Potenciasyraices

POTENCIAS Y RADICALES 1.- Calcula las siguientes potencias. ¿Cuáles son iguales? a) (–2)4 b) (–2)5

c) (–2)7 d) 23

e) 24 f) 35

g) 20 h) (–2)3

2.- Escribe en forma de una sola potencia: a) b) c) d) e) f)

(–2)3 · (–2)5 6 –7 : 63 72 · 78 58 : 56 43 · 4 –3 (23)7

g) h) i) j) k) l)

22 · 23 · 24 32 · 3 · 33 (–4)2 · (–4) · (–4)3 716 : 714 (43) – 2 815 : 817

m) n) o) p) q) r)

1212 : 1210 2 –5 · 3 –5 · 4 –5 84 : 44 (57)3 (–5)22 : (–5)23 (77) –7

3.- Coloca correctamente los números que faltan: a) 2□ = 16 b) 3□ = 1/3 c) 55□ = 1

d) 14□ = 14 e) 2□ · 23 = 26 f) 84 : 8□ = 86

g) □ 2 · 52 = 152 h) (4□)2 = 4 – 8 i) 3□ · 34 · 3 –1 = 3

4.- Expresa los siguientes números en forma de potencia: a) 8 b) – 27 1 c) 5

d) 256 9 e) 16 f) 0,125

g)

5

43

h) 4 2 3 i) 0,5

5.- Efectúa: a) b) c) d) e) f) g)

[(2 · 3)9 · 68] : [63 · 6 · 63]2 – 32 · 33 + (–3)2 · 3 [212 · 56 · 5 –2 · 58] : [102 · 103]2 (5 – 23)2 – 3 · 42 – (–2)2 – (–5)2 – 32 – 23 12 – 3 · 7 – 2 · (–3)2 – (–4 · 5 –32) · 3 – (–4)3 5 – 2 · 32 + (2 – 42) · (–2 – 3 · 4)2 3 – 2 · 4· (1 – 3 · 52) + [(–2 + 3 · 2)2 + 28 : (–7)]3

6.- Simplifica y expresa el resultado con exponente positivo: x 5 y −2 a) 6 −1 x y 6x 4 y 2 b) 3x 2 y 2

x −2 – 2x2 −4 x (− x 2 )5 e) 2 3 ( x ) ( − x) 2

2 x 2 y −3 c) 8xy − 2

 2 x −3 y 3  f)  −1 2   4x y 

d)

7.- Calcula utilizando potencias de base 2, 3 y 5:

−2

g)

 4x 2 y 0 h)  −2  8x

xy x y −1 −1

−2

  x −2  ·  − 4 5  x y

  

2

2 −2 · (−3) 2 · 5 −3 a) ( −2) 3 · 3 −2 · (−5) −2 2 5 · 33 · 2 − 1 · 3 b) 3 2 −1 2 ·3 ·3 · 2 2 · 4 · 4 −1 · 2 5 · 2 3 c) − 5 2 · 8 · 4 3 · 26

4 −1 · 8 ·16 · 4 3 d) 4 3 − 6 2 · 2 · 2 ·8 ( −5) 3 · ( −8) 3 · ( −9) 2 e) 15 2 · 20 4 4 · 8 −3 ·125 −1 f) 32 2 · 814

25 4 · 625 −3 g) (−5) 4 5 3 · 3 4 · 20 6 h) 4 5 7 15 · 2 ·10 20 5 ·16 3 · 5 4 · 6 5 i) 25 3 · 30 4 · 4 7

8.- Calcula, en los casos posibles, las soluciones de las siguientes raíces, sin utilizar la calculadora, indicando el número de soluciones de cada una de ellas, y exprésalos en forma de potencia con exponente racional:

121 169

a) 144

b)

g) 3 1000

h) 4 1296

c) 1225

i)

d)

27 8

3

j)

10

−9 16

e)

1024

k)

360000

f)

− 32

l)

5

2025

5

3125 32

9.- Transforma las siguientes expresiones en potencias: a)

b)

2 2 2 2

3

3

3

3

3

3

10.- Simplifica los siguientes radicales, extrayendo fuera lo que se pueda: a) b) c)

12 75 3 −8

d)

5

e)

4

− 1024

f)

1 625

−

3

125 512

11.- Extrae factores de los radicales siguientes: a)

4

3

8b a

b)

7

g) 5 1024x 456

10

x

h)

5

1000

y

345

z

45

c)

125a 2 16b

a 234 b 123c 234 d 45 i) x 6 y 120 z 231

3

d)

3

8x 4 y 3 z n6

( a 35 b 5 c ) 8 a 3 a 34 b − 23 c 9

j)

5

e)

3

a 12b 23 c 56

81a 34 b 63 c 123 ( ab − 5 ) 4 c − 35

f)

k)

a 123 b 234 c

( x 34 y 23 ) 23

12.- Extrae factores de los radicales siguientes: a)

3

81x 3 y 6

b) 5 16a 2 b 6 c −9

c) 3

f)

3

( a + b) 3 g) ( a − b)

25 x 3 − 50 x 2

3

− 64a b 6

d)

3

125x 3 96 y 3

16a 2 b 4 − 27 h)

3

81x 5 − 27 x 3

i)

8x 2 + 8x + 2

e)

13.- Introduce factores dentro de la raíz: a) 2 4 3

b) 4 3

3

h) 2xy

3 2 xy 2

1 4

c)

2 3x x 8

x 20 y 12 i) z 10

3

d)

x3 y 3 z 32

3 3 25 5 9

e) 3xy 7 xy 5

-5 2 5 3 6

8

3

f) 3 4

27 3

5 3 g) 2ab2c3 3ab

x 3 y 45 − 4 x 4 y 23 z −14 k) ( 5 ) 5 z x 32 y 5

23

j) (x y z )

x y z

a a b b

e) (a + b)

14.- Introduce factores dentro de la raíz: a) 2 5

b) 2 3 2a

c) 3ab 3 a 2 b 2

g) (a + b)

a −b 2

d)

a −b h)   a +b

2

a a+b

f) (a – b)

3

1 a−b

a 2 + 2ab + b 2 a 2 − 2ab + b 2

15.- Demuestra que los radicales siguientes son semejantes: a) 2 3 ;

243 ;

b) 3 2 ;

18

16.- Escribe dos radicales semejantes a:

7,

75

c) 3 125a 4 ;

3,

8,

3

27a 7

d) 5 2 ; 3 8 ;

18

6

17.- Halla las siguientes sumas y diferencias de radicales: a) 6 3 – 4 3 + 5 3 b) 3 2 + 5 2 – 8 2 c) 3 2 – 3 8 + 3 18 1 1 d) 3 24 + 2 – 2+ 7 4 e) 2+ 8 3 f) 125 + 3 27 g) 12 – 3 3 + 2 75 h) 75 – 2 3 + 5 9 i) 2 45 + 500 – 3 245

j) k) l)

2

m) n) o) p)

3 3

250 – 3 54 – 3 56 2 – 5 3 16 + 4 3 32

2 225 1 10 – 2 10 – 10 2 45 – 80 + 180 – 20 3 2 1 5 28 – 63 + 700 + 2 3 10 8 3 3 3 3 128 – 2 2 + 5 54 – 2 16 2 + 9

8 – 25

448

18.- Halla las siguientes sumas y diferencias de radicales: a)

75a 3 b 2 + d)

3ab 4

ac 2 − bc 2 –3 18

b) 3 a 3 b – ab 3 + a 5 b

a−b + 8

4 a − 4b 32

c) 5 4a – 3 36a + 3 25a e)

x5 y + z3

xy 5 – z3

4x 3 y 3 z3

f) a 1 − b +

1 a 2a – 2 3

a 2 − a 2b +

1− b 4

2 50a 3 – a 5

19.- Reduce al mismo índice los siguientes radicales: a)

3;

e)

25

5;

6

10 ;

125

10

b)

7

10 ; 5 10

15

5;

7;

3

25

f) 4 24 ; 8 16 ;

c)

6

16

g)

32

4

2 ; 7 17 ;

14

4;

3;

2

x ,

3

3

d)

38

2;

h)

5

3

4;

3

a+b

4;

15

3

5;

4

7

20.- Reduce al mismo índice los siguientes radicales: a)

( x − 1) 2 ,

3

b)

a −1 , 2b

c)

x+ y , 2a

4

3

d)

x −1

e)

a −1 2b

4

x2 ,

a 3b ,

3

x

ab ,

3

ab 2 a+b ,

f)

a2 + b2 , 4 g) n − 1 b , n + 1 ab ,

x+ y 2a

n −1

a

21.- Multiplica o divide los siguientes radicales: a)

3

b)

2 ·3 5

f)

4

g)

b3 : b

c) 16 · 4 18 · 6 32

2 · 37 · 3 12 8

h)

625 : 4 25

d) i)

8x 5 : 2 x 3

e)

5 · 4 3 · 12 7 6

3

9 · 3 5 · 3 27

j)

a3 :3 a 2

6

27 : 4 9

22.- Multiplica o divide los siguientes radicales: a)

2· 3· 5

b) 2 3 · 3 2 · 4 5

( (

c) d) e)

)

2− 5 · 3

)

2+ 3+6 5 · 2

3

(2

)(

5 −3 2 · 2 5 +3 2

f)

)

8: 2

g) 2 5 : 4 2 h) 3 40 : 15 i) 50 − 12 − 20 : 2

l)

j)

4

a 3 b 2 : ab

n)

k)

3

( a − b) 2 :

(

3

a −1 : 2b

m)

)

a−b

4

(

o)

( x − 1) 2 : x − 1

a −1 2b 2a x+ y : x+ y 2a 3

) (

x ·3 x2 :

3

x· x

)

23.- Racionaliza las siguientes expresiones: a)

2 3 5

b)

2 6 2

3

c)

2 4 3 3

5

f)

k)

3 3

3 22 5+4

g)

l)

34 5 21 12 6+ 2

d)

−2 3

e)

9

73

h)

2 3−2

i)

5 2− 5

j)

m)

1− 2 1+ 2

n)

9 5+ 7

ñ)

5 5 −1 3

2 1− 5

24.- Calcular el valor de la siguiente expresión, racionalizando previamente: 2 − 3 −1

1 1 − 2 +1 2+ 3