Port A Folio Ii Mat

República Bolivariana de Venezuela Instituto Educacional Juan XXIII Bachillerato Internacional Grupo 5 - Matemáticas Evaluación interna

Tarea de Tipo II, NM Crecimiento de la población

Alejandro Machado González Código de Candidato: 0968-001 Valencia, marzo de 2007

1.a. Observando que la población se duplica cada tres minutos, la tabla debe completarse de la siguiente manera (cálculos anexos al final del trabajo): t 0 3 6 9 12 15

A 100 200 400 800 1600 3200

1.b. Se señalarán los pares ordenados (t, A) en un sistema cartesiano utilizando exclusivamente los puntos obtenidos en la tabla:

Gráfico 1: Pares ordenados (t, A) 3400 3200 3000 2800 2600

Nº de bacterias (A)

2400 2200 2000 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 0

3

6

9 Tiempo (min)

12

15

2. a. Es posible expresar A como una función exponencial de t, lo que permitirá el cálculo de A para valores de tiempo que no sean múltiplos de 3 y una representación gráfica más adecuada de la relación tiempo-población.

A = A0 ⋅ b ct Según la estructura estudiada de la función exponencial, c debería denotar la tasa de crecimiento de la población, mientras que b es una constante y A0 es la población inicial (100). Así, observando que el número de bacterias se duplica cada cierto tiempo (es decir, su tasa de crecimiento es 2) puede definirse c = 2 .

A = 100 ⋅ b 2t Las expresiones t y A pueden ser representadas por cualquier par ordenado (t, A), y la constante b es desconocida. Por tanto, debe realizarse un despeje para determinar el valor de b, para lo que se utilizará el par ordenado (t, A) = (3, 200).

200 = 100 ⋅ b 2⋅3 →

200 = b6 → 100

6

2 = 6 b6 →

6

2 = 6 b6

b=6 2 De esta forma, puede expresarse de manera general:

A = 100 ⋅ 6 2

2t

2.b. Puede reformularse la función del apartado 2.a. a fin de utilizar el número de Euler como base exponencial. La nueva función tendría la estructura:

A = A0 ⋅ e k t Como es la única expresión desconocida que no puede ser sustituida por valores de la tabla, debe determinarse la constante k mediante un despeje de la función A. Para esto se utilizará el par ordenado (t, A) = (6, 400).

400 = 100 ⋅ e

k ⋅6

→

400  400  k ⋅6 = e k ⋅6 → ln  = ln(e ) 100  100 

ln(4) = k ⋅ 6 ⋅ ln(e) → ln(4) = k ⋅ 6 ⋅1 →

ln(4) =k 6

ln(4) ln(2 2 ) 2 ⋅ ln(2) ln 2 k= = = = 6 6 6 3 Entonces, puede plantearse:

A = 100 ⋅ e

 ln 2   t  3 

2.c. La gráfica de la función determinada en el apartado 2.b. es la siguiente (el eje X representa la variable independiente t y el eje Y constituye la variable dependiente A):

Esta representación de la función difiere de la gráfica en 1.b. de los pares ordenados de la tabla en que el recorrido de la función exponencial presenta una forma curva mientras que la representación en 1.b. es una simple identificación de pares ordenados puntuales y su unión mediante rectas. Puede decirse que la gráfica de la función exponencial es mucho más precisa que la representación por pares ordenados debido a que si se intentase determinar imágenes de valores de t que no sean múltiplos de 3, el resultado que arrojaría la representación en 1.b. sería erróneo (ya que la gráfica verdadera de la función es curva: el crecimiento se da en forma exponencial). Por otro lado, la función de 2.b. puede graficarse en distintas escalas y con ella es posible determinar valores de A cuando t es mayor que 15 (éste es el valor al que se limita la tabla de valores, y por ende, su representación de pares ordenados). i) Utilizando TRACE para determinar imágenes de la función (t es denotado por x; A es representado por y):

t =5

A = 317,48 En las dos páginas siguientes se encuentra la determinación, mediante la

función TRACE, de las imágenes de

A = 100 ⋅ e

 ln 2   t  3  cuando t = 20 y t = 100.

=t 20

A= 1059,37

t = 10

A=10826590

ii) Ahora nos valdremos de la misma función TRACE para calcular el valor de t cuando A toma diversos valores (como en la sección anterior, t está siendo denotado por las abscisas y A por las ordenadas). A estos valores de t obtenidos se les puede llamar también anti-imágenes de la función.

A = 1000 t = 9,96875

A = 10000

t = 19,92125

A = 1000000

t = 39,875

Una de las dificultades que se presentaron en estas determinaciones fue la necesidad de cambiar, para cada cálculo de imagen y anti-imagen, la escala del gráfico. Se tuvo que intentar establecer los límites y la escala de las gráficas varias veces para cada caso, a fin de obtener una ventana óptima que le permitiera al software de cálculo determinar las respectivas imágenes y anti-imágenes de los valores de t y A introducidos. Puede decirse que los resultados son razonables porque satisfacen una relación exponencial entre la variable dependiente t y la variable dependiente x. Se puede observar que mientras el tiempo crece en una proporción del cuádruple (5; 20; 100), el número de bacterias no crece mediante una proporción fija, sino más bien con una relación exponencial (317,48; 10.159,37; 1.082.265.519.200) en la que mientras el tiempo transcurre paulatinamente, el número de bacterias crece de manera drástica y en una mayor proporción cuando los valores de t se van haciendo mayores. Esto también puede ser observado a la inversa: mientras el número de bacterias aumenta violentamente: de 1.000 a 10.000 (con una proporción de 10x), y de 10.000 a 1.000.000 (con una proporción de 100x), el tiempo parece variar cada vez menos: de 9,96875 a 19,2125 (con un aumento de casi el doble, 2x, cuando el número de bacterias fue multiplicado por diez), y de 19,2125 a 39,875 (con aproximadamente la misma proporción anterior, 2x, cuando el número de bacterias fue multiplicado por cien). La gráfica de A puede representar el patrón de crecimiento bacteriano en la realidad sólo hasta cierto punto, debido a que en este modelo matemático el número de bacterias puede crecer hasta el infinito y en la realidad este hecho no es posible. En la naturaleza el crecimietno Si bien es cierto que el crecimiento de A puede figurarse exponencialmente, debería establecerse un límite del número de individuos que pueden reproducirse en los ambientes de crecimiento, ya que tiene que existir un equilibrio entre el número de individuos y los recursos de los que estos necesitan para poder vivir. Además, hay que tener en consideración que no todos los individuos generados son capaces de reproducirse, y en la realidad

siempre hay un porcentaje de especimenes que mueren antes de poder cumplir la función de la reproducción. iii) Es lógico afirmar, valiéndonos de las anti-imágenes calculadas por la función TRACE en la sección ii, que si la siguiente tabla es correcta: A (nº de individuos) 1.000 10.000 1.000.000

t (minutos) 9,96875 19,2125 39,875

Entonces la población de bacterias será mayor que 1.000 individuos por primera vez cuando el tiempo en minutos exceda el valor de 9,96875; el número de especimenes superará el valor de 10.000 cuando el tiempo sea mayor que 19,2125 minutos; y la totalidad de la población será superior a 1.000.000 cuando el número de minutos transcurridos haya sobrepasado el valor de 39,875. Matemáticamente, se puede establecer que: 1.

A >1.000 ⇔t >9,96875

2.

A > 10.000 ⇔ t > 19,2125

2.

A > 1.000.000 ⇔ t > 39,875

3.a. Tomando en cuenta estas nuevas condiciones planteadas, debe completarse nuevamente la tabla con los valores que corresponden (los cálculos están anexos al final del trabajo). Se aproximó a la unidad cada valor de A para el llenado de la tabla (en caso de ser necesario). t 0 3 6 9 12 15

A 100 160 256 410 655 1049

3.b. Para proceder a la modificación de la gráfica de forma de que refleje la nueva situación, es posible proceder de dos maneras distintas. La primera alternativa es insertar en la ecuación un factor porcentual que indique cuántos individuos sobreviven lo suficiente como para reproducirse cada tres minutos. Este factor puede denotarse por f : t   3

f = 0,8

La razón de definir la base de f como 0,8 se debe a que, si un

20 de la 100

totalidad de los individuos muere antes de la duplicación, 1 −

20 80 = 100 100

representa la cantidad de individuos que sí son capaces de reproducirse. La elección del exponente

t de la constante f deriva de que el proceso de 3

duplicación en las bacterias ocurre cada 3 minutos. Luego, la fórmula modificada del número de bacterias puede expresarse como:

Am = 100 ⋅ e

 ln 2   t  3 

⋅f

→

Am = 100 ⋅ e

 ln 2   t  3 

t   3

⋅ 0,8

Una fórmula alterna, quizás más simple, puede ser adoptada simplemente mediante una alteración de la constante en la fórmula general:

A = A ⋅ e k t → Am = A ⋅ e gt 0

0

Donde Am define la cantidad de bacterias según esta nueva condición y g denota una nueva constante. Sustituyendo con A0 = 100 y el par ordenado (t, A) = (3, 160):

160 = 100 ⋅ e g ⋅3

Y ahora, despejando g:

160 = ⋅e g ⋅3 → ln(1,6) = ln(e g ⋅3 ) → ln(1,6) = g ⋅ 3 ⋅ ln e 100 ln(1,6) = g ⋅ 3 ⋅ 1 → g =

ln(1,6) 3

Así pues, puede escribirse la función que define esta nueva condición como:

Am = 100 ⋅ e

ln(1, 6 ) t 3

La gráfica de esta función se presentará en la sección 3.c., en el mismo sistema de ejes cartesianos que la gráfica original de la sección 2.c.

3.c.

La gráfica azul representa la función original del

A =100 ⋅ e

apartado 2.b.

 ln 2   t  3  .

La gráfica verde representa la función modificada

Am = 100 ⋅ e

ln(1, 6 ) t . 3

Dom ( A) = R Rgo( A) = R + Dom( Am ) = R Rgo( Am ) = R + El dominio de ambas funciones es el conjunto de todos los números reales, pues ningún valor que se le asigne a la variable independiente t es capaz de indeterminar A o Am. El recorrido o rango de las funciones es el conjunto de los números reales positivos, por ser 0 una asíntota horizontal de ambas funciones. Esto es demostrado de la forma:

lim A = lim 100 ⋅ e

t → −∞

 ln 2   t  3 

t → −∞

= 100 ⋅ e

 ln 2   ⋅( −∞ )  3 

= 100 ⋅ e −∞ = 100 ⋅

1 1 = 100 ⋅ e∞ ∞

lim A = 100 ⋅ 0 = 0

t → −∞

lim Am = lim 100 ⋅ e

t → −∞

t → −∞

lim Am = 100 ⋅

t → −∞

 ln(1, 6 )   3 t  

= 100 ⋅ e

 ln(1, 6 )   3 ⋅( −∞ )  

1 = 100 ⋅ 0 = 0 ∞

De esta manera, a medida que t se acerca a

= 100 ⋅ e −∞ = 100 ⋅

− ∞ , las funciones A y A

1 e∞

m

se

aproximan a la ordenada 0 (situación del eje x), mas este valor no entra dentro de su rango. Por ende, se considera que el recorrido de dichas funciones abarca todos los números reales sin incluir el 0 ni los números negativos (conjunto R+). 3.d. Como se mencionó anteriormente, existe una relación de carácter exponencial entre el tiempo transcurrido y el número de bacterias en la función original. Del modo en que puede observarse en las gráficas, mientras mayor es el

tiempo, la pendiente de las funciones va aumentando en cada vez una mayor proporción. Sin embargo, la función Am presenta un incremento más “lento” con respecto a A porque su constante es inferior (y por ende, su tasa de crecimiento es menor). Puede observarse que a medida que aumenta el tiempo, los recorridos de las dos funciones para el mismo valor t son cada vez más distantes debido a esta misma diferencia entre constantes. Por ejemplo, puede observarse según la gráfica que en el minuto 3,

A = 200

y

Am ≈ 150

(lo cual no es una diferencia demasiado

significativa), pero en el instante puntual de los 15 minutos que

Am ≈ 1050

A = 3200 ;

mientras

(lo cual constituye una diferencia entre ambos resultados de más

de 2000 unidades).

4. En este apartado se estudiarán las funciones de la forma las que k, a y λ son constantes y t es el tiempo.

10 6 4.a. Considerando P = 1 + 9999 ⋅ e −0, 4 t i) Resolver

P=

10 6 1 + 9999 ⋅ e

− 0,4 t

para

t =0

P=

k 1 + a ⋅ e −λ t

, en

1000000 1  9999 e0,4 t 10 6 P 1  9999 e0,40 1000000 6 6 P 10 10 0 →P= →P= 1  9999 e −0 , 4⋅0 1 + 9999 ⋅ e 1 + 9999 ⋅ e 0 6 10 P 1  9999 1 1000000 100 P   100 10000 1 P

6 10 6 10 →P= → P = 100 P= 1 + 9999 ⋅ 1 10 4

ii)

10 t  1  9999 e 0,4 t 10 6  lim t   1  9999 e 0,4 10 6  lim t   1  9999 e  10 6 10 6 10 6 10 6 lim P     t  1 1 1  9999 0 1  0 1  9999   1  9999  e  6 lim P  10 lim P 

t 

Cuando t se hace muy grande, P tiende hacia 106 en esta función específica. iii)

Se considera que una ventana apropiada para el trazado de la gráfica puede ser conseguida estableciendo el límite inferior del eje x en 0, y el superior de este mismo eje en 70 (ya que si el valor fuese más grande, las imágenes de t seguirían aproximándose al límite, 1.000.000). El límite inferior del eje y puede definirse en 0 (se sabe que valores de y inferiores a 100 corresponden a antiimágenes de x negativas, pero es conveniente iniciar el eje en el origen para que el valor de la unidad de los ejes no se vea alterado en el software de gráficos). El límite superior correspondiente al eje de las ordenadas podría ser 1.000.000 para esta misma ventana. iv) Resolver Para

P=

10 6 1 + 9999 ⋅ e

− 0,4 t

para

t = (20 ; 50 ;100)

t = 20 :

10 6 10 6 10 6 P= = ≈ ≈ 229.658,5235 1 + 9999 ⋅ e −0, 4 ·20 1 + 9999 ⋅ e −8 4,354290816 Para

t = 50 :

10 6 10 6 10 6 P= = ≈ ≈ 999.979,3909 −0 , 4 ·50 − 20 1 + 9999 ⋅ e 1 + 9999 ⋅ e 1,000020609 Para

t = 100 :

10 6 10 6 10 6 P= = ≈ ≈ 1.000.000 1 + 9999 ⋅ e −0, 4 ·100 1 + 9999 ⋅ e −40 1 + 4,25 ⋅10 −18 Es de notar que los resultados son aproximados. Para

resultado,

t = 100 ,

el

10 6 , es tan cercano a 1.000.000 que la calculadora gráfica 1 + 4,25 ⋅ 10 −18

10 6 = 1.000.000 . realizó una aproximación estableciendo que 1 + 4,25 ⋅10 −18

4.b. Esta función de gráfica sigmoidal representa de una forma más real el crecimiento de una población, debido a que está compuesta por una fase de crecimiento exponencial (que es, hasta cierto punto, la forma como realmente ocurre el crecimiento de poblaciones de bacterias y otros organismos), así como de una “fase de transición” y finalmente de una sección en la que hay una aproximación asintótica. Esto puede observarse mejor con la representación gráfica:

La curva dada por la función es representada con el color azul. Los valores unitarios de los ejes de las abscisas y ordenadas no son relevantes en la explicación, puesto que se relaciona específicamente con la especie en estudio. Podemos observar que la primera fase de la gráfica, “crecimiento exponencial”, se asemeja a los modelos de funciones planteados por

A =100 ⋅ e

 ln 2   t  3 

y

Am = 100 ⋅ e

ln(1, 6 ) t 3

.

La representación de la “fase de transición” parece estar determinada por una función lineal con pendiente de la forma

y = mx + b , debido

a la escasa

cualidad curva que posee (es muy similar a una recta inclinada, como la que está colocada al lado izquierdo de esta fase de la función en color rojo, a modo de comparación). Por último, en la fase asintótica de la gráfica el crecimiento va aminorando y el valor de la pendiente decae a medida que el tiempo transcurre. Así, la representación gráfica se encuentra con un límite superior que nunca puede tocar (la asíntota horizontal), pero se va acercando a él a medida que la variable en el eje x toma valores más altos. Puede decirse que esta fase es una representación del crecimiento exponencial a la inversa. El recorrido de esta función se asemeja más al crecimiento real de

poblaciones que los modelos

A =100 ⋅ e

 ln 2   t  3 

o

Am = 100 ⋅ e

ln(1, 6 ) t 3

.

Nótese la gráfica de la derecha: en la primera fase (los primeros minutos, en caso de las bacterias), el crecimiento de la

población

aumentará

de

forma

exponencial porque los recursos de los que estos dependen para vivir son abundantes. Pero a medida que los individuos se multiplican, dichos recursos comienzan a aminorar en una relación inversa al crecimiento del número de individuos. Luego, en la fase de transición la pendiente de crecimiento se mantiene aproximadamente constante a fin de optimizar los sustratos esenciales para la población, y hacia el final de la fase asintótica puede evidenciarse que el número de individuos se tiende a mantenerse

casi constante para no causar una disrupción del equilibrio indispensable entre el número de individuos y la cantidad de recursos. 4.c. Investigando qué efecto tiene la elección de la constante λ con la gráfica en:

106 P= 1 + 9999 ⋅ e −λ t

.

Definición de las funciones de la gráfica próxima (los colores fueron establecidos por el método tecnológico empleado y no pudieron ser sustituidos por otros que podrían haber sido más propios para la visualización): Azul real:

Verde:

6 10 λ = 0,4 ; P = 1 + 9999 ⋅ e −( +0, 4 ) t

6 6 10 10 λ = −0,4 ; P = = 1 + 9999 ⋅ e −( −0, 4 t ) 1 + 9999 ⋅ e +0, 4 t )

Magenta: λ

=

2;P

106 = 1 + 9999 ⋅ e −2t

Azul claro: λ = 0,2 ; P =

Rojo:

106 1 + 9999 ⋅ e −0, 2 t

106 λ =0;P = 1 + 9999 ⋅ e 0 t La gráfica que contiene estas funciones se encuentra en la página siguiente

en orientación horizontal. En las representaciones de 4.c., 4.d., y 4.e., el eje x denota el tiempo transcurrido; el eje y, el número de individuos.

Las funciones de la gráfica anterior son representantes de cada uno de los casos estudiados de λ. Pudo observarse en la investigación que cuando λ toma valores negativos, la gráfica sufre una reflexión horizontal. Al utilizar el valor

λ = −0,4

en la función

de color verde, ésta se nos presenta como una imagen especular horizontal de la función azul real original (la constante Cuando el valor de

λ

λ

de la gráfica original es igual a +0,4).

asignado a una función es mayor que el valor de dicha

constante en la función original, como en el ejemplo

λ = 2 , la gráfica se vuelve

más inclinada (el crecimiento llega a su límite con mayor rapidez). En contraste, cuando

λ

decrece (como en el caso de

λ = 0,2 ), la pendiente de la gráfica se

hace menor (el crecimiento se desenvuelve con más lentitud, pero eventualmente llega a un límite). Finalmente, puede decirse que cuando

λ =0,

la gráfica

generada es una línea constante horizontal ubicada en una ordenada dada por

k 106 , en este caso = 100 . 1+ a 1 + 9999 En forma global, puede concluirse que la elección de la constante λ tiene repercusiones en los grados de inclinación (pendientes) de las gráficas. La igualación de λ al valor nulo (0) traerá como consecuencia un cambio del tipo de gráfica a una línea constante en y. 4.d. Investigando qué efecto tiene la elección de la constante a con la gráfica en:

106 P= 1 + a ⋅ e −0 , 4 t

.

Definición de las funciones: Azul real:

Verde:

106 a = 9999 ; P = 1 + 9999 ⋅ e −0, 4 t

106 a = 99 ; P = 1 + 99 ⋅ e −0, 4 t

Magenta:

106 a = 999.999 ; P = 1 + 999.999 ⋅ e −0, 4 t

Azul claro:

Rojo:

106 a = −9999 ; P = 1 + (−9999) ⋅ e −0, 4t

106 a = 0;P = 1 + 0 ⋅ e −0 , 4 t En la gráfica de la página siguiente pueden observarse representantes de

cada uno de los casos estudiados de

a.

Cuando se disminuyeron los valores de gráfica verde,

a,

como en el ejemplo de la

a = 99 , la representación se trasladó en el eje x hacia la derecha.

En el caso contrario, como en la gráfica magenta

a = 999.999 ,

la función

representada se trasladó hacia la izquierda. Además, cuando se le asignaron valores negativos a

a

se notó que el tipo de gráfica varió (representando una

función con asíntotas verticales y horizontales): un ejemplo fue la gráfica azul clara. Por último, al igualar

a a 0 en la gráfica roja, se notó que la gráfica pasó a

ser la de una función constante (por ende, horizontal) ubicada en el punto del eje

y = k , en este ejemplo y = 106 = 1.000.000 . De manera general, puede concluirse que la elección de la constante

a

tiene consecuencias en la ubicación horizontal (en el eje x) de la función. La elección de valores negativos o el 0 para gráfica que representa

P.

a

en esta función cambiarán el tipo de

4.e. Investigando qué efecto tiene la elección de la constante a con la gráfica en:

P=

k 1 + 9999 ⋅ e −0, 4 t

.

Definición de las funciones: Azul real:

Verde:

106 k = 1.000.000 ; P = 1 + 9999 ⋅ e −0, 4 t

k = 300.000 ; P =

Magenta:

− 106 k = −1.000.000 ; P = 1 + 9999 ⋅ e −0, 4 t

Azul claro:

Rojo:

300000 1 + 9999 ⋅ e −0, 4t

k = −800.000 ; P =

k =0; P =

− 800000 1 + 9999 ⋅ e −0, 4 t

0 1 + 9999 ⋅ e −0, 4 t

En la página siguiente está una gráfica en la que se contemplan valores representantes de cada caso particular investigado de Cuando se fijó un valor de el ejemplo de la gráfica verde

k

k.

menor que el de la función original, como en

k = 300.000 ,

pudo observarse que el límite

superior de la función (cuando los valores de t tienden a con la expresión el nuevo valor de negativos de

k

+ ∞ ) varió de acuerdo

lim P = k , es decir, que el nuevo límite superior coincidió con

t→ ∞

k . Ocurrió de un modo similar con las asignaciones de valores en las gráficas magenta y azul claro, pero en estos casos el

límite inferior de la función fue el determinado por la igualdad

lim P = k . Al

t→ ∞

determinar

k = 0 , la gráfica (roja) fue trazada como una función lineal constante

en el punto

y = 0.

Concluyendo acerca de la investigación llevada a cabo puede decirse que la variación de la constante modo que la expresión

k

ocasionará la variación del límite de la función de

lim P = k

t → −∞

se cumpla. La escogencia del valor 0 para

k

generará una gráfica lineal constante (horizontal). La pregunta planteada en el instructivo sólo menciona como requisito el estudio de la diferentes valores de determinado que si

k cuando

la constante λ

λ ⊂ R − , esta propiedad de k

En la gráfica siguiente es apreciable que si función P está definido cuando t tiende a

lim P = k

t → −∞

cuando

= 0,4 ,

pero se ha

se ve ligeramente afectada.

λ ⊂ R−

−∞.

el límite superior de la

Es decir, entonces, que

λ ⊂ R − . Algunos ejemplos de esto en la gráfica (dado que

en todos los casos que

P λ ⊂ R − , el tlim → −∞

será siempre igual a

k ):

Definiendo las funciones: Azul real:

Verde:

6 10 k = 1.000.000 ; λ = −0,5 ; P = 1 + 9999 ⋅ e −( −0,5) t

k = 700.000 ; λ = −1 ; P =

Magenta:

700000 1 + 9999 ⋅ e −( −1) t

k = −500.000 ; λ = −2 ; P =

− 500000 1 + 9999 ⋅ e −( −2 ) t

Puede concluirse que: Si

P = k (como fue ejemplificado en la sección 4.c.). λ ⊂ R + ; entonces tlim → +∞

Si

P = k (como se observará en la gráfica siguiente). λ ⊂ R − ; entonces tlim → −∞

4.f. Como se ha demostrado anteriormente que

lim P = k

t → +∞

cuando

λ ⊂ R+

, y se sabe que el límite de la función a determinar cuando t tiende a infinito debe ser

500.000 = lim P = k , se utilizó k = 500.000 . t → +∞ Puesto que se pretende fijar el límite de la función cuando t tiende a infinito,

existe una condición para

λ:

debe pertenecer al conjunto de números reales

positivos. Mientras esta condición sea satisfecha, puede utilizarse cualquier valor

de

λ

sin alterar este límite. Para este caso, se utilizará La constante

a

λ=

1 3

no juega un papel clave en la determinación del límite de la

función. Sin embargo, para poder determinar un valor de t positivo (ya que el tiempo debe ser siempre positivo) a fin de que se cumpla la expresión

P = 1000

es recomendable asignarle valores altos. En esta combinación, se utilizará

a = 10.000 . Así, la función de la forma

P=

500000 1 + 10000 ⋅ e −0,5t

P=

k 1 + a ⋅ e −λ t

estaría dada por

. El gráfico de dicha función se presenta en la página

siguiente a modo de comprobación de que la asíntota horizontal (el igual a 500.000.

lim P ) es

t → +∞

Dado que se ha enunciado que la expresión

P=

500000 1 + 10000 ⋅ e −λ t

debe

ser igual a 1.000, como P es una función sólo existe un valor de t que puede cumplir con dicha condición. Por lo tanto, se procederá a hallar dicho valor de t para el cual

P = 1000 .

Despejando t:

500000

1000 =

1 + 10000 ⋅ e e

1 − t 3

1 − t 3

→ 1 + 10000 ⋅ e

1 − t 3

=

500000 1000

1 500 − 1 → ln e − 3 t  = ln 500 − 1  → − 1 ⋅ t ⋅ ln e = ln ( 0,0499 )   =   10000 3   10000  

t ⋅1 =

ln( 0,0499 ) 3 ln ( 0,0499 ) → t= → t ≈ 8,993202829 −1 −1 3

Comprobando (según la calculadora gráfica):

500000 1 + 10000 ⋅ e

−1 ⋅8 , 993202829 3

= 1000

Entonces, puede afirmarse que una combinación de los valores 500.000, 10.000 y −

1 de las constantes 3

k, a

y

función cuyo límite gráfico cuando t tienda a

λ, ∞

respectivamente, producirá una será 500.000. Cuando la variable

independiente t tome un valor muy aproximado a 8,993202829, la función P se encontrará en la ordenada 1000. Matemáticamente:

P = 1000 ⇔ t = 8,993202829 .

5. El primer modelo de crecimiento poblacional, descrito por la función

A =100 ⋅ e

 ln 2   t  3 

, es más adecuado que otro tipo de gráficas (como por

ejemplo, funciones lineales de la forma

y = mx + b

para representar el

crecimiento de poblaciones. Una posible ventaja que podría presentar sobre los otros modelos sería que es más apegado a la realidad en laboratorios donde hay un dominio exacto e infalible de los recursos necesarios para las bacterias, dado que dichos organismos tengan una bajísima tasa de mortalidad debido a factores que pueden incluir los genéticos. Las desventajas que se observan de este modelo con respecto a los otros es que no toma en consideración factores importantes como la mortalidad de los organismos, o el agotamiento de los recursos de los que éstos dependen para vivir. Además, plantea que el crecimiento se desarrolla hasta el infinito (no tiene límite superior) y esto no puede ocurrir en la realidad. Del segundo modelo de crecimiento de poblaciones, planteado por

Am = 100 ⋅ e

ln(1, 6 ) t 3

, puede decirse que presenta una ventaja en comparación al

primer modelo en que toma en cuenta un porcentaje de mortalidad de las bacterias. Sin embargo, la desventaja que posee en relación al tercer modelo es que no tiene ningún límite establecido y por ende crece infinitamente (lo que es, en la práctica, imposible). Para finalizar, el tercer modelo definido por

P=

k 1 + a ⋅ e −λ t

puede ser

observado como el más adecuado para la representación real de un crecimiento poblacional. Presenta la ventaja de poseer un límite superior que “restringe” los valores de P e imposibilita su expansión hasta el infinito. En la realidad, el crecimiento de las poblaciones se asemeja mucho a esta gráfica debido, principalmente, a que ambas poseen una fase “asintótica”. En el estudio de los incrementos poblacionales, la presencia de este aminoramiento en la velocidad de

crecimiento se debe a que el balance entre el número de individuos y la cantidad de recursos disponibles no puede ser transgredido por la propia naturaleza. De este modo, las poblaciones en crecimiento típicamente presentan una gráfica

similar a aquélla correspondiente a la función

P=

k 1 + a ⋅ e −λ t

. Una ligera

desventaja que se puede observar en este modelo matemático es que no siempre es capaz de determinar con total exactitud el número de individuos reales (aunque sí puede aproximarlo con bastante precisión), ya que el crecimiento de las poblaciones generalmente se da en la naturaleza de forma uniforme, pero no perfecta. Además, en la realidad pueden ocurrir factores externos como fenómenos naturales cambios climáticos que afecten directa o indirectamente al número de individuos de una población, cuya probabilidad no está reflejada en la función de P. Recursos tecnológicos utilizados Para el desarrollo de este trabajo se emplearon los siguientes recursos tecnológicos: 1. Calculadora gráfica CASIO fx-9860G. 2. Funciones para Windows v. 2.7.64 [Software]. Autor: Lagares, Jordi. 3. Microsoft ® Paint 5.1.