Potencias
This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA
Overview
Download & View Potencias as PDF for free.
More details
- Words: 583
- Pages: 2
Potencias, logaritmos y su relación El producto de n factores iguales a a: n a · a · ... · a, se llama potencia de base a y exponente n, donde a ð 0 ó n ð 0. Es de suponer que no sea una operación conmutativa, ya que base y exponente cumplen funciones distintas. (La demostración queda conforme con sólo ver que 23 ð 32). Algunas propiedades son: •
a0 = 1; 00 no tiene sentido.
•
El producto de potencias de igual base es una potencia de la misma base que tiene por exponente la suma de los exponentes.
n m n+m an · am = a · a · ...· a · a · a · ...· a = a · a · ...· a = an+m •
El producto de potencias de igual e ponente es igual a una potencia del mismo exponente que tiene por base el producto de las bases.
nnn an · bn = a · a · ...· a · b · b · ...· b = (a · b) · (a · b) ·...· (a · b) = (a · b)n nn •
(am)n = am · am · ...· am = am+m+m+...+m = amn
•
an : am = an - m
•
an : bn = (a : b)n
Es importante observar que la potenciación, como consecuencia de no tener propiedad conmutativa, da origen a dos operaciones inversas. Hemos de recordar que operaciones como la adición y la multiplicación ofrecen sólo una operación inversa, respectivamente la sustracción y la división, como consecuencia directa de la propiedad conmutativa. En la potenciación observamos dos operaciones inversas que explicitan respectivamente la base y el exponente: Radicación: Si b es potencia enésima de a podemos expresar la base como que a es la raíz enésima de b. Logaritmación: n = loga b, es un número tal que an = b. Con a>0, b>0 y b ð 1. Algunas de sus propiedades son: •
Si c>0, es a logac =c
•
Si c>0 y c'>0, es: loga(c·c') = logac + logac'. En efecto, siendo c y c' positivos, se cumple:
c = a logac y c'= a logac' .·. c · c' = alogac · alogac = alogac + logac' .·. loga(c · c') = logac +logac'. •
Si c>o y c'>0, es: loga(c:c') = logac - logac'.
En este caso dividimos: c : c' = alogac : alogac = alogac - logac' Corolario: loga1/c = loga1 - logac y, como loga1 = 0, resulta: loga1/c = -logac. •
Si c>0, es logacd = d logac.
En efecto, siendo: c = alogac, es también: cd =(alogac)d = ad logac .·. logacd = d logac. •
logac = logbc / logba. Función
Cada función consta de tres elementos: Dominio de definición: conjunto de objetos cualesquiera, en nuestro caso, números reales. Una ley de correspondencia que nos permite asociar un elemento del dominio de definición con uno del recorrido. Recorrido: conjunto en el cual se encuentran los correspondientes objetos del dominio. Dominio Recorrido Conjunto de reales o parte de él Conjunto de los reales o parte de él x variable independiente y variable dependiente Si tenemos un conjunto A de números reales, y a cada número a del conjunto A le asignamos un correspondiente b, decimos que se ha definido una función en el conjunto A. Es pues, ésta una correspondencia unívoca; a cada elemento a se le asigna un b, y para evidenciarlo se escribe b= f (a)
a0 = 1; 00 no tiene sentido.
•
El producto de potencias de igual base es una potencia de la misma base que tiene por exponente la suma de los exponentes.
n m n+m an · am = a · a · ...· a · a · a · ...· a = a · a · ...· a = an+m •
El producto de potencias de igual e ponente es igual a una potencia del mismo exponente que tiene por base el producto de las bases.
nnn an · bn = a · a · ...· a · b · b · ...· b = (a · b) · (a · b) ·...· (a · b) = (a · b)n nn •
(am)n = am · am · ...· am = am+m+m+...+m = amn
•
an : am = an - m
•
an : bn = (a : b)n
Es importante observar que la potenciación, como consecuencia de no tener propiedad conmutativa, da origen a dos operaciones inversas. Hemos de recordar que operaciones como la adición y la multiplicación ofrecen sólo una operación inversa, respectivamente la sustracción y la división, como consecuencia directa de la propiedad conmutativa. En la potenciación observamos dos operaciones inversas que explicitan respectivamente la base y el exponente: Radicación: Si b es potencia enésima de a podemos expresar la base como que a es la raíz enésima de b. Logaritmación: n = loga b, es un número tal que an = b. Con a>0, b>0 y b ð 1. Algunas de sus propiedades son: •
Si c>0, es a logac =c
•
Si c>0 y c'>0, es: loga(c·c') = logac + logac'. En efecto, siendo c y c' positivos, se cumple:
c = a logac y c'= a logac' .·. c · c' = alogac · alogac = alogac + logac' .·. loga(c · c') = logac +logac'. •
Si c>o y c'>0, es: loga(c:c') = logac - logac'.
En este caso dividimos: c : c' = alogac : alogac = alogac - logac' Corolario: loga1/c = loga1 - logac y, como loga1 = 0, resulta: loga1/c = -logac. •
Si c>0, es logacd = d logac.
En efecto, siendo: c = alogac, es también: cd =(alogac)d = ad logac .·. logacd = d logac. •
logac = logbc / logba. Función
Cada función consta de tres elementos: Dominio de definición: conjunto de objetos cualesquiera, en nuestro caso, números reales. Una ley de correspondencia que nos permite asociar un elemento del dominio de definición con uno del recorrido. Recorrido: conjunto en el cual se encuentran los correspondientes objetos del dominio. Dominio Recorrido Conjunto de reales o parte de él Conjunto de los reales o parte de él x variable independiente y variable dependiente Si tenemos un conjunto A de números reales, y a cada número a del conjunto A le asignamos un correspondiente b, decimos que se ha definido una función en el conjunto A. Es pues, ésta una correspondencia unívoca; a cada elemento a se le asigna un b, y para evidenciarlo se escribe b= f (a)
