Poslovna Statistika I

Poslovna statistika I PITANJA za test: 1. Statistika (definisanje i predmet proučavanja) 2. Definisanje statističkog skupa 3. Kvalitativne mjerne skale 4. Kvantitativne mjerne skale 5. Matrica podataka 6. Poslovna statistika 7. Etape statističkog istraživanja 8. Izvori podataka 9. Anketni upitnik 10. Sastavljanje izvještaja i interpretacija rezultata 11. Računarski podržani postupci intervjuisanja 12. Računarsko podržano kodiranje 13. Validnost i pouzdanost istraživanja 14. Neuzoračke greške – nepotpuni podaci, greške mjerenja i odgovora 15. Neuzoračke greške – greške anketara, neinformisanost ispitanika i greške obrade 16. Statistički niz (pojam i vrste) 17. Statistička tabela (pojam i vrste) 18. Kumulativni nizovi 19. Grupisanje podataka u razrede (intervale) 20. Dijagram 21. Kartogrami i piktogrami 22. Srednje vrijednosti (pojam i vrste) 23. Osobine aritmetične sredine 24. Harmonijska sredina 25. Geometrijska sredina 26. Grafičko odredjivanje modusa 27. Korigovanje frekfencija 28. Medijan 29. Kvantili 30. Apsolutne mjere disperzije (nabrojati i objasniti) 31. BP (box plat) dijagram 32. Relativne mjere disperzije (nabrojati i objasniti)

VJEŽBE 02.03.2006 Zadatak 1. Turistička agenciija ima ukupno 380 adresa za privatan smještaj turista. Prostim slučajnim uzorkom obuhvaćeno je 20 adresa i zabilježen broj noćenja turista u poslednjoj sedmici augusta 2004 godine: 21; 26; 27; 10; 24; 30; 21; 24; 27; 45; 12; 12; 15; 26; 24; 60; 39; 30; 32; 20 Grupisati podatke pomoću «Sturgesovog pravila» i prikazati ih tabelarno Sturgesovog pravilo sastoji se od dva koraka: 1. Izačunati broj razreda po formuli k = 1+3,3logN, pri čemu je N – broj podataka u nizu. k = 1+3,3log20 k = 1+3,3 x 1,30103 = 5,29 ≈ 5 (na digitronu log20 => pritisnuti 20 pa log) Kod Sturgesovog pravila razultat se uvijek zaokružuje na cijeli broj 2. Odrediti širinu razreda po formuli i = (Xmax –Xmin)/ k i = (60-10)/5 =10 Interval (granica)

Frekfencije (f)

(započinje uvijek sa najmanjim brojem)

10 - 20 20 - 30 30 - 40 40 – 50 50 – 60 Total frekfencije

5 11 2 1 1 20

Intervala uvijek ima koliko je k!!!!

=> k ≈ 5 10 + i = najmanji broj + širina razreda Frekfencija = broj ponavljanja neke varijable Zadatak 2. Normalna rasporedjenost skupa od 800 razvedenih brakova na teritoriji BiH u 2003 godini. U prost slučajan uzorak izabrano je 16 razvedenih brakova. Dobijeni su sledeći podaci o njihovom prosječnom trajanju (u godinama): 6,0 / 6,6 / 7,2 / 6,7 / 7,6 / 7,7 / 6,2 / 8,3 / 9 / 9,3 / 7,9 / 6,3 / 6,9 / 7,8 / 7,8 / 8 a) Grupisati podatke uz pomoć Sturgesovog pravila i prikazati ih tabelarno b) Polazeći od negrupisanih podataka izračunati prosječan vijek trajanja braka c) Izračunati prosječan vijek trajanja braka grupisanih podataka a) k = 1+3,3logN i = (9,3-6)/5 Razredna sredina Xi

k = 1+3,3log16 i = 0,7 Interval

k = 1+3,3 x 1,20412 = 4,97 ≈ 5 Frekfencije (ƒi)

Xi * ƒi

5 2 6 1 2 16

31,75 14,10 46,5 8,45 18,30 119,10

[(6+6,7)/2]

6,35 7,05 7,75 8,45 9,15

6 - 6,7 6,7 – 7,4 7,4 – 8,1 8,1 – 8,8 8,8 - 9,5

b) 119,3 : 16 = 7,45 ∑Xi X (bar) = -------------N

X bar = prosječna vrijednost ili aritmetička sredina

X (bar)= 7,45 = 7 god + (12 x 0,45) = 7 god i 5 mjeseci c) Grupisani podaci ∑(Xi * ƒi) X (bar) = ----------------∑ƒi Razredna sredina = zbir donje i gornje granice / 2 X (bar) = 119,1 : 16 = 7,44 Zadatak 3. Izvršeno je anketiranje o broju članova domaćinstva. Podaci su dati u tabeli. Broj članova (Xi) Broj anketiranih Kumulativni niz 1 2 3 4 5 6

3 6 26 15 6 4

3= (3+6) = (9+26) = (35+15) = (50+6) = (56+4) =

3 9 35 50 56 60

a) Koliko domaćinstava ima do tri člana b) Koliko domaćinstava ima do pet članova Zadatak 4. Izvoz i uvoz R Hrvatske u zemlje evropske unije 2003 god prikazan je tabelarno: Zemlja Izvoz u mil. Uvoz Koeficijent Izvoz u % pokrivenosti (izvoz/uvoz*100)

Austrija Njemačka Italija V.Britanija Francuska Ostale zemlje

223 775 904 67 80 172 2221

709 1841 1724 189 293 675 5431

31,45 42,10 52,44 35,45 27,3 25,48

10,04% 34,89% 40,70% 3,02% 3,6% 7,75% 100%

a) Izračunati koeficijent pokrivenosti uvoza izvozom (= izvoz/uvoz *100) b) Koliko je procentualno RH izvozila u pojedine zemlje

Zadatak 5.

U narednoj tabeli prikazana je starosna struktura penzionera. Broj Razredna Godine starosti penzionera sredina (Xi) Xi * ƒi (originalna ((L1+L2)/2) frekfencija) 15 – 25 2 20 40 25 – 35 29 30 870 35 – 45 91 40 3.640 45 – 55 174 50 8.700 55 – 65 244 60 14.640 65 – 75 291 70 20.370 75 – 85 169 80 13.520 ∑ 1000 ∑ 61.780

Kumulativni niz 2 31 122 296 540 (ƒk-1) 831 1000

a) izračunati najčešću starost penzionera (modus) b) izračunati prosječnu starost penzionera c) izračunati medijan a) Da bi smo izračunali modus (najčešću vrijednost) potrebno je u koloni frekfencija pronaći najveći broj i podvući taj red. b-a 291 - 244 Mo = L1 + -------------------- * i = 65 + -------------------------- * 10 = 67,78 (b-a) + (b-c) (291-244) + (291-169) L1 – donja granica podvučenog reda b – originalna frekfencija podvučenog reda a – predhodna frekfencija c – naredna frekfencija i – razlika izmedju donje i gornje granice (L2-L1) b) Kada su podaci dati u intervalima potrebno je pretvoriti ih u jedan broj, a to se zove «razredna sredina». Razrednu sredinu dobijemo tako što saberemo donju i gornju granicu i podjelimo sa dva. ∑ Xi * ƒi 61 780 X(bar) = --------------- = ------------ = 61,78 ∑ƒi 1 000 c) Medijan da bi smo izračunali medijan, potrebno je prvo odrediti kumulativni niz «manje od» (<), a dobije se tako što prvu frekfenciju prepišemo pa postepeno dodajemo svaku narednu. ∑ƒi /2 - ƒk-1 Me = L1 + ---------------------- * i

ƒme Sledeći korak jeste odrediti izmedju koja dva broja u kumulativnom nizu se nalazi suma ∑ƒi /2. 500 - 296 ∑ƒi /2 = 1000 / 2 = 500 Me = 55 + ---------------------- * 10 = 63,36 244

ƒme – originalna frekfencija podvučenog reda (uvijek data na početku u tabeli)

X (bar) > Me > Mo => desna pozitivna asimetrija X (bar) < Me < Mo => lijeva pozitivna asimetrija Zadatak 6. Dat je raspored opština jedne države prema ukupnoj površini. Izračunajte modus i medijan. Ukupna površina Do 100 100 – 200 200 - 300 300 - 400 400 - 500 500 - 600 600 - 700 700 - 800 800 - 900 900 - 1000

Broj općina 36 46 84 91 63 51 43 32 24 57 ∑ 527

36 82 166 257 320 371 414 446 470 527

b-a 91 - 84 Mo = L1 + --------------- * i = 300 + ---------------------- * 100 = 300+0,2*100= 320 (b-a) + (b-c) (91-84) + (91- 63) 263,5 - 257 Me = 400 +------------ * 100 = 400+0,1032*100= 410,32 63

∑ƒi /2 = 527 / 2 = 262,5 Zadatak 7

Na osnovu podataka o rasporedu sto domaćinstava jedne općine prema broju članova izračunati sledeće parametre: a) aritmetčku sredinu b) standardnu devijaciju c) koeficijent varijacije d) srednje apsolutno odstupanje

a)

Broj članova domaćinstva

Broj domaćinstava

Xi * ƒi (1*2)

Xi² * ƒi

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 6 7 8 ∑

9 17 22 28 10 6 5 3 100 366

9 34 66 112 50 36 35 24 366

9 68 198 448 250 216 245 192 1626

9*│1-3,66│=-23,94 17*│2-3,66│=-28,22 -14,52 9,52 13,40 14,04 16,70 13,02 133,36

∑ Xi * ƒi

_ ƒi │Xi -X│

X(bar) = --------------- = ------------ = 3,66 ≈ 4 ∑ƒi 100 _________________ _________ b) / ∑ Xi² * ƒi __ / 1626 _____ σ = / -------------------- - X² = / -------- - 3,66² = √ 2,87 = 1,69 √ ∑ƒi √ 100

σ

c)

1,69 V = --------- * 100 = --------- *100 = 46,17% X(bar) 3,66 __ d) ∑ ƒi │Xi -X│ 133,36 MAD = ---------------------- = -------------- = 1,33 ∑ ƒi 100 Zadatak 8 Na osnovu podataka u narednoj tabeli izračunati interkvartilnu razliku. Granice

Frekvencije (ƒi) 5 12 10 8 3 2 40

4000 - 5000 5000 - 6000 6000 - 7000 7000 - 8000 8000 - 9000 9000 - 10000 ∑ Iq = Q3 – Q1

Kumulativni niz

∑ ƒi / 4 = 40 / 4 = 10

∑ ƒi / 4 – ƒk-1

10-5 Q1 = L1 + ------------------------------- * i = 5000 + --------- * 1000 = 5416,67 ƒq 12 a) Prvi korak - kumulant b) Pogledati u koloni kumulante izmedju koja dva broja se nalazi ∑ ƒi / 4 = 40 / 4 = 10 3* ∑ ƒi / 4 – ƒk-1

30-27 Q3 = L1 + ------------------------------------ * i = 7000 + --------- * 1000 = 7375 ƒq 8 3 * ∑ ƒi / 4 = 3*40 / 4 = 30 Iq = Q3 – Q1 = 7375 -5416,67 = 1958,30

Zadatak 9

5 17 27 35 38 40

Prema evidencijama osiguravajućeg društva ustanovljen je broj automobilskih šteta za 1000 osiguranika u jednogodišnjem rasponu. Br. šteta

Br. osiguranika

0 1 2 3 4 6 ∑

664 191 82 34 21 8 1000

(

ƒi)

Xi * ƒi (1*2)

Xi² * ƒi

Xi³ * ƒi

Xi * ƒi

0 191 164 102 84 48 589

0 191 328 306 336 288 1449

0 191 656 918 1344 1728 4837

0 191 1312 2754 5376 10368 20001

a) Izračunati koeficijent asimetrije i objasniti značenje (ά3) b) Izračunati koeficijent zaobljenosti i objasniti značenje (ά4)

μ3 a) ά3 =--------σ³ _____________ σ

μ3 = m3 -3m1m2 + 2m1³

/ ∑ Xi² * ƒi __ _________ _____________ = / -------------------- - X² = √ m2 – m1² = √ 1,449 – 0,589² = 1,049 √ ∑ƒi

__ ∑ Xi * ƒi 589 m1 = X = --------------- = ------------ = 0,589 ∑ƒi 1000 ∑ Xi² * ƒi

1449

m2 = --------------- = ------------ = 1,449 ∑ƒi

1000

∑ Xi³ * ƒi

4837

m3 = --------------- = ------------ = 4,837 ∑ƒi

1000

μ3 = m3 -3m1m2 + 2m1³ = 4,837 – (3*0,589*1,449) + (2*0,589³) = 2,685 μ3

2,685

ά3 =--------- = ----------- = 2,32 σ³ 1,049³ b)

(desna pozitivna asimetrija)

μ4

ά4 =--------σ

μ4 = m4 - 4m1m3 + 6m1²m2 - 3 m1

∑ Xi * ƒi 20001 m4 = --------------- = ------------ = 20 ∑ƒi 1000

μ4 = m4 - 4m1m3 + 6m1²m2 - 3m1 = 20 – (4*0,589*4,837)+(6*0,589²*1,449)-(3*0,589 ) = 20 -11,396+3,016-0,361 = 11,259

μ4

11,259

ά4 =--------σ

= ------------ = 9,297 1,211

* Ako je ά4 > 3 distribucija je šiljastog oblika * Ako je ά4 < 3 distribucija je pljosnatog oblika Zadatak 10 Na osnovu podataka iz naredne tabele izračunati: a) koeficijent asimetrije ά3 b) Pirssonovu mjeru asimetrije Sk c) Bonlijevu mjeru asimetrije Skq

Q1/Mo Me Q3

Granice

ƒi

Xi

14 - 18 18 – 22 22 – 26 26 – 30 30 – 34

15 30 25 20 10 100

16 20 24 28 32

Xi * ƒi Xi² * ƒi Xi³ * ƒi 240 3.840 16³*15=61.440 600 12.000 240.000 600 14.400 439.040 560 15.680 327.680 320 10.240 345.600 2320 56.160 1.413.760

μ3 a) ά3 =--------σ³

μ3 = m3 -3m1m2 + 2m1³

__ ∑ Xi * ƒi 2320 m1 = X = --------------- = ------------ = 23,20 ∑ƒi 100 ∑ Xi² * ƒi

56160

m2 = --------------- = ------------ = 561,60 ∑ƒi ∑ Xi³ * ƒi

100 1.413.760

m3 = --------------- = ---------------- = 14137,60 ∑ƒi

100

μ3 = m3 -3m1m2 + 2m1³ = 14137,60 – (3*23,20*561,60) + (2*23,20³) = 14137,60 – 39087,36 + 24974,34 = 24,576

_____________

k 15 45 70 90 100 320

σ

/ ∑ Xi² * ƒi __ _________ _____________ = / -------------------- - X² = √ m2 – m1² = √ 561,60 – 23,20² = 4,83 √ ∑ƒi

μ3

24,576

ά3 =--------- = σ³

------------ = 0,217 (blaga pozitivna simetrija)

4,83³ _ b) X – Mo 23,20 -21 Sk = ------------- = ------------- = 0,455 (blaga pozitivna simetrija) σ 4,83 b-a 30 - 15 Mo = L1 + --------------- * i = 18 + ---------------------- * 4 = 18+0,75*4= 21 (b-a) + (b-c) (30-15) + (30- 25) c)

Q1 + Q3 -2Me 19,33 +27 – (2*22,8) Skq = ------------------- = --------------------------- = 0,095 (blaga pozitivna simetrija) Q3 – Q1 27 – 19,33

∑ƒi /2 = 100 / 2 = 50 ∑ƒi /2 - ƒk-1 Me = L1 + ---------------------- * i

ƒQ 50 - 45 Me = 22 +--------------- * 4 = 22+0,2*4= 22,8 25 ∑ ƒi / 4 – ƒk-1

25-15

Q1 = L1 + ------------------------------- * i = 18 + --------- * 4 = 19,33

ƒq 3* ∑ ƒi / 4 – ƒk-1

∑ ƒi / 4 = 25

30 75 - 70

Q3 = L1 + ------------------------------------ * i = 26 + --------- * 4 = 27

ƒq

∑ ƒi / 2 = 50

3*∑ ƒi / 4 = 75

20

Zadatak 10 Vrijeme koje ljekar provede sa jednim pacijentom normalno je rasporedjeno sa aritmetičkom sredinom od 500 sec i standardnom devijacijom 40 sec. Kolika je vjerovatnoća da će sa slučajno odabranim pacijentom obaviti pregled: a) za manje od 510 sec P(X<510) b) za više od 470 sec P(X>470) c) izmedju 480 i 490 sec P(480<X<490) d) za više od 7 min P(X>7min) __

σ = 40

X = 500

a) P(X<510) = 0,5 + ƒ(z) = 0,5 + 0,0987 = 0,5987 ili 59,87% Postupak za izračunavanje ƒ(z) __ Xi - X 510 - 500 Z = ------------ = -------------- = 0,25

σ

40

b) P(X>470) = 0,5 + 0,2734 = 0,7734 ili 77,34% __ Xi - X 470 - 500 Z = ------------ = -------------- = -0,75 σ 40

ƒ(z) = 0,2734 c) P(480<X<490)

= ƒ(z1) - ƒ(z2) = 0,1915 - 0,0987 = 0,0982 ili 9,28%

__ Xi - X 480 - 500 Z1 = ------------ = -------------- = 0,5 σ 40 __ Xi - X 490 - 500 Z2 = ------------ = -------------- = 0,25 σ 40

ƒ(z1) = 0,1915 ƒ(z2) = 0,0987 d) P(X>7min) = P(X > 420) = 0,5 + ƒ(z) = 0,5 +0,4772 = 0,9772 ili 97,72% __ Xi - X 420 - 500 Z = ------------ = -------------- = 2 σ 40

ƒ(z) = 0,4772 Statistika – predavanja Zadatak 1

ƒ(z) = 0,0987

Dvadeset radnika jednog preduzeća treba da se dogovore o rasporedu vremena za korištenje godišnjeg odmora. Menadžment preduzeća je odlučio da istovremeno na godišnjem odmoru mogu da budu tri radnika. 10 radnika se izjasnilo da žele odmah da idu na odmor. Na koliko načina je moguće izabrati tri radnika koji odmah mogu da idu na odmor? n

n

n!

10!

10*9*8

720

Cr = (r ) = ------------ = --------- = ---------------- = ----------- = 120 r! (n-r)!

3! 7!

1*2*3

6

n! – n faktorijal => 10! = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 0! = 1 Zadatak 2 Studenti prve godine ekonomskog fakulteta u drugom semestru slušaju 7 predmeta. U jednom danu izvodi se nastava iz tri različita predmeta. Na koliko načina može da bude sastavljen raspored nastave za jedan dan ako se : a) ne uzima u obzir redosljed izvodjenja nastave iz različitih predmeta (kombinacija bez ponavljanja) b) uzima u obzir redosljed izvodjenja nastave (varijacija bez ponavljanja) n! 7! 7*6*5 210 Cr = ------------ = --------- = ----------- = ----------- = 35 r! (n-r)! 3! 4! 1*2*3 6 n

n! 7! Vr = ------------ = --------- = 210 (n-r)! 4! n

Zadatak 3. Autobus na relaciji Tuzla – Pariz ima 15 stanica računajući početnu i krajnju. Koliko za ovu relaciju treba obezbjediti različitih voznih karata u oba smjera (varijacija bez ponavljanja). n = 15 r = 2 n n! 15! 15! Vr = ------------ = --------- = --------- = 15*14 = 210 (n-r)! (15-2)! 13! Zadatak 4. Koliko može da se napiše petocifrenih brojeva pomoću cifara 7 7 7 8 8? (permutacija sa ponavljanjem) n! n! 5! 5*4 Pr = ----------------- = --------- = --------- = ----------- = 10 k1! k2!... ks! k1! k2! 3! 2! 2*1 n

* VJEROVATNOĆA 1) Kolika je vjerovatnoća da se prilikom bacanja dvije pravilne kocke ( numerisane brojevima 1-6): a) pojavi zbir 7 b) pojavi zbir 2 ili 12 ( varijacija sa ponavljanjem) 6 1 1 1 2 a) P(7) = ---- = ----b) P(2,12) = ----- + ----- = -----

36

6

36

36

36

2) Izračunati vjerovatnoću da u dva uzastopna bacanja para pravilnih kocki oba puta nastane zbir 10. 3 3 P(10) = ----- x ----- = 0,0069 36 36 3) Kolika je vjerovatnoća da ćemo bacanjem tri pravilne kocke dobiti tri različita broja? ( varijacija bez ponavljanja)

6³ = 216

6! / (6-3)! 120 P = ------------- = --------- = 0,5555 6³ 216

4) Izračunati vjerovatnoću 6 u loto igri na sreću, ako se u bubnju nalazi 42 broja: a) direktno b) preko kombinatorike a) P(1) = 6 / 42 P(2) = 5 / 41 0,00000019 P(3) = 4 / 40 P(4) = 3 / 39 P(5) = 2 / 38 P(6) = 1 / 37

6*5*4*3*2*1 720 b) P = --------------------------- = ----------------- = 42*41*40*39*38*37

3776965920