Polígonos.docx

POLÍGONOS NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN GENERAL BÁSICA

Duque S. Paola J. Encalada S. Dayana M. Navarrete V. Denisse S. 1

ÍNDICE UNIDAD 1: Definición y elementos del Polígono 1. 2. 3. 4.

Definiciones básicas del polígono Elementos del polígono Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos

UNIDAD 2: Clasificaciones de los Polígonos 1. Clasificación según el número de lados 2. Clasificación según sus ángulos y según la longitud relativa de sus lados y la amplitud relativa de sus ángulos. 3. Ejercicios resueltos 4. Ejercicios propuestos

UNIDAD 3: Propiedades de los Polígonos 1. 2. 3. 4.

Cálculo del número de diagonales de un polígono Cálculo del número de ángulos de un polígono Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos

UNIDAD 4: Áreas y perímetros de los Polígonos. 1. 2. 3. 4.

Área y perímetro de un polígono regular Área y perímetro de un polígono irregular Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos

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UNIDAD 1 Definiciones básicas y elementos

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UNIDAD 1 DEFINICIONES BÁSICAS 1.1 LÍNEA POLIGONAL: Está formada por segmentos de recta que se unen en sus extremos y se extienden en diferentes dimensiones. Tenemos dos tipos:

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1.2 POLÍGONO: Región del plano limitada por una línea poligonal cerrada llamada contorno o perímetro. Ejemplo:

¿Sabías qué? La palabra polígono proviene de poli=muchos y gono=ángulos, esto es muchos ángulos.

Son varios segmentos de recta unidos en un plano.

RESUMEN:

Línea Poligonal

Abierta

Cerrada

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1.3 ELEMENTOS DE UN POLÍGONO Lados: segmentos de recta que forman la poligonal cerrada.

Ilustración 1 Elaborado por Dayana Encalada

Vértice: punto de unión de dos lados consecutivos.

Ilustración 2 Elaborado por Dayana Encalada

Diagonal: segmento de recta que une dos vértices no consecutivos.

Ilustración 3 Elaborado por Dayana Encalada

Ángulo interior: abertura en la región interna de un polígono que se forma por la unión de dos lados consecutivos en un vértice.

Ilustración 4 Elaborado por Dayana Encalada

Adyacente: Que se encuentra próximo a una cosa.

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Ángulo exterior: ángulo adyacente al ángulo interior formado por un lado y la prolongación de su lado contiguo sobre el vértice que los une.

Ilustración 5 Elaborado por Dayana Encalada

Radio: elemento del polígono regular que une el centro del polígono con cualquiera de sus vértices.

Ilustración 6 Elaborado por Dayana Encalada

Angulo central: elemento del polígono regular cuyos lados son dos radios que llegan a los extremos de un mismo lado del polígono.

Ilustración 7 Elaborado por Dayana Encalada Contiguo: Que se encuentra junto a otra cosa

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Apotema: elemento del polígono regular. Segmento de recta que parte del centro del polígono y llega perpendicularmente al punto medio de cualquier lado.

Ilustración 8 Elaborado por Dayana Encalada

Consecutivo: Que sigue o sucede sin interrupción a otra cosa. Prolongación: Extender o alargar.

Elementos de un poíigono

Lados Vértice Diagonal

Radio Apotema

Central

Ángulos

Interior Exterior

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1.4 Ejercicios Resueltos 1. Señala cuál de las siguientes líneas son poligonales abiertas.

2. Identifica los polígonos.

1.5 Ejercicios Propuestos 1. Identifica las partes del polígono y escribe en el lugar señalado.

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UNIDAD 2 Clasificación de los polígonos

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UNIDAD 2 CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS 2.1 Según el número de lados

A los polígonos se los puede nombrar refiriéndose al número de lados.

Ilustración 9 Grafico http://www.mvblog.cl/tag/poligon 1

Nota: Los polígonos de número de lados mayor que 20, se nombran por el número de lados que tengan. De esta forma un polígono de 25 lados, se llama polígono de veinte y cinco lados.

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2.2 Según sus ángulos y según la longitud relativa de sus lados y la amplitud relativa de sus ángulos. 2.2.1 Según sus ángulos: Polígono convexo: Es aquel en que todos sus ángulos miden menos que 180°, es decir tiene todos sus ángulos convexos.

Ilustración 10 Elaborado por Duque Paola

Polígono cóncavo: Es aquel que tiene al menos un ángulo interior mayor a 180°, es decir si alguno de sus ángulos es cóncavo.

Ilustración 11 Elaborado por Duque Paola

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Recuerda, un Angulo cóncavo es aquel que mide más de 180° y un ángulo convexo es el que mide menos de 180°.

2.2.2 Según la longitud relativa de sus lados. Equiángulo: el polígono que tiene todos sus ángulos interiores congruentes (ángulos de igual amplitud).

Ilustración 12 Elaborado por Duque Paola

Equilátero: es el polígono que tiene todos sus lados congruentes (lados de igual longitud).

Ilustración 13 Elaborado por Duque Paola

2.2.2 Según la amplitud relativa de sus ángulos.

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Regular: es aquel que a la vez es equilátero y equiángulo (lados y ángulos iguales).

Ilustración 14 Elaborado por Duque Paola

Irregular: Es el polígono en el que todos sus lados y ángulos no son iguales, es decir no es regular

Ilustración 15 Elaborado por Duque Paola

Amplitud: Es la distancia medida del espacio de separación entre los dos lados del ángulo. Congruencia: Dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño, aunque su posición u orientación sean distintas.

Prolongación: Extender o alargar.

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2.3 Ejercicios Resueltos 1. Encuentre ejemplos de polígonos convexo en la vida real:

2. ¿Un polígono irregular puede ser equilátero? Justifique su respuesta: No, Un polígono irregular es aquel que tiene sus lados y ángulos diferentes por lo cual jamás va a poder ser equilátero, es decir es decir que tiene sus lados de igual longitud. 3. Indique a que clases pertenece el siguiente polígono según los tres criterios:

- Dodecágono (12 lados) - Cóncavo - Irregular

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4. Grafique un Heptágono cóncavo y un Eneágono regular:

2.4 Ejercicios Propuestos 1. Los polígonos se clasifican según su forma y número de lados. ¿En cuál de las siguientes clasificaciones colocas los polígonos siguientes? El polígono A es irregular y

.

El polígono B es

y convexo.

El polígono C es

y convexo.

2. ¿Existe un polígono regular cóncavo? Justifique su respuesta. ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………...........

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3. Un polígono tiene siete ángulos ¿Cuántos vértices y cuantos lados tiene? ¿Qué nombre recibe? ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………… 1. De los siguientes polígonos que se le presentan a continuación: encierre en un círculo el polígono regular octogonal y en un cuadrado el polígono irregular.

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UNIDAD 3 Propiedades

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UNIDAD 3 PROPIEDADES 3.1 Cálculo del número de diagonales de un polígono. A partir del número de lados de un polígono, podemos calcular el número de diagonales y la suma de los ángulos de dicho polígono. Ten en cuenta que el número de lados es igual al número de vértices e igual al número de ángulos interiores del polígono.

En la siguiente tabla se presenta algunos ejemplos del número de diagonales según el polígono:

NOMBRE

Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono

NÚMERO DE NÚMERO DE DIAGONALES DIAGONALES DE UN MISMO VÉRTICE 0 0 2 1 5 2 9 3

NÚMERO DE VÉRTICES

3 4 5 6

Ilustración 16 Elaborado por Dayana Encalada

1. Para calcular el número de diagonales que parten de un mismo vértice se tiene la siguiente fórmula: Número de diagonales que parten de un mismo vértice = N – 3; N: Número de vértices del polígono Ejemplo: 𝑛𝑑𝑣 = 5 − 3; 𝑛𝑑𝑣 = 2

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2. Para calcular el número de diagonales del polígono se tiene la siguiente formula: Número de diagonales =

𝒏 (𝒏−𝟑) 𝟐

; n: número de lados.

Ejemplo:

𝑛𝑑 =

5(5 − 3) 10 ; 𝑛𝑑 = ; 𝑛𝑑 = 5 2 2

3.2 Cálculo del número de ángulos de un polígono. 1. La suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono es: Ejemplo:

∑ ∡𝑖𝑛𝑡 = 180°(𝑛 − 2); n= número de lados;

∑ ∡𝑖𝑛𝑡 = 180°(5 − 2); ∑ ∡𝑖𝑛𝑡 = 540°; ∑ ∡𝑖𝑛𝑡 = 1080 + 1080 + 1080 + 1080 + 1080 Σ∡𝑖𝑛𝑡 = 540°

2. En todo polígono convexo, las medidas de los ángulos exteriores, uno por vértice suman 360. Ejemplo: ∑ ∡𝑒𝑥𝑡 = 360°

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Σ∡ext = 720 + 720 + 720 + 720 +720 ; Σ∡ext = 3600

3. La medida de un ángulo central, en un polígono regular es:

∡𝑐𝑒𝑛 =

360° ; 𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑛

∡𝑐𝑒𝑛 =

3600 ; ∡𝑐𝑒𝑛 = 72° 5

3. En polígonos equiángulos, cada ángulo interior mide: Ejemplo:

∡𝑖𝑛𝑡 =

180°(𝑛 − 2) ; 𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑛

∡𝑖𝑛𝑡 =

180°(5 − 2) 540° ; ∡𝑖𝑛𝑡 = ; ∡𝑖𝑛𝑡 = 108° 5 5

4. En polígonos equiángulos, cada ángulo exterior mide:

∡𝑖𝑛𝑡 =

360° ; 𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑛

∡𝑖𝑛𝑡 =

360° ; ∡𝑖𝑛𝑡 = 72° 5

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3.3 Ejercicios Resueltos 1.-La medida del ángulo central en un nonágono regular es igual a:

x

2.- Escoja la respuesta correcta que relacione el polígono con su número de diagonales: a) hexágono b) pentágono c) eneágono d) heptágono e) octágono

A) B) C) D)

1.- 5 2.-9 3.-14 4.-20 5.-27

a1, b3, d5, e4, c2 b1, a2, e4, c5, d3 c1, d2, e3, a5, b4 d2, c1, a3, b4, e5

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3.4 Ejercicios Propuestos 1.-Une según el literal el polígono con su número de diagonales:

(a)

pentágono

77 diagonales triángulo 9 diagonales hexágono 5 diagonales tretradecagono 0 diagonales

(b) (c) (d)

2.- Debajo de la fórmula escribir para que sirve:

ndv= N – 3

∡𝑖𝑛𝑡 =

180°(𝑛−2) 𝑛

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∑ ∡𝑖𝑛𝑡 = 180°(𝑛 − 2)

UNIDAD 4 Áreas y perímetros

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UNIDAD 4 PERÍMETRO Y ÁREA DE POLÍGONOS 4.1 POLÍGONOS REGULARES Un polígono regular es aquel cuyos lados tienen la misma longitud y cuyos ángulos son iguales. 4.1.1 PERÍMETRO

-

El perímetro de una figura plana es la suma de las longitudes de sus lados. Para calcular el perímetro de un polígono regular multiplicamos el número de lados, n, por la longitud del lado l.

P=n.l

4.1.2 ÁREA

-

El área de una figura corresponde a la medida de la superficie que dicha figura ocupa. Para calcular su área, descomponemos el polígono regular en tantos triángulos iguales como lados tiene el polígono. Si se observa en la figura. Corresponde a un hexágono regular que hemos divido en 6 triángulos iguales.  El área del hexágono es seis veces el área de sus triángulos.  La longitud de la base de un triángulo y la del lado del hexágono son la misma l.  La altura de un triángulo es igual a la longitud de la apotema del hexágono, ap.

Obtenido de:http://arablogs.catedu.es/arablogs/ repositorio/1064/hexacubo.jpg

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Por lo tanto el área del hexágono es: 𝐴 = 6.

𝑙 . 𝑎𝑝 6𝑙 . 𝑎𝑝 = 2 2

Por otro lado, 6l es el perímetro, P, del hexágono, por lo que: 𝐴=

𝑃 . 𝑎𝑝 2

El perímetro de un polígono regular de n lados de longitud l es: P= n . l El área de un polígono regular de perímetro P y apotema ap. es: A =

𝑷 . 𝒂𝒑 𝟐

4.2 POLÍGONOS IREGULARES Un polígono irregular es aquel cuyos lados y ángulos no son iguales. 4.2.1

PERÍMETRO

Para calcular el perímetro en un polígono irregular es necesario sumar todos sus lados. 4.2.2 ÁREA Para calcular el área de un polígono irregular, podemos descomponerlo en el menor número posible de figuras cuyas áreas sepamos calcular. La mayoría de veces es común descomponerlo en triángulos.

Es importante tener en cuenta que el área del triángulo es Á𝒓𝒆𝒂𝒕𝒓𝒊á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐

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𝒃 .𝒉 𝟐

4.3 Ejercicios Propuestos 1.- Calcular el perímetro del siguiente polígono regular.

n=6 l = 2cm P = n. l; P = 6. 2cm; P = 12cm

2.- Calcular el área del siguiente polígono regular l =2cm; n= 6; ap = 2cm;

P= n. l; P = 6.2cm; P = 12cm A=

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𝑃 . 𝑎𝑝 2

; A=

12𝑐𝑚 . 2𝑐𝑚 ; 2

A=12𝒄𝒎𝟐

3.- Calcular el perímetro del siguiente polígono irregular.

𝑙1 = 2,83𝑐𝑚; 𝑙2 = 3,61𝑐𝑚; 𝑙3 = 5𝑐𝑚; 𝑙4 = 3,16𝑐𝑚; P = 2,83cm + 3,61cm + 5cm + 3,16cm P = 14,6cm

4.- Calcular el área del siguiente polígono irregular.

Á𝑟𝑒𝑎 1

5𝑐𝑚 . 2𝑐𝑚 2

Á𝑟𝑒𝑎 1 = 5𝑐𝑚2 Á𝑟𝑒𝑎 2 =

5𝑐𝑚 . 3𝑐𝑚 2

Á𝑟𝑒𝑎 2 = 7,5𝑐𝑚2 Á𝑟𝑒𝑎 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = (5 + 7,5)𝑐𝑚2 Á𝐫𝐞𝐚 𝐓𝐨𝐭𝐚𝐥 = 𝟏𝟐, 𝟓𝐜𝐦𝟐

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4.4 Ejercicios Propuestos a. Calcular el perímetro del siguiente polígono, l = 2cm.

b. Calcula el área del polígono regular de 2cm de lado, 2,41cm de apotema.

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c. Calcular el perímetro del siguiente polígono irregular.

𝑙1 = 2𝑐𝑚; 𝑙2 = 3𝑐𝑚; 𝑙3 = 3𝑐𝑚; 𝑙4 = 3𝑐𝑚; 𝑙5 = 3𝑐𝑚;

d. Calcula el perímetro y el área de este polígono irregular tomando en cuenta las medidas pertinentes.

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TABLA DE RESUMEN

Perímetro

POLÍGONOS REGULARES Se lo puede calcular mediante la fórmula:

POLÍGONOS IRREGULARES Se realiza la sumatoria de las longitudes de los lados del polígono.

P = n.l Área

Se lo puede calcular con la siguiente fórmula: 𝑨=

𝑷 . 𝒂𝒑 𝟐

Elaborado por Shamilex Navarrete

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Se los descompone en el menor número posible de figuras cuyas áreas sepamos calcular.

BIBLIOGRAFÍA: Ministerio de Educación del Ecuador, Eduardo Delgado Padilla, Darwin Parra Ojeda, 2011, Primera Edición Matemática 8, Quito-Ecuador, Editorial Don Bosco. Ministerio de Educación del Ecuador, Eduardo Delgado Padilla, Darwin Parra Ojeda, 2011, Primera Edición Matemática 8, Quito-Ecuador, Editorial Don Bosco. Según Diccionario de la lengua española de la Real Academia Española como el Diccionario Salamanca de la lengua española http://www.rae.es/ayuda/diccionario-de-la-lengua-espanola

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