Polinomios

POLINOMIOS 1.- Dados los polinomios: P(x) = –3x2 – 4x + 8; Q(x) = 5x2 + 6x –9; R(x) = x3 – 5x2 + x – 8; S(x) = x3 – 6x2 – 9x + 13 Calcula: a) P(x) + Q(x)

b) P(x) – R(x)

c) R(x) + S(x)

d) Q(x) – S(x)

2.- Calcular el valor numérico de los polinomios del ejercicio anterior para x = 0, –1, –3,

1 y –2. 2

3.- Dados los polinomios: P(x) =

3 4 1 5 4 7 x – 2x2 + 6x – ; Q(x) = x3 + 2x2 –6x + ; R(x) = x2 + 6x – 2 3 4 3 4

Calcula: a) P(x) + Q(x) b) P(x) – Q(x)

c) Q(x) – R(x) d) Q(x) – P(x)

e) R(x) + P(x) f) R(x) – P(x)

4.- Dado P(x) = 5x2 – 3x + 1, calcula los siguientes productos e indica su grado. a) P(x) · x b) P(x) · x2

c) P(x) · (–x) d) P(x) · (–x2)

e) P(x) · 3x f) P(x) · (–5x)

5.- Realizar los siguientes productos de polinomios e indicar el grado de los factores y del resultado: a) (3x2 – 7x + 8) · (x – 5) b) (–x2 – 2x + 9) · (2x + 1) 1 1 c) (2x2 – 4x + 16) · ( x + ) 2 2 3 2 2 d) (2x + 4x – 5x + 7) · (x + 4x + 8) e) (x + 8) · (x3 – 1) f) 8x · (–3x2 + x + 11) g) (x3 – 2x2 + x + 6) · (x5 – x3 + 1)

4 x – 7) · (3x2 + 4x – 1) 5 2 5 4 2 i) ( x + x + 6x – 1) · (x + 1) 5 3 j) (–x) · (5x + 6) 4 k) ( x4 + 3x3 – x2 + x) · (x2 + 2x – 1) 5 h) (6x2 +

6.- Efectuar las siguientes divisiones, realizando la comprobación en cada caso: a) b) c) d) e) f)

(x2 – 8x – 24) : (x2 – 3) (x3 – 5x2 + 8x – 9) : (x + 6) (3x4 + 8x3 – 6x2 – 12) : (x3 – 1) (4x4 – 5x2 + 8x – 10) : (x2 + 2) (x5 + 6x3 – 12x + 6) : (x3 – 4) (x6 + 5x4 + 3x2 – 2x) : (x2 – x + 3)

g) h) i) j) k)

(10x3 – 15) : (x + 5) (5x6 – 4x4 – 9x2 – 10) : (x4 + 2) (x3 + 2x2 + x – 1) : (x2 – 1) (x4 + 3x2 – 2x + 5) : (x4 + 1) (x4 + 2x3 + 3x2 + 4x + 5) : (x2 – x + 1)

7.- Calcula, aplicando la regla de Ruffini, el cociente y el resto de las siguientes divisiones:

a) b) c) d) e) f) g) h)

(2x4 + 3x3 – 4x2 + x – 18) : (x – 2) (3x4 – 10x3 – x2 – 20x + 5) : (x – 4) (2x4 – 10x + 8) : (x + 2) (x3 – 3x2 + 2x – 8) : (x – 4) (x4 – 5x3 + 2x2 – 1) : (x – 5) (x7 – 3x6 + 2x + 18) : (x – 1) (x10 – 4x8) : (x + 1) (10x3 – 15) : (x + 5)

i) j) k) l) m) n) o)

(x3 – 3x2 + 2x – 10) : (x – 3) (x6 – 1) : (x – 1) (x3 – x2 + x + 14) : (x + 2) (x5 – 3x3 + 2x) : (x – 4) (x3 – 4x2 + 5x – 8) : (x – 2) (2x5 + 3x2 – 6) : (x + 3) (x4 – 7x3 + 8x2 – 2) : (x – 1)

8.- Escribe, utilizando el Teorema del resto, el valor de m para que cada una de la siguientes divisiones sea exacta: a) b) c) d) e) f)

(x3 + 8x2 + 4x + m) : (x + 4) (2x3 – 10x2 – 5x + m) : (x –5) (2x4 + 3x3 – 4x2 – m) : (x – 2) (12x2 – 3x + m) : (x – 8) (x2 + 4x – m) : (x + 3) (x3 – 5x2 + m) : (x – 1)

g) h) i) j) k)

(5x4 + 2x2 + mx + 1) : (x – 3) (x5 – 4x3 + mx2 – 10) : (x + 1) (2x3 + 9x2 + 7x – m) : (x + 2) (x4 + x3 – 2x2 – mx + 17) : (x + 1) () : (x – 3)

9.- Escribe las posibles raíces enteras de cada polinomio: a) b) c) d)

x4 – 3x3 – 2x – 16 x5 + 4x2 – x + 12 x8 – 4x6 + 5x3 – 20 x6 + 3x5 – 2x4 + x + 18

e) f) g) h)

x4 – 3x3 + 2x2 + 7x – 3 3x4 + 2x2 – 2x + 2 x5 + 3x4 – 4x – 1 3x4 – 11x3 + 14x2 – mx + 20

10.- Factoriza los siguientes polinomios: a) b) c) d) e) f) g) h)

x2 – 4x + 4 x2 – 4 x2 – 25 4x2 + 12x + 9 9x2 – 6x + 1 16x2 + 16x + 4 x3 – 16x x6 – x2

i) j) k) l) m) n) o) p)

11.- Factoriza los siguientes polinomios: a) x3 – 7x2 + 7x + 15 g) b) 5x2 + 20x + 20 h) c) x4 – x3 + x2 – x i) 4 2 d) 36x + 12x + 1 j) e) x3 + 8 k) f) x3 – x2 – 8x + 12 l)

2x3 – 8x x3 + 6x2 + 9x x3 – 10x2 + 25x x4 – 6x3 + 4x2 x3 – x2 – 4x + 4 x3 – 2x2 – x + 2 x3 – 6x2 + 6x – 6 x4 – x3 – 9x2 + 9x

q) r) s) t) u) v) w)

x4 – 5x3 – x2 + 5x x4 + 2x3 – 5x2 – 6x x3 + 2x2 – x – 2 2x3 + 20x2 + 50x 3x3 + 18x2 + 27 4x3 + 32x2 + 64x x3 – 7x2 – 6x – 8

x3 + 2x2 – 5x – 6 x4 – 4x3 – 7x2 + 10x 8x3 – 8 x3 – 2x2 – x + 2 3x2 – 12x – 15 5x2 + 5x – 30

m) n) o) p) q) r)

x2 – 9 8x3 + 2x2 + 6x + 4 2x4 – 5x3 – 5x – 2 2x2 – 7x + 3 6x3 + 4x – 2 x5 – 16x

12.- Calcula el M.C.D. y el m.c.m. de los siguientes polinomios: a) b) c) d) e) f) g)

P(x) = x2 (x – 3) ; Q(x) = x (x – 3) ; R(x) = x (x – 3) (x + 3) P(x) = (x + 2)2 ; Q(x) = (x + 2)3 ; R(x) = x + 2 P(x) = x2 – 1 ; Q(x) = (x –1)2 P(x) = (x + 2) ; Q(x) = (x – 2)3 ; R(x) = x P(x) = x2 – 4x ; Q(x) = x3 + 5x2 + 6x P(x) = x3 + 6x2 + 11x + 6 ; Q(x) = x3 + 3x2 – 4 P(x) = x3 – 2x2 – 7x + 4 ; Q(x) = x3 + 4x2 – x – 4

h) P(x) = x3 – 4x2 + x + 6 ; Q(x) = x2 – x – 2 i) P(x) = 3x4 – 3x3 ; Q(x) = 12x3 + 12x2 ; R(x) = 18x3 – 18x j) P(x) = x3 – 8x2 + 21x – 18 ; Q(x) = x3 + x2 – 6x ; R(x) = x3 – 8 13.- Simplificar las siguientes fracciones algebraicas: a) b) c) d) e)

x 4 + x 3 − 4 x 2 − 4x x 4 − 5x2 + 4 2 x 3 − 3x + 2 x3 − x2 − x x 4 − 2x3 − 2x − 1 x3 + 2x 2 + x x3 − 7x + 6 x 3 + 2x 2 − 5x − 6 x3 − x2 − 2x x 3 − 6 x 2 + 11x − 6

x3 − 8 3x2 − 5x − 2 9x2 −1 g) 15 x + 5 x3 −1 h) 2 x −1 4 x 2 + 12 x + 9 i) 4x 2 − 9 x +1 j) x 2 −1 f)

14.- En las siguientes sumas y resta, opera y simplifica:

1 1 4 + + 2 x+2 x−2 x −4 3 1 + b) x− 2 x+2 x +1 x2 c) − x 2 −1 x + 1 a)

15.- Opera y simplifica:

1 1 4  1 3 a)  3 − 2 +  ( x + x ) x x x 1 + x + 1 − x   3 − x − x b)     1 − x 1 + x   4x 4  x x   : x −  c)  x +   x − 1  x − 1 

2x 3x + 1 1 − x + − x − 1 x − 1 x2 − 1 4 x x+1 + + e) 2 1+ x 1+ x x −1 3 1 x + 10 + − 2 f) 2x − 4 x − 2 2x − 8 d)