Pp Cm Quy Nap

Chương III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Tiết: 37

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TÓAN HỌC

A. Mục đích yêu cầu: 1. Kiến thức: Học sinh nắm vững: - Thế nào là phương pháp quy nạp tóan học. - Các bước tiến hành để giải bài tóan quy nạp. 2. Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng: Giải tóan bằng phương pháp quy nạp. B. Lên lớp: B1. Ổn định và điểm danh: B2. Bài cũ: B3. Bài mới: Trọng tâm: Cách giải các bài tóan bằng phương pháp quy nạp. Phương pháp: Vấn đáp – Minh họa

NỘI DUNG I. Mở đầu: Trong nhiều bài tóan, đôi lúc ta thường gặp phải chứng minh những mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n ¥ . Để chứng minh những mệnh đề như thế, ta không thể thử trực tiếp được mà dùng phương pháp chứng minh bằng quy nạp như sau:

TG

PHƯƠNG PHÁP + GV giới thiệu phương pháp quy nạp tón học.

II. Phương pháp chứng minh bằng quy nạp: Để chứng minh một mệnh đề bằng phương pháp quy nạp tóan học (hay phương pháp quy nạp), ta làm như sau:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 0. Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k  0 (gọi là giả thiết quy nạp). Ta hãy chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k+1. Kết luận: Mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n. Chú ý. Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng với mọi số tự nhiện n  p thì: - Trong bước 1 ta phải thử với n = p. - Trong bước 2, ta giả sử mệnh đề đúng với một số tự III. Một sốnhiên ví dụ:n = k  p. 1. Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  1, ta có: n  n  1 1  2  3  ...  n   1 2 Giải: + Khi n = 1, ta có: VT  1   1 1  1   (1) đúng với n = 1 VP   2  + Giả sử (1) đúng với một số tự nhiên n = k  1, tức là: k  k  1 1  2  3  ...  k   1' 2 Ta chứng minh (1) cũng đúng khi n = k+1, tức phải chứng minh:

+ Kiểm tra với n nào? + Cách kiểm tra? + Cách thiết lập giả thiết quy nạp?

1  2  3  ...  k   k  1 

 k  1  k  2 

 1"

2

+ Phải chứng minh điều gì?

C/m: VT   1  2  3  ...  k    k  1 

k  k  1 2

  k  1

 1  k  2   k NỘI   kDUNG  1   VP 2  2  Vậy (1) đúng với mọi số tự nhiên n  1 2. Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  2, ta có: a n  b n   a  b   a n 1  a n  2 b  ...  ab n  2  b n 1   2   k  1 . 

Giải: + Khi n = 2: VT  a 2  b 2

+ Kiểm tra với n = 2. 

  (2) đúng với n = 2 VP   a  b   a  b   a 2  b 2  + Giả sử (2) đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k  2, tức là: a  b   a  b  a k

k

k 1

a

k 2

b  ...  ab

TG

+ Dùng giả thiết quy nạp thay vào k số hạng đầu tiên. PHƯƠNG PHÁP

k 2

b

k 1



+ Thành lập giả thiết quy nạp?

 2 '

Ta chứng minh (2) cũng đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh: a k 1  b k 1   a  b   a k  a k 1b  ...  ab k 1  b k   2"

+ Mệnh đề phải chứng minh?

Cm: a k 1  b k 1  a k 1  a k b  a k b  b k 1  a k  a  b   b  a k  b k 

+ Hướng dẫn chứng minh.

 a  b   b  a  b   a  a  ...  ab   a  b   a k  a k 1b  ...  ab k 1  b k   VP a

k

k 1

k 2

k 2

b

k 1



Vậy (2) đúng với mọi số tự nhiên n  2

IV. Củng cố: Phương pháp chứng minh bằng quy nạp? Dặn dò: BTVN ( Bài tập SGK)

+