2x-4cos2x+1 xaùc ñònh treân taäp R. Ta tìm y ñeå pt 4sin2x-4cos2x=y-1 (1) coù nghieäm ; 2 pt(1) coù nghieäm ⇔ 16 + 16 ≥ ( y − 1) ⇔ 1 − 4 2 ≤ y ≤ 1 + 4 2 . Vaäy Max y = 1+4 2 , Min y =

Vaäy Max f(x) =

1-4 2 . C-ÖÙng duïng cuûa ñaïo haøm :(PP xeùt chieàu bieán thieân cuûa haøm soá ) I- Baøi toaùn 1: PP khaûo saùt tröïc tieáp : B1: Tìm mieàn xaùc ñònh. B2:Tính y’ roài giaûi pt y’=0. B3: Laäp baûng bieán thieân . B4: Keát luaän veà GTLN, GTNN cuûa haøm soá döïa treân baûng bieán thieân . 2 vôùi x>0 . x 2 2 Giaûi :Xeùt haøm soá treân taäp ( 0; +∞ ) . Ta coù y’=2x- 2 ; y’=0 ⇔ 2x- 2 =0 ⇔ x=1 x x

Ví duï 1:Tìm GTNN cuûa haøm soá y = x2 +

Laäp baûng bieán thieân (HS töï laäp) . Döïa treân baûng bieán thieân ta coù Min y =3 ñaït ñöôïc khi x=1. II-Baøi toaùn 2: Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá treân moät ñoïan : PP( Xem SGK) Ví duï 2: Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá y = sinx + cosx .

1

Taøi lieäu oân thi Ñaïi hoïc moân Toaùn GV: Nguyeãn Vaên Quang. Tröôøng THPT Phan Boäi Chaâu. Bình Ñònh  cosx ≥ 0 π ⇔ 2kπ ≤ x ≤ + 2kπ ,k ∈ Z . Do haøm soá tuaàn hoaøn vôùi chu kì 2 π 2 sinx ≥ 0 −sinx cosx  π + neân ta chæ caàn xeùt haøm soá ñaõ cho treân 0;  .Ta coù y’= , y’ = 0 2 cosx 2 sinx  2 sinx cosx π = ⇔ x= ⇔ 4 2 cosx 2 sinx π π  Ta coù f(0) = 1 ; f( )=1;f   = 4 8 . 2  4 π Vaäy min y = 1 ñaït ñöôïc khi x=2k π hoaëc x= +2k π ; max y = 4 8 ñaït ñöôïc khi x= 2 π +2k π . 4

Giaûi :ñk: 

III-Baøi toaùn 3 : PP khaûo saùt giaùn tieáp : B1: Bieán ñoåi pt veà daïng môùi ñeå xaùc ñònh aån phuï: y = F ( ϕ ( x) ) B2: Ñaët aån phuï : t = ϕ ( x) tacoù : • Ñieàu kieän cuûa aån t laø Dt . • y=F(t) B3: Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá y=F(t) treân Dt . 2cos2x + cosx + 1 Ví duï :Tìm GTLN, GTNN cuûa bieåu thöùc A = cosx + 1

Giaûi : Ñaët t = cosx , ñk : 0≤ t ≤ 1. Ta ñöôïc :A = Mieàn xaùc ñònh D= [ 0;1] Ñaïo haøm f’(t) = Khi ñoù

2t2 + 4t

( t + 1)

2

≥ 0,∀t ∈ D ⇒ haøm soá ñoàng bieán treân D.

Min= f(0)=1 t∈D

Max= f(1)=2 t∈D

2t2 + t + 1 = f ( t) t+1

khi

khi

π t= 0⇔ cosx = 0⇔ x= + kπ ,k∈Z 2

t=1⇔ cosx =1⇔ x= kπ ,k∈Z

Baøi taäp choïn loïc luyeän thi 1)(ÑH-B-2003) Tìm GTLN,GTNN cuûa haøm soá y = x+ 4 − x2 HD:TXÑ: D = [ −2;2] .y' = 1− Ta coù y(-2)=-2;y

( 2) = 2

x ≥ 0 ;y' = 0 ⇔ 4 − x2 = x ⇔  ⇔ x = 2. 2 2 4 − x2 4 − x = x x

2;y ( 2) = 2. Vaäy

( )

maxy= y 2 [ −2;2]

2) (ÑH-D-2003) Tìm GTLN,GTNN cuûa haøm soá y = 2

( −2) = −2

= 2 2; miny= y [ −2;2]

x+1 x2 + 1

treân [ −1;2] .

Taøi lieäu oân thi Ñaïi hoïc moân Toaùn GV: Nguyeãn Vaên Quang. Tröôøng THPT Phan Boäi Chaâu. Bình Ñònh HD: y’=

1− x (x + 1) 2

3

;y' = 0 ⇔ x = 1. Ta coù y(-1)=0;y(1)= 2 ;y(2)=

3 . 5

= y ( 1) = 2 vaø miny = y ( −1) = 0 Vaäy maxy [ −1;2] [ −1;2]

3)(ÑH-B-2004) Tìm GTLN,GTNN cuûa haøm soá y = HD: y’= = 9/e3.

ln2 x 3 treân ñoaïn 1;e  x

lnx ( 2 − lnx)  lnx = 0  x = 1 2 2 3 ;y' = 0 ⇔  ⇔ 2 2 ( nhaän). Ta coù : y(1)=0;y(e ) = 4/e ; y(e ) lnx = 2 x x = e  

4 = y ( 1) = 0. vaø miny 1;e3    e2   4) (ÑH-A-2006). Cho hai soá thöïc x ≠ 0,y ≠ 0 thay ñoåi vaø thoûa ñk ( x + y) xy = x2 + y2 − xy . = y ( e2 ) = Vaäy maxy 1;e  3

1 1 + . x3 y3 1 1 1 1 1 1 1 HD: Töø gt suy ra + = 2 + 2 − . Ñaët a= ;b = ta ñöôïc a+b=a2-ab+b2.(1) x y x y xy x y

Tìm GTLN,GTNN cuûa bieåu thöùc A=

A=a3+b3 =(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)2. Töø (1) suy ra a+b=(a+b)2-3ab. 2

3 2 2 2 2  a+ b  ab ≤   ⇒ a + b ≥ ( a+ b) − ( a+ b) ⇒ ( a+ b) − 4( a+ b) ≤ 0 ⇒ 0 ≤ a+ b ≤ 4 ⇒ A = ( a+ b) ≤ 16 4  2  1 A = 16 ⇔ x = y = ⇒ maxA = 16. 2

5) (ÑH-B-2006).Cho x,y laø caùc soá thöïc thay ñoåi . Tìm GTNN cuûa bieåu thöùc A=

( x − 1)

2

+ y2 +

( x + 1)

2

+ y2 + y − 2 .

HD:Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy xeùt caùc ñieåm M(x-1;y) vaø N(x+1;y). Do OM+ON ≥ MN neân :

( x − 1)

2

+ y2 +

( x + 1)

2

+ y2 ≥ 4+ 4y2 = 2 1+ y2 ⇒ A ≥ 2 1+ y2 + y − 2 = f ( y)

2 Vôùi y ≤ 2 ⇒ f ( y) = 2 1+ y + 2− y ⇒ f '(y) =

2y

− 1;f’(y)=0 ⇔ y = 1 . 1+ y 3 2

 1   = 2+ 3  3

= f Laäp baûng bieán thieân f(y) treân ( −∞;2) , töø ñoù ta ñöôïc (minf −∞ ;2)

Vôùi y ≥ 2 ⇒ f(y) ≥ 2 1+ y2 ≥ 2 5 > 2 + 3 .Do vaäy A ≥ 2 + 3,∀x,y . Vaäy minA = 2 + 3 ⇔ x = 0,y =

1 3

6) (ÑH-A-2007). Cho x,y,z laø caùc soá thöïc döông thay ñoåi vaø thoûa maõn ñieàu kieän xyz=1. Tìm GTNN cuûa bieåu thöùc :P=

x2 ( y + z)

y y + 2z z

+

3

y2 ( z + x)

z z + 2x x

+

z2 ( x + y)

x yx + 2y y

.

Taøi lieäu oân thi Ñaïi hoïc moân Toaùn GV: Nguyeãn Vaên Quang. Tröôøng THPT Phan Boäi Chaâu. Bình Ñònh HD:Ta coù x2 ( y + z) ≥ 2x x ; y2 ( z + x) ≥ 2y y ; z2 ( x + y) ≥ 2z z ⇒ P ≥

2x x 2y y + + y y + 2z z z z + 2x x

2z z x x + 2y y

Ñaët a= x x + 2y y ; b= y y + 2z z ;c= z z + 2x x ⇒ x x =

4c + a− 2b 4a+ b − 2c ;y y = ; 9 9

4b + c − 2a 9 2   c b a  a b c   2 2 4c + a− 2b 4a+ b − 2c 4b + c − 2a Vaäy P ≥ ( + + )=  4 + +  +  + +  − 6 ≥ ( 4.3+ 3− 6) = 2 9   b a c   b c a  9 9 b c a Daáu “=” xaûy ra ⇔ x = y = z = 1. Vaäy Min P = 2 . z z=

x 1  y 1   + y +  +  2 xz   2 yz 

7) (ÑH-B-2007). Cho x>0,y>0,z>0 thay ñoåi. Tìm GTNN cuûa:P= x  + z 1  z +  .  2 xy 

x2 y2 z2 x2 + y2 + z2 x2 + y2 y2 + z2 z2 + x2 2 2 2 + + + ≥ HD: Bieán ñoåi P= . Do x +y +z = + + 2 2 2 xyz 2 2 2  x2 1   y2 1   z2 1  t2 1 ≥ xy+yz+zx neân P  +  +  +  +  +  ; Xeùt haøm soá f(t) = + vôùi t>0. Töø 2 t  2 x  2 y  2 z 3 9 9 BBT cuûa f(t) suy ra f ( t) ≥ ,∀t > 0 . Suy ra P ≥ ;P = ⇔ x = y = z = 1 . Vaäy Min P = 9/2 . 2 2 2 3cos4x + 4sin2x 8)(ÑH SPHN-A-2002) Tìm GTLN,GTNN cuûa haøm soá y = 3sin4x + cos2x − ( 6t − 2) 1 2 . HD : Ñaët t=sin2x , t ∈ [ 0;1] .Ta ñöôïc y =1+ 2 . Ta coù y’= 2 3t − 2t + 2 ( 3t − 2t + 2)

Töø BBT cuûa hsoá y ta ñöôïc : max y =8/5 vaø min y = 4/3. 9) (ÑH TCKT -2000) . Tìm GTLN,GTNN cuûa haøm soá y =2sin8x+cos42x.HD: Ñaët t 4

 1− t  4 = cos2x , ñk t ≤ 1. Khi ñoù:y = 2   + t = f(t),t ∈ [ −1;1] = D .f’(t) =4  2   3  1− t 3  1  1 1 . Vaäy t −    ;f '(t) = 0 ⇔ t = . Ta coù f(-1)=3 ;f(1)=1; f   = 3  2    3  27  1 1 α 1 π  ⇔ cos2x = ⇔ x = ± + kπ , csα =  . maxy = 3 ⇔ cos2x = −1⇔ x = + kπ vaø miny = D D 27 3 2 3 2 

10) (ÑH QGHN , HVNH –D – 2001) Tuøy theo giaù trò cuûa tham soá m , haõy tìm GTNN cuûa bieåu thöùc : P=(x+my-2)2+(4x+2(m-2)y-1)2 . x + my = 2 . Heä naøy coù nghieäm ⇔ m≠ −2 4x + 2( m− 2) y = 1

HD: P ≥ 0;P = 0 ⇔ ∃ ( x;y) : 

• Khi m ≠ −2 Min P =0 . • Khi m= -2 thì P= (x-2y-2)2+(4x-8y-1)2 . Ñaët t = x-2y-2 ta ñöôïc P=t2+(4t+7)2 =7 2

28 6 49  28 49 49 ≥ Ñaúng thöùc xaûy ra ⇔ t = − ⇔ x − 2y = . Khi ñoù Min P = .  t+  + 17 17 17  17  17 17

4

Taøi lieäu oân thi Ñaïi hoïc moân Toaùn GV: Nguyeãn Vaên Quang. Tröôøng THPT Phan Boäi Chaâu. Bình Ñònh 11) (ÑH GTVT 2000) Tuøy theo giaù trò cuûa tham soá m , haõy tìm GTNN cuûa bieåu thöùc : P=(x-2y+1)2+(2x+my+5)2 . HD: Giaûi töông töï baøi 10 . 12) Tìm GTLN,GTNN cuûa haøm soá y =

11 1 4tgx − cos4x − . 2 2 1+ tg2x

π + kπ ( k ∈ Z) .Ta coù y = sin22x-2sin2x+5. Ñaët t = sin2x , t ∈ [ −1;1] ta ñöôïc 2 y(t)=t2-2t+5. y’ = 2t-2 ; y’=0 ⇔ t=1.Töø BBT cuûa haøm soá y(t)=t2-2t+5 treân [ −1;1] ta thaáy haøm π soá nghòch bieán treân ∈ [ −1;1] neân Max y =y(-1)=8 ⇔ t = −1⇔ sinx = −1⇔ x = − + kπ ; min 4 π y =y(1)=4 ⇔ t = 1⇔ sinx = 1⇔ x = + kπ . 4 2 13) Tìm GTNN cuûa y = 4x − 12x + 13 + 4x2 − 28x + 53 . HD: ta coù 4x2-12x+13 = (2x-

HD: ñk x ≠

( 2x − 3)

3)2+4 ≥ 4,∀x vaø coù 4x2-28x+53 = (2x-7)2+4 ≥ 4,∀x .Do ñoù y =

( 2x − 7)

2

+ ( 0 − 2)

2

+ (0 − 2)2 +

2

Trong mp Oxy xeùt ñieåm M(2x;0) chaïy treân Ox,hai ñieåm A(3;2) vaø B(7;2) coá ñònh.Ta ñöôïc y = MA+MB. Khi ñoù btoaùn ñaõ cho trôû thaønh : Xaùc ñònh vò trí cuûa M treân Ox sao cho MA+MB ñaït GTNN. -Laáy A’ ñoái xöùng vôùi A , noái A’B caét Ox taïi H . Ta coù y =MA+MB=MA’+MB ≥ A’B=2BH =2.2 2 = 4 2 Daáu “=” xaûy ra ⇔ M ≡ H ⇒ 2x = 5 ⇒ x =

5 . Vaäy Min y = 4 2 khi 2

x= 5/ 2 . 14)Tìm GTLN,GTNN cuûa haøm soá y = -sin3x-3sin3x+3 .HD: ñaët t=sinx, t ∈ [ −1;1] .Ta ñöôïc y=t3-3t+3 = g(t) Ta coù g’(t) = 3t2-3 ;g’(t)=0 ⇔ t = ±1;g(-1)=5;g(1)=1Vaäy π π Miny=1 ⇔ x = + k2π ;maxy =5 ⇔ x = − + k2π . 2

2

 3y2 − 4xy y  15)Tìm GTNN cuûa bieåu thöùc A = 2 2 . HD: Ta coù A =3  x2 + y2 x +y    y    x2 + y2     x Daáu hieäu :  2 2  x +y 

2

  y  + 2   x + y2  

2

  x  =1 . Ta ñaët sint =  2 2  x +y   

2

  x  -4  2 2  x +y   

 .  

  y  vaø cost=  2   x + y2  

   

.Ta ñöôïc : 3 2

3 2

5 2

3 2

5 2

A=3cos2t-4sintcost = 2sin2t- cos2t+ .Vì − ≤ 2sin2t- cos2t ≤ neân -1 ≤ A ≤ 4. vaäy MinA =-1;MaxA=4

5