Potencial Electric

Potencial el` ectric 1

Difer` encia de potencial. Potencial el` ectric ∆U

= Uf − Ui = −Wif

← difer`encia d’energia potencial

U ∆V

= −W ∞f W = Vf − Vi = − q0if

← energia potencial en un punt ← difer`encia de potencial

V

= −

W∞f q0

← potencial en un punt

Hem de tenir present que aquesta definici´o del potencial dep`en de la nostra decisi´o d’assignar el valor zero al potencial a l’infinit. Nom´es tenen sentit f´ısic les difer`encies de potencial i d’energia potencial. L’energia potencial el` ectrica ´es l’energia d’un objecte amb c`arrega en un camp extern El potencial el` ectric ´es una propietat del camp en s´ı mateix, independentment de si s’hi ha posat un objecte amb c` arrega o no Hem vist que B

Z

~ ~ · dl E

WA→B = q0 A

Per tant

f

Z

~ ~ · dl E

Vf − Vi = − i

Tamb´e s’escriu Z

B

V (A) − V (B) =

~ ~ · dl E

A

La difer`encia de potencial Vf − Vi entre dos punts i i f en un camp el`ectric ´es igual al valor ~ de i fins a f (l’altre notaci´o ´es i = A i f = B, naturalment). ~ · dl negatiu de la integral de l´ınia de E El potencial en un punt f (relatiu a l’origen de potencial) ser`a Z

f

V =− ∞

~ ~ · dl E

Fonaments de F´ısica II

1.1

Potencial degut a una c` arrega puntual

Desenvolupem —tal com est` a fet al tema anterior— l’expressi´o del potencial en un punt. Z

B

V (A) − V (B) =

~ = ~ · dl E

A



1 1 − rA rB



1 q 4πε0 r

V (r) =

2

q 4πε0

Potencial d’un sistema de c` arregues puntuals

Per m´es d’una c` arrega, apliquem el principi de superposici´o n 1 X qi V (P ) = 4πε0 i ri

3

Potencial creat per distribucions cont´ınues de c` arrega Z  ρdv 1      4πε0 ZV r Z σds dq  1 1 = V (P ) =  4πε 4πε0 r 0 ZS r    1 λdl   4πε0 L r

4 4.1

Superf´ıcies equipotencials. Gradient de potencial Superf´ıcies equipotencials

Per a una c` arrega puntual hem vist: 1 q 4πε0 r

V (r) =

– Si r = const ⇒ V (r) = V = const ⇒ superf´ıcie equipotencial Per a una distribuci´ o qualsevol: Z

B

V (B) − V (A) = −

~ ⇒ dV = −E ~ ~ · dl ~ · dl =E

A

~ ⊥E ~ ⇒ dV = 0 ⇒ superf´ıcie equipotencial ⊥ a E ~ – Si dl ~ kE ~ ⇒ −dV = m` – Si dl axim ⇒ direcci´o de decreixement m`axim del potencial

2

Fonaments de F´ısica II

Es poden substituir plenament les l´ınies de camp per les superf´ıcies equipotencials (i viceversa). De fet en aquests dos u ´ltims punts veiem que les superf´ıcies equipotencials sempre s´on perpendiculars al camp (i per tant tamb´e a les seves l´ınies, les l´ınies de camp) i que el potencial decreix quan ens movem (allunyem) en la direcci´o del camp i les l´ınies.

4.2

Gradient de potencial ~ = Ex~ax + Ey~ay + Ez~az E

Aix` o ´es revel.lador: Podem calcular el potencial a partir del camp integrant, i podem calcular el camp a partir del potencial fent-ne el gradient

~ E ~ dl

= Ex~ax + Ey~ay + Ez~az ≡ (Ex , Ey , Ez )

)

= dx~ax + dy~ay + dz~az ≡ (dx, dy, dz)

dV

~ = −Ex dx − Ey dy − Ez dz ~ · dl = −E

dV

=

∂V ∂x

dx +

∂V ∂y

dy +

∂V ∂z

)

dz

~ = −∇V ~ E

5 5.1

Energia potencial electrost` atica Energia de formaci´ o d’un sistem` a de c` arregues n

U=

5.2

1X qi Vi 2 i=1

Energia d’un dipol en un camp exterior V + +q

~ dl

V− −q

W dV

= qV + − qV − = q(V + − V − ) = qdV ~ = −E ~ ~ · dl ~ · dl = ∇V

) ~ = −~ ~ dl) ~ ⇒ W = −q(E· p·E

~ U = −~ p·E

3