Polin_mat4.pdf

MAT 4

materi78.co.nr

Sistem Persamaan Polinom A.

b. Metode Horner

PENDAHULUAN Sistem persamaan polinom (suku banyak) adalah sistem persamaan dengan pangkat tertinggi >2. Bentuk umum polinom:

2

C.

P(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-1 + … + a1x + ao

1

-3

2

●

10

4

8

18

30 +

5

2

4

9

15

32

KESAMAAN POLINOM

Dua buah sistem persamaan polinom dikatakan memiliki kesamaan jika keduanya:

2) Variabel (x), adalah bilangan yang dimisalkan dengan huruf, misalnya x.

1) Memiliki derajat yang sama. 2) Memiliki variabel dan koefisien seletak yang sama antara polinom ruas kiri dengan kanan.

3) Koefisien (a), adalah bilangan yang mengikuti variabel.

Pada kesamaan polinom tidak berlaku pindah ruas atau kali silang.

SUBSTITUSI POLINOM Substitusi polinom dilakukan mendapatkan nilai polinom.

untuk

Contoh: Diketahui x4 + px2 + qx – 6 ≡ (x2 – 2)(x2 + r). Tentukan nilai p, q dan r!

Substitusi polinom P(x) dengan x = k dapat dilakukan dengan:

Jawab:

1) Metode substitusi normal Mengganti seluruh variabel persamaan polinom dengan k.

x

Jabarkan terlebih dahulu ruas kanan,

sistem

x4 + px2 + qx – 6 ≡ x4 + rx2 – 2x2 – 2r x4 + px2 + qx – 6 ≡ x4 + (r – 2)x2 – 2r

2) Metode Horner

Sesuai konsep kesamaan maka,

Bentuk bagan Horner untuk substitusi:

a.

0

f(x) ≡ g(x)

1) Derajat (n), adalah pangkat tertinggi dalam suatu suku banyak.

k

-8

Kesamaan polinom dilambangkan dengan:

Istilah pada polinom:

B.

5

xn

xn-1

xn-2

…

x1

x0

an

an-1

an-2

…

a1

ao

●

+

an

= P(k)

Letakkan seluruh koefisien dari derajat tertinggi sampai nol di bagian atas.

D.

p=r–2

r=3

q=0

p=3–2

-6 = -2r

p=1

PEMBAGIAN POLINOM, TEOREMA SISA DAN TEOREMA FAKTOR Konsep pembagian polinom: 19

b. Letakkan substitusi di samping kiri. c.

5

Hasil akhir adalah nilai polinom.

yg dibagi

Aturan penggunaan metode Horner: 1

dst.

● 2

a.

pembagi

3

+ = P(k)

4

Perkalian dengan penjumlahan ke bawah.

substitusi,

b. Ulang tahap di atas sampai mencapai nilai P(k). Contoh: Diketahui f(x) = 5x5 – 8x4 + x2 – 3x + 2. Tentukan nilai dari f(2)! Jawab: a.

Metode substitusi normal

f(2) = 5(2)5 – 8(2)4 + (2)2 – 3(2) + 2 = 32

=3+

4 5

= hasil bagi +

P(x) Q(x)

= H(x) +

sisa pembagi

S(x) Q(x)

P(x) = H(x).Q(x) + S(x) 1) Derajat hasil bagi [H(x)] adalah derajat yang dibagi [P(x)] dikurang derajat pembagi [Q(x)]. 2) Derajat sisa [S(x)] adalah derajat pembagi [Q(x)] dikurang satu. Pembagian polinom dapat dilakukan dengan: 1) Metode pembagian biasa/susun Membagi bilangan seperti biasa dengan kurung bagi.

SISTEM PERSAMAAN POLINOM

1

MAT 4

materi78.co.nr 2) Metode Horner

Aturan penggunaan:

Aturan penggunaan: a.

Letakkan seluruh koefisien dari derajat tertinggi sampai nol di bagian atas.

● ●

b. Letakkan faktor pengali di samping kiri. c.

Baris bawah bagian kiri adalah hasil bagi, sedangkan bagian kanan adalah sisa. hasil bagi =

5

1

kolom bagian kiri

●

9

2

6

●

3

●

●

●

● ●

7 8

+

4

Contoh: Tentukan hasil bagi 4x5 + 3x3 – 6x2 – 5x + 1 bila dibagi dengan 2x – 1!

koef derajat pembagi

Jawab: sisa = kolom bagian kanan

a.

Metode pembagian biasa/susun 2x4 + x3 + 2x2 – 2x – 7/2

Bagan Horner tingkat satu 2x – 1

Pembagi ax + b xn

xn-1

an b

- /a

xn-2

an-1

x1

…

an-2

…

a1

x0

4x5 – 2x4

ao

2x4 + 3x3 – 6x2 – 5x + 1

hasil xn-2

x0

…

3

4x3 – 2x2

sisa

– 4x – 5x + 1 – 4x2 + 2x

Aturan penggunaan:

7

/2 -

+

4

2

5

– /2 4

Hasil bagi = 2x + x + 2x – 2x – 7/2

Bagan Horner tingkat dua xn

xn-1 xn-2

…

x2

x1

x0

an

an-1 an-2

…

a2

a1

ao

-c/a

●

Pembagi ax + b 4 1

/2

+

● x0

…

2

b. Metode Horner

●

xn-1 xn-2 xn-3

3

Sisa = – 5/2

Pembagi ax2 + bx + c

●

-

– 7x + 1

3

●

-b/a

-

2

Sisa = c 1

2

4x – 6x – 5x + 1

c

xn-3

-

2x4 – x3

+

● xn-1

4x5 + 3x3 – 6x2 – 5x + 1

m

n

0

3

-6

-5

1 7

●

2

1

2

-2

- /2 +

4

2

4

-4

-7

- 5/2

4x4 + 2x3 + 4x2 – 4x – 7

Sisa = mx + n

Hasil bagi =

Aturan penggunaan:

Hasil bagi = 2x4 + x3 + 2x2 – 2x – 7/2

1

4

●

3

●

●

2

Sisa = – 5/2 ●

5 2

Teorema sisa menjelaskan bahwa: +

6

1) Derajat sisa adalah derajat pembagi dikurang satu. 2) Jika P(x) dibagi q(x) bersisa, dan k adalah nilai x pembuat q(x) menjadi nol, maka P(k) = sisa.

Bagan Horner tingkat tiga Pembagi ax3 + bx2 + cx + d

b

xn-1 xn-2 …

x3

x2

x1

x0

a.

Jika P(x) : (ax + b), maka sisanya P(– ).

an an-1 an-2 …

a3

a2

a1

ao

b.

●

●

Jika P(x) : (ax2 + bx + c), maka sisanya adalah P(x1) dan P(x2).

xn -b/a ● -c/a ●

●

-d/a ●

●

● +

● hasil

n-1

x

n-2

x

n-3

x

p …

0

x

q

r

a

Teorema sisa dapat digunakan untuk menentukan sisa pembagian polinom tanpa mengetahui polinom dan/atau hasil baginya.

sisa

2

Sisa = px + qx + r

SISTEM PERSAMAAN POLINOM

2

MAT 4

materi78.co.nr Contoh: Suku banyak g(x) jika dibagi (x – 1) bersisa 6, sedangkan apabila dibagi (x – 2) sisanya 3. Tentukan sisanya apabila f(x) dibagi (x2 – 3x + 2)! Jawab:

Faktor/akar-akar polinom menggunakan teorema faktor.

dapat

dicari

Sifat-sifat akar-akar polinom: 1) Persamaan kuadrat Bentuk umum:

f(2) = 3

ax2 + bx + c

f(1) = 6

dengan akar-akar x1 dan x2,

f(x) : (x2 – 3x + 2), sisa = mx + n, maka f(2) = 2m + n = 3 f(1) =

x 1 + x2 = –

m+n =6 – m = -3

n=9

maka, f(x) bila dibagi (x2 – 3x + 2) bersisa –3x + 9. Teorema faktor menjelaskan bahwa: 1) Jika P(x) habis dibagi q(x) atau mempunyai sisa nol, maka q(x) adalah faktor dari P(x). 2) Jika P(x) = f(x).g(x) maka f(x) dan g(x) adalah faktor dari P(x). Teorema faktor dapat digunakan untuk menentukan faktor lain atau akar-akar rasional dari sistem persamaan polinom menggunakan metode Horner. Contoh: Jika salah satu akar dari f(x) = x4 + mx3 – 6x2 + 7x – 6 adalah 2, tentukan akar linear lainnya!

b

x1.x2 =

a

c a

2) Persamaan pangkat tiga Bentuk umum: ax3 + bx2 + cx + d dengan akar-akar x1, x2 dan x3, x 1 + x2 + x3 = –

b a

x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 =

c a

d

x1.x2.x3 = –

a

3) Persamaan pangkat empat Bentuk umum: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e

Jawab: Pertama-tama, cari terlebih dahulu nilai m dengan substitusi polinom f(2) = 0, karena 2 adalah akar/faktor dari f(x). f(2) = 0 4

3

dengan akar-akar x1, x2, x3 dan x4, x 1 + x2 + x3 + x4 = –

b a

2

0 = (2) + m(2) – 6(2) + 7(2) – 6 0 = 8m

x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 =

m=0 Kemudian gunakan metode Horner dan cara tebak untuk menentukan faktor/akar lain. 2 -3

1

0

-6

7

-6

●

2

4

-4

6

1

2

-2

3

0

●

-3

3

-3 +

1

-1

1

0

+

x1.x2.x3 + x1.x2.x4 + x1.x3.x4 + x2.x3.x4 = –

x1.x2.x3.x4 =

e a

Faktor f(x) antara lain adalah (x – 2), (x + 3), dan (x2 – x + 1). Jadi, faktor/akar linear selain 2 adalah -3.

E.

SISTEM PERSAMAAN POLINOM Sistem persamaan polinom (suku banyak) mempunyai faktor/akar linear atau himpunan penyelesaian seperti persamaan kuadrat atau linear.

SISTEM PERSAMAAN POLINOM

3

c a

d a