Pot

Trung tâm bồi dưỡng kiến thức Quang Minh 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5, Q.11 TP. HCM MỘT TÌM HIỂU NHỎ TRONG BÀI TOÁN QUY NẠP. Khi gặp các bài toán như sau: Chứng minh rằng với n ∈ `* thì n ( n + 1) 1 + 2 + 3 + ... + n = 2 ( n + 1) n ( 2n + 1) 12 + 22 + 32 + ... + n 2 = 6

⎛ n ( n + 1) ⎞ 1 + 2 + 3 + ... + n = ⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ Để chứng minh các bài toán trên ta sử dụng phương pháp chứng minh qui nạp. Nhưng 2

3

3

3

3

câu hỏi đặt ra là làm sao tìm được kết quả ở vế phải ? Và đối với tổng

n

∑k

s

với số

k =1

nguyên dương s tùy ý cho trước thì làm sao tìm ra kết quả. Trong bài viết này tôi xin giới thiệu một cách làm để tìm tổng

n

∑k

s

với số nguyên dương s tùy ý cho trước.

k =1

Trước hết ta xét các mệnh đề. Mệnh đề 1: Gọi g và G là các hàm nhận giá trị thực trên tập các số nguyên không âm, nghĩa là g , G : Z + ∪ {0} → \

Giả sử ΔG = g nghĩa là: G ( k + 1) − G ( k ) = g ( k ) ∀k ≥ 0 thì ta có: b

∑ g (k ) = G (k ) |

b +1 a

k =a

= G ( b + 1) − G ( a ) Chứng minh

cộng các phương trình sau vế theo vế ta có điều phải chứng minh: G ( a + 1) − G ( a ) = g ( a ) G ( a + 2 ) − G ( a + 1) = g ( a +1)

……… G ( b + 1) − G ( b ) = g ( b ) Mệnh đề 2: Nếu r là một số nguyên dương, ta định nghĩa k ( r ) = k ( k − 1)( k − 2 ) ... ( k − r + 1)

Thì Δk ( r ) = rk ( r −1) Chứng minh (r )

Tính Δk ( r ) = ( k + 1) − k ( r ) = ( k + 1) k ( k − 1) ... ( k − r + 2 ) − k ( k − 1)( k − 2 ) ... ( k − r + 1) = k ( k − 1) ... ( k − r + 2 ) ⎡⎣ k + 1 − ( k − r + 1) ⎤⎦ = rk ( r −1)

Võ Tiến Trình truonghamtan.wordpress.com

1

Trung tâm bồi dưỡng kiến thức Quang Minh 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5, Q.11 TP. HCM Một số ví dụ Ví dụ 1: Tính 1 + 2 + 3 + ... + n Δk ( ) = 2k ( ) vì vậy đặt g ( k ) = k ( ) = k thì ΔG = g = k ( ) = 2

1

1

1

Δk ( ) k( ) ta có: =Δ 2 2 2

2

n +1

⎡ k ( 2) ⎤ ( n + 1) n n +1 | = = = k g k G k ( ) ( ) ⎢ ⎥ = ∑ ∑ 1 2 k =1 k =1 ⎣ 2 ⎦1 ( n + 1) n Vậy 1 + 2 + 3 + ... + n = 2 n

n

Ví dụ 2: Tính 12 + 22 + 32 + ... + n2 3 2 2 1 Δk ( ) = 3k ( ) . Vì k 2 = k ( k − 1) + k = k ( ) + k ( )

∑ k =∑ ( k n

n

2

k =1

( 2)

(1)

+k

k =1

) = ∑k n

( 2)

k =1

n

+ ∑k

(1)

k =1

k ( 3) = 3

( n + 1) n ( n − 1) + ( n + 1) n = ( n + 1) n ( 2n + 1) 3

Vậy 12 + 22 + 32 + ... + n 2 = Ví dụ 3: Tính 1 + 2 + 3 + ... + n 3

3

3

n +1

1

k ( 2) + 2

n +1

1

2 6 ( n + 1) n ( 2n + 1)

6

3

k (3) = k ( k − 1)( k − 2 ) = k 3 − 3k 2 + 2k ⇒ k 3 = k ( 3) + 3k 2 − 2k Vì vậy

n

(

)

+3

n ( n + 1)( 2n + 1) n ( n + 1) −2 2 6

n

n

n

n

k =1

k =1

k =1

∑ k 3 = ∑ k (3) + 3k 2 − 2k = ∑ k (3) + 3∑ k 2 − 2∑ k k =1

=

k ( 4) 4

k =1 n +1

1

( n + 1) n ( n − 1)( n − 2 ) + n ( n + 1)( 2n + 1) − n = 4

2

⎛ n ( n + 1) ⎞ Vậy 13 + 23 + 33 + ... + n3 = ⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ Với cách làm tương tự ta có thể tìm

2

n

∑k

s

với số nguyên dương s tùy ý.

k =1

Võ Tiến Trình truonghamtan.wordpress.com

⎛ n ( n + 1) ⎞ ( n + 1) = ⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝

2

2