OBJETIVOS Al finalizar esta presentación el estudiante comprenderá y realizará: Conceptos generales de los polinomios Término, Términos semejantes, Factor, Coeficiente, Monomio, Binomio, Trinomio, Grado del Monomio, Grado del Polinomio, Lineal, Cuadrático, Cúbico, Constante, Decreciente, Creciente
Evaluar polinomios Suma y Resta de Polinomios
CONCEPTO POLINOMIO TÉRMINO: Una expresión algebraica que es un numeral o el producto o cociente de un numeral y una o más variables
5 3x 2 xy t m+ n
4( x − 5 y )
FACTOR: Numeral o expresión en un término. El término 2xy , tiene como factores al 2, x, y, 2x, 2y, xy
CONCEPTO POLINOMIO COEFICIENTE NUMÉRICO: Factor numérico de un término. Se le puede llamar simplemente coeficiente. En 3x, 3 es el coeficiente. MONOMIO: Es un término que es un numeral, o variable o el producto de un numeral y una o más variable. Algunos ejemplos son: 8, x, 2a2y, – 9ab.
CONCEPTO POLINOMIO POLINOMIO: Es un monomio o la suma o resta de monomios.
5x + 2 3x 2 − x + 6 2ab + 3b3 − 4b + 8a 2
Importante: El polinomio no puede tener exponentes negativos ni fraccionarios, La variable no puede estar en el denominado ni en el radicando. Los siguientes son expresiones algebraicas, no polinomios: 5 x
+2
x−2
3x
−2
+2
1 2
x +7
CLASIFICACIÓN
DE LOS
POLINOMIOS
Según la cantidad de términos: MONOMIO BINOMIO TRINOMIO Polinomio de Polinomio de Polinomio de un término dos términos tres términos
2 5a 2
a b
2x − 3 4a + b 2
a −1
2
x + 2x − 3 2
a − 6a − 8 2
3x + y − 1
Si el polinomio tiene más de tres términos no tiene nombre en específico simplemente se llama polinomio.
CLASIFICACIÓN
DE LOS
POLINOMIOS
Otra forma de clasificarlo es por su grado. Pero primero definiremos lo que es grado de un monomio y de un polinomio:
GRADO DE UN MONOMIO: Suma de los exponentes de las variableas en ese término. Ejemplos: 3x5 es de grado 5 4x2y3 es de grado 5 ab3 es de grado 4
CLASIFICACIÓN
DE LOS
POLINOMIOS
GRADO DE UN POLINOMIO: Es el mayor de los grados de sus monomios. Ejemplos: x2 – 6x + 3 Grado del monomio
2
1
Es de grado 2
0
a3b – 2ab + b2 Grado del monomio
4
2
2
Es de grado 4
ORDEN DE LOS POLINOMIOS Los polinomios se pueden expresar en un orden GRADO DECRECIENTE
GRADO CRECIENTE
(DESCENDENTE)
(ASCENDENTE)
Se ordena del grado Se ordena del grado mayor al grado menor menor al grado mayor
3
2
2
2 x −6 x − x + 5 5 − x − 6 x + 2 x 3
2
1
0
Grado de cada término
0
1
2
3
Grado de cada término
3
VÍDEOS Los siguientes vídeos te ayudarán a aclarar algunos de los conceptos anteriores: Polinomio 01: Leyes de signos Polinomio 02: Definición de términos Polinomio 03: Monomio y Polinomio
Toca los enlaces si estás conectado a la Internet para que veas los Vídeos
¿CUÁLES SON POLINOMIOS? Indica el número de términos
1) 3x 2)
2
1 x
7) x 1 3
3) 2 x + 5 4) 5)
6) 4
1 ( 4a + 8b) 2 a −b 7
−
3
−x
−
3
−4
2
2
8) 6a b − 4ab + ab 9) 4a + 8 10) 9
CLASIFICA DE ACUERDO AL NÚMERO DE TÉRMINOS 2
1) 4a + 1
2
4) 2a b − a bc 2
2) 3
5) x + y + x − 2
3 2
2
6) x + y + x
3) x y z
ORDENA EN GRADO DECRECIENTE 2
3
1) x − 4 + 8 x − 4 x 3) x + 4 2
2) a + 3a − 7
2
4) 5 − 3a + 7 a
HALLA EL GRADO DE CADA POLINOMIO 2
5) 3a 5
1) 4a + 1 2) 3a 3)
−1 4
2 4
6) 3 a + a x
3
7) x 2 y + xy + x 2 y 2
4) 4 a 3 − 2 a + 5
8) 5
ORDENA EN GRADO CRECIENTE 2
3
1) x − 4 + 8 x − 4 x 4) x + 4 2
2
5) 5 − 3a + 7 a
2) a + 3a − 7 2
2
2 2
3) 6 x y − 5 xy − 4 y
; de x
CLASIFICA DE ACUERDO AL GRADO DEL POLINOMIO 2
1) a − 6a
4) 6 x + 5
2
2) 2 − x + 4 x 5
3) x + 6 x
2
5) x 6) 7
3
EVALUAR POLINOMIOS Como un polinomio es una expresión algebraica podemos hallar el número representado en él. Esto se hace sustituyendo el valor en todas las variable y simplificando la expresión numérica.
Ejemplo: − Si x = 2
3x − 6 −
−
3( 2) + 6
No olvides convertir la resta a suma antes de resolver.
−
−
6+ 6 −
12
EVALÚA LOS SIGUIENTES POLINOMIOS 1) 2 x + 5 ; x = 4 −
2) 5a − 12 ; a = 1 2
3) x + 6 x − 3 ; x = 3 −
2
4) 2 x − 3 x − 3 ; x = 3 5) x − 6 x + 4 ; x = 0.2 2
6) 9c − 6c + 12 ; c 2
7) 2 xy − x y − y
2
− 1 = 3
; x=5
−
y= 2
SUMA DE POLINOMIOS Para sumar polinomios usamos las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva para simplificar los términos semejantes. CONMUTATIVA DE LA SUMA También llamada propiedad de orden de la suma. Significa que los sumandos se pueden sumar en cualquier orden y que la suma siempre es la misma. ASOCIATIVA DE LA SUMA Esta propiedad significa que el resultado será igual no importa cómo los agrupemos.
1+ 3 = 3 +1 4=4
(1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3)
DISTRIBUTIVA Establece que multiplicar una suma por un 4 número da el mismo resultado que multiplicar cada sumando por el número y después sumar todos los productos.
3 + 3 = 1+ 5 6=6 (2 + 3) = 4 · 2 + 4 · 3 4 (5) = 8 + 12 20 = 20
SUMA DE POLINOMIOS Recuerden leyes de los signos para la suma: SIGNOS IGUALES SE SUMAN Y ESCRIBES EL MISMO SIGNO
SIGNOS DIFERENTES SE RESTAN Y ESCRIBES EL SIGNO QUE ACOMPAÑA AL NÚMERO CON VALOR ABSOLUTO MAYOR
SUMA DE POLINOMIOS TÉRMINOS SEMEJANTES: Términos que poseen la misma variable y exponente Ejemplos de términos semejantes
2x
3
; 6x
3
ab ; − ab 2 3
4x y
2 3
; 9x y
3 3 Explica por qué estos 2x ; 6 y NO son términos 2 3 3 2 semejantes 4 x y ; 9 x y
SUMA DE POLINOMIOS Es sumar los coeficientes de los términos semejantes. Ejemplo de suma: 3
3
2
(3 x − 2 x) + (6 x − 2 x + 8) 3
−
−
3
2
3x + 2 x + 6 x + 2 x + 8 3
3
−
2
−
3x + 6 x + 2 x + 2 x + 8 3
−
2
−
9x + 2x + 2x + 8 (El resultado debe estar en orden descendente)
RESTA DE POLINOMIOS Para restar polinomios cambiamos la operación de resta a suma y le buscamos el opuesto al sustraendo (número que esté próximo a su derecha). Luego de ésto hacemos lo mismo que en la suma de polinomios.
Ejemplo de resta: 2 2 ( x − 6 x − 3) − ( x + 8 x − 5) 2
−
−
−
−
2
( x + 6 x + 3) + ( x + 8 x + 5) 2
−
2
−
−
−
2
−
x + 6 x + 3 + x + 8x + 5 2
−
−
−
x + x + 6 x + 8x + 3 + 5 −
14 x + 2
VÍDEOS
Toca los enlaces si estás conectado a la Internet para que veas los Vídeos
Los siguientes vídeos te ayudarán a aclarar algunos de los conceptos anteriores: Polinomio 04: Términos semejantes Polinomio 05: Reducción Términos Semejantes 1 Polinomio 06: Reducción Términos Semejantes 2 Polinomio 07: Reducción Términos Semejantes 3 Polinomio 08: Reducción Términos Semejantes 4 Polinomio 09: Reducción Términos Semejantes 5 Polinomio 10: Suma de Polinomios 1 Polinomio 11: Suma de Polinomios 2 Polinomio 12: Resta de Polinomios 1 Polinomio 13: Resta de Polinomios 2
EFECTÚA LAS OPERACIONES Y SIMPLIFICA Recuerda que debes escribir el resultado en forma decreciente
1) (4 x + 3) + (2 x + 1) 2) (4 x − 2 y ) + (2 x − 3 y ) −
3) (2 x − 5b) − ( 4 x − 8 y ) 2
2
4) ( x − 6 x − 8) + ( x − 2 x + 3) 2
2
5) 2a − (3a + 2) 6) ( 12 x 2 + 53 x − 14 ) − ( 12 x 2 − 13 x + 34 )
REFERENCIAS ÁLGEBRA PRIMER CURSO. Juan Sánchez Reyes. Segunda Edición, Santillana VIDEOS:
LEYES DE LOS SIGNOS http://www.youtube.com/ watch?v=qHdUDPqyrxI&feature=channel_page TÉRMINOS SEMEJANTES. http://www.youtube.com/watch?v=pMQwRgsJ8IQ&feature=channel_page MONOMIO Y POLINOMIO http://www.youtube.com/ watch?v=7pTvnnA7CCo&feature=channel_page TÉRMINOS SEMEJANTES http://www.youtube.com/ watch?v=be9g9m4-9pU&feature=channel_page
REFERENCIAS VIDEOS (Cont.):
REDUCCIÓN DE TÉRMINOS 1 http://www.youtube.com/watch?v=xhCHtNMG4w8&feature=channel_pag REDUCCIÓN DE TÉRMINOS 2 http://www.youtube.com/ watch?v=qdYzOaCJggs&feature=channel_page REDUCCIÓN DE TÉRMINOS 3 http://www.youtube.com/ watch?v=bUz4WeyPfl4&feature=channel_page REDUCCIÓN DE TÉRMINOS 4 http://www.youtube.com/ watch?v=bK88X9LKpGE&feature=channel_page REDUCCIÓN DE TÉRMINOS 5 http://www.youtube.com/ watch?v=MIGZ2MZPDvE&feature=channel_page
REFERENCIAS VIDEOS (Cont.):
SUMA DE POLINOMIOS 1 http://www.youtube.com/watch?v=oSTi6Mxqj8M&feature=cha SUMA DE POLINOMIOS 2 http://www.youtube.com/watch?v=fhMBrzn7VTE&feature=ch RESTA DE POLINOMIOS 1 http:// www.youtube.com/watch?v=V3j9rkFYNfY& feature=channel_page RESTA DE POLINOMIOS 2 http:// www.youtube.com/watch?v=cYa90WpGahQ& feature=channel_page
Para otras presentaciones y temas
Visite nuestro Blog http://matematicasenaccion2008.blogspot.com/ CURSO: MATEMÁTICAS EN ACCIÓN 10mo Grado Juan A. Pomales Reyes Esc. Dr. Juan J. Maunez Pimentel Distrito Escolar de Naguabo